第二讲 矩阵的运算复习,一、加法。
二、数乘。
三、矩阵与矩阵相乘。
四、转置矩阵新授：
五、方阵的行列式定义 由n阶方阵的元素所构成的n阶行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式。记作或（determinant）.
注意：方阵与其行列式不同，前者为数表，后者为数值。
运算律：
（1） (行列式性质1)
（2） （）
（3） （证明较繁）
由（3）知，对于n阶方阵A、B，一般，但都有
例1,设 ，,求.
解：（法一） ，。
（法二）
六、几种特殊矩阵
1．对角矩阵定义 ，简记为，称为n 阶对角矩阵。
易知 （1）,
（2）,
（3）,
2,数量矩阵
若n 阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即
则称为n 阶数量矩阵。当时，就是n阶单位矩阵。
易知（1）,
特别地 可交换
（2）,，
数量矩阵的加减乘法与数的完全相同。
3,上（下）三角矩阵
为上三角矩阵,
为下三角矩阵易知，设A、B为上三角阵，则，，仍为上三角阵；下三角阵也类似。
§3 逆矩阵概念与性质在§2中，线性方程组
可表示为矩阵方程
其中 ，，,
由克莱姆法则知，若，则（1）有唯一解。
如果存在n阶方阵C，使得，则（1）的解可用矩阵乘积表出：
称为矩阵方程（2）的解定义 设为n阶方阵，若存在一个n阶方阵C，使得
，
则称方阵可逆，并称方阵C为的逆矩阵，记作，即若 ,则
性质1,若存在，则必唯一。
证明,设B、C都是的逆阵，则有
（唯一）
性质2,若可逆，则也可逆，且。
证明：可逆，，从而也可逆，
且。
性质3,若可逆，则可逆，且。
证明,
从而 ,于是
性质4,若同阶方阵、都可逆，则也可逆，
且
证明,
所以AB可逆，且
逆阵存在的条件及逆阵的求法定义 由的行列式
中元素的代数余子式构成的n阶方阵，
记作,即 ,称为的伴随矩阵.
例1,设 ,求
解,因为 ，，，
，，,
，，
所以
定理 方阵可逆 且
证明, A可逆，即有存在，使得，
两边取行列式得
故
由行列式的性质7和Laplace定理知
于是
因为 ,故有
从而
推论 设为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得，(或),则.
证明,，，故存在。
于是
注：求时，只需要验算，计算量减半。
例2,判断下列方阵，是否可逆? 若可逆，求其逆阵.
解,，，所以不可逆，可逆，并且
三,用逆矩阵法解线性方程组在第一节中，线性方程组可表示为矩阵方阵.若，则 ,得到的解.
解线性方程组
解,其矩阵式为
因
所以
所以其解为 ，，
求解矩阵方程，其中
，，.
解 易知，，则
小结：
方阵的行列式逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件利用伴随矩阵求逆矩阵了解分块矩阵的概念及运算
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知 ,求
错误解法,由于,所以存在
,故有
错误原因,1,没有注意代数余子式的符号,从而及均相差一个负号,正确的应为,.
2,将写成了.
正确答案:
作业：
习题2-3 1,2,3,4.
习题2-4 1,2,（4）（5）
习题2-5 1,3,
二、数乘。
三、矩阵与矩阵相乘。
四、转置矩阵新授：
五、方阵的行列式定义 由n阶方阵的元素所构成的n阶行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式。记作或（determinant）.
注意：方阵与其行列式不同，前者为数表，后者为数值。
运算律：
（1） (行列式性质1)
（2） （）
（3） （证明较繁）
由（3）知，对于n阶方阵A、B，一般，但都有
例1,设 ，,求.
解：（法一） ，。
（法二）
六、几种特殊矩阵
1．对角矩阵定义 ，简记为，称为n 阶对角矩阵。
易知 （1）,
（2）,
（3）,
2,数量矩阵
若n 阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即
则称为n 阶数量矩阵。当时，就是n阶单位矩阵。
易知（1）,
特别地 可交换
（2）,，
数量矩阵的加减乘法与数的完全相同。
3,上（下）三角矩阵
为上三角矩阵,
为下三角矩阵易知，设A、B为上三角阵，则，，仍为上三角阵；下三角阵也类似。
§3 逆矩阵概念与性质在§2中，线性方程组
可表示为矩阵方程
其中 ，，,
由克莱姆法则知，若，则（1）有唯一解。
如果存在n阶方阵C，使得，则（1）的解可用矩阵乘积表出：
称为矩阵方程（2）的解定义 设为n阶方阵，若存在一个n阶方阵C，使得
，
则称方阵可逆，并称方阵C为的逆矩阵，记作，即若 ,则
性质1,若存在，则必唯一。
证明,设B、C都是的逆阵，则有
（唯一）
性质2,若可逆，则也可逆，且。
证明：可逆，，从而也可逆，
且。
性质3,若可逆，则可逆，且。
证明,
从而 ,于是
性质4,若同阶方阵、都可逆，则也可逆，
且
证明,
所以AB可逆，且
逆阵存在的条件及逆阵的求法定义 由的行列式
中元素的代数余子式构成的n阶方阵，
记作,即 ,称为的伴随矩阵.
例1,设 ,求
解,因为 ，，，
，，,
，，
所以
定理 方阵可逆 且
证明, A可逆，即有存在，使得，
两边取行列式得
故
由行列式的性质7和Laplace定理知
于是
因为 ,故有
从而
推论 设为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得，(或),则.
证明,，，故存在。
于是
注：求时，只需要验算，计算量减半。
例2,判断下列方阵，是否可逆? 若可逆，求其逆阵.
解,，，所以不可逆，可逆，并且
三,用逆矩阵法解线性方程组在第一节中，线性方程组可表示为矩阵方阵.若，则 ,得到的解.
解线性方程组
解,其矩阵式为
因
所以
所以其解为 ，，
求解矩阵方程，其中
，，.
解 易知，，则
小结：
方阵的行列式逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件利用伴随矩阵求逆矩阵了解分块矩阵的概念及运算
思考题：
试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答。
已知 ,求
错误解法,由于,所以存在
,故有
错误原因,1,没有注意代数余子式的符号,从而及均相差一个负号,正确的应为,.
2,将写成了.
正确答案:
作业：
习题2-3 1,2,3,4.
习题2-4 1,2,（4）（5）
习题2-5 1,3,
