力学质点运动学
质点：实际物体有大有小，结构可能很复杂。根据我们所研究对象的运动特点，有时可以把它们看成一个点，即质点。例如研究地球的公转时，地球可以看成质点；在研究地球的自传时，就不能看成质点。
运动学：力学中研究物体运动的内容，如：速度，位置，加速度。不关心速度，加速度产生的原因。与之对应的概念是动力学，研究的是速度，加速度产生的原因。如：牛顿运动定律。
§1 参考系，坐标系
参考系
参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。
2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。
3.常用参考系:
·太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系）
·地心参考系（地球 ─ 恒星参考系）
·地面参考系或实验室参考系
·质心参考系（第三章§6）
二,坐标系
坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。
1.坐标系为参考系的数学抽象。
2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。
3.常用坐标系:
·直角坐标系（ x,y,z ）
·球极坐标系（ r,θ,( ）
·柱坐标系 （(,(,z ）
·自然“坐标系”
§2 运动函数
质点位置矢量
位置矢量（位矢、矢径）：
用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。
位置矢量：
二,运动函数机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。可给出质点运动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该函数关系称为质点的运动函数。
运动函数：
或 ; ; 。
§3 位移，速度，加速度
位移：质点在一段时间（）内位置的改变（）叫做它在这段时间内的位移。
位移
二,路程：质点实际运动轨迹的长度。
注意：（1）
（2） 。
要分清 等的几何意义,详见典型问题。
三,速度,位矢对时间的变化率。
1.平均速度,
2.（瞬时）速度,
速度方向：沿轨迹切线方向。
速度大小（速率）：
四,加速度,速度对时间的变化率。
加速度
加速度的方向：变化的方向加速度的大小：
Δ§4 匀加速运动
直线运动,
抛体运动,
运动学的两类问题：
§5 圆周运动
一,描述圆周运动的物理量
如图：
·角位移,
·角速度,
·角加 速度,
·线速度,
·加速度,
如图示，有,
的大小,
的方向：时，的方向为切线方向。叫切向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。
的大小：
的方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。
总结：。对于圆周运动，我们只须将加速度在法向，切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方向问题，只看速率与角速度即可。
二.角量与线量的关系
由
有 ,。
§7 相对运动
相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给出的运动描述之间的关系问题。
以下我们仅讨论一参考系相对另一参考系S以速度平动时，同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的由图有：位移关系 （1）
上式双方除以,再取极限，得：
速度关系 （2）
式中 称为绝对速度
称为相对速度
称为牵连速度
（2）式称为伽利略速度变换。
[例] 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可
遮雨。
（2）式等号双方对t再求一次导数，在相对于S平动的条件下得：
加速度关系 （3）
若。
说明：
1.以上结论是在绝对时空观下得出的：
（1）式的来源是出自位移矢量叠加，而矢量叠加要求矢量必须是同一参考系中的矢量。只有假定“长度的测量不依赖于参考系”（空间的绝对性），才能给出位移关系（1）式。而要想从（1）式得到（2）、（3）式，还必须假定“时间的测量不依赖于参考系”,即假定在S和S′中分别测得的时间间隔dt 与 dt′相等 （时间的绝对性）。从相对论的观点来看，绝对时空观只在u << c时才成立。
2.不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混。前者是在一个参考系中，是矢量性的表现；而后者则应用于两个参考系之间，只在u << c时才成立。
3.只适用于相对运动为平动的情形。
一、基本要求
1.掌握描述质点运动的基本方法，深入理解质点运动函数的物理意义。
2.加深对质点位置矢量、位移、速度和加速度等概念的理解，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
3.加深对质点曲线运动的加速度、切向加速度和法向加速度的理解，并能灵活运用。
4.深入理解伽利略变换式，并能运用其解决相对运动问题。
二、知识系统图
例题：
质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？
；；；；；；；。
答：（1）表示质点的瞬时速度，有方向和大小。
（2）表示质点的瞬时速率，即瞬时速度的大小。
（3）因为当时，，所以也表示质点的瞬时速率。
（4）因为是位置矢量（矢径）大小的增量，所以是位置矢量（矢径）的大小对时间的变化率。
（5）因为，所以。
（6）表示质点的瞬时加速度的大小。
（7）表示质点的瞬时加速度。
（8）表示质点的切向加速度的大小，是瞬时速率对时间的变化率。
2.设质点的运动方程为。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出，然后再根据和求解。也有人用分量式求解，即和，问哪种方法正确？
答：第一种方法不正确。是质点的矢径的大小对时间的变化率，除直线运动外，它不是质点的速率。也不是质点的加速度。第二方法正确。是矢量计算的正确方法，先分别求速度和加速度的各分量，即，，和。再求速度和加速度的大小。
3.已知运动函数为（、为常量），求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。
解：速度：由速度的定义式有
。
加速度：由加速度的定义式有
切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率
，
，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。
法向加速度：，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆周运动，法向加速度的方向指向圆心。
4.灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为多少?
