东南大学移动通信国家重点实验室第二章 连续系统的时域分析(续1)
§ 2-4 奇异函数
一,定义：函数或其微、积分在某处不连续（间断）
例如,
)()2/(
2
tt ε
)(ttε
)(tε
)(tδ
)(tδ
′
1
(1) )(∞
t t t t t,..,
O O O O )(∞
求导
积分
东南大学移动通信国家重点实验室二、
)(tδ
的几种定义
1,工程定义
≠
=∞
=δ
.0,0;0,
)(
t
t
t
，且
∫
+∞
∞?
=1)( dttδ
2,狄拉克定义,
设
)(t
在 t=0 处连续，则 ∫
+∞
∞?
=δ? )0()()( dttt
（抽样、筛选性）
东南大学移动通信国家重点实验室
3,微积分性质：
∫
∞?
=
=
t
dt
dt
td
t
ττδε
ε
δ
)()
)(
)(
（或
4,极限定义（赋值定义） 若有
)0()()(lim
0
=?
∫
+∞
∞?
→
dttft
c
c
,
则
)()(lim
0
ttf
c
c
δ=
→
东南大学移动通信国家重点实验室如 （ 脉宽）
则
)(lim)(
0
tgt
→?
=δ
又如 则
)(lim)(
0
tkt
→?
=δ
)(tg
/1
t
2/ 2/?
)(tk
/1
t
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(tδ
的常用性质
1,抽样性：设 ∫
+∞
∞?
=?δ?=? )()()()(
000
tdttttttt 处连续，则在
或
)()()()(
000
tttttt?δ?=?δ?
2,偶函数性：
)()( tt δ=?δ
东南大学移动通信国家重点实验室
3,尺度变换：
)0(),(
1
)( ≠δ=δ at
a
at
而
)0(),(
1
)(
0
0
≠?δ=?δ a
a
t
t
a
tat
4．
)(tδ
′
冲激偶,
∵
)(lim)(
0
tgt
→?
=δ
∴
)(lim)(
0
tgt
→?
′
=δ
′
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-5 信号的时域分解
一,简例
例：门函数
)
2
()
2
()(
τ
ε?
τ
+ε=τ tttG
单边周期性锯齿波
[ ] [ ]L+?εε?+?ε?ε= )2()1()1()1()()( tttttttf
∑
∞
=
=
1
)()(
i
ittt εε
)(tf
1 …
t
0 1 2 3
)(tG
τ
1
t
2/τ? 2/τ
东南大学移动通信国家重点实验室二,信号分解成
)(tδ
的组合
设
)(tf
有始；
∑
=
→?
=
n
k
t
t
tktGtkftf
0
0
)()(lim)(
t
t
tktG
tkf
n
k
t
t
=
∑
=
→?
0
0
)(
)(lim
)(*)(
)()(
0
ttf
dtf
t
δ
ττδτ
记
=
=
∫
（卷积）
（即：分解成无穷多个出现在
),0( t∈τ
处，强度为
ττ df )(
的冲激的迭加）
)(tf
… … 记 )(tG
t?
,1
t t
0 … t =n t? t?
东南大学移动通信国家重点实验室
* 对一般信号 f(t),
)()()()()( ttfdtftf
t
δττδτ?=?=
∫
∞?
记
东南大学移动通信国家重点实验室三,信号分解为单位阶跃的组合
类似,
[ ]
[]
++
++
=
→?
L
L
)())1(()(
)()0()()()0(
lim)(
0
tkttkftkf
ttftftf
tf
t
ε
εε
∑
=
→?
ε
+ε=
n
k
t
ttkt
t
tkftkf
tf
1
0
)(
))1(()(
lim)()0(
＝
∫
′
+
t
dtftf
0
)()()()0( ττετε
（即,分解成无穷多个出现在
),0( t∈τ
处,幅度为
ττ
′
df )(
的阶跃的迭加）
)(tf ……
……
……
t
0 … t =n t?
