电 磁 学
第一章 真空中的静电场
静电场—静止或低速( ( << c )电荷产生的电场。
§1 电荷 库仑定律一.电荷 + -
二.电荷守恒三.库仑定律
1.库仑定律
适用条件：
·点电荷—理想模型
·真空
·电荷静止(或低速)
2.国际单位制(SI)中
·q—库仑(C),F—牛顿(N) r—米(ｍ)
·实验定出，
k = 8.9880(109 N(m2/C2
k ( 9(109 N(m2/C2
·引入常数(0,使
·(0—真空介电常数
(0 = 8.85(10-12 C2/N(m2
·库仑定律：
§2 电场 电场强度一.电场
1.电荷产生电场
2.电场性质力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；
（2） 能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它作功。
二.电场强度
定义：
q0—检验电荷(电量小、线度小)
三.点电荷场强公式
·求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电场
·在p点放一检验电荷q0，
·由库仑定律和场强
定义，有 q0受力
p点场强
――点电荷场强公式
§3 场强叠加原理 电场强度的计算
一.场强叠加原理
·源电荷:q1,q2、…、qi、…
·p点放检验电荷q0,则q0受力
·p点场强
场强叠加原理：电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢量和)。
空间某点的场强是空间所有电荷共同产生的。
二.电偶极子
电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。
l << r
·电偶极矩:
P = q l
方向由 -q 指向 +q
电偶极子在均匀电场中所受的力矩
F+= qE,F-=-qE
M=2[qE(l/2) sin( ]
=PE sin(
M = P ( E
M使得P向( 减小的方向转(使P向和E 尽量一致的方向转)。
三.连续带电体的场强
点电荷场强积分法
解题步骤：
·把Q ( 无限多dq
·由dq ( dE (利用点电荷场强公式)
·由dE ( E = ( dE (利用场强叠加原理)
电荷密度
·体电荷密度 (,单位体积的带电量
·面电荷密度 (,单位面积的带电量
·线电荷密度 (,单位长度的带电量
[例1]一半径为R、带电量为Q的均匀带
电细圆环，求其轴线上任一点的场
强。
解：·把Q分成无限多dq
·如图dq产生的场强为dE
·由对称性分析知，所有dq产生的dE(相互抵消
·整个圆环产生的场强
·特例：当x>>R时，有
圆环 ( 点电荷
可见，点电荷并非真正的“点”。
[例2] 求半径为R，面电荷密度为(的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强。
解:
·注意积分元dq的取法
·结果：
(1)当x << R
圆盘 (“无限大”均匀带电平板
(2)当x >>R
圆盘 ( 点电荷
§4 电通量，高斯定理一.电力线
1.画法
（1）电力线上某点的切向和该点场强方向一致；
（2）通过垂直于E的单位面积的电力线的根数等于该点E的大小。
2.性质
（1）两条电力线不能相交；
（2）电力线起自正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处)电力线有头有尾，不是闭合曲线。
二.电通量
1.定义：通过某面积S的电通量等于通过S的电力线的条数。
均匀电场,S是平面，且与电力线垂
直电通量
( = ES
均匀电场,S是平面，与电力线不垂
直
( = ES(
= EScos(
( = E ( S
·(是S的法线和电力线的夹角
·面积作为矢量：大小为S方向沿法向n
S = S n
(3)S是任意曲面，
E是非均匀电场
·把S分成无限
多dS
·通过dS的通量
d( = E ( dS
·通过整个曲面的电通量
2.通过闭合曲面的电通量
·规定：闭合面的法线指向面外。
·电力线穿出
处，
(—锐角
电通量d( > 0。
电力线穿入处,
(—钝角，
电通量d( < 0。
·闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电
力线的净根数。
三.高斯定理
·高斯定理是静电场的一个重要定理，反映场和源的关系。
1.高斯定理,真空中静电场内，通过任意 闭合曲面 的电通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/(0倍。
2.证明
(1)q—点电荷,
S—球面
(以q为中心，半径为r)
＝
高斯定理成立。
(2) q—点电荷,
S(—任意闭合
曲面
(包围q)
高斯定理成立。
(3) q—点电荷,
S(—任意闭合
曲面
(不包围q)
进出S(的电力线
的条数相等，净通量为零，
高斯定理成立。
推论：对任意连续电荷分布亦正确。
三.用高斯定理求电场分布
·高斯定理的应用：分析静电场问题；求静电场的分布。
·求电场分布的步骤：
(1)对称性分析；
(2)选合适的高斯面；
(3)用高斯定理计算 。
[例1]求半径为R带电量为Q的均匀带电球面的电场分布。
解：先求球面外的场强
(1)对称性分析：根据带电体的对称性定性分析待求场强的大小和方向的特点。
·p点E的方向特点：
带电体有球对称性，在其上对称地取两个点电荷 dq、dq(