解：建立直角坐标系Oxy,如图,由题意知,任意时刻t，头顶在地上的影子M点的位置坐标为，人的脚的位置坐标为，因和同在x轴上，所以可用正负号表示他们的方向。根据三角形相似原理
由速度定义
.
当人沿轴正方向行走时，，；
当人沿轴负方向行走时，，。
说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可求加速度.这是求解质点的速度和加速度的方法之一。
5.正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即,式中为常数，试求电艇关闭发动机后行驶x距离时的速度。已知发动机关闭时电艇的速度为v0。
解:因为电艇沿直线行驶，其速度和加速度的方向都用正负符号表示，由速度与加速度之间的积分关系，求速度。由题意知
。
积分方法是求速度的又一方法,用此方法还可求位置矢量。
6.一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以的速度由东向西刮来,如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明.
解,选地球为静系，风为动系，飞机为动点，飞机相对地球的速度为，
飞机相对风的速度为，风相对地球的速度为。
根据伽利略速度变换有
因为和构成直角三角形，所以
（驾驶员应取北偏东的航向）。
说明：解相对运动的问题先要根据题意确定静系、动系和动点，然后找出动点相对静系的速度，动点相对动系的速度及动系相对静系的速度，再根据伽利略速度变换式求三个速度中的未知者。同样方法可求位移和加速度。
质点：实际物体有大有小，结构可能很复杂。根据我们所研究对象的运动特点，有时可以把它们看成一个点，即质点。例如研究地球的公转时，地球可以看成质点；在研究地球的自传时，就不能看成质点。
运动学：力学中研究物体运动的内容，如：速度，位置，加速度。不关心速度，加速度产生的原因。与之对应的概念是动力学，研究的是速度，加速度产生的原因。如：牛顿运动定律。
§1 参考系，坐标系
参考系
参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。
2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。
3.常用参考系:
·太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系）
·地心参考系（地球 ─ 恒星参考系）
·地面参考系或实验室参考系
·质心参考系（第三章§6）
二,坐标系
坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。
1.坐标系为参考系的数学抽象。
2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。
3.常用坐标系:
·直角坐标系（ x,y,z ）
·球极坐标系（ r,θ,( ）
·柱坐标系 （(,(,z ）
·自然“坐标系”
§2 运动函数
质点位置矢量
位置矢量（位矢、矢径）：
用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。
位置矢量：
二,运动函数机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。可给出质点运动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该函数关系称为质点的运动函数。
运动函数：
或 ; ; 。
§3 位移，速度，加速度
位移：质点在一段时间（）内位置的改变（）叫做它在这段时间内的位移。
位移
二,路程：质点实际运动轨迹的长度。
注意：（1）
（2） 。
要分清 等的几何意义,详见典型问题。
三,速度,位矢对时间的变化率。
1.平均速度,
2.（瞬时）速度,
速度方向：沿轨迹切线方向。
速度大小（速率）：
四,加速度,速度对时间的变化率。
加速度
加速度的方向：变化的方向加速度的大小：
Δ§4 匀加速运动
直线运动,
抛体运动,
运动学的两类问题：
§5 圆周运动
一,描述圆周运动的物理量
如图：
·角位移,
·角速度,
·角加 速度,
·线速度,
·加速度,
如图示，有,
的大小,
的方向：时，的方向为切线方向。叫切向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。
的大小：
的方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。
总结：。对于圆周运动，我们只须将加速度在法向，切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方向问题，只看速率与角速度即可。
二.角量与线量的关系
由
有 ,。
§7 相对运动
相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给出的运动描述之间的关系问题。
以下我们仅讨论一参考系相对另一参考系S以速度平动时，同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的由图有：位移关系 （1）