东南大学移动通信国家重点实验室
* 对一般信号,
)()()()()( ttfdtftf
t
εττετ?
′
=?
′
=
∫
∞?
记
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-6 冲激响应和阶跃响应
一,定义
零状态
)( tδ
)( tε
)( th
)( tr
ε
东南大学移动通信国家重点实验室二、
)(th
与
)(tr
ε
的关系
∫
∞?
==
t
dhtr
dt
tdr
th ττ
ε
ε
)()(
)(
)( 或
例,若
0,)( ≥=
ε
tetr
t
写成
).()( tetr
t
ε
ε
=
则
)()()()()(
0
tteteteth
t
t
tt
δ+ε?=δ+ε?=
=
这样才能体现
0=t
处的冲激分量
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(th
的求法
1,拉氏反变换
1
( ) [ ( )],,( ) ( )
p s
ht L Hs Hs Hp
=
==其中
注意：一对共轭根要配方
2,
)(pH
分解法
例：
)()(
1
1
)(
1
1
)( teth
s
sH
p
pH
t
ε=?
+
=?
+
=
东南大学移动通信国家重点实验室
3,系数平衡法
4,将
)(tδ
的作用转化为
+
= 0t
时的初态，于是,
求
)(th
即转化为求相应初态作用下的零输入响应
)(tr
zi
5,状态方程法（将在第 9 章中介绍）
东南大学移动通信国家重点实验室例：求图示 RC 电路的冲激响应电流 )(ti 。
C
+
-
)(ti
R
)(tδ
解,1) 建模,
)()()
1
( teti
pC
R =+
即
)(
1
)()
1
()()()
1
( tpe
R
ti
RC
ptpeti
C
pR =+=+ 或
∴
)(
1
1
)( te
RC
p
p
R
ti
+
=
C
东南大学移动通信国家重点实验室
2) 求解,
法一：拉氏变换法
由
RC
s
CRR
RC
s
s
R
sH
1
111
1
1
)(
2
+
=
+
=
得
)(
1
)(
1
)(
2
te
CR
t
R
th
RC
t
εδ
=
东南大学移动通信国家重点实验室法二：
+
→δ 0
初态
0
1
),00(0 →=→=
+?
Cj
Xt
C
ω
因时瞬间
，即短路
∴
)(
R
1
)( tti δ=
,t=0
∴
RC
di
C
u
C
1
)(
1
)0(
0
0
==
∫
+
+
ττ
（ V）
∴
CRR
u
ccetit
C
t
RC
2
1
1)0(
,)(,0 －而常数时 =?==≥
+
+
∴
)(
1
)(
2
te
CR
ti
RC
t
ε
=
∴
)(
1
)(
1
)(
2
te
CR
t
R
ti
RC
t
εδ
=
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-7 叠加积分
零状态
)(tε
)( tδ
)(tr
ε
)(th
)( τδ?t )( τ?th
)()( τδτ?te )()( ττ?the
∫
∞?
t
dte ττδτ )()(
∫
∞?
t
dthe τττ )()(
)(*)( tte δ= )(*)( thte=
)(te=
)(tr
zs
=
即,
∫
∞?
==
t
zs
dthethtetr τττ )()()(*)()(
东南大学移动通信国家重点实验室说明,(参见 P53 图 2－ 20)
（ 1）
τ
：冲激分量（及其响应）出现的时刻；
（ 2）
t
：观察时刻，选定后是常数；
（ 3）
τ?t
：记忆时间。对稳定系统，
↓?↑ )( ττ tht；
（ 4） 对一般激励
+∞<<?∞ tthte ),()( 和
，（因为系统可能非因果，
t 后的激励对 t 及以前仍有贡献）则,
+∞<<∞=
∫
+∞
∞?
tdthetr
zs
,)()()( τττ
东南大学移动通信国家重点实验室积分限讨论如下,
a) 若
)(te
有始，则
∫
+∞
=
0
)()()( τττ dthetr
zs
b) 若
)(th
因果，则 ∫
∞?