dq (dE,dq((dE(
由dE,dE (，其合场强沿r向，
整个球面是由这样一对对的电荷组成的，整个球面在p点产生的场强沿r向。
·E的大小特点：
距中心同样远的点(如p点和p(点)的场强大小相同。
(2)选合适的高斯面
·选高斯面的目的是为了能用高斯定理求出p点的E，
即由 (S E(dS = (S EdScos( = Q/(0
E = ……
·由对称性分析，高斯面应选过p点的同心球面。
(3)计算由
有
同样可求球面内有
E = 0
场强分布曲线
[例2] 求无限长均匀带电圆柱面(线电荷密度()的电场分布。
解:柱面外对称性分析
p点的场强沿径向； 距中心同远处场强相同。(亦可把圆柱面看作无限长带电直导线的组合，由直导线的结果作对称性分析)
(2)选高斯面：选S为高h半径为r的同轴圆柱面。
(3)计算
由
左端第一、二项为零
(侧面 Ecos( dS = q/(0
E (侧面dS = h(/(0
E(2(rh) = h(/(0
圆柱面内
[例3] 求均匀带电的无限大平板(面电荷密度()产生的电场。
解：(1)对称性分析：
E的方向：垂直板面向外
大小：距板同远处E大小相同
(2)高斯面：如图圆柱面
(3)计算
由
E(左底dS +E(右底dS + 0 = q/(0
E(2S底) = S底(/(0
说明：
(1)高斯面选择原则：
·高斯面上各点E大小相等，且处处垂直于高斯面(如例1)； 或部分面上通量为零，其它部分高斯面上各点E相等，且处处垂直于高斯面(如例2、例3)。
(2)仅当带电体上电荷分布具有某种对称性时(如板类、柱类、球类)才能用高斯定理求出其产生的电场分布。
(3)求电场的方法：
方法一：点电荷场强积分法
方法二：用高斯定理求场强
·利用场强叠加原理，可求出更多带电体的电场分布。
第二章 电势
本章从功能角度研究静电场的性质。
§1 静电场的保守性 环路定理
一.静电力作功的特点
1.点电荷的电场
·在点电荷q的电场中，把另一点电荷q0由a点(b点(沿路径L)过程中，电场力作的功
可见，电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。
2.点电荷系的电场在点电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
其中，每一项均与路径无关，
(Aa(b也与路径无关。
·对连续带电体的场强同样可得此结论
静电力作功与路径无关，静电场是保守力场。
二.环路定理在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。
三.电势能
1.电势能的差
·静电力是保守力，可引入电势能的概念。
·由保守力作功和势能增量的关系有
q0在电场中a、b两点电势能之差等于 把q0自a点移至b点过程中电场力所作的功。
·电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。
2.电势能
·选标准点(势能零点)，且取W标 = 0
·q0在电场中某点a的电势能为
即把q0自a (“标准点”的过程中电场力作的功。
·选择标准点的原则：当(源)电荷分布在有限范围内时，标准点一般选在无穷远。
[例] 求点电荷q0在点电荷q的电场中某点的电势能
§2 电势差和电势一.电势差
a、b两点的电势差即把单位正电荷自a(b过程中电场力作的功。
·一个常用的公式
Aa(b = q0(Ua - Ub)
二.电势
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点(“标准点”过程中电场力作的功。
点电荷场的电势
三.电势叠加原理
·源电荷：由若干带电体组成，各自在场点p产生的电场为E1、E2、…
·场点p的电势
电场中某点的电势等于各电荷单独在该产生的电势的叠加(代数和)。
·注意：必须是同一个标准点。空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。
四.电势、电势差的计算
1.方法一：场强积分法(由定义)
步骤：(1)先算场强
(2)选择合适的路径L
(3)分段积分(计算)
[例1]求半径R带电量为Q的均匀带电球面电场的电势分布。
解:(1)球面内任一点a
·球面内外场强已求出
·标准点选无限远，路径选L
分段积分
，（r<=R）
·可见，球面内是一等势空间,其电势等于球面上的电势。
·注意：积分是在路径上进行
(2)球面外任一点b
2.方法二：电势叠加法
步骤,(1)把带电体 (分为无限多dq
(2)由dq ( dU(据点电荷电势公式)
由dU ( U = ( dU
[例2]求均匀带电圆环(带电Q、半径R)
在其轴线上产生的电势。
解:
·积分是标量积分(代数和)。
·注意：积分是在带电体上进行。
·由电势叠加可求一些稍复杂的带电体的电势，如可求两同心均匀带电球面的电势分布。
§3 场强和电势的关系，电势梯度一.等势面
1.等势面：电势相等的点组成的面 (画等势面时，使相邻等势面间的电势差为常数)。
2.等势面和电力线的关系
(1)等势面与电力线处处垂直；
(2)电力线从高电势处指向低电势处；
(3)等势面密处场强大。
·图中 q —点电荷
二.电势梯度
1.方向导数
·两邻近等势面
Ua ( Ub
·沿l方向电势变化率
沿n方向电势变化率
这种沿某个方向的变化率称方向导数。
·沿不同方向变化率不同，沿n方向电势
变化率最快，即
因
有
2.电势梯度矢量
