实践应用问题一
三人合作效益分配问题
问题的提出,
一般来说，从事某一活动（比如经济活动、社会活动）的各个方面若能同李合作，往往能够
获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益（或分担这些费用）的
方案是促成合作的前提，我们先研究一个简单的例子。
设甲、乙、丙三人经商，若个人单干，每人仅获利1元；若甲、乙合作可获利7元；甲丙合作
可获利5元；乙丙合作可获利4元；若三人合作可获利10元。问三人合作时应如何合理地分配这10
元的利益。
问题的解答,
我们自然会想到列方程解决问题，设甲、乙、丙三人应各得 元，则应满足
（1）
（2）,,,
（2）式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足（1）、（2）的解
有很多，如,,
等。那一组解最合理？如何求出最合理的解呢？
先看几种特殊情形下利益的分配,
首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力，而三人合作经商能获利1元，把该合作记为,合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得 元。
又设三人单独经商均无获利，甲、乙合作获利1元，甲、丙合作、乙、丙合作均无获利，
甲、乙、丙三人合作获利1元，记该合作为,我们认为合理的分配方法是丙的获利为0元，甲乙的获利相等各位 元。
再设三人合作中，只要有甲参加就获利1元，否则获利为0元，此合作记为,合理的分
配方案是甲获利1元，乙丙个获利0元。
同理，可定义合作,,,,且可给出合理的分配方案。
以上所讨论的合作,,,,,, 可以认为是最简单
的三人合作，可称为基本合作，其他任意一种合作都可以由这7个合作都可以由这7个基本合作线
性表示出来，如果我们问题中的合作成为,那么可得,
甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的，所以
甲的获利为 元
乙的获利为 元
丙的获利为 元
问题二
遗传模型
问题的提出,
遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病，我们把常染色体的
基因记为,不正常基因记为,并以,, 分别表示正常
人、隐性患者、显性患者的基因型，假设初始状态为,, 基因的
人口所占的百分比分别为,,,讨论在以下两种情况下第n 代人口中
这三类人口所占的比例。
（1） 控制结合：显性患者不能生育后代；隐性患者只能与正常人结合生于后代。
（2） 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。
问题的解答,
表一 基因转移关系
概率
父母基因型
-
-
-
-
-
子代基因型
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
我们将 型、 型、 型基因对的人在第n代的人口中所占的比例记
为 、,,由假设,,?
。
在（1）控制结合的情况下，从 开始有,即不再有显性患
者，由表一可得转移矩阵为
所有遗传模型
递推得
即
由此看出隐性患者的比例 随n的增大将逐渐消失，这正是我们所希望的。
在（2）中自由结合时，三种基因型人口随机结合而生育后代，这也是自然界生
物群体的一种最简单的结合方式，我们还需要两点假设,
1．三种基因的两性人口总相等；
2．每一个属于 型、 型、 型基因的第n代全体，都以
：, 的数量比例为概率，与每一个属于 型、
型、 型基因的异性结合生育后代。
由于三种基因的初始分布为,,,基因 和 在人口群体中出现的概率（实际为频率）为,,显然
，再由表一所示的基因转移关系，可以求出父母代为?
型、 型、 型基因时的转移矩阵分别为,
，,
遗传模型分别为,
再由假设2可知自由结合的 遗传模型为
（1）
令
利用线性代数中的矩阵对角化的方法，求得 的特征值为
，
所以
故由（1）式
(2)
式（2）就是遗传学上著名的哈代—温伯格平衡原理，它表明以后各代子女中
、 基因的分布永远是,即正常人、隐性患者、显性患者在
人口中的所占的比例不变，这说明在一个随机结生育后代的群体中的遗传病是不会
由于一代一代的遗传而患者越来越多，当然也不会越来越少，而是始终处于一种平
衡状态，由此看来，为了避免一些遗传病的发生，最好采用一些控制结合手段。
问题三基因问题问题的提出,
农场的植物园中，某种植物的基因型为，农场计划采用型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲体基因型与其后代基因型的概率（见附表）
父体-母体基因型
AA-AA
AA-Aa
AA-aa
后 代基 因
型
AA
1
1/2
0
Aa
0
1/2
1
aa
0
0
0
问：经过若干年后三种基因型分布如何？
解：用分别表示第n 代植物中，基因型的植物占植物总数的百分率（令 为第n 代植物基因型分布：时
显然，初始分布有
由上表可得关系式：
即：
其中
从而，为计算将对M对角化，即求可逆阵P,
使， 既 D为对角阵
由于
所以M的特征值为：，对于特征向量分别可取
， ,
令
可计算：
从而 ，
于是，
既
当?