=
t
zs
dthetr τττ )()()(
c) 若因果有始,)()( thte
，则
∫
=
t
zs
dthetr
0
)()()( τττ
东南大学移动通信国家重点实验室例 1,RC 电路,e(t)如图，求其零状态响应电流 i(t)。
C=2F
+
-
)(ti
)(te
=
2
1
R
5
X-Axis
Y-
Ax
i
s
1 2
3
4
0
1
2
3 4
K=1
K=1/2
t
e(t)
东南大学移动通信国家重点实验室解：由前例，
)(2)(2)(
1
)(
1
)(
2
tette
CR
t
R
th
t
RC
t
εδεδ
=?=
而
)2()1()]2()()[1
2
()(?+++= tttt
t
te εεε
)2()1
2
2
()()1
2
(?+
++= t
t
t
t
εε
)2()(
11
+= tete
设
)2()()(*)(
1111
+== tititiheti
zszszs
，则
东南大学移动通信国家重点实验室由
== )(*)()(
11
thteti
zs
)](2)(2[*)()1
2
( tett
t
t
εδε
+
∫
+?+=
t
t
dtett
0
)(
)](2)()1
2
[(2)()2( ττετε
τ
ε
τ
)(])1[()()2( tettt
t
εε
+?+=
)()1( te
t
ε
+=
∴
)2()1()()1()2()()(
)2(
11
+++=?+=
tetetititi
tt
zszs
εε
东南大学移动通信国家重点实验室例 2,
h(t)
st
e
求 r(t)=?
无时限
+ ∞<<∞? t
由
∫
∫
∞+
∞?
+∞
∞?
==
==
ττ
ττ
τ
τ
deheth
dthethetr
tsst
sst
)(
)(*)(
)()(*)(
+∞<<?∞==
∫
+∞
∞?
tesHdtethe
ststst
,)()(
其中,H(s)=￡ [h(t)]
参考,e
j
ω
t
H(jω t) e
j
ω
t
正弦稳态响应
§ 2-4 奇异函数
一,定义：函数或其微、积分在某处不连续（间断）
例如,
)()2/(
2
tt ε
)(ttε
)(tε
)(tδ
)(tδ
′
1
(1) )(∞
t t t t t,..,
O O O O )(∞
求导
积分
东南大学移动通信国家重点实验室二、
)(tδ
的几种定义
1,工程定义
≠
=∞
=δ
.0,0;0,
)(
t
t
t
，且
∫
+∞
∞?
=1)( dttδ
2,狄拉克定义,
设
)(t
在 t=0 处连续，则 ∫
+∞
∞?
=δ? )0()()( dttt
（抽样、筛选性）
东南大学移动通信国家重点实验室
3,微积分性质：
∫
∞?
=
=
t
dt
dt
td
t
ττδε
ε
δ
)()
)(
)(
（或
4,极限定义（赋值定义） 若有
)0()()(lim
0
=?
∫
+∞
∞?
→
dttft
c
c
,
则
)()(lim
0
ttf
c
c
δ=
→
东南大学移动通信国家重点实验室如 （ 脉宽）
则
)(lim)(
0
tgt
→?
=δ
又如 则
)(lim)(
0
tkt
→?
=δ
)(tg
/1
t
2/ 2/?
)(tk
/1
t
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(tδ
的常用性质
1,抽样性：设 ∫
+∞
∞?
=?δ?=? )()()()(
000
tdttttttt 处连续，则在
或
)()()()(
000
tttttt?δ?=?δ?
2,偶函数性：
)()( tt δ=?δ
东南大学移动通信国家重点实验室
3,尺度变换：
)0(),(
1
)( ≠δ=δ at
a
at
而
)0(),(
1
)(
0
0
≠?δ=?δ a
a
t
t
a
tat
4．
)(tδ
′
冲激偶,
∵
)(lim)(
0
tgt
→?
=δ
∴
)(lim)(
0
tgt
→?
