振动与波动第一章 振 动
§1 简谐振动一.简谐振动
1.表达式(运动学方程)
物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正弦)规律随t反复变化，这样的振动称作简谐振动。如水平 弹簧振子的振动。
x(t)=Acos(( t + ()
2.特点：
(1)等幅振动
(2)周期性振动 x( t ) = x( t +T )
二.描述简谐振动的特征量
1.振幅A 最大位移的绝对值(A恒为正值)。
2.周期和频率(反映振动的快慢)
(1)周期T振动一次所需时间。
(2)频率( 单位时间内的振动次数。 单位：Hz
(3)圆频率(角频率)2(秒内的振动次数。
(单位：rad/s 或1/s)
3.相位
(1)((t +( )是t 时刻的相位。
(2) t时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、(、a )。
由x =Acos((t +( )
(3)初相是t = 0时刻的相位。(t =0称时间零点，是开始计时的时刻,
不一定是开始运动的时刻)。
反映t = 0时刻的振动状态(x0,(0 )。
x0 = Acos(,(0 = -(Asin(
要熟记典型(值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。
(
0
(/2
(
3(/2
2(
x0
A
0
-A
0
A
(0
0
-(A
0
(A
0
三,简谐振动的描述方法
1.解析法(由振动表达式)
由x = Acos((t +()
已知表达式 ( A、T、(
已知A、T、( ( 表达式
2.曲线法(由振动曲线)
已知 曲线 ( A、T、(
已知 A、T、( ( 曲线
3.旋转矢量法(可优先选用)
(1)矢量长度 = A；以(为角速度绕o点逆时针旋转；t = 0时矢量与x轴的夹角为(
(2)矢量端点在x轴上的投影作简谐振动。
四.相位差
1.相位差和初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差。
(( = ((t +(2) - ((t +(1)=(2 - (1
2.同相和反相当(( = (2k(，( k= 0，1，2，…)，两振动步调相同，称相。当(( = ((2k+1)(,( k= 0，1,2，…)两振动步调相反，称反相。
3.领先和落后若(( = (2-(1 >0，
则x2比x1较早
达到正最大,
称 x2比x1领先
(或x1比x2落后)。
·领先、落后以 <(的相位角(或以<T/2的时间间隔)来判断。
方法：振动曲线的画法。(为非典型值时，可用领先、落后的概念画出振动曲线。
·欲画x = Acos((t +()的曲线，
·先画辅助曲线x辅 = Acos (t的曲线，
·若( < 0，说明x比x辅落后，将x辅曲线右移即得x的曲线。在横轴上移动的距离为
五,简谐振动的速度、加速度
1.速度
(1)表达式
( = -(Asin(( t+()
= (Acos((t +( +(/2)
也可写为
((t) = A(cos(( t+(()
(2)速度也是简谐振动，其角频率为 (,振幅A( = (A，
初相 ((= ( + ((/2)，(比x领先(/2。
(3)速度和位移的关系
t 时刻 ( = ( (A2- x2)1/2
t =0时 (0 = ( (A2- x02)1/2
2.加速度
(1)表达式
a = -(2Acos(( t + ()= (2Acos((t +( +()
也可写作a(t) = Aacos(( t +(a)
(2)加速度也是简谐振动，其角频率 (,振幅Aa = (2A,
初相 (a= ( + (,a和x反相。
(3)a和x的关系
a = -(2x
加速度和位移正比而反向(简谐振动的特点)
§2 简谐振动(动力学部分)
一.简谐振动的动力学方程
1.受力特点：线性恢复力(力和位移正
比而反向，具有F = -kx的形式)。
2.动力学方程(以水平弹簧振子为例)
受力：F = -kx
由
可得出————简谐振动的振动方程
3.固有角频率弹簧振子：
单摆,
固有角频率决定于振动系统的内在性质。
4.由初始条件求振幅和初相
二.简谐振动系统的能量(以水平弹簧振子为例)
1.简谐振动系统的能量特点
(1)动能
Ek随t变 Ek min = 0
平均值
(2)势能
Ep随t变,Ep max,Ep min、Ep情况同动能。
(3)机械能E = Ek + Ep