方向：电势增加最快的方向
大小：沿该方向的电势变化率为
三维情形下，如U = U(x,y,z)
三.场强和电势梯度的关系
由图
直角坐标下梯度算符
方法：求电场的又一方法
由电荷分布 ( U ( E
本章要求掌握电场强度和电势的概念以及迭加原理，掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问题中的电场强度和电势。
理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。理解电场力的功和电势能的概念。
了解电势与电场强度的微分关系。
知识系统图
例题判断下列说法是否正确
（1） 静电场中的任一闭合曲面，若有，则S面上的处处为零。
（2） 若闭合曲面S上各点的，则S面内必未包围电荷。
（3） 闭合曲面S上各点的场强，仅由S面包围的电荷提供。
（4） 通过闭合曲面S的总电通量，仅由S面包围的电荷提供。
答：（1）错。只表明通过S面的电通量等于零，也说明S面内,但由空间所有电荷及其分布决定。
（2）错。闭合曲面S上各点的，由高斯定理可得闭合曲面S内所有电荷电量的代数和等于零，不能说明S面内不包围电荷。
（3）错。
（4）对。
通过本题，对高斯定理的理解应注意：
（1）通过高斯面的电通量只与高斯面包围的电荷有关，与高斯面外部的电荷无关，与高斯面内部的电荷分布也无关。
（2）是电荷电量的代数和，只能说明通过高斯面的电通量为零，不能说明高斯面内没有电荷，也不能说明高斯面上的场强处处为零。
(3)高斯面上各点的场强由空间所有电荷决定。
2,三个相等的点电荷置于等边三角形的三个顶点上，以三角形的中心为球心作一球面S，能否用高斯定理求场强分布？对S面高斯定理是否成立？
答：不能用高斯定理求场强分布。
对S面高斯定理成立，
通过本题，注意用高斯定理计算场强分布的条件：场的分布具有特殊对称性，但高斯定理是静电学中普遍成立的原理。
3,分析下列问题
（1）已知电场中某点的场强，能否计算出该点的电势？
（2）在电势不变的空间，场强是否不变？
（3）电势为零处，场强是否一定为零？
（4）场强为零处，电势是否一定为零？
答：（1）否。由电势的定义式可知，只有当积分路径上场强的分布已知时，才能求出某点的电势。
（2）是。此时。
（3）否。如一对等量异号点电荷连线的中点，电势为零，但场强不为零。
（4）否。如一对等量同号点电荷连线的中点，场强为零，但电势不为零。
4,确定静电场中某点的电势，为什么必须选定一个电势零点？
答：静电场中某点电势在数值上等于单位正电荷置于该点所具有的电势能，电势能的改变是以电场力作功来度量的，电势能只是一个相对的量，因而电势也是一个相对的量，故必须选定一个电势零点，而静电场中某点的电势就等于该点与电势零点之间的电势差。
5,静电场中计算电势差的公式有下面几个：
试说明各式的适用条件。
答：（1）式为电势差的定义式，普遍适用；
（2）式只适用于均匀电场，其d中为A、B两点连线的距离在平行于电力线方向上的投影；
（3）式为场强与电势差间的基本关系式，普遍适用。
6,如图，有一边长a为的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a处，有一电量为q的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量是多少？
答：以点电荷为中心作一边长为的立方体，则由高斯定理知，通过平面的电场强度通量为。
7,一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为，式中为一常数，为半径R与X轴所成的夹角，如图所示。试求环心O处的电场强度。
(选题目的：用场强迭加原理计算场强)
解：在Φ处取电荷元，其电量为
它在O点产生的场强为
在X、Y轴上的二个分量
对各分量分别求和
8．如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度为,式中k为一正的常数，求：
(1)平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；
(2)平板内任一点P处的电场强度；
(3)场强为零的点在何处？
（选题目的：用高斯定理计算场强）
解：（1）由对称性分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面。设场强大小为E，作一柱形高斯面垂直于平面，其底面大小为S，如图所示
按高斯定理,即
得到 （板外两侧）
(2)过点p垂直平板作一柱形高斯面，底面为S，该处场强为E′，如图所示，
按高斯定理有
得到
（3），得到
9．在半径为R1，电荷体密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球体中心O1间的距离为b，且R1>b>R2，求空腔内任一点的电场强度。
（选题目的：用补缺法计算电场强度）
解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。但半径为R1的球和半径为R2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R1 的均匀带电+的球体与半径为R2的均匀带电-的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度为和的球体，这时空腔内任一点的场强：
