东南大学移动通信国家重点实验室第二章 连续系统的时域分析
§2-8 卷积及其性质
一,定义
两个函数
+∞<<∞? ttftf ),(),(
21
则
∫
+∞
∞?
= τττ dtfftftf )()()(*)(
2121
即 求两函数
)(
1
τf
和
)(
2
τ?tf
在公共非零区间上乘积函数
)()(
21
ττ?tff
的代数净面积。
东南大学移动通信国家重点实验室二,卷积图解
例1：求图示两信号
)(),(
21
tftf
的卷积
)(*)()(
21
tftfty =
X-Axis X-Axis
Y-A
x
i
s
Y-A
x
i
s11
00
tt
1
t
2
t
)(
1
tf )()(
2
tetf
t
ε
=
X-Axis
Y-Axi
s
0
1
)(
2
τ?tf
Y-Axi
s
0
1
)()(
21
ττ?tff
X-Axis
1
t
2
t
t
τ
τ
东南大学移动通信国家重点实验室由
∫
+∞
∞?
= τττ dtffty )()()(
21
讨论如下,
（1）
0)(,
1
=<<∞? tytt
（2）
)()(
21
1
1
11)(,
tt
t
t
t
edetyttt
=?=<≤
∫
τ
τ
（3）
)()()(
2
12
2
1
)1()(,
tttt
t
t
t
eedetytt
=?=∞<≤
∫
τ
τ
（4）
0)(,→∞→ tyt
东南大学移动通信国家重点实验室由上知,
图解步骤：选t，（1）
2
f
反褶；（2）
2
f
平移
t；（3）在公共部分相乘；（4）积分
tty改变求 )(
本例的另一种写法,
)(][)]()(][1[)(
2
)()(
21
)(
121
tteettttety
tttttt
+=
εεε
)(][1[)(]1[
2
)(
1
)(
21
ttette
tttt
=
εε
东南大学移动通信国家重点实验室三、卷积的性质
1,代数运算性质
（1） 交换律：
)(*)()(*)(
1221
tftftftf =
系统串联与子系统次序无关；
（2） 分配律：
)(*)()(*)(
))()((*)(
3121
321
tftftftf
tftftf
+=
+
系统并联等效；
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
th
)(
2
th
)(te
)(*)(
1
thte
)(*)(
2
thte
)(tr
))((
1
sH
))((
2
sH
))(( sE
))(( sR
东南大学移动通信国家重点实验室由
)]()([)(
)()()()()(
21
21
ththte
thtethtetr
+?=
+?=
得等效图,
)()()(
21
ththth +=
)(te
)(tr
))()((
21
sHsH +
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）结合律：321321
*)*()*(* ffffff =
系统串联等效；
)(
1
th
)(
2
th
)( te
)(*)(
1
thte
)*(*
*)*(
21
21
hhe
hher
=
=
))((
1
sH
))((
2
sH
))(( sE
))(( sR
相当于,
)(*)()(
21
ththth =
)( te )( tr
))()((
21
sHsH?
注：回顾（1）结论 （∵
1221
** hhhh =
∴
21
,hh
的顺序无关紧要）。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,微积分性质
（1） 微分：
dt
df
ff
dt
df
ff
dt
d
2
12
1
21
**]*[ ==
（2） 积分,
])([*)(
)(*])([)(*)(
21
2121
∫
∫∫
∞?
∞?∞?
=
=
t
tt
dxxftf
tfdxxfdxxfxf
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）微积分综合,
dt
df
dxxfdxxf
dt
df
tftf
tt
2
12
1
21
*)()(*)(*)(
∫∫
∞?∞?
==
恒等的条件,
0)(
1
=?∞f
0)(
2
=?∞f
东南大学移动通信国家重点实验室
3,延时性
若
)()(*)(
21
trtftf =
则
)()(*)(
212211
tttrttfttf=
4．与
)(tδ
的卷积
（1）
)()(*)( tfttf =δ
（2）
)()(*)(
00
ttftttf?=?δ
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）
))((*)()(*)(
)()(
ttfttf
nn
δδ =
（4）
dxxfdxxtf
n
t
n
t
)()()()(*)(
∫∫
∞?∞?
=δ
如：①
∫
∞?
=
t
dxxfttf )()(*)( ε
②
)()(*)( tttt εεε =
东南大学移动通信国家重点实验室
5,有限区间上信号的卷积
若
)(
1
tf
：
),(
21
ttt∈；
)(
2
tf
：
),(
43
ttt∈
则,
),(,*)(
423121
tttttffty ++∈=
6,卷积定理,
][*
2121
FFff?=
1-
L
东南大学移动通信国家重点实验室例2：用交换律重新求前面的例1。
Y-
A
x
i
s
0
1
)()(
21
tftf?
