线性代数第一讲概论线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
第一章 行列式
§1定义二阶、三阶行列式中学学过解二元一次方程组
如果有解，它的解完全可由他们的系数表示出来。
.
若，则（2）
同理 （3）
其中均称为二阶行列式定义1.二阶行列式 （4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组 （5）
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式
（6）
行、列称为D的元素。
例1
如果我们把所在的行（第i ）和列（第j）划去后，所剩下的二阶行列式记为，那么有
故（6）式可写成：
（7）
称为元素的余子式，若令，则（7）式又可写成
（8）
称为元素的代数余子式（注，这里的是一个二阶的）
二、n阶行列式
以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。
定义3,由个数排成或行列的正方形数表，按照以下规律，可以得到一个数：（9）
称为n阶行列式，其中，表示划去第行第列后所剩下的n-1阶行列式。
行列——元素称为元素的余子式，成为元素的代数余子式。
注：1,为了方便，定义一阶行列式。
2,按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的（同对角线法）。
例2,证明对角行列式（其对角线上的元素是未写出的元素都为0）
证：按定义式（9）
例3,证明下三角行列式
按定义式（9）得
以上，n阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即
（10）
我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有：
定理（Laplace）
（11）
（12）
例4 计算行列式
解 选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，按第三行展开，得
例5 计算行列式
解 按第三行展开，得
另外，三阶行列式也有对角线法则。
例6 计算三阶行列式
解：
同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示
当（5）的系数行列式 时（5）的解为
，其中
例7 解线性方程组
解,先计算系数行列式
因此可用行列式（13）求解
再计算
，，
代入公式（7）得
，，
例8 求二次多项式，使得
，，
解 设，于是由，， 得
求如下：
，，，
所以 ，，
故 为所求。
注,公式（2）-（3） （二元）
称为克莱姆法则
公式（13） （三元）
作业：习题1-1
1（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3.
1-2 5
1-4 1
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。
第一章 行列式
§1定义二阶、三阶行列式中学学过解二元一次方程组
如果有解，它的解完全可由他们的系数表示出来。
.
若，则（2）
同理 （3）
其中均称为二阶行列式定义1.二阶行列式 （4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组 （5）
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式
（6）
行、列称为D的元素。
例1
如果我们把所在的行（第i ）和列（第j）划去后，所剩下的二阶行列式记为，那么有
故（6）式可写成：
（7）
称为元素的余子式，若令，则（7）式又可写成
（8）
称为元素的代数余子式（注，这里的是一个二阶的）
二、n阶行列式
以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。
定义3,由个数排成或行列的正方形数表，按照以下规律，可以得到一个数：（9）
称为n阶行列式，其中，表示划去第行第列后所剩下的n-1阶行列式。
行列——元素称为元素的余子式，成为元素的代数余子式。
注：1,为了方便，定义一阶行列式。
2,按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的（同对角线法）。
例2,证明对角行列式（其对角线上的元素是未写出的元素都为0）
证：按定义式（9）
例3,证明下三角行列式
按定义式（9）得
以上，n阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即
（10）
我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有：
定理（Laplace）
（11）
（12）
例4 计算行列式
解 选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，按第三行展开，得
例5 计算行列式
解 按第三行展开，得
另外，三阶行列式也有对角线法则。
例6 计算三阶行列式
解：
同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示
当（5）的系数行列式 时（5）的解为
，其中
例7 解线性方程组
解,先计算系数行列式
因此可用行列式（13）求解
再计算
，，
代入公式（7）得
，，
例8 求二次多项式，使得
，，
解 设，于是由，， 得
求如下：
，，，
所以 ，，
故 为所求。
注,公式（2）-（3） （二元）
称为克莱姆法则
公式（13） （三元）
作业：习题1-1
1（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3.
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