第二章 矩阵基本要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵并会求逆矩阵，了解分块矩阵。
矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。
§1矩阵的概念已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：
说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断（1）的解的情况。
定义1,由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素。
根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。
下面给出一些特殊矩阵：
行矩阵 m=1
列矩阵 n=1
零矩阵
方阵 ，，称为n阶方阵。
单位矩阵 称为n阶单位矩阵。
应用举例：
例1,某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵
其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。
例2,北京市某户居民第三季度每个月的水（单位：）、电（单位：）、天然气 （单位：）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即
§2矩阵的运算一、矩阵的加法设 称为同型矩阵（行列数均相等）。
相等
加法
加法律 （1） （2）
例3．,求矩阵，使，其中
,
解：。
二、数与矩阵的乘法
运算律：（1）； （2）；
（3）
注：矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
例4,设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位）为：
已知货物每吨的运费为2.40元/,那么，各地区之间每吨货物的运费可记为
三、矩阵的乘法
1．线性变换与线性变换的乘积。
设有两个线性变换
其系数矩阵
其系数矩阵
将代入，可得从到的线性变换：
称为与的乘积。
相应地，称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积，记作：
一般地，我们有矩阵与矩阵的乘法定义2,设 则规定与的乘积是一个矩阵，其中
并记作
注：(1),一行与一列相乘
故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。
(2),只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）
例5,设 ,求
解
得
注：是不可行。
例6,设，，求及。
解,
由此发现,（1），（不满足交换律）
（2），，但却有。
3,矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）
（1） 结合律
（2） 分配律
（3）
（4） ， （单位矩阵的意义所在）
4,n阶方阵的幂设是n阶方阵，则定义
或
规律,，，其中为正整数。
但一般地，，为n阶方阵。
例7,计算
解,设 ,
则 ，
假设，
则 ，
于是由归纳法知，对于任意正整数n，有
例8,令，，，
则线性方程组可用矩阵乘积表示出：。
四、转置矩阵定义3,把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作（或）。例如：
，
运算律,（1）； （2）；
（3）； （4）
证明,仅证（4）
设，记，，
于是按矩阵乘法公式
.
而的第行为 ,的第列为 ,因此
即 ,亦即 。
例9,已知，,求
解：（法一）
所以
（法二）
小结：
1．矩阵的概念
2．矩阵的运算：加法，数乘，乘法，幂，转置
3．相应运算的运算律思考题：
试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。
若，则称为幂等矩阵。试证：若为幂等矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是.
错误证法：由条件，，知 或，或，
当时，，显然成立。
当（或）时，，且成立。
当时，，而，，即也成立。
综上可知，为幂等矩阵的充要条件为。
答案：从推得，是不对的，得出这样的结果是作出了如下推导：，，故或，即.
这里的错误在于：与数的乘法运算相混淆了。数若满足，则必有或；但对于矩阵来说，，不能推出或.
正确解法：
因为，，于是
故的充分必要条件是，即.
作业习题2-2
1,2,3,4①.、④ 5.
矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。
§1矩阵的概念已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：
说明：这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组（1），对它的研究可以判断（1）的解的情况。
定义1,由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素。
根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。
下面给出一些特殊矩阵：
行矩阵 m=1
列矩阵 n=1
零矩阵
方阵 ，，称为n阶方阵。
单位矩阵 称为n阶单位矩阵。
应用举例：
例1,某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵
其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。
例2,北京市某户居民第三季度每个月的水（单位：）、电（单位：）、天然气 （单位：）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即
§2矩阵的运算一、矩阵的加法设 称为同型矩阵（行列数均相等）。
相等
加法
加法律 （1） （2）
例3．,求矩阵，使，其中
,
解：。
二、数与矩阵的乘法
运算律：（1）； （2）；
（3）
注：矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
例4,设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位）为：
已知货物每吨的运费为2.40元/,那么，各地区之间每吨货物的运费可记为
三、矩阵的乘法
1．线性变换与线性变换的乘积。
设有两个线性变换
其系数矩阵
其系数矩阵
将代入，可得从到的线性变换：
称为与的乘积。
相应地，称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积，记作：
一般地，我们有矩阵与矩阵的乘法定义2,设 则规定与的乘积是一个矩阵，其中
并记作
注：(1),一行与一列相乘
故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。
(2),只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）
例5,设 ,求
解
得
注：是不可行。
例6,设，，求及。
解,
由此发现,（1），（不满足交换律）
（2），，但却有。
3,矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）
（1） 结合律
（2） 分配律
（3）
（4） ， （单位矩阵的意义所在）
4,n阶方阵的幂设是n阶方阵，则定义
或
规律,，，其中为正整数。
但一般地，，为n阶方阵。
例7,计算
解,设 ,
则 ，
假设，
则 ，
于是由归纳法知，对于任意正整数n，有
例8,令，，，
则线性方程组可用矩阵乘积表示出：。
四、转置矩阵定义3,把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作（或）。例如：
，
运算律,（1）； （2）；
（3）； （4）
证明,仅证（4）
设，记，，
于是按矩阵乘法公式
.
而的第行为 ,的第列为 ,因此
即 ,亦即 。
例9,已知，,求
解：（法一）
所以
（法二）
小结：
1．矩阵的概念
2．矩阵的运算：加法，数乘，乘法，幂，转置
3．相应运算的运算律思考题：
试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。
若，则称为幂等矩阵。试证：若为幂等矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是.
错误证法：由条件，，知 或，或，
当时，，显然成立。
当（或）时，，且成立。
当时，，而，，即也成立。
综上可知，为幂等矩阵的充要条件为。
答案：从推得，是不对的，得出这样的结果是作出了如下推导：，，故或，即.
这里的错误在于：与数的乘法运算相混淆了。数若满足，则必有或；但对于矩阵来说，，不能推出或.
正确解法：
因为，，于是
故的充分必要条件是，即.
作业习题2-2
1,2,3,4①.、④ 5.