X-Axis
1
t?
2
t?
1
tt?
2
tt?
τ
)(
1
τ?f
)(
2
τf
f
1
(t-τ)
东南大学移动通信国家重点实验室讨论,
（1）
0)(,
1
=<<∞? tytt
（2）
)1(
0
21
11)(,
1
tt
tt
edetyttt
=?=<≤
∫
τ
τ
（3）
)1()2(
2
1
2
1)(,
tttt
tt
tt
eedetytt
=?=∞<≤
∫
τ
τ
（4）
0)(,→∞→ tyt
观察时间与前例相同，积分限及表达式均有变化，但结果相同。
东南大学移动通信国家重点实验室例3：用延时性和分配律再求前例。
X-Axis
X-Axis
Y-
A
x
i
s
Y-
A
x
i
s
1
1
0
0
t
t
1
t
2
t
)()()(
211
tttttf= εε
)()(
2
tetf
t
ε
=
东南大学移动通信国家重点实验室而
)(][1[)(]1[
)]()([*)()(*)(
2
)(
1
)(
2112
21
ttette
tttttetftf
tttt
t
=
=
εε
εεε
其中,
)()1()(*)(
)
tette
tt
εεε
=
东南大学移动通信国家重点实验室例4：求下图两矩形脉冲的卷积(设τ
1
>τ
2
)。
X-Axis
X-Axis
Y-
Ax
i
s
Y-
A
x
i
s
0
t
t
1
t
2
t
)(
1
tf
A
B
)(
2
tf
3
t
4
t
1
τ 2
τ
0
东南大学移动通信国家重点实验室
Y-
A
x
i
s
0
)()(
21
tftfy?=
t
X-Axis
2
τ
31
tt +
42
tt +
2
τ
AB
斜率k=AB斜率k=-AB
21
ττ?
结论：两个门函数相卷,
（1）梯形波，其上、下限符合前述讨论（见三--5）；
（2）当
21
ττ =
时，梯形波变为三角波。
东南大学移动通信国家重点实验室
另法：微积分法,
X-Axis
Y-
Axi
s
0
0
t
t
1
t
2
t
)(
1
tf
′
(A)
∫
∞?
t
dxxf )(
2
3
t
4
t
(A)
2
τB
Y-
A
x
i
s
0
)()(
21
tftfy?=
t
X-Axis
东南大学移动通信国家重点实验室说明：（1）当出现冲激分量时，写成两者迭加形式，分别参与卷积运算（及时分离冲激分量）；
（2）看清积分区间，如,
Y-
A
x
i
s
0
X-Axis
τ
f
2
(t-τ)
f
1
(τ)
（3）对无法用表达式写出的信号，先用折线近似，再用微积分性质；
（4）可以借助卷积表。
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-9 线性时不变系统响应的求解
对系统
)()()()( tepNtrpD =
或
)(
)(
)(
)()()( te
pD
pN
tepHtr ==
1．
)(tr
zi
：由特征根
0,)( ≥=?
∑
tectr
t
izii
i
λ
λ
2．
)(*)()( thtetr
zs
=
（1）
)]([)( sHth
-1
L=
（建议用此法），模式同
)(tr
zi；
(2) 卷积：多种方法 （如：图解、性质、查表等）。
东南大学移动通信国家重点实验室例：求下图响应
)(tu
，
)()1()(
3
tete
t
ε
=
。
C=1F
+
-
)(tu
)(te
+
-
= 1R
Vu 1)0( =
+
-
东南大学移动通信国家重点实验室解,由方程,
)()()1( tetupRC =+
得,
p
pH
tetup
+
=?
=+
1
1
)(
)()()1(
（1）
)()()(,1 tetcetu
tt
zi
εελ
==?=
（2）
)()( teth
t
ε
=
（3）
)(]
2
1
2
1
1[*)(
3
teehetu
tt
zs
ε
==
东南大学移动通信国家重点实验室
)()()(
)1(
tututu
zsziC
+=?
+?=
)(]
2
1
[ tee
tt
ε )(]
2
1
1[
3
te
t
ε
)2(
=
自由响应 + 受迫响应
)()()(
2
1
3
ttee
tt
εε +?=
)3(
=
瞬态响应 + 稳态响应
东南大学移动通信国家重点实验室小结,
零输入响应
∑
→)(tec
t
i
i
ε
λ
自由响应
→?
稳定系统
瞬态；
全响应
零状态响应
→= her
zs
*
受迫响应 稳态
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter2~
§2-8 卷积及其性质
一,定义
两个函数
+∞<<∞? ttftf ),(),(
21
则
∫
+∞
∞?