其中分别是带电的大球和带电的小球在P点的场强,都可用高斯定理求得
由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由指向
10,如图所示的绝缘细线，其上均匀分布着正电荷。已知电荷线密度为λ，两段直线长均为a，半圆环的半径为a。求环心O点的电势？
(选题目的：用电势迭加原理计算电势)
解：O点的电势即带电细线ab、bcd、de在O点电势的迭加求ab段在O点的电势，可先求ab段上微元dx在O点的电势，它是
积分得ab段在O点的电势为:
同理可得de段在O点的电势为:
再求bcd段在O点的电势，在圆弧上任取一段，它在O点产生的电势是
最后，O点电势
11,计算均匀带电球体电场中的电势分布。（设球半径为R，带电量q）
解：由高斯定理知，均匀带电球体的场强分布：
取，则 （取沿半径方向积分）
当r>R时,
当r<R时，由于球内外场强的函数关系不同，积分应分段进行，即
12,在与面电荷密度为σ的无限大均匀带电平板相距为a处有一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点p处的电势Up。（选题目的：电势的计算）
解：有人用电势迭加法计算p点电势
以上计算是否正确？为什么？
不正确。因为这是分别选了两个电势零点计算出来的，前一项以无穷远点为电势零点而后一项是以大平板上一点为电势零点，由于电势零点不同，二者不能相加。
正确的解法是选共同零点，选取q所在点为坐标原点O，连接Op并延长为x轴，选处为。
任一点处的场强
总结，场强和电势的计算是本章的重点和难点，归纳起来，
计算场强的方法有：
（1）以点电荷场强公式为基础，应用场强迭加原理。原则上，这种方法可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。
（2）当电荷分布具有对称性时可用高斯定理求出场强。
（3）若电势分布已知，则可利用求出场强分布。
计算电势的方法有：
（1）以点电荷电势公式为基础，应用电势迭加原理。
（2）当场强分布已知或用高斯定理易求出，应用电势定义式计算电势分布。
补充习题用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，求圆心O点的电场强度。
一环行薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上，细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，求圆环中心O处的电场强度（圆环中心在细绳延长线上）(如图)。
一“无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为?，求轴线上一点的电场强度(如图)。
A、B为真空中两个平行的“无限大“均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E。两平面外侧电场强度大小都为，方向如图，求两平面上的电荷面密度。
电荷面密度分别为+?和-?的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与X轴垂直相交于x1=a,x2=-a两点，设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布表示式并画出其曲线。
一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，电荷面密度为?，证明：锥顶0点的电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零点），其值为：
正电荷均匀分布在半径为R的球形体积中（如图），电荷体密度为ρ，求球内a点和球外b点的电势差时，得出以下结果
这个结果正确吗？如有错误，请指出错在哪里，并予以改正。
有两根半径都是R的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d（d? 2R），单位长度上分别带有电量为+?和-?的电荷。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，求两导线间的电势差。
如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?（?>0），今有一质量为m，带电量为-q的粒子（q>0）沿圆板轴线（X轴）方向向圆板运动，已知在距圆心为b的位置上时，粒子的速度为v0 。求粒子击中圆板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。
一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为：
求：（1）带电球体的总电量；（2）球内、外各点的电场强度；（3）球内、外各点的电势。
如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。沿矢径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线近端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。
