§2 n阶行列式的性质及计算复习：
定义 D==
定理（Laplace） D==
新授：
行列式的性质记D= D= ()
行列式D称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）
性质1 D=D
由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。
如,D= D= D=D
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如,D==ad-bc,=bc-ad= -D
以r表第i行，C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证：把这两行互换，有D＝-D 故D＝0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式（第i行乘以k，记作r）
推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第i列）
D=
则
D=+
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数k乘第j列，加到第i列上，可记做 ）
性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
按列：
将性质7 与Laplace定理合并为下列结论：
（1）
和 （2）
这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算。
例1
例2
例3
例4 证明
证：左端
§3 卡莱姆法则
含有n个未知数的n个线性方程的方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即
定理（Cramer法则） 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
，则方程组(1)有且仅有一组解：
，，…， (2)
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的n阶行列式
证明思路,1 （1）如果有解，其解必为（2）唯一。
2 再验证（2）确为（1）的解。 证略例1 求解线性方程组
解,系数行列式
同样可以计算
，，
，
所以，，,
注意 1,克莱姆法则的条件：n个未知数，n个方程，且
2, （3）
称为n元齐次线性方程组。
当（1）的常数项不全为零时，（1）称为n元非齐次线性方程组。
显然当是（3）的解。
推论 若（3）的系数行列式，则它只有零解。即若（3）有非零解，则必有。
3,克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。
例2 证明范德蒙行列式
（4）
其中，记号“”表示全体同类因子的乘积。
证,用归纳法,因为
所以，当n=2时，（4）式成立，现设（4）式对n-1时成立，要证对n时也成立。为此，设法把降阶；从第n行开始，后行减去前行的倍，有
（按第一列展开，并提出因子）
阶范德蒙行列式
= 证毕例3
作业习题 1-3 1,（2）、（4）、（5）2,（1） 3（1）
2,3,4,
1,（1） 4.
定义 D==
定理（Laplace） D==
新授：
行列式的性质记D= D= ()
行列式D称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）
性质1 D=D
由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。
如,D= D= D=D
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如,D==ad-bc,=bc-ad= -D
以r表第i行，C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证：把这两行互换，有D＝-D 故D＝0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式（第i行乘以k，记作r）
推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第i列）
D=
则
D=+
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数k乘第j列，加到第i列上，可记做 ）
性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
按列：
将性质7 与Laplace定理合并为下列结论：
（1）
和 （2）
这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算。
例1
例2
例3
例4 证明
证：左端
§3 卡莱姆法则
含有n个未知数的n个线性方程的方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即
定理（Cramer法则） 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
，则方程组(1)有且仅有一组解：
，，…， (2)
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的n阶行列式
证明思路,1 （1）如果有解，其解必为（2）唯一。
2 再验证（2）确为（1）的解。 证略例1 求解线性方程组
解,系数行列式
同样可以计算
，，
，
所以，，,
注意 1,克莱姆法则的条件：n个未知数，n个方程，且
2, （3）
称为n元齐次线性方程组。
当（1）的常数项不全为零时，（1）称为n元非齐次线性方程组。
显然当是（3）的解。
推论 若（3）的系数行列式，则它只有零解。即若（3）有非零解，则必有。
3,克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。
例2 证明范德蒙行列式
（4）
其中，记号“”表示全体同类因子的乘积。
证,用归纳法,因为
所以，当n=2时，（4）式成立，现设（4）式对n-1时成立，要证对n时也成立。为此，设法把降阶；从第n行开始，后行减去前行的倍，有
（按第一列展开，并提出因子）
阶范德蒙行列式
= 证毕例3
作业习题 1-3 1,（2）、（4）、（5）2,（1） 3（1）
2,3,4,
1,（1） 4.