= τττ dtfftftf )()()(*)(
2121
即 求两函数
)(
1
τf
和
)(
2
τ?tf
在公共非零区间上乘积函数
)()(
21
ττ?tff
的代数净面积。
东南大学移动通信国家重点实验室二,卷积图解
例1：求图示两信号
)(),(
21
tftf
的卷积
)(*)()(
21
tftfty =
X-Axis X-Axis
Y-A
x
i
s
Y-A
x
i
s11
00
tt
1
t
2
t
)(
1
tf )()(
2
tetf
t
ε
=
X-Axis
Y-Axi
s
0
1
)(
2
τ?tf
Y-Axi
s
0
1
)()(
21
ττ?tff
X-Axis
1
t
2
t
t
τ
τ
东南大学移动通信国家重点实验室由
∫
+∞
∞?
= τττ dtffty )()()(
21
讨论如下,
（1）
0)(,
1
=<<∞? tytt
（2）
)()(
21
1
1
11)(,
tt
t
t
t
edetyttt
=?=<≤
∫
τ
τ
（3）
)()()(
2
12
2
1
)1()(,
tttt
t
t
t
eedetytt
=?=∞<≤
∫
τ
τ
（4）
0)(,→∞→ tyt
东南大学移动通信国家重点实验室由上知,
图解步骤：选t，（1）
2
f
反褶；（2）
2
f
平移
t；（3）在公共部分相乘；（4）积分
tty改变求 )(
本例的另一种写法,
)(][)]()(][1[)(
2
)()(
21
)(
121
tteettttety
tttttt
+=
εεε
)(][1[)(]1[
2
)(
1
)(
21
ttette
tttt
=
εε
东南大学移动通信国家重点实验室三、卷积的性质
1,代数运算性质
（1） 交换律：
)(*)()(*)(
1221
tftftftf =
系统串联与子系统次序无关；
（2） 分配律：
)(*)()(*)(
))()((*)(
3121
321
tftftftf
tftftf
+=
+
系统并联等效；
东南大学移动通信国家重点实验室
)(
1
th
)(
2
th
)(te
)(*)(
1
thte
)(*)(
2
thte
)(tr
))((
1
sH
))((
2
sH
))(( sE
))(( sR
东南大学移动通信国家重点实验室由
)]()([)(
)()()()()(
21
21
ththte
thtethtetr
+?=
+?=
得等效图,
)()()(
21
ththth +=
)(te
)(tr
))()((
21
sHsH +
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）结合律：321321
*)*()*(* ffffff =
系统串联等效；
)(
1
th
)(
2
th
)( te
)(*)(
1
thte
)*(*
*)*(
21
21
hhe
hher
=
=
))((
1
sH
))((
2
sH
))(( sE
))(( sR
相当于,
)(*)()(
21
ththth =
)( te )( tr
))()((
21
sHsH?
注：回顾（1）结论 （∵
1221
** hhhh =
∴
21
,hh
的顺序无关紧要）。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,微积分性质
（1） 微分：
dt
df
ff
dt
df
ff
dt
d
2
12
1
21
**]*[ ==
（2） 积分,
])([*)(
)(*])([)(*)(
21
2121
∫
∫∫
∞?
∞?∞?
=
=
t
tt
dxxftf
tfdxxfdxxfxf
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）微积分综合,
dt
df
dxxfdxxf
dt
df
tftf
tt
2
12
1
21
*)()(*)(*)(
∫∫
∞?∞?
==
恒等的条件,
0)(
1
=?∞f
0)(
2
=?∞f
东南大学移动通信国家重点实验室
3,延时性
若
)()(*)(
21
trtftf =
则
)()(*)(
212211
tttrttfttf=
4．与
)(tδ
的卷积
（1）
)()(*)( tfttf =δ
（2）
)()(*)(
00
ttftttf?=?δ
东南大学移动通信国家重点实验室
（3）
))((*)()(*)(
)()(
ttfttf
nn
δδ =
（4）
dxxfdxxtf
n
t
n
t
)()()()(*)(
∫∫
∞?∞?
=δ
如：①
∫
∞?
=
t
dxxfttf )()(*)( ε
②
)()(*)( tttt εεε =
东南大学移动通信国家重点实验室
5,有限区间上信号的卷积
若
)(
1
tf
：
),(
21
ttt∈；
)(
2
tf
：
),(
43
ttt∈
则,
),(,*)(
423121
tttttffty ++∈=
6,卷积定理,
][*
2121
FFff?=
1-
L
东南大学移动通信国家重点实验室例2：用交换律重新求前面的例1。
Y-
A
x
i
s
0
1
)()(
21
tftf?