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量E0 (t =0时输入的能量)。要求：已知x ( t曲线，能正确画出Ek ( t 和 Ep ( t 曲线。
2.由起始能量求振幅
三.简谐振动的动力学解法
1.由分析受力出发
·分析物体在任一时刻的受力或力矩 (后者对刚体)；
·由牛顿定律(对刚体，由转动定律)列方程，如能得出
形式的方程，
则(1)说明振动是简谐振动；
(2)可得出(。
[例]质量为m的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心C
到轴o的距离为b，刚体对轴o的转动惯量为J。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆称作复摆)。
解：刚体摆至任一角度(时受力mg
力对轴o的力矩M = - mgb sin((负号是因M的转向与(的正向相反)由转动定律M = J(有
小角度时 sin( ((,有
可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动
(2)角频率
思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等，单摆的摆长l应是多少？(此l 称为复摆的等值单摆长)
§3 阻尼振动一.阻尼振动的振动方程和表达式当物体速度较小时，阻力 ( 速度。
(,阻力系数
讨论在阻力作用下的弹簧振子，振动方程为
引入阻尼系数 ( = ( /2m
固有频率 (0 = (k/m)1/2
得阻尼振动的振动方程
1．在阻尼作用较小(( < (0)时，上述微分方程的解即阻尼振动的振动表达式为
x(t) = A0e-( tcos(( t + ()
其中 ( = ((02 - ( 2)1/2
振动曲线如图
2．过阻尼、欠阻尼和临界阻尼欠阻尼 ( 2 < (2
过阻尼 ( 2 > (2
临界阻尼 ( 2 = (2
应用：电表阻尼,天平阻尼
§4 受迫振动与共振一．受迫振动在外来策动力作用下的振动。
周期性策动力 f = F0 cos(t
振动方程
其中
稳态解：x =Acos(( t+()
二.共振共振是在一定条件下，振幅出现极大值，振动剧烈的现象。
共振角频率,(r= ((02-2( 2)1/2
共振振幅,
若( << (,则 (r ( (0,称尖锐共振。
§5 简谐振动的合成
一.同方向同频率的简谐振动的合成
1.分振动：一物体同时参与的两个(或多个)简谐振动
x1=A1cos((t + (1)
x2=A2cos((t + (2)
2.合振动,x = x1+x2
x =A cos(( t+( )
合振动是简谐振动。其角频率仍为(；
合振动的振幅和初相为,
A、( 可由旋转矢量法导出，这比用
解析法方便。
由图 Ax = A1cos(1 + A2cos(2
Ay = A1sin(1 + A2sin(2
再由 A2 = A12 + A22,
可得以上 A,( 的表示式。
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相，(2 ( (1 = (2k(，则A=A1+A2,两分振动 相互加强。
(2)若两分振动反相，(2 ( (1= ((2k+1)(,则A = |A1 - A2|，两分振动相互减弱。 (以上k = 0，1，2，…)
如A1=A2,则A = 0。
此情形下,“振动加振动等于不振动”。
二.同方向不同频率的简谐振动的合成
1.分振动：设为 x1 = Acos(1t x2 = Acos(2t
2.合振动,x = x1 + x2
合振动不是简谐振动。
当(2 ((1时,(2 - (1(((2 +(1,x可写作
其中
合振动可看作振幅缓变的简谐振动。
3.拍：合振动的强弱A2(t)随t 变化的现象。
拍频：单位时间内强弱变化的次数。
(b=|(2-(1| 或 (b=|(2-(1|(b即A2(t) 或 |A(t)| 的变化频率。
实例：双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音。
一、基本要求掌握描述简谐振动的各物理量及各物理量之间的关系。
理解旋转矢量法，用旋转矢量法解题。
掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4．方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5．了解阻尼振动、受迫振动的规律。
二、知识系统图