半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处，如图所示。求该直线段受到的电场力。
第一章 真空中的静电场
静电场—静止或低速( ( << c )电荷产生的电场。
§1 电荷 库仑定律一.电荷 + -
二.电荷守恒三.库仑定律
1.库仑定律
适用条件：
·点电荷—理想模型
·真空
·电荷静止(或低速)
2.国际单位制(SI)中
·q—库仑(C),F—牛顿(N) r—米(ｍ)
·实验定出，
k = 8.9880(109 N(m2/C2
k ( 9(109 N(m2/C2
·引入常数(0,使
·(0—真空介电常数
(0 = 8.85(10-12 C2/N(m2
·库仑定律：
§2 电场 电场强度一.电场
1.电荷产生电场
2.电场性质力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；
（2） 能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它作功。
二.电场强度
定义：
q0—检验电荷(电量小、线度小)
三.点电荷场强公式
·求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电场
·在p点放一检验电荷q0，
·由库仑定律和场强
定义，有 q0受力
p点场强
――点电荷场强公式
§3 场强叠加原理 电场强度的计算
一.场强叠加原理
·源电荷:q1,q2、…、qi、…
·p点放检验电荷q0,则q0受力
·p点场强
场强叠加原理：电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢量和)。
空间某点的场强是空间所有电荷共同产生的。
二.电偶极子
电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。
l << r
·电偶极矩:
P = q l
方向由 -q 指向 +q
电偶极子在均匀电场中所受的力矩
F+= qE,F-=-qE
M=2[qE(l/2) sin( ]
=PE sin(
M = P ( E
M使得P向( 减小的方向转(使P向和E 尽量一致的方向转)。
三.连续带电体的场强
点电荷场强积分法
解题步骤：
·把Q ( 无限多dq
·由dq ( dE (利用点电荷场强公式)
·由dE ( E = ( dE (利用场强叠加原理)
电荷密度
·体电荷密度 (,单位体积的带电量
·面电荷密度 (,单位面积的带电量
·线电荷密度 (,单位长度的带电量
[例1]一半径为R、带电量为Q的均匀带
电细圆环，求其轴线上任一点的场
强。
解：·把Q分成无限多dq
·如图dq产生的场强为dE
·由对称性分析知，所有dq产生的dE(相互抵消
·整个圆环产生的场强
·特例：当x>>R时，有
圆环 ( 点电荷
可见，点电荷并非真正的“点”。
[例2] 求半径为R，面电荷密度为(的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强。
解:
·注意积分元dq的取法
·结果：
(1)当x << R
圆盘 (“无限大”均匀带电平板
(2)当x >>R
圆盘 ( 点电荷
§4 电通量，高斯定理一.电力线
1.画法
（1）电力线上某点的切向和该点场强方向一致；
（2）通过垂直于E的单位面积的电力线的根数等于该点E的大小。
2.性质
（1）两条电力线不能相交；
（2）电力线起自正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处)电力线有头有尾，不是闭合曲线。
二.电通量
1.定义：通过某面积S的电通量等于通过S的电力线的条数。
均匀电场,S是平面，且与电力线垂
直电通量
( = ES
均匀电场,S是平面，与电力线不垂
直
( = ES(
= EScos(
( = E ( S
·(是S的法线和电力线的夹角
·面积作为矢量：大小为S方向沿法向n
S = S n
(3)S是任意曲面，
E是非均匀电场
·把S分成无限
多dS
·通过dS的通量
d( = E ( dS
·通过整个曲面的电通量
2.通过闭合曲面的电通量
·规定：闭合面的法线指向面外。
·电力线穿出
处，
(—锐角
电通量d( > 0。
电力线穿入处,
(—钝角，
电通量d( < 0。
·闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电
力线的净根数。
三.高斯定理
·高斯定理是静电场的一个重要定理，反映场和源的关系。
1.高斯定理,真空中静电场内，通过任意 闭合曲面 的电通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/(0倍。
2.证明
(1)q—点电荷,
S—球面
(以q为中心，半径为r)
＝
高斯定理成立。
(2) q—点电荷,
S(—任意闭合
曲面
(包围q)
高斯定理成立。
(3) q—点电荷,
S(—任意闭合
曲面
(不包围q)
进出S(的电力线
的条数相等，净通量为零，
高斯定理成立。
推论：对任意连续电荷分布亦正确。
三.用高斯定理求电场分布
·高斯定理的应用：分析静电场问题；求静电场的分布。
·求电场分布的步骤：
(1)对称性分析；
(2)选合适的高斯面；
(3)用高斯定理计算 。
[例1]求半径为R带电量为Q的均匀带电球面的电场分布。
解：先求球面外的场强
(1)对称性分析：根据带电体的对称性定性分析待求场强的大小和方向的特点。