X-Axis
1
t?
2
t?
1
tt?
2
tt?
τ
)(
1
τ?f
)(
2
τf
f
1
(t-τ)
东南大学移动通信国家重点实验室讨论,
（1）
0)(,
1
=<<∞? tytt
（2）
)1(
0
21
11)(,
1
tt
tt
edetyttt
=?=<≤
∫
τ
τ
（3）
)1()2(
2
1
2
1)(,
tttt
tt
tt
eedetytt
=?=∞<≤
∫
τ
τ
（4）
0)(,→∞→ tyt
观察时间与前例相同，积分限及表达式均有变化，但结果相同。
东南大学移动通信国家重点实验室例3：用延时性和分配律再求前例。
X-Axis
X-Axis
Y-
A
x
i
s
Y-
A
x
i
s
1
1
0
0
t
t
1
t
2
t
)()()(
211
tttttf= εε
)()(
2
tetf
t
ε
=
东南大学移动通信国家重点实验室而
)(][1[)(]1[
)]()([*)()(*)(
2
)(
1
)(
2112
21
ttette
tttttetftf
tttt
t
=
=
εε
εεε
其中,
)()1()(*)(
)
tette
tt
εεε
=
东南大学移动通信国家重点实验室例4：求下图两矩形脉冲的卷积(设τ
1
>τ
2
)。
X-Axis
X-Axis
Y-
Ax
i
s
Y-
A
x
i
s
0
t
t
1
t
2
t
)(
1
tf
A
B
)(
2
tf
3
t
4
t
1
τ 2
τ
0
东南大学移动通信国家重点实验室
Y-
A
x
i
s
0
)()(
21
tftfy?=
t
X-Axis
2
τ
31
tt +
42
tt +
2
τ
AB
斜率k=AB斜率k=-AB
21
ττ?
结论：两个门函数相卷,
（1）梯形波，其上、下限符合前述讨论（见三--5）；
（2）当
21
ττ =
时，梯形波变为三角波。
东南大学移动通信国家重点实验室
另法：微积分法,
X-Axis
Y-
Axi
s
0
0
t
t
1
t
2
t
)(
1
tf
′
(A)
∫
∞?
t
dxxf )(
2
3
t
4
t
(A)
2
τB
Y-
A
x
i
s
0
)()(
21
tftfy?=
t
X-Axis
东南大学移动通信国家重点实验室说明：（1）当出现冲激分量时，写成两者迭加形式，分别参与卷积运算（及时分离冲激分量）；
（2）看清积分区间，如,
Y-
A
x
i
s
0
X-Axis
τ
f
2
(t-τ)
f
1
(τ)
（3）对无法用表达式写出的信号，先用折线近似，再用微积分性质；
（4）可以借助卷积表。
东南大学移动通信国家重点实验室
§2-9 线性时不变系统响应的求解
对系统
)()()()( tepNtrpD =
或
)(
)(
)(
)()()( te
pD
pN
tepHtr ==
1．
)(tr
zi
：由特征根
0,)( ≥=?
∑
tectr
t
izii
i
λ
λ
2．
)(*)()( thtetr
zs
=
（1）
)]([)( sHth
-1
L=
（建议用此法），模式同
)(tr
zi；
(2) 卷积：多种方法 （如：图解、性质、查表等）。
东南大学移动通信国家重点实验室例：求下图响应
)(tu
，
)()1()(
3
tete
t
ε
=
。
C=1F
+
-
)(tu
)(te
+
-
= 1R
Vu 1)0( =
+
-
东南大学移动通信国家重点实验室解,由方程,
)()()1( tetupRC =+
得,
p
pH
tetup
+
=?
=+
1
1
)(
)()()1(
（1）
)()()(,1 tetcetu
tt
zi
εελ
==?=
（2）
)()( teth
t
ε
=
（3）
)(]
2
1
2
1
1[*)(
3
teehetu
tt
zs
ε
==
东南大学移动通信国家重点实验室
)()()(
)1(
tututu
zsziC
+=?
+?=
)(]
2
1
[ tee
tt
ε )(]
2
1
1[
3
te
t
ε
)2(
=
自由响应 + 受迫响应
)()()(
2
1
3
ttee
tt
εε +?=
)3(
=
瞬态响应 + 稳态响应
东南大学移动通信国家重点实验室小结,
零输入响应
∑
→)(tec
t
i
i
ε
λ
自由响应
→?
稳定系统
瞬态；
全响应
零状态响应
→= her
zs
*
受迫响应 稳态
东南大学移动通信国家重点实验室
~End of Chapter2~