例题两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为，当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为
（A） （B）
（C） （D）
答：（B）。本题主要考查振动的相和相差。由题意可知，第二个质点的振动比第一个质点的振动落后四分之一个周期，也即第二个质点振动的相比第一个质点的相落后，所以应选答案（B）。
一弹簧振子作简谐振动，总能量为，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量变为
（A） （B） （C） （D）
答：（D）。振动系统的总能量为，由题意知，没有变化，为原来的两倍，而与重物的质量无关，所以选答案（D）。
能力题：一枝粉笔在使用中捏得不妥当时，为什麽会发出讨厌的尖叫声？
答：捏得不妥当的粉笔开始在黑板上顶住，但是，当写字者把粉笔倾斜到一定程度时，粉笔就突然滑动，随即发生振动，因此粉笔周期性地撞击黑板，产生了我们听到的尖叫声。
能力题：一条原来很平坦的道路可能有一个地方隆了起来，不久之后，沿着这条路会出现一条条波纹，这些波纹是由什么引起的？
答：设想在道路上最初有一处隆起，它使驶过的汽车前端振动，当前端在振动期间落地时，它会迫使轮胎挖掘地面，如果很多汽车在大致相同的地方都这样做的话，一个新的隆起就会出现。
量为2kg的质点，按方程沿着X轴振动。求：
（1）t=0时，作用于质点的力的大小；
（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。
解：（1）要求t=0时，作用于质点的力的大小，应先求出t=0时加速度的大小。
t=0时，
(2)要求质点受力的最大值，应先求加速度的最大值，并由加速度最大值时的相位求出质点的位置
其时
一质量为M，长为L的均匀细杆，上端挂在无摩擦的水平轴上，杆下端用一弹簧连在墙上，如图所示，弹簧的弹性系数为k,当杆竖直静止时弹簧处于水平原长状态，求杆作微小振动的周期。（杆绕其一端轴的转动惯量为
解：这道题要求杆微小振动的周期，所以要先从动力学角度，得出微小振动的动力学方程，再由方程中的系数得出周期的值。把杆看作刚体，对其应用刚体转动定律，即
令θ为微小振动时，杆与竖直线之间的夹角，动力学方程为：
当θ很小时，，所以由上式可得
与简谐振动动力学方程比较，可得
角频率
周期
一半径为R的木球静止地浮在水面上，其体积的一半恰好浸入水中，若把它刚刚按入水中后，从静止状态开始放手，若不计水对球的阻力，试写出木球振动的微分方程，再说明木球在什么状态下做简谐振动。
解：这道题仍然需从动力学角度推出木球的动力学方程，从而判断其运动的简谐性。取平衡位置为原点，向下为X轴的正方向，设水的密度?，当球从平衡位置下移x时，浸入水中的体积增加了。
木球所受合力
（与X轴方向相反）
根据牛顿第二定律，有
由题知，木球密度为,,由此得,
由上式看出木球的振动不是简谐振动。
当《R时，可略去，上式近似为
令 ,上式变为
可见，只要轻轻按一下，使《R，可认为木球作简谐振动。
在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力，使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放，已知物体在32s内完成48次振动，振幅为5cm，
(1)上述的外加拉力是多大？
(2)当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：（1）取平衡位置为原点，向下为X轴正方向。设物体在平衡位置时的伸长量为
Δl，加拉力F后，弹簧又伸长，则对物体进行受力分析，可得：
平衡时，,代入前式得：
由题意知：时，，，则
由此知,,
所以有：
（2）平衡位置以下1cm处
因为系统的总能量为
解二：（1）从静止释放，显然拉长量等于振幅A
（2）总能量
当 时，,占总能量的，则占总能量的，因此有,
如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数K=24N/m，重物的质量为m=6kg,重物静止在平衡位置上。设以一水平拉力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为
恒外力做功即为弹簧振子的能量
所以 A=0.204m,
按题目所述时刻计时，时，,所以
因此物体的运动方程为 （SI）