·p点E的方向特点：
带电体有球对称性，在其上对称地取两个点电荷 dq、dq(
dq (dE,dq((dE(
由dE,dE (，其合场强沿r向，
整个球面是由这样一对对的电荷组成的，整个球面在p点产生的场强沿r向。
·E的大小特点：
距中心同样远的点(如p点和p(点)的场强大小相同。
(2)选合适的高斯面
·选高斯面的目的是为了能用高斯定理求出p点的E，
即由 (S E(dS = (S EdScos( = Q/(0
E = ……
·由对称性分析，高斯面应选过p点的同心球面。
(3)计算由
有
同样可求球面内有
E = 0
场强分布曲线
[例2] 求无限长均匀带电圆柱面(线电荷密度()的电场分布。
解:柱面外对称性分析
p点的场强沿径向； 距中心同远处场强相同。(亦可把圆柱面看作无限长带电直导线的组合，由直导线的结果作对称性分析)
(2)选高斯面：选S为高h半径为r的同轴圆柱面。
(3)计算
由
左端第一、二项为零
(侧面 Ecos( dS = q/(0
E (侧面dS = h(/(0
E(2(rh) = h(/(0
圆柱面内
[例3] 求均匀带电的无限大平板(面电荷密度()产生的电场。
解：(1)对称性分析：
E的方向：垂直板面向外
大小：距板同远处E大小相同
(2)高斯面：如图圆柱面
(3)计算
由
E(左底dS +E(右底dS + 0 = q/(0
E(2S底) = S底(/(0
说明：
(1)高斯面选择原则：
·高斯面上各点E大小相等，且处处垂直于高斯面(如例1)； 或部分面上通量为零，其它部分高斯面上各点E相等，且处处垂直于高斯面(如例2、例3)。
(2)仅当带电体上电荷分布具有某种对称性时(如板类、柱类、球类)才能用高斯定理求出其产生的电场分布。
(3)求电场的方法：
方法一：点电荷场强积分法
方法二：用高斯定理求场强
·利用场强叠加原理，可求出更多带电体的电场分布。
第二章 电势
本章从功能角度研究静电场的性质。
§1 静电场的保守性 环路定理
一.静电力作功的特点
1.点电荷的电场
·在点电荷q的电场中，把另一点电荷q0由a点(b点(沿路径L)过程中，电场力作的功
可见，电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。
2.点电荷系的电场在点电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
其中，每一项均与路径无关，
(Aa(b也与路径无关。
·对连续带电体的场强同样可得此结论
静电力作功与路径无关，静电场是保守力场。
二.环路定理在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。
三.电势能
1.电势能的差
·静电力是保守力，可引入电势能的概念。
·由保守力作功和势能增量的关系有
q0在电场中a、b两点电势能之差等于 把q0自a点移至b点过程中电场力所作的功。
·电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。
2.电势能
·选标准点(势能零点)，且取W标 = 0
·q0在电场中某点a的电势能为
即把q0自a (“标准点”的过程中电场力作的功。
·选择标准点的原则：当(源)电荷分布在有限范围内时，标准点一般选在无穷远。
[例] 求点电荷q0在点电荷q的电场中某点的电势能
§2 电势差和电势一.电势差
a、b两点的电势差即把单位正电荷自a(b过程中电场力作的功。
·一个常用的公式
Aa(b = q0(Ua - Ub)
二.电势
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点(“标准点”过程中电场力作的功。
点电荷场的电势
三.电势叠加原理
·源电荷：由若干带电体组成，各自在场点p产生的电场为E1、E2、…
·场点p的电势
电场中某点的电势等于各电荷单独在该产生的电势的叠加(代数和)。
·注意：必须是同一个标准点。空间某点的电势是空间所有电荷共同产生的。
四.电势、电势差的计算
1.方法一：场强积分法(由定义)
步骤：(1)先算场强
(2)选择合适的路径L
(3)分段积分(计算)
[例1]求半径R带电量为Q的均匀带电球面电场的电势分布。
解:(1)球面内任一点a
·球面内外场强已求出
·标准点选无限远，路径选L
分段积分
，（r<=R）
·可见，球面内是一等势空间,其电势等于球面上的电势。
·注意：积分是在路径上进行
(2)球面外任一点b
2.方法二：电势叠加法
步骤,(1)把带电体 (分为无限多dq
(2)由dq ( dU(据点电荷电势公式)
由dU ( U = ( dU
[例2]求均匀带电圆环(带电Q、半径R)
在其轴线上产生的电势。
解:
·积分是标量积分(代数和)。
·注意：积分是在带电体上进行。
·由电势叠加可求一些稍复杂的带电体的电势，如可求两同心均匀带电球面的电势分布。
§3 场强和电势的关系，电势梯度一.等势面
1.等势面：电势相等的点组成的面 (画等势面时，使相邻等势面间的电势差为常数)。
2.等势面和电力线的关系
(1)等势面与电力线处处垂直；
(2)电力线从高电势处指向低电势处；
(3)等势面密处场强大。
·图中 q —点电荷
二.电势梯度
1.方向导数
·两邻近等势面
Ua ( Ub
·沿l方向电势变化率
沿n方向电势变化率
这种沿某个方向的变化率称方向导数。
·沿不同方向变化率不同，沿n方向电势
变化率最快，即
因
有
2.电势梯度矢量