故在极限情况下，培育的植物都是AA型
三人合作效益分配问题
问题的提出,
一般来说，从事某一活动（比如经济活动、社会活动）的各个方面若能同李合作，往往能够
获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益（或分担这些费用）的
方案是促成合作的前提，我们先研究一个简单的例子。
设甲、乙、丙三人经商，若个人单干，每人仅获利1元；若甲、乙合作可获利7元；甲丙合作
可获利5元；乙丙合作可获利4元；若三人合作可获利10元。问三人合作时应如何合理地分配这10
元的利益。
问题的解答,
我们自然会想到列方程解决问题，设甲、乙、丙三人应各得 元，则应满足
（1）
（2）,,,
（2）式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足（1）、（2）的解
有很多，如,,
等。那一组解最合理？如何求出最合理的解呢？
先看几种特殊情形下利益的分配,
首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力，而三人合作经商能获利1元，把该合作记为,合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得 元。
又设三人单独经商均无获利，甲、乙合作获利1元，甲、丙合作、乙、丙合作均无获利，
甲、乙、丙三人合作获利1元，记该合作为,我们认为合理的分配方法是丙的获利为0元，甲乙的获利相等各位 元。
再设三人合作中，只要有甲参加就获利1元，否则获利为0元，此合作记为,合理的分
配方案是甲获利1元，乙丙个获利0元。
同理，可定义合作,,,,且可给出合理的分配方案。
以上所讨论的合作,,,,,, 可以认为是最简单
的三人合作，可称为基本合作，其他任意一种合作都可以由这7个合作都可以由这7个基本合作线
性表示出来，如果我们问题中的合作成为,那么可得,
甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的，所以
甲的获利为 元
乙的获利为 元
丙的获利为 元
问题二
遗传模型
问题的提出,
遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病，我们把常染色体的
基因记为,不正常基因记为,并以,, 分别表示正常
人、隐性患者、显性患者的基因型，假设初始状态为,, 基因的
人口所占的百分比分别为,,,讨论在以下两种情况下第n 代人口中
这三类人口所占的比例。
（1） 控制结合：显性患者不能生育后代；隐性患者只能与正常人结合生于后代。
（2） 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。
问题的解答,
表一 基因转移关系
概率
父母基因型
-
-
-
-
-
子代基因型
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
我们将 型、 型、 型基因对的人在第n代的人口中所占的比例记
为 、,,由假设,,?
。
在（1）控制结合的情况下，从 开始有,即不再有显性患
者，由表一可得转移矩阵为
所有遗传模型
递推得
即
由此看出隐性患者的比例 随n的增大将逐渐消失，这正是我们所希望的。
在（2）中自由结合时，三种基因型人口随机结合而生育后代，这也是自然界生
物群体的一种最简单的结合方式，我们还需要两点假设,
1．三种基因的两性人口总相等；
2．每一个属于 型、 型、 型基因的第n代全体，都以
：, 的数量比例为概率，与每一个属于 型、
型、 型基因的异性结合生育后代。
由于三种基因的初始分布为,,,基因 和 在人口群体中出现的概率（实际为频率）为,,显然
，再由表一所示的基因转移关系，可以求出父母代为?
型、 型、 型基因时的转移矩阵分别为,
，,
遗传模型分别为,
再由假设2可知自由结合的 遗传模型为
（1）
令
利用线性代数中的矩阵对角化的方法，求得 的特征值为
，
所以
故由（1）式
(2)
式（2）就是遗传学上著名的哈代—温伯格平衡原理，它表明以后各代子女中
、 基因的分布永远是,即正常人、隐性患者、显性患者在
人口中的所占的比例不变，这说明在一个随机结生育后代的群体中的遗传病是不会
由于一代一代的遗传而患者越来越多，当然也不会越来越少，而是始终处于一种平
衡状态，由此看来，为了避免一些遗传病的发生，最好采用一些控制结合手段。
问题三基因问题问题的提出,
农场的植物园中，某种植物的基因型为，农场计划采用型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲体基因型与其后代基因型的概率（见附表）
父体-母体基因型
AA-AA
AA-Aa
AA-aa
后 代基 因
型
AA
1
1/2
0
Aa
0
1/2
1
aa
0
0
0
问：经过若干年后三种基因型分布如何？
解：用分别表示第n 代植物中，基因型的植物占植物总数的百分率（令 为第n 代植物基因型分布：时
显然，初始分布有
由上表可得关系式：
即：
其中
从而，为计算将对M对角化，即求可逆阵P,
使， 既 D为对角阵
由于
所以M的特征值为：，对于特征向量分别可取
， ,
令
可计算：
从而 ，
于是，
既
当?
故在极限情况下，培育的植物都是AA型