§1 简谐振动一.简谐振动
1.表达式(运动学方程)
物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正弦)规律随t反复变化，这样的振动称作简谐振动。如水平 弹簧振子的振动。
x(t)=Acos(( t + ()
2.特点：
(1)等幅振动
(2)周期性振动 x( t ) = x( t +T )
二.描述简谐振动的特征量
1.振幅A 最大位移的绝对值(A恒为正值)。
2.周期和频率(反映振动的快慢)
(1)周期T振动一次所需时间。
(2)频率( 单位时间内的振动次数。 单位：Hz
(3)圆频率(角频率)2(秒内的振动次数。
(单位：rad/s 或1/s)
3.相位
(1)((t +( )是t 时刻的相位。
(2) t时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、(、a )。
由x =Acos((t +( )
(3)初相是t = 0时刻的相位。(t =0称时间零点，是开始计时的时刻,
不一定是开始运动的时刻)。
反映t = 0时刻的振动状态(x0,(0 )。
x0 = Acos(,(0 = -(Asin(
要熟记典型(值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。
(
0
(/2
(
3(/2
2(
x0
A
0
-A
0
A
(0
0
-(A
0
(A
0
三,简谐振动的描述方法
1.解析法(由振动表达式)
由x = Acos((t +()
已知表达式 ( A、T、(
已知A、T、( ( 表达式
2.曲线法(由振动曲线)
已知 曲线 ( A、T、(
已知 A、T、( ( 曲线
3.旋转矢量法(可优先选用)
(1)矢量长度 = A；以(为角速度绕o点逆时针旋转；t = 0时矢量与x轴的夹角为(
(2)矢量端点在x轴上的投影作简谐振动。
四.相位差
1.相位差和初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差。
(( = ((t +(2) - ((t +(1)=(2 - (1
2.同相和反相当(( = (2k(，( k= 0，1，2，…)，两振动步调相同，称相。当(( = ((2k+1)(,( k= 0，1,2，…)两振动步调相反，称反相。
3.领先和落后若(( = (2-(1 >0，
则x2比x1较早
达到正最大,
称 x2比x1领先
(或x1比x2落后)。
·领先、落后以 <(的相位角(或以<T/2的时间间隔)来判断。
方法：振动曲线的画法。(为非典型值时，可用领先、落后的概念画出振动曲线。
·欲画x = Acos((t +()的曲线，
·先画辅助曲线x辅 = Acos (t的曲线，
·若( < 0，说明x比x辅落后，将x辅曲线右移即得x的曲线。在横轴上移动的距离为
五,简谐振动的速度、加速度
1.速度
(1)表达式
( = -(Asin(( t+()
= (Acos((t +( +(/2)
也可写为
((t) = A(cos(( t+(()
(2)速度也是简谐振动，其角频率为 (,振幅A( = (A，
初相 ((= ( + ((/2)，(比x领先(/2。
(3)速度和位移的关系
t 时刻 ( = ( (A2- x2)1/2
t =0时 (0 = ( (A2- x02)1/2
2.加速度
(1)表达式
a = -(2Acos(( t + ()= (2Acos((t +( +()
也可写作a(t) = Aacos(( t +(a)
(2)加速度也是简谐振动，其角频率 (,振幅Aa = (2A,
初相 (a= ( + (,a和x反相。
(3)a和x的关系
a = -(2x
加速度和位移正比而反向(简谐振动的特点)
§2 简谐振动(动力学部分)
一.简谐振动的动力学方程
1.受力特点：线性恢复力(力和位移正
比而反向，具有F = -kx的形式)。
2.动力学方程(以水平弹簧振子为例)
受力：F = -kx
由
可得出————简谐振动的振动方程
3.固有角频率弹簧振子：
单摆,
固有角频率决定于振动系统的内在性质。
4.由初始条件求振幅和初相
二.简谐振动系统的能量(以水平弹簧振子为例)
1.简谐振动系统的能量特点
(1)动能
Ek随t变 Ek min = 0
平均值
(2)势能
Ep随t变,Ep max,Ep min、Ep情况同动能。
(3)机械能E = Ek + Ep
