东南大学移动通信国家重点实验室
Chapter 3 信号分析
§3-1 引言
信号特性,
1,时域上
波形
，子响应单元信号函数);()(),( thttf δ
2,频域上：频谱表示，即信号分解成正弦（虚指数）的组合?频谱分析。
本章重点：F.S.（傅里叶级数）?频谱；
F.T.（傅里叶变换）?频谱（密度函数），性质；
调幅波。
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§3-2 信号在正交函数集中的分解
设有一个函数集
)}(),(),({
10
tgtgtg
n
L
，在
),(
11
Ttt +
上正交，即满足,
≠
=≠==
∫
∫∫
+
+
+
0|)(|
.,1,0,,),0)()(,(0)()(
1
1
1
1
1
1
2
Tt
t
l
Tt
t
kl
Tt
t
kl
dttg
nlklkdttgtgdttgtg L或者对于复数
则信号
),()(
11
Ttttf +在上可分解为
)()()()()(
1100
ttgatgatgatf
nn?
ε++++= L
东南大学移动通信国家重点实验室方均误差
∫
+

ε=ε
Tt
t
dtt
T
1
1
)(
1
22
，为使其为最小，令
0
2
=
ε?
k
a
，得,
.10
|)(|
)()(
1
1
1
1
2
nk
dttg
dttgtf
a
Tt
t
k
Tt
t
k
k
L，，，==
∫
∫
+
+
称为“分量系数”
若
)}({,0)(,),(
2
tgtatf
kk
=?
ε取上式时信号称为正交完备集。
东南大学移动通信国家重点实验室注：1,函数集不一定非要正交，但是在正交集中分解；
a） 分量系数
k
a
可独立计算；
b） 平均功率=各分量平均功率之和?Parseval定理；
2,正交函数集有很多，如三角函数集，指数函数集，Walsh函数……
例如，三角函数集,
}
Ttntt
tntt
π2
,
sin,2sin,sin
cos,2cos,cos,1
=?


LL
LL
其中：Ω基波频率，T基波周期。
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§3-3 信号的傅立叶级数表示
一,三角形式
若信号
)(tf
满足Dirichlet条件（仅充分条件）,即,
1,在一周期内有有限个间断点；
2,在一周期内有有限个极值点；
3,在一周期内能量有限，即
∫
+
+∞<
Tt
t
dttf
1
1
2
)(
东南大学移动通信国家重点实验室则可以展成傅氏级数（F.S）,
T
tnbtna
a
tf
n
nn
π2
,)sincos(
2
)(
1
0
=+?+=
∑
∞
=
其中：
=?==
===
+
+
∫
∫
L
L
2,1,0,sin)(
2
2,1,0,cos)(
2
1
1
1
1
nbtdtntf
T
b
natdtntf
T
a
n
Tt
t
n
n
Tt
t
n
即设
00 =b
东南大学移动通信国家重点实验室或由
n
n
n
n
nnnn
a
b
tg
nAbaA
==?
==+=
1
22
2,1,0,L
=
=
nnn
nnn
Ab
Aa
sin
cos
∑
∞
=
+=?
1
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
A
tf
直流 + 各次谐波分量
东南大学移动通信国家重点实验室二,指数形式
由欧拉公式
2
cos
tjtj
c
cc
ee
t
ω?ω
+
=ω
则
∑
∞
=

++=
1
)()(
0
}{
22
)(
n
tnjtnj
n
nn
ee
AA
tf

∑∑
∞
=

∞
=
++=
1
)(
0
)(
1
222
n
tnj
n
tnj
n
n
nn
e
AA
e
A

∑∑
∞
=
+?
∞=
++=
1
)()0(
0
)(
1
222
0
n
tnj
n
tjtnj
n
n
nn
e
A
e
A
e
A

东南大学移动通信国家重点实验室再利用
,A
的奇偶特性
∑∑
∞
∞=
∞
∞=

==
n
tjn
n
n
jtjn
n
e
A
ee
A
n
22
其中,
L
&
2,1,0,)(
2
1
1
±±==
==
∫
+

ndtetf
T
jbaeAA
Tt
t
tjn
nn
j
nn
n
称作傅立叶复系数。
东南大学移动通信国家重点实验室注：（1）
0000
0
aAeAA
j
===

&；
（2）由
nnn
jbaA?=
&
得
n
n
AA
=
&&
共轭对称；
（3）指数形式是在虚指数函数集
},,1,,{
22
LL
tjtjtjtj
eeee

中的分解，它正交完备,
设：
n
n
tjn
n
cectf,)(
∑
∞
∞=
=
是分量系数。
则：
2
)(
1
)(
1
1
1
1
1
1
2
n
Tt
t
tjn
Tt
t
tjn
Tt
t
tjn
n
A
dtetf
T
dte
dtetf
c
&
===
∫
∫
∫
+

+
+
；
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（4）指数形式F.S.中负频率是数学处理的结果?一对正负频率的虚指数分量构成实际的正弦分量,
)cos(
22
nn
tjn
n
tjn
n
tnAe
A
e
A
=+

&&
东南大学移动通信国家重点实验室三,信号波形与傅立叶系数的关系
例：将下图方波展成傅里叶级数。
东南大学移动通信国家重点实验室解：∫∫∫
=?=
T
T
TT
n
tdtn
T
tdtn
T
tdtntf
T
a
2/
2/
00
cos
2
cos
2
cos)(
2
L2,1,0.,0]|sin|[sin
2
]coscos[
2
2
0
2
0
=≡θ?θ
=θθ?θθ
=
π
π
π
π
π
π
∫∫
n
Tn
dd
Tn
n
n
n
n
n
n
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同理,
bn
]|cos|cos[
1
]sinsin[
1
2
0
2
0
π
π
π
π
π
π
θ+θ?
π
=θθ?θθ
π
=
∫∫
n
n
n
n
n
n
n
dd
n
==
为偶数为奇数
n
nn
n
n
,0
,/4
])1(1[
2
π
π
∴
Tttk
k
tttf
k
≤≤?+
+
=+?+?=
∑
∞
=
0,)12sin(
)12(
4
3sin
3
4
sin
4
)(
0
πππ
L
东南大学移动通信国家重点实验室结论,（以下结论有一般性）
（1）收敛性：
↓↑?
nn
ban,
（不一定单调衰减，但总体趋势是衰减）；
（2）由叠加过程：参见教材P124
i） 叠加的项数
)(tf↑?
间断点处误差仍然较大——Gibbs现象；
ii） 信号变化快的部分——高频分量；
信号变化慢的部分——低频分量；
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（3）若f（t）为偶函数，则级数中只有
n
a
项，
0=
n
b；
若f（t）为奇函数，则级数中只有
n
b
项，
0=
n
a；
（4）若f（t）偶半波对称（偶谐），
)()
2
( tf
T
tf =±
，则f（t）
只有偶次谐波项。
（注,实际周期为T/2，则
T
π
=?=?
′
2
22
）
f（t）奇半波对称?f（t）奇谐，
)()
2
( tf
T
tf?=±；
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（5）对一般信号，f（t）总可以分解
)()()( tftftf
eo
+=
，其中：
)]()([
2
1
)( tftftf
o
=
（奇分量）
)]()([
2
1
)( tftftf
e
+=
（偶分量）；
（6）若
nn
AttfAtf
′
→?→
&&
)(,)(
0
，则
0
tjn
nn
eAA

=
′
&&
cf,f(t-t
0
) F(s)e
-st
0