第二章 连续系统的时域分析
§
2-1
引言
时域：变量 t；
模型：常系数线性微分方程（组） 。
求解,
→
间接法，迭加积分。
等效源；初态直接求齐次方程；
:)(
)(
tr
tr
zs
zi
东南大学移动通信国家重点实验室例 1,RLC 串联电路,e(t)激励，求响应 i(t)。
R
L
C
i(t)
+
-
e(t)
解,
.
)(
)(
1)()(
),()(
1
2
2
dt
tde
ti
Cdt
tdi
R
dt
tid
L
tedtti
C
Ri
dt
di
L
t
=++
=++
∫
∞?
或
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 2-2 算子方程
一,算子定义
微分算子
dt
d
p
=
,
积分算子
∫
∞?
=
t
d
p
τ)(
1
"
。
注,利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为,
LL
ipLu=
CC
i
pC
u?
=
1
即可以将电感和电容记成阻值为
pL?
和
Cp?
1
的阻抗。
东南大学移动通信国家重点实验室二,算 子运算法则
1,算子多项式可进行代数运算；如（ p+1） (p+2)=p
2
+3p+2
2,关于相消
=?∞≠?
≡×
.0)(.1
1;1
1
fp
p
p
p
除非
3,由
).()(,)()()()(?∞∞=+==? gfCCtgtftgptfp
结论,（ 1）求
)(tr
zi
时，算子一般不能随意消去；
（ 2）求
)(tr
zs 时，若激励有始，且系统因果,则算子可以相互抵消。
东南大学移动通信国家重点实验室三,算 子方程举例
例 2：例 1 的电路可以变为
R
pL
1/(pC)
i(t)
+
-
e(t)
东南大学移动通信国家重点实验室则算子方程为
)()()
1
( teti
pC
RpL =++
或,
)(
1
)()
1
(
2
tpe
L
ti
LC
p
L
R
p =++
变换规律,
.
1;;;
pC
CpMMpLLRR
注意：与拉氏变换不同之处是，信号在这儿不用变换。
东南大学移动通信国家重点实验室例 3：一般系统，有
).()()()(
01
1
10
1
1
tebpbpbpbtrapap
m
m
m
m
n
n
n
++++=+++
" "
其中，
ji
ba,
是常系数,n 是系统阶数（表达式中最高次与最低次之差） 。
东南大学移动通信国家重点实验室简记为,
)()()()( tepNtrpD =
或,
)()()(
)(
)(
)( tepHte
pD
pN
tr
==
其中,)(pH,算子形式系统函数或转移算子；
)(pD,特 征多 项式,其 根为 特征 根（ 自由 频率,固 有频 率） 。
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 2-3 零输入响应
)(tr
zi
的求法
齐次方程
0)()( =trpD
的求解
一,直接求解齐次方程
1,一阶系统
).0()0().0()(,0)()(
==≥==? rrctcetrtrp
zi
t
zi
其中有
λ
λ
注,（ 1）
);0()0()0(
+?
==
zizizi
rrr
（ 2）
0)0( =
zs
r
（对有始输入，因果系统条件下）,
.0)0( ≠
+
zs
r
东南大学移动通信国家重点实验室
2,n 阶系统
.0)(
0
1
1
=+++=
apappD
n
n
n
"
由此，求出特征根
n
λλλ "
21
,
，则
∑
=
λ
≥=
n
i
t
izi
teCtr
i
1
0,)(
。
定解条件：
).0()0(),0(
)1(
′
n
rrr "
注意,要将一对共轭根分量
βαλ j±=
2,1
合并成
)()cos(2 tteC
t
εθβ
α
+
形式，其中
θj
eCC
±
=
2,1
。
东南大学移动通信国家重点实验室
3,有一个 k 重根
k
λ==λ=λ "
21,其余非重根。
则,
∑
+=
λ
λ?
≥+++++=
n
kj
t
j
tk
kzi
tecetctctcctr
j
1
12
321
0,)()(
1
"
定解条件：
).0()0(),0(
)1(
′
n
rrr "
东南大学移动通信国家重点实验室例：二阶串联谐振电路（ RLC）,求 响应电流 i(t)。
1H
1F
+
-
V10)0( =
C
u
2
i(t)
0)0( =
L
i
东南大学移动通信国家重点实验室解,1，建 模,
0)(
1
)(
)(
=ττ++
∫
∞?
di
C
tRi
dt
tdi
L
t
或 0)()
1
2( =++ ti
p
p,
即 0)()12(
2
=++ tipp 。
东南大学移动通信国家重点实验室东南大学移动通信国家重点实验室
2，求解,
∵,1
21
==λλ
∴ 0,)(r
21zi
≥+=
ttecect
tt
而
1
0)0()0( cii
L
===
,
又由微分 方程,0)0()0(2)0( =++
′
C
uii
∴ ),(10)0(
21
cci=?=
′
∴,10
2
=c
∴ 0,10)( ≥?=
ttetr
t
zi
，如图所示
3，解释,
电流没有振荡。原因：
C
L
R 2=,系统处于临界阻尼状态。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
→
y
轴
→
x轴东南大学移动通信国家重点实验室注,（1）
)(tr
zi 模式取决于特征根；
（ 2） 由 特 征 根 得 到 的 通 解
)(tr
zi 的模式不一定能确定系统的阶数。 （有可能定解时由于系数为零而未出现）
东南大学移动通信国家重点实验室二,初 态转 化为 等效源（ 图中 括号 中的 字体 为拉 氏变 换的 变量 ）
+
-
)(tu
)(ti
C
+
-
)0(
c
u
+
-
)(tu
)(ti
C
+
-
+
-
)
)0(
(
s
u
C
)
1
(
sC
+
-
)(tu
)(ti
C
+
-
)()0( tCu
c
δ
))0((
c
Cu
)
1
(
sC
u
c
(0
-
)ε (t)
东南大学移动通信国家重点实验室
+
-
)(tu
)(ti
L
)0(
L
i
+
-
)(tu
)( ti
L
)()0( ti
L
ε
)
)0(
(
s
i
L
)(sL
+
-
)(tu
)(ti
L
)()0( tLi
L
δ
))0((
L
Li
)(sL
-
+
+
—
东南大学移动通信国家重点实验室
§
2-1
引言
时域：变量 t；
模型：常系数线性微分方程（组） 。
求解,
→
间接法，迭加积分。
等效源；初态直接求齐次方程；
:)(
)(
tr
tr
zs
zi
东南大学移动通信国家重点实验室例 1,RLC 串联电路,e(t)激励，求响应 i(t)。
R
L
C
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+
-
e(t)
解,
.