′
=δ
′
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-5 信号的时域分解
一,简例
例：门函数
)
2
()
2
()(
τ
ε?
τ
+ε=τ tttG
单边周期性锯齿波
[ ] [ ]L+?εε?+?ε?ε= )2()1()1()1()()( tttttttf
∑
∞
=
=
1
)()(
i
ittt εε
)(tf
1 …
t
0 1 2 3
)(tG
τ
1
t
2/τ? 2/τ
东南大学移动通信国家重点实验室二,信号分解成
)(tδ
的组合
设
)(tf
有始；
∑
=
→?
=
n
k
t
t
tktGtkftf
0
0
)()(lim)(
t
t
tktG
tkf
n
k
t
t
=
∑
=
→?
0
0
)(
)(lim
)(*)(
)()(
0
ttf
dtf
t
δ
ττδτ
记
=
=
∫
（卷积）
（即：分解成无穷多个出现在
),0( t∈τ
处，强度为
ττ df )(
的冲激的迭加）
)(tf
… … 记 )(tG
t?
,1
t t
0 … t =n t? t?
东南大学移动通信国家重点实验室
* 对一般信号 f(t),
)()()()()( ttfdtftf
t
δττδτ?=?=
∫
∞?
记
东南大学移动通信国家重点实验室三,信号分解为单位阶跃的组合
类似,
[ ]
[]
++
++
=
→?
L
L
)())1(()(
)()0()()()0(
lim)(
0
tkttkftkf
ttftftf
tf
t
ε
εε
∑
=
→?
ε
+ε=
n
k
t
ttkt
t
tkftkf
tf
1
0
)(
))1(()(
lim)()0(
＝
∫
′
+
t
dtftf
0
)()()()0( ττετε
（即,分解成无穷多个出现在
),0( t∈τ
处,幅度为
ττ
′
df )(
的阶跃的迭加）
)(tf ……
……
……
t
0 … t =n t?
东南大学移动通信国家重点实验室
* 对一般信号,
)()()()()( ttfdtftf
t
εττετ?
′
=?
′
=
∫
∞?
记
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-6 冲激响应和阶跃响应
一,定义
零状态
)( tδ
)( tε
)( th
)( tr
ε
东南大学移动通信国家重点实验室二、
)(th
与
)(tr
ε
的关系
∫
∞?
==
t
dhtr
dt
tdr
th ττ
ε
ε
)()(
)(
)( 或
例,若
0,)( ≥=
ε
tetr
t
写成
).()( tetr
t
ε
ε
=
则
)()()()()(
0
tteteteth
t
t
tt
δ+ε?=δ+ε?=
=
这样才能体现
0=t
处的冲激分量
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(th
的求法
1,拉氏反变换
1
( ) [ ( )],,( ) ( )
p s
ht L Hs Hs Hp
=
==其中
注意：一对共轭根要配方
2,
)(pH
分解法
例：
)()(
1
1
)(
1
1
)( teth
s
sH
p
pH
t
ε=?
+
=?
+
=
东南大学移动通信国家重点实验室
3,系数平衡法
4,将
)(tδ
的作用转化为
+
= 0t
时的初态，于是,
求
)(th
即转化为求相应初态作用下的零输入响应
)(tr
zi
5,状态方程法（将在第 9 章中介绍）
东南大学移动通信国家重点实验室例：求图示 RC 电路的冲激响应电流 )(ti 。
C
+
-
)(ti
R
)(tδ
解,1) 建模,
)()()
1
( teti
pC
R =+
即
)(
1
)()
1
()()()
1
( tpe
R
ti
RC
ptpeti
C
pR =+=+ 或
∴
)(
1
1
)( te
RC
p
p
R
ti
+
=
C
东南大学移动通信国家重点实验室
2) 求解,
法一：拉氏变换法
由
RC
s
CRR
RC
s
s
R
sH
1
111
1
1
)(
2
+
=
+
=
得
)(
1
)(
1
)(
2
te
CR
t
R
th
RC
t
εδ
=
东南大学移动通信国家重点实验室法二：
+
→δ 0
初态
0
1
),00(0 →=→=
+?