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量E0 (t =0时输入的能量)。要求：已知x ( t曲线，能正确画出Ek ( t 和 Ep ( t 曲线。
2.由起始能量求振幅
三.简谐振动的动力学解法
1.由分析受力出发
·分析物体在任一时刻的受力或力矩 (后者对刚体)；
·由牛顿定律(对刚体，由转动定律)列方程，如能得出
形式的方程，
则(1)说明振动是简谐振动；
(2)可得出(。
[例]质量为m的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心C
到轴o的距离为b，刚体对轴o的转动惯量为J。试证刚体小幅度自由摆动时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆称作复摆)。
解：刚体摆至任一角度(时受力mg
力对轴o的力矩M = - mgb sin((负号是因M的转向与(的正向相反)由转动定律M = J(有
小角度时 sin( ((,有
可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动
(2)角频率
思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等，单摆的摆长l应是多少？(此l 称为复摆的等值单摆长)
§3 阻尼振动一.阻尼振动的振动方程和表达式当物体速度较小时，阻力 ( 速度。
(,阻力系数
讨论在阻力作用下的弹簧振子，振动方程为
引入阻尼系数 ( = ( /2m
固有频率 (0 = (k/m)1/2
得阻尼振动的振动方程
1．在阻尼作用较小(( < (0)时，上述微分方程的解即阻尼振动的振动表达式为
x(t) = A0e-( tcos(( t + ()
其中 ( = ((02 - ( 2)1/2
振动曲线如图
2．过阻尼、欠阻尼和临界阻尼欠阻尼 ( 2 < (2
过阻尼 ( 2 > (2
临界阻尼 ( 2 = (2
应用：电表阻尼,天平阻尼
§4 受迫振动与共振一．受迫振动在外来策动力作用下的振动。
周期性策动力 f = F0 cos(t
振动方程
其中
稳态解：x =Acos(( t+()
二.共振共振是在一定条件下，振幅出现极大值，振动剧烈的现象。
共振角频率,(r= ((02-2( 2)1/2
共振振幅,
若( << (,则 (r ( (0,称尖锐共振。
§5 简谐振动的合成
一.同方向同频率的简谐振动的合成
1.分振动：一物体同时参与的两个(或多个)简谐振动
x1=A1cos((t + (1)
x2=A2cos((t + (2)
2.合振动,x = x1+x2
x =A cos(( t+( )
合振动是简谐振动。其角频率仍为(；
合振动的振幅和初相为,
A、( 可由旋转矢量法导出，这比用
解析法方便。
由图 Ax = A1cos(1 + A2cos(2
Ay = A1sin(1 + A2sin(2
再由 A2 = A12 + A22,
可得以上 A,( 的表示式。
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相，(2 ( (1 = (2k(，则A=A1+A2,两分振动 相互加强。
(2)若两分振动反相，(2 ( (1= ((2k+1)(,则A = |A1 - A2|，两分振动相互减弱。 (以上k = 0，1，2，…)
如A1=A2,则A = 0。
此情形下,“振动加振动等于不振动”。
二.同方向不同频率的简谐振动的合成
1.分振动：设为 x1 = Acos(1t x2 = Acos(2t
2.合振动,x = x1 + x2
合振动不是简谐振动。
当(2 ((1时,(2 - (1(((2 +(1,x可写作
其中
合振动可看作振幅缓变的简谐振动。
3.拍：合振动的强弱A2(t)随t 变化的现象。
拍频：单位时间内强弱变化的次数。
(b=|(2-(1| 或 (b=|(2-(1|(b即A2(t) 或 |A(t)| 的变化频率。
实例：双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音。
一、基本要求掌握描述简谐振动的各物理量及各物理量之间的关系。
理解旋转矢量法，用旋转矢量法解题。
掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4．方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5．了解阻尼振动、受迫振动的规律。
二、知识系统图