方向：电势增加最快的方向
大小：沿该方向的电势变化率为
三维情形下，如U = U(x,y,z)
三.场强和电势梯度的关系
由图
直角坐标下梯度算符
方法：求电场的又一方法
由电荷分布 ( U ( E
本章要求掌握电场强度和电势的概念以及迭加原理，掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问题中的电场强度和电势。
理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。理解电场力的功和电势能的概念。
了解电势与电场强度的微分关系。
知识系统图
例题判断下列说法是否正确
（1） 静电场中的任一闭合曲面，若有，则S面上的处处为零。
（2） 若闭合曲面S上各点的，则S面内必未包围电荷。
（3） 闭合曲面S上各点的场强，仅由S面包围的电荷提供。
（4） 通过闭合曲面S的总电通量，仅由S面包围的电荷提供。
答：（1）错。只表明通过S面的电通量等于零，也说明S面内,但由空间所有电荷及其分布决定。
（2）错。闭合曲面S上各点的，由高斯定理可得闭合曲面S内所有电荷电量的代数和等于零，不能说明S面内不包围电荷。
（3）错。
（4）对。
通过本题，对高斯定理的理解应注意：
（1）通过高斯面的电通量只与高斯面包围的电荷有关，与高斯面外部的电荷无关，与高斯面内部的电荷分布也无关。
（2）是电荷电量的代数和，只能说明通过高斯面的电通量为零，不能说明高斯面内没有电荷，也不能说明高斯面上的场强处处为零。
(3)高斯面上各点的场强由空间所有电荷决定。
2,三个相等的点电荷置于等边三角形的三个顶点上，以三角形的中心为球心作一球面S，能否用高斯定理求场强分布？对S面高斯定理是否成立？
答：不能用高斯定理求场强分布。
对S面高斯定理成立，
通过本题，注意用高斯定理计算场强分布的条件：场的分布具有特殊对称性，但高斯定理是静电学中普遍成立的原理。
3,分析下列问题
（1）已知电场中某点的场强，能否计算出该点的电势？
（2）在电势不变的空间，场强是否不变？
（3）电势为零处，场强是否一定为零？
（4）场强为零处，电势是否一定为零？
答：（1）否。由电势的定义式可知，只有当积分路径上场强的分布已知时，才能求出某点的电势。
（2）是。此时。
（3）否。如一对等量异号点电荷连线的中点，电势为零，但场强不为零。
（4）否。如一对等量同号点电荷连线的中点，场强为零，但电势不为零。
4,确定静电场中某点的电势，为什么必须选定一个电势零点？
答：静电场中某点电势在数值上等于单位正电荷置于该点所具有的电势能，电势能的改变是以电场力作功来度量的，电势能只是一个相对的量，因而电势也是一个相对的量，故必须选定一个电势零点，而静电场中某点的电势就等于该点与电势零点之间的电势差。
5,静电场中计算电势差的公式有下面几个：
试说明各式的适用条件。
答：（1）式为电势差的定义式，普遍适用；
（2）式只适用于均匀电场，其d中为A、B两点连线的距离在平行于电力线方向上的投影；
（3）式为场强与电势差间的基本关系式，普遍适用。
6,如图，有一边长a为的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a处，有一电量为q的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量是多少？
答：以点电荷为中心作一边长为的立方体，则由高斯定理知，通过平面的电场强度通量为。
7,一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为，式中为一常数，为半径R与X轴所成的夹角，如图所示。试求环心O处的电场强度。
(选题目的：用场强迭加原理计算场强)
解：在Φ处取电荷元，其电量为
它在O点产生的场强为
在X、Y轴上的二个分量
对各分量分别求和
8．如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度为,式中k为一正的常数，求：
(1)平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；
(2)平板内任一点P处的电场强度；
(3)场强为零的点在何处？
（选题目的：用高斯定理计算场强）
解：（1）由对称性分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面。设场强大小为E，作一柱形高斯面垂直于平面，其底面大小为S，如图所示
按高斯定理,即
得到 （板外两侧）
(2)过点p垂直平板作一柱形高斯面，底面为S，该处场强为E′，如图所示，
按高斯定理有
得到
（3），得到
9．在半径为R1，电荷体密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球体中心O1间的距离为b，且R1>b>R2，求空腔内任一点的电场强度。
（选题目的：用补缺法计算电场强度）
解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。但半径为R1的球和半径为R2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R1 的均匀带电+的球体与半径为R2的均匀带电-的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度为和的球体，这时空腔内任一点的场强：