Cj
Xt
C
ω
因时瞬间
，即短路
∴
)(
R
1
)( tti δ=
,t=0
∴
RC
di
C
u
C
1
)(
1
)0(
0
0
==
∫
+
+
ττ
（ V）
∴
CRR
u
ccetit
C
t
RC
2
1
1)0(
,)(,0 －而常数时 =?==≥
+
+
∴
)(
1
)(
2
te
CR
ti
RC
t
ε
=
∴
)(
1
)(
1
)(
2
te
CR
t
R
ti
RC
t
εδ
=
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-7 叠加积分
零状态
)(tε
)( tδ
)(tr
ε
)(th
)( τδ?t )( τ?th
)()( τδτ?te )()( ττ?the
∫
∞?
t
dte ττδτ )()(
∫
∞?
t
dthe τττ )()(
)(*)( tte δ= )(*)( thte=
)(te=
)(tr
zs
=
即,
∫
∞?
==
t
zs
dthethtetr τττ )()()(*)()(
东南大学移动通信国家重点实验室说明,(参见 P53 图 2－ 20)
（ 1）
τ
：冲激分量（及其响应）出现的时刻；
（ 2）
t
：观察时刻，选定后是常数；
（ 3）
τ?t
：记忆时间。对稳定系统，
↓?↑ )( ττ tht；
（ 4） 对一般激励
+∞<<?∞ tthte ),()( 和
，（因为系统可能非因果，
t 后的激励对 t 及以前仍有贡献）则,
+∞<<∞=
∫
+∞
∞?
tdthetr
zs
,)()()( τττ
东南大学移动通信国家重点实验室积分限讨论如下,
a) 若
)(te
有始，则
∫
+∞
=
0
)()()( τττ dthetr
zs
b) 若
)(th
因果，则 ∫
∞?
=
t
zs
dthetr τττ )()()(
c) 若因果有始,)()( thte
，则
∫
=
t
zs
dthetr
0
)()()( τττ
东南大学移动通信国家重点实验室例 1,RC 电路,e(t)如图，求其零状态响应电流 i(t)。
C=2F
+
-
)(ti
)(te
=
2
1
R
5
X-Axis
Y-
Ax
i
s
1 2
3
4
0
1
2
3 4
K=1
K=1/2
t
e(t)
东南大学移动通信国家重点实验室解：由前例，
)(2)(2)(
1
)(
1
)(
2
tette
CR
t
R
th
t
RC
t
εδεδ
=?=
而
)2()1()]2()()[1
2
()(?+++= tttt
t
te εεε
)2()1
2
2
()()1
2
(?+
++= t
t
t
t
εε
)2()(
11
+= tete
设
)2()()(*)(
1111
+== tititiheti
zszszs
，则
东南大学移动通信国家重点实验室由
== )(*)()(
11
thteti
zs
)](2)(2[*)()1
2
( tett
t
t
εδε
+
∫
+?+=
t
t
dtett
0
)(
)](2)()1
2
[(2)()2( ττετε
τ
ε
τ
)(])1[()()2( tettt
t
εε
+?+=
)()1( te
t
ε
+=
∴
)2()1()()1()2()()(
)2(
11
+++=?+=
tetetititi
tt
zszs
εε
东南大学移动通信国家重点实验室例 2,
h(t)
st
e
求 r(t)=?
无时限
+ ∞<<∞? t
由
∫
∫
∞+
∞?
+∞
∞?
==
==
ττ
ττ
τ
τ
deheth
dthethetr
tsst
sst
)(
)(*)(
)()(*)(
+∞<<?∞==
∫
+∞
∞?
tesHdtethe
ststst
,)()(
其中,H(s)=￡ [h(t)]
参考,e
j
ω
t
H(jω t) e
j
ω
t
正弦稳态响应