例题两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为，当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为
（A） （B）
（C） （D）
答：（B）。本题主要考查振动的相和相差。由题意可知，第二个质点的振动比第一个质点的振动落后四分之一个周期，也即第二个质点振动的相比第一个质点的相落后，所以应选答案（B）。
一弹簧振子作简谐振动，总能量为，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量变为
（A） （B） （C） （D）
答：（D）。振动系统的总能量为，由题意知，没有变化，为原来的两倍，而与重物的质量无关，所以选答案（D）。
能力题：一枝粉笔在使用中捏得不妥当时，为什麽会发出讨厌的尖叫声？
答：捏得不妥当的粉笔开始在黑板上顶住，但是，当写字者把粉笔倾斜到一定程度时，粉笔就突然滑动，随即发生振动，因此粉笔周期性地撞击黑板，产生了我们听到的尖叫声。
能力题：一条原来很平坦的道路可能有一个地方隆了起来，不久之后，沿着这条路会出现一条条波纹，这些波纹是由什么引起的？
答：设想在道路上最初有一处隆起，它使驶过的汽车前端振动，当前端在振动期间落地时，它会迫使轮胎挖掘地面，如果很多汽车在大致相同的地方都这样做的话，一个新的隆起就会出现。
量为2kg的质点，按方程沿着X轴振动。求：
（1）t=0时，作用于质点的力的大小；
（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。
解：（1）要求t=0时，作用于质点的力的大小，应先求出t=0时加速度的大小。
t=0时，
(2)要求质点受力的最大值，应先求加速度的最大值，并由加速度最大值时的相位求出质点的位置
其时
一质量为M，长为L的均匀细杆，上端挂在无摩擦的水平轴上，杆下端用一弹簧连在墙上，如图所示，弹簧的弹性系数为k,当杆竖直静止时弹簧处于水平原长状态，求杆作微小振动的周期。（杆绕其一端轴的转动惯量为
解：这道题要求杆微小振动的周期，所以要先从动力学角度，得出微小振动的动力学方程，再由方程中的系数得出周期的值。把杆看作刚体，对其应用刚体转动定律，即
令θ为微小振动时，杆与竖直线之间的夹角，动力学方程为：
当θ很小时，，所以由上式可得
与简谐振动动力学方程比较，可得
角频率
周期
一半径为R的木球静止地浮在水面上，其体积的一半恰好浸入水中，若把它刚刚按入水中后，从静止状态开始放手，若不计水对球的阻力，试写出木球振动的微分方程，再说明木球在什么状态下做简谐振动。
解：这道题仍然需从动力学角度推出木球的动力学方程，从而判断其运动的简谐性。取平衡位置为原点，向下为X轴的正方向，设水的密度?，当球从平衡位置下移x时，浸入水中的体积增加了。
木球所受合力
（与X轴方向相反）
根据牛顿第二定律，有
由题知，木球密度为,,由此得,
由上式看出木球的振动不是简谐振动。
当《R时，可略去，上式近似为
令 ,上式变为
可见，只要轻轻按一下，使《R，可认为木球作简谐振动。
在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力，使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放，已知物体在32s内完成48次振动，振幅为5cm，
(1)上述的外加拉力是多大？
(2)当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：（1）取平衡位置为原点，向下为X轴正方向。设物体在平衡位置时的伸长量为
Δl，加拉力F后，弹簧又伸长，则对物体进行受力分析，可得：
平衡时，,代入前式得：
由题意知：时，，，则
由此知,,
所以有：
（2）平衡位置以下1cm处
因为系统的总能量为
解二：（1）从静止释放，显然拉长量等于振幅A
（2）总能量
当 时，,占总能量的，则占总能量的，因此有,
如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数K=24N/m，重物的质量为m=6kg,重物静止在平衡位置上。设以一水平拉力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为
恒外力做功即为弹簧振子的能量
所以 A=0.204m,
按题目所述时刻计时，时，,所以
因此物体的运动方程为 （SI）