上式双方除以,再取极限，得：
速度关系 （2）
式中 称为绝对速度
称为相对速度
称为牵连速度
（2）式称为伽利略速度变换。
[例] 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可
遮雨。
（2）式等号双方对t再求一次导数，在相对于S平动的条件下得：
加速度关系 （3）
若。
说明：
1.以上结论是在绝对时空观下得出的：
（1）式的来源是出自位移矢量叠加，而矢量叠加要求矢量必须是同一参考系中的矢量。只有假定“长度的测量不依赖于参考系”（空间的绝对性），才能给出位移关系（1）式。而要想从（1）式得到（2）、（3）式，还必须假定“时间的测量不依赖于参考系”,即假定在S和S′中分别测得的时间间隔dt 与 dt′相等 （时间的绝对性）。从相对论的观点来看，绝对时空观只在u << c时才成立。
2.不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混。前者是在一个参考系中，是矢量性的表现；而后者则应用于两个参考系之间，只在u << c时才成立。
3.只适用于相对运动为平动的情形。
一、基本要求
1.掌握描述质点运动的基本方法，深入理解质点运动函数的物理意义。
2.加深对质点位置矢量、位移、速度和加速度等概念的理解，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
3.加深对质点曲线运动的加速度、切向加速度和法向加速度的理解，并能灵活运用。
4.深入理解伽利略变换式，并能运用其解决相对运动问题。
二、知识系统图
例题：
质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？
；；；；；；；。
答：（1）表示质点的瞬时速度，有方向和大小。
（2）表示质点的瞬时速率，即瞬时速度的大小。
（3）因为当时，，所以也表示质点的瞬时速率。
（4）因为是位置矢量（矢径）大小的增量，所以是位置矢量（矢径）的大小对时间的变化率。
（5）因为，所以。
（6）表示质点的瞬时加速度的大小。
（7）表示质点的瞬时加速度。
（8）表示质点的切向加速度的大小，是瞬时速率对时间的变化率。
2.设质点的运动方程为。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出，然后再根据和求解。也有人用分量式求解，即和，问哪种方法正确？
答：第一种方法不正确。是质点的矢径的大小对时间的变化率，除直线运动外，它不是质点的速率。也不是质点的加速度。第二方法正确。是矢量计算的正确方法，先分别求速度和加速度的各分量，即，，和。再求速度和加速度的大小。
3.已知运动函数为（、为常量），求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。
解：速度：由速度的定义式有
。
加速度：由加速度的定义式有
切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率
，
，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。
法向加速度：，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆周运动，法向加速度的方向指向圆心。
4.灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为多少?
解：建立直角坐标系Oxy,如图,由题意知,任意时刻t，头顶在地上的影子M点的位置坐标为，人的脚的位置坐标为，因和同在x轴上，所以可用正负号表示他们的方向。根据三角形相似原理
由速度定义
.
当人沿轴正方向行走时，，；
当人沿轴负方向行走时，，。
说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可求加速度.这是求解质点的速度和加速度的方法之一。
5.正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即,式中为常数，试求电艇关闭发动机后行驶x距离时的速度。已知发动机关闭时电艇的速度为v0。
解:因为电艇沿直线行驶，其速度和加速度的方向都用正负符号表示，由速度与加速度之间的积分关系，求速度。由题意知
。
积分方法是求速度的又一方法,用此方法还可求位置矢量。
6.一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以的速度由东向西刮来,如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明.
解,选地球为静系，风为动系，飞机为动点，飞机相对地球的速度为，
飞机相对风的速度为，风相对地球的速度为。
根据伽利略速度变换有
因为和构成直角三角形，所以
（驾驶员应取北偏东的航向）。
说明：解相对运动的问题先要根据题意确定静系、动系和动点，然后找出动点相对静系的速度，动点相对动系的速度及动系相对静系的速度，再根据伽利略速度变换式求三个速度中的未知者。同样方法可求位移和加速度。
