东南大学移动通信国家重点实验室
Chapter 3 信号分析
§3-4 周期信号的频谱
由三角形式
∑
∞
=
+=
1
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
A
tf?
n
n
A
相位谱幅度谱
~
L1,0,=? nn
（半边谱）
或由指数形式
∑
∞
∞=
=
n
tjn
n
e
A
tf
2
)(
n
n
A
相位谱幅度谱2/
L2,1,0,~ ±±=? nn
（双边谱）
东南大学移动通信国家重点实验室
1,周期信号频谱的例子
∵ f（t）为偶函数
∴
nn
aA =
&
实函数，为
)
2
(
2
2
sin
4
cos
2
2/
2/
τ?τ
=
τ?
=?=
∫
τ
τ?
n
Sa
T
An
Tn
A
tdtnA
T
A
n
&
东南大学移动通信国家重点实验室
其中，
x
x
xSa
sin
)(
=
，称为抽样（Sample）函数，如图所示：
故,
东南大学移动通信国家重点实验室
)
2
(
2 τ?τ
=
n
Sa
T
A
A
&
在
L2,1,
2
±±=
τ
π
=? k
k
n
处为过零点。
设
τ= 4T
则f(t)的幅度谱与相位谱分别如下,
（图示于黑板上）
注：由于
nn
aA =
&
为实函数，两谱可合一。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,周期信号频谱的特点
（1） 离散性：离散频率 （时域中周期→频域中离散）；
（2） 谐波性：只在谐波频率
n
上；
（3） 收敛性：n取足够大，其余高频分量可以忽略。
3,有效频宽（占有频宽）B
（1）
n
A最大值的1/10为限；(对单调递减型频谱)
（2）第一个过零点，如本例中
τ
π
=
2
B
*
=τB
常数
（3）总功率90%为限。（可由后述Parseval定理求）
东南大学移动通信国家重点实验室
4,波形变化时频谱的变化
（1）
T
不变，
τ
改变：
谱线间隔
不变，过零点
τ
π
=ω
2
0
变,
①
↓ω↑?τ
0
，有效频宽内谱线数
↓
==→
τ
π
ωτ
2
,
0
T
，只剩下
0
A
项；即只有直流
0
A
/2
②
↑ω↓?τ
0
，谱线数
↑
。特别是：
∞→ω→τ
0
,0；
东南大学移动通信国家重点实验室
（2）
τ
不变，
T
改变
0
ω
不变，
变
①
直流频带内谱线数
==?→?
↓↑?↓→
τ
π
ωτ
2
有效
0
T
T
②
无穷小量特别是→→?∞→?
↓?↑→
n
AdT
T
&
,,ω
但各分量有相对大小且,
→)(tf
非周期
东南大学移动通信国家重点实验室
§3-5 非周期信号的频谱：傅立叶变换
一,傅立叶正、反变换
由
∑
∞
∞=
=?=
n
tjn
n
T
Te
A
tf /2,
2
)( π
&
))(lim)((
)(
2
2/
2/
无穷小量时取→=
=
∞→
∫
nT
T
T
T
tjn
n
Atftf
dtetf
T
A
&
&
为使
n
A
&
不为无穷小量，则定义反映各分量相对大小的量
T
jnF
n
A
/2
)(
&
=?
东南大学移动通信国家重点实验室令
)(lim)(?=
→?
→?
∞→
jnFjF
n
d
T
ω
ω
ω
，称为非周期信号的频谱密度函数,
简称频谱。
∴
∫∫
∞
∞?
→?
→?
∞→
== dtetfdtetfjF
tj
T
T
tjn
n
d
T
ω
ω
ω
ω )()(lim)(
2/
2/
东南大学移动通信国家重点实验室又由,
∑
∑
∞
∞=
∞→
∞
∞=
∞→∞→
=
==
n
tjn
T
n
tjn
n
T
T
T
e
T
jnF
e
A
tftf
)(
lim
2
lim)(lim)(
&
∫
∑
∞
∞?
∞
∞=
→?
→?
∞→
=
=
=
ωω
π
π
ω
ω
ω
π
dejF
ejnF
tj
n
tjn
n
d
T
T
)(
2
1
)(lim
2
1
2
代入
东南大学移动通信国家重点实验室小结,
)()( ω? jFtf
其中，
==ω
∫
∞
∞?
ω?
dtetfjF
tj
)()(
F[f（t）]傅立叶正变换；
)]([)(
2
1
)(
1
ωωω
π
ω
jFFdejFtf
tj?
∞
∞?
==
∫
记傅立叶反变换。
一般,
)(
|)(|)(
ω?
ωω
j
ejFjF
=
为复数
称
|)(| ωjF
~ ω 幅谱
ωω? ~)(
相谱
东南大学移动通信国家重点实验室二,关于频谱密度函数
)( ωjF
1,密度函数的概念
ω
ωππ
ω
ω
ω
d
AA
T
A
jnFjF
nn
n
d
T
n
TT
)(
lim
/2
lim)(lim)(
&&
&
=
=
=?=
→?