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1)()(
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1
2
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ti
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R
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L
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C
Ri
dt
di
L
t
=++
=++
∫
∞?
或
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 2-2 算子方程
一,算子定义
微分算子
dt
d
p
=
,
积分算子
∫
∞?
=
t
d
p
τ)(
1
"
。
注,利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为,
LL
ipLu=
CC
i
pC
u?
=
1
即可以将电感和电容记成阻值为
pL?
和
Cp?
1
的阻抗。
东南大学移动通信国家重点实验室二,算 子运算法则
1,算子多项式可进行代数运算；如（ p+1） (p+2)=p
2
+3p+2
2,关于相消
=?∞≠?
≡×
.0)(.1
1;1
1
fp
p
p
p
除非
3,由
).()(,)()()()(?∞∞=+==? gfCCtgtftgptfp
结论,（ 1）求
)(tr
zi
时，算子一般不能随意消去；
（ 2）求
)(tr
zs 时，若激励有始，且系统因果,则算子可以相互抵消。
东南大学移动通信国家重点实验室三,算 子方程举例
例 2：例 1 的电路可以变为
R
pL
1/(pC)
i(t)
+
-
e(t)
东南大学移动通信国家重点实验室则算子方程为
)()()
1
( teti
pC
RpL =++
或,
)(
1
)()
1
(
2
tpe
L
ti
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L
R
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变换规律,
.
1;;;
pC
CpMMpLLRR
注意：与拉氏变换不同之处是，信号在这儿不用变换。
东南大学移动通信国家重点实验室例 3：一般系统，有
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01
1
10
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1
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m
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n
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++++=+++
" "
其中，
ji
ba,
是常系数,n 是系统阶数（表达式中最高次与最低次之差） 。
东南大学移动通信国家重点实验室简记为,
)()()()( tepNtrpD =
或,
)()()(
)(
)(
)( tepHte
pD
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==
其中,)(pH,算子形式系统函数或转移算子；
)(pD,特 征多 项式,其 根为 特征 根（ 自由 频率,固 有频 率） 。
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 2-3 零输入响应
)(tr
zi
的求法
齐次方程
0)()( =trpD
的求解
一,直接求解齐次方程
1,一阶系统
).0()0().0()(,0)()(
==≥==? rrctcetrtrp
zi
t
zi
其中有
λ
λ
注,（ 1）
);0()0()0(
+?
==
zizizi
rrr
（ 2）
0)0( =
zs
r
（对有始输入，因果系统条件下）,
.0)0( ≠
+
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东南大学移动通信国家重点实验室
2,n 阶系统
.0)(
0
1
1
=+++=
apappD
n
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"
由此，求出特征根
n
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21
,
，则
∑
=
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1
0,)(
。
定解条件：
).0()0(),0(
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′
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rrr "
注意,要将一对共轭根分量
βαλ j±=
2,1
合并成
)()cos(2 tteC
t
εθβ
α
+
形式，其中
θj
eCC
±
=
2,1
。
东南大学移动通信国家重点实验室
3,有一个 k 重根
k
λ==λ=λ "
21,其余非重根。
则,
∑
+=
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东南大学移动通信国家重点实验室例：二阶串联谐振电路（ RLC）,求 响应电流 i(t)。
1H
1F
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C
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或 0)()
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即 0)()12(
2
=++ tipp 。
东南大学移动通信国家重点实验室东南大学移动通信国家重点实验室
2，求解,
∵,1
21
==λλ
∴ 0,)(r
21zi
≥+=
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tt
而
1
0)0()0( cii
L
===
,
又由微分 方程,0)0()0(2)0( =++
′
C
uii
∴ ),(10)0(
21
cci=?=
′
∴,10
2
=c
∴ 0,10)( ≥?=
ttetr
t
zi
，如图所示
3，解释,
电流没有振荡。原因：
C
L
R 2=,系统处于临界阻尼状态。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
→
y
轴
→
x轴东南大学移动通信国家重点实验室注,（1）
)(tr
zi 模式取决于特征根；
（ 2） 由 特 征 根 得 到 的 通 解
)(tr
zi 的模式不一定能确定系统的阶数。 （有可能定解时由于系数为零而未出现）
东南大学移动通信国家重点实验室二,初 态转 化为 等效源（ 图中 括号 中的 字体 为拉 氏变 换的 变量 ）
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东南大学移动通信国家重点实验室
