§5,矩阵的秩矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用。
定义1,在矩阵中任取行列，由位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为的一个阶子式，记作。
共有个。
例如 有4个三阶子式，18个二阶子式。
定义2,若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是，则称
为矩阵的秩，记作。
由此及行列式的性质可得到结论：
1,；
2,对于，有；
3,若，则中至少有一个，而所有的
.
定义3,设，若，则称为满秩方阵；
若 ,则称为降秩方阵。
推论,为满秩方阵 。
由此可知，可逆 为满秩方阵。
例1,求下列矩阵的秩
，
解,，而的所有三阶子式（4个）
，，，
所以
满秩。
§6.矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换与初等矩阵在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”。
定义1,对矩阵的行施以下述三种变换，称为矩阵的行初等变换：
（1） 列初等变换
（2）
（3）
矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义2,由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵，也有三种：
（1） 或 ,得，
例
（2） 或 ,得，
例
（3） 或 ,得，
例
且都是可逆的，其逆矩阵仍为初等矩阵：
，，
利用初等变换求逆矩阵先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。
定理1.（1） 交换的两行；
交换的两列
（2） 以乘的第行；
以乘的第列
（3）把的第行的倍加到第行上去；
把的第列的倍加到第列上去定理2,n阶可逆方阵可以经过一系列的初等行变换化为n阶单位矩阵
证明,可逆，，的第一列至少有一个非0元素，于是经过若干次初等行变换可以化为
其中*表示任意数，表示阶方阵。
显然 ,而 所以
因而的第一列至少有一个非元素，于是再对施以若干次初等行变换，又可以化为
显然，，而，其中，
所以 如此继续，经过一系列的初等行变换，最终得到单位矩阵，即
证毕。
由定理1和定理2 立即推得：
推论1,可逆 存在初等矩阵，使得
用右乘式两端，得
比较、两式可见：若经过一系列的初等行变换后，化为，则经过同样的初等行变换化为，从而使我们得到一种有效的求逆矩阵的方法：
推论2,
其中、 表示的矩阵。
例1,设 ,用初等变换法求.
解,
所以
例2,设 ，试用初等变换法求.
解:
所以
例3,判断方阵是否可逆。若可逆，求
解：
因为，所以，故不可逆，即不存在。
注：此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断。
例4,解矩阵方程，其中
，.
解,
三、利用初等变换求矩阵的秩定理3,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证略）。
利用定理3可以简化求秩的计算，其常用的方法有：
只用初等行变换，可把变成上阶梯形矩阵。
例5,求 其中
解：
（上阶梯形），有此可看出 。
2．进一步，在进行列初等变换，可化为标准型。
例5中，
的特点：左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0。
在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形。
例6,求,其中
解,
至此，易知
所以 ,不是阶梯矩阵。
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知 ,求
错误解答,
即
错误原因,没有注意到利用来求时,
要使用初等行变换才可以。而在解法中第1、3步却使用了列变换。
正确答案:
作业：
习题2-4 1,2,（4）（5）
习题2-5 1,3,
习题2-6 1,2,3,(2) (4) (5) 4,6.
定义1,在矩阵中任取行列，由位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为的一个阶子式，记作。
共有个。
例如 有4个三阶子式，18个二阶子式。
定义2,若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是，则称
为矩阵的秩，记作。
由此及行列式的性质可得到结论：
1,；
2,对于，有；
3,若，则中至少有一个，而所有的
.
定义3,设，若，则称为满秩方阵；
若 ,则称为降秩方阵。
推论,为满秩方阵 。
由此可知，可逆 为满秩方阵。
例1,求下列矩阵的秩
，
解,，而的所有三阶子式（4个）
，，，
所以
满秩。
§6.矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换与初等矩阵在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”。
定义1,对矩阵的行施以下述三种变换，称为矩阵的行初等变换：
（1） 列初等变换
（2）
（3）
矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义2,由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵，也有三种：
（1） 或 ,得，
例
（2） 或 ,得，
例
（3） 或 ,得，
例
且都是可逆的，其逆矩阵仍为初等矩阵：
，，
利用初等变换求逆矩阵先介绍矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。
定理1.（1） 交换的两行；
交换的两列
（2） 以乘的第行；
以乘的第列
（3）把的第行的倍加到第行上去；
把的第列的倍加到第列上去定理2,n阶可逆方阵可以经过一系列的初等行变换化为n阶单位矩阵
证明,可逆，，的第一列至少有一个非0元素，于是经过若干次初等行变换可以化为
其中*表示任意数，表示阶方阵。
显然 ,而 所以
因而的第一列至少有一个非元素，于是再对施以若干次初等行变换，又可以化为
显然，，而，其中，
所以 如此继续，经过一系列的初等行变换，最终得到单位矩阵，即
证毕。
由定理1和定理2 立即推得：
推论1,可逆 存在初等矩阵，使得
用右乘式两端，得
比较、两式可见：若经过一系列的初等行变换后，化为，则经过同样的初等行变换化为，从而使我们得到一种有效的求逆矩阵的方法：
推论2,
其中、 表示的矩阵。
例1,设 ,用初等变换法求.
解,
所以
例2,设 ，试用初等变换法求.
解:
所以
例3,判断方阵是否可逆。若可逆，求
解：
因为，所以，故不可逆，即不存在。
注：此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断。
例4,解矩阵方程，其中
，.
解,
三、利用初等变换求矩阵的秩定理3,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩（证略）。
利用定理3可以简化求秩的计算，其常用的方法有：
只用初等行变换，可把变成上阶梯形矩阵。
例5,求 其中
解：
（上阶梯形），有此可看出 。
2．进一步，在进行列初等变换，可化为标准型。
例5中，
的特点：左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0。
在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形。
例6,求,其中
解,
至此，易知
所以 ,不是阶梯矩阵。
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知 ,求
错误解答,
即
错误原因,没有注意到利用来求时,
要使用初等行变换才可以。而在解法中第1、3步却使用了列变换。
正确答案:
作业：
习题2-4 1,2,（4）（5）
习题2-5 1,3,
习题2-6 1,2,3,(2) (4) (5) 4,6.