→?
∞→
∞→∞→
（分布函数?密度）
东南大学移动通信国家重点实验室
2,频谱密度函数的特点
例1：求矩形脉冲
)()( ωjFtf的
。（单个脉冲）
解：法一：
)
2
(
2 τ?τ
=
n
Sa
T
A
A
n
&
∴
)
2
(
/2
lim)(
ωτ
τ==ω
∞→
SaA
T
A
jF
n
T
&
，实偶
法二：直接用公式
)
2
()()(
ωτ
τ==ω
∫
+∞
∞?
ω?
SaAdtetfjF
tj
东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室讨论：（1）时域非周期 → 频域连续谱；
（ 时域周期 → 频域离散谱；）
（2）收敛性（∵能量有限才存在傅里叶变换）
同样可定义有效带宽,
三种定义，参见前周期信号频谱中带宽的定义；
a) 最大幅度的1/10为限；
b) 第一个过零点；
c) 总能量的90%为限。
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）包络一致性：
n
AjF
&
与)( ω
包络一致，∵两者可互换
ω=?
=ω
n
n
T
A
jF |
/2
)(
&
=ω
ω=
nn
jF
T
A |)(
2
&
（4）共轭对称性：
)()(
*
ω?=ω jFjF
,
即
通常只画半边奇对称偶对称
∴
ωω?
ωω
~)(
|~)(| jF
东南大学移动通信国家重点实验室
（5）
)(tf
实偶
)( ω? jF
实偶；
)(tf
实奇
)( ω? jF
虚奇；
（6）延时特性,
若
)(tf
)(
)()(
ω
ωω
Φ?
=?
j
ejFjF
,
则
)(
0
ttf?
[ ]
00
)(
)()(
tjtj
ejFejF
ωωω
ωω
+Φ
=?
即信号f(t)时域延时不改变幅频，只是相频增加一个线性因子。
东南大学移动通信国家重点实验室例2：单边指数
)0()()( >=
αε
α
tetf
t
由
α
ω
ωαωα
ωα
ωα
εω
1
22
0
)(
11
)()(
+∞
+?
+∞
∞?
+
=
+
=
==
∫∫
jtg
tjtjt
e
j
dtedtetejF
ω
东南大学移动通信国家重点实验室
例3：三角脉冲
)(tf
的
)( ωjF
。
)]()(][
||
1[)( τ?ε?τ+ε
τ
= tt
t
Atf
东南大学移动通信国家重点实验室由定义,
)
2
()(
2
ωτ
τ=ω SaAjF
正实偶,
无相频谱线（全为零）。
注,对满足Dirichlet条件的能量信号，其傅里叶变换都可以用公式求出? 称为“经典F.T.”? 此时：ω=
=ω
js
sFjF |)()(
Chapter 3 信号分析
§3-4 周期信号的频谱
由三角形式
∑
∞
=
+=
1
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
A
tf?
n
n
A
相位谱幅度谱
~
L1,0,=? nn
（半边谱）
或由指数形式
∑
∞
∞=
=
n
tjn
n
e
A
tf
2
)(
n
n
A
相位谱幅度谱2/
L2,1,0,~ ±±=? nn
（双边谱）
东南大学移动通信国家重点实验室
1,周期信号频谱的例子
∵ f（t）为偶函数
∴
nn
aA =
&
实函数，为
)
2
(
2
2
sin
4
cos
2
2/
2/
τ?τ
=
τ?
=?=
∫
τ
τ?
n
Sa
T
An
Tn
A
tdtnA
T
A
n
&
东南大学移动通信国家重点实验室
其中，
x
x
xSa
sin
)(
=
，称为抽样（Sample）函数，如图所示：
故,
东南大学移动通信国家重点实验室
)
2
(
2 τ?τ
=
n
Sa
T
A
A
&
在
L2,1,
2
±±=
τ
π
=? k
k
n
处为过零点。
设
τ= 4T
则f(t)的幅度谱与相位谱分别如下,
（图示于黑板上）
注：由于
nn
aA =
&
为实函数，两谱可合一。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,周期信号频谱的特点
（1） 离散性：离散频率 （时域中周期→频域中离散）；
（2） 谐波性：只在谐波频率
n
上；
（3） 收敛性：n取足够大，其余高频分量可以忽略。
3,有效频宽（占有频宽）B
（1）
n
A最大值的1/10为限；(对单调递减型频谱)
（2）第一个过零点，如本例中
τ
π
=
2
B
*
=τB
常数
（3）总功率90%为限。（可由后述Parseval定理求）
东南大学移动通信国家重点实验室
4,波形变化时频谱的变化
（1）
T
不变，
τ
改变：
谱线间隔
不变，过零点
τ
π
=ω
2
0
变,
①
↓ω↑?τ
0
，有效频宽内谱线数
↓
==→
τ
π
ωτ
2
,
0
T
，只剩下
0
A
项；即只有直流
0
A
/2
②
↑ω↓?τ
0
，谱线数
↑
。特别是：
∞→ω→τ
0
,0；
东南大学移动通信国家重点实验室
（2）
τ
不变，
T
改变
0
ω
不变，
变
①
直流频带内谱线数
==?→?