其中分别是带电的大球和带电的小球在P点的场强,都可用高斯定理求得
由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由指向
10,如图所示的绝缘细线，其上均匀分布着正电荷。已知电荷线密度为λ，两段直线长均为a，半圆环的半径为a。求环心O点的电势？
(选题目的：用电势迭加原理计算电势)
解：O点的电势即带电细线ab、bcd、de在O点电势的迭加求ab段在O点的电势，可先求ab段上微元dx在O点的电势，它是
积分得ab段在O点的电势为:
同理可得de段在O点的电势为:
再求bcd段在O点的电势，在圆弧上任取一段，它在O点产生的电势是
最后，O点电势
11,计算均匀带电球体电场中的电势分布。（设球半径为R，带电量q）
解：由高斯定理知，均匀带电球体的场强分布：
取，则 （取沿半径方向积分）
当r>R时,
当r<R时，由于球内外场强的函数关系不同，积分应分段进行，即
12,在与面电荷密度为σ的无限大均匀带电平板相距为a处有一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点p处的电势Up。（选题目的：电势的计算）
解：有人用电势迭加法计算p点电势
以上计算是否正确？为什么？
不正确。因为这是分别选了两个电势零点计算出来的，前一项以无穷远点为电势零点而后一项是以大平板上一点为电势零点，由于电势零点不同，二者不能相加。
正确的解法是选共同零点，选取q所在点为坐标原点O，连接Op并延长为x轴，选处为。
任一点处的场强
总结，场强和电势的计算是本章的重点和难点，归纳起来，
计算场强的方法有：
（1）以点电荷场强公式为基础，应用场强迭加原理。原则上，这种方法可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。
（2）当电荷分布具有对称性时可用高斯定理求出场强。
（3）若电势分布已知，则可利用求出场强分布。
计算电势的方法有：
（1）以点电荷电势公式为基础，应用电势迭加原理。
（2）当场强分布已知或用高斯定理易求出，应用电势定义式计算电势分布。
补充习题用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，求圆心O点的电场强度。
一环行薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上，细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，求圆环中心O处的电场强度（圆环中心在细绳延长线上）(如图)。
一“无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为?，求轴线上一点的电场强度(如图)。
A、B为真空中两个平行的“无限大“均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E。两平面外侧电场强度大小都为，方向如图，求两平面上的电荷面密度。
电荷面密度分别为+?和-?的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与X轴垂直相交于x1=a,x2=-a两点，设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布表示式并画出其曲线。
一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，电荷面密度为?，证明：锥顶0点的电势与圆锥高度无关（设无穷远处为电势零点），其值为：
正电荷均匀分布在半径为R的球形体积中（如图），电荷体密度为ρ，求球内a点和球外b点的电势差时，得出以下结果
这个结果正确吗？如有错误，请指出错在哪里，并予以改正。
有两根半径都是R的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d（d? 2R），单位长度上分别带有电量为+?和-?的电荷。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，求两导线间的电势差。
如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?（?>0），今有一质量为m，带电量为-q的粒子（q>0）沿圆板轴线（X轴）方向向圆板运动，已知在距圆心为b的位置上时，粒子的速度为v0 。求粒子击中圆板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。
一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为：
求：（1）带电球体的总电量；（2）球内、外各点的电场强度；（3）球内、外各点的电势。
如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。沿矢径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线近端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。
半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处，如图所示。求该直线段受到的电场力。