↓↑?↓→
τ
π
ωτ
2
有效
0
T
T
②
无穷小量特别是→→?∞→?
↓?↑→
n
AdT
T
&
,,ω
但各分量有相对大小且,
→)(tf
非周期
东南大学移动通信国家重点实验室
§3-5 非周期信号的频谱：傅立叶变换
一,傅立叶正、反变换
由
∑
∞
∞=
=?=
n
tjn
n
T
Te
A
tf /2,
2
)( π
&
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)(
2
2/
2/
无穷小量时取→=
=
∞→
∫
nT
T
T
T
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n
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A
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不为无穷小量，则定义反映各分量相对大小的量
T
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n
A
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东南大学移动通信国家重点实验室令
)(lim)(?=
→?
→?
∞→
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n
d
T
ω
ω
ω
，称为非周期信号的频谱密度函数,
简称频谱。
∴
∫∫
∞
∞?
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∞→
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tj
T
T
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n
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T
ω
ω
ω
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2/
2/
东南大学移动通信国家重点实验室又由,
∑
∑
∞
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∞→
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∞=
∞→∞→
=
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n
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n
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&
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∑
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∞=
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π
π
ω
ω
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2
1
)(lim
2
1
2
代入
东南大学移动通信国家重点实验室小结,
)()( ω? jFtf
其中，
==ω
∫
∞
∞?
ω?
dtetfjF
tj
)()(
F[f（t）]傅立叶正变换；
)]([)(
2
1
)(
1
ωωω
π
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tj?
∞
∞?
==
∫
记傅立叶反变换。
一般,
)(
|)(|)(
ω?
ωω
j
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=
为复数
称
|)(| ωjF
~ ω 幅谱
ωω? ~)(
相谱
东南大学移动通信国家重点实验室二,关于频谱密度函数
)( ωjF
1,密度函数的概念
ω
ωππ
ω
ω
ω
d
AA
T
A
jnFjF
nn
n
d
T
n
TT
)(
lim
/2
lim)(lim)(
&&
&
=
=
=?=
→?
→?
∞→
∞→∞→
（分布函数?密度）
东南大学移动通信国家重点实验室
2,频谱密度函数的特点
例1：求矩形脉冲
)()( ωjFtf的
。（单个脉冲）
解：法一：
)
2
(
2 τ?τ
=
n
Sa
T
A
A
n
&
∴
)
2
(
/2
lim)(
ωτ
τ==ω
∞→
SaA
T
A
jF
n
T
&
，实偶
法二：直接用公式
)
2
()()(
ωτ
τ==ω
∫
+∞
∞?
ω?
SaAdtetfjF
tj
东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室讨论：（1）时域非周期 → 频域连续谱；
（ 时域周期 → 频域离散谱；）
（2）收敛性（∵能量有限才存在傅里叶变换）
同样可定义有效带宽,
三种定义，参见前周期信号频谱中带宽的定义；
a) 最大幅度的1/10为限；
b) 第一个过零点；
c) 总能量的90%为限。
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）包络一致性：
n
AjF
&
与)( ω
包络一致，∵两者可互换
ω=?
=ω
n
n
T
A
jF |
/2
)(
&
=ω
ω=
nn
jF
T
A |)(
2
&
（4）共轭对称性：
)()(
*
ω?=ω jFjF
,
即
通常只画半边奇对称偶对称
∴
ωω?
ωω
~)(
|~)(| jF
东南大学移动通信国家重点实验室
（5）
)(tf
实偶
)( ω? jF
实偶；
)(tf
实奇
)( ω? jF
虚奇；
（6）延时特性,
若
)(tf
)(
)()(
ω
ωω
Φ?
=?
j
ejFjF
,
则
)(
0
ttf?
[ ]
00
)(
)()(
tjtj
ejFejF
ωωω
ωω
+Φ
=?
即信号f(t)时域延时不改变幅频，只是相频增加一个线性因子。
东南大学移动通信国家重点实验室例2：单边指数
)0()()( >=
αε
α
tetf
t
由
α
ω
ωαωα
ωα
ωα
εω
1
22
0
)(
11
)()(
+∞
+?
+∞
∞?
+
=
+
=
==
∫∫
jtg
tjtjt
e
j
dtedtetejF
ω
东南大学移动通信国家重点实验室
例3：三角脉冲
)(tf
的
)( ωjF
。
)]()(][
||
1[)( τ?ε?τ+ε
τ
= tt
t
Atf
东南大学移动通信国家重点实验室由定义,
)
2
()(
2
ωτ
τ=ω SaAjF
正实偶,
无相频谱线（全为零）。
注,对满足Dirichlet条件的能量信号，其傅里叶变换都可以用公式求出? 称为“经典F.T.”? 此时：ω=
=ω
js
sFjF |)()(
