东南大学远程学院数字电子技术基础第一讲主讲教师,刘其奇第一章 逻辑代数基础
1.1 概述
1.1.1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
*数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的；在时间上不连续。
*模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。
数字信号：表示数字量的信号，是在两个 稳定状态 之间作阶跃式变化的信号。
脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号 。
t
V
模拟电子技术,对模拟信号进行产生、放大、应用的电路数字电子技术,专门研究数字信号的产生、整型、
运算,编码等数字电路：工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。
数字电路包括 脉冲电路 和 数字逻辑电路脉冲电路：研究脉冲的产生、变换以及脉冲的测量等。
数字逻辑电路：能够实现某种逻辑功能的电路。
1.1.2 数制和码制
（一）数制,数字量的计数方法日常生活中计数体制是十进制；
数字电路中使用的数制是二进制和十六进制。
（二）不同数制之间的转换,
1）二进制转换成十进制按权相加法,将各位二进制数的权值乘上系数，相加。
例：求二进制数 11010.101相应的十进制数。
（ 11010.101） =1?24+1?23+0?22+1?21+0?20+1?2-1+0?2-2+1?2-3
=16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=(26.625)10
常用二进制的权
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
2) 十进制转换成二进制十进制整数用 除 2取余法例：将十进制 13转换成二进制形式
2 13 余数
2 6 1 因此：（ 13） 10=（ 1101） 2
2 3 0
2 1 1
0 1
十进制净小数用 乘 2取整法例：将十进制纯小数 0.562转换成误差 不大于 2-6的二进制数
0.562× 2=1.124 1 (K-1)
0.124× 2=0.248 0 (K-2)
0.248× 2=0.496 0 (K-3)
0.496× 2=0.992 0 (K-4)
0.992× 2=1.984 1 (K-5)
最后余小数 0.984>0.5，四舍五入 K-6=1。
所以 （ 0.562)10=(0.100011)2
3）十、二、十六进制的相互转换
二进制转换成十六进制从最低位开始，四位二进制合成一位十六进制，不足四位，
高位补零。
十六进制转换成二进制将一位十六进制数，换成四位二进制数。
十六进制转换成十进制按权相加法例：（ 7A.58） 16 =（？） 10
(7A.58)16 =7 × 161+10 × 160+5 × 16-1+8 × 16-2=(122.34375)10
十进制转换成十六进制先将十进制数转换成二进制数，整数部分和小数部分分别进行。然后，四位二进制数一组组成一位十六进制。
（三）码制代码：以数字形式出现，已经没有数量的含义，而是用来表示不同事物的特征。这些数码称为代码。
遵循一定的规则编制代码，这些规则称为 码制 。
BCD码,十进制数的代码表示。具有二进制形式，
却有十进制数特点。是一种以二进制形式编码的十进制数码（ Binary Coded Decimals）。简称
BCD码 。
0— 9数字，必须用四位二进制数表示。
常用 BCD码十进制数 8421BCD 5421BCD 余 3BCD
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
1100
1011
1010
1001
1000
0100
0011
0010
0001
0000
1100
1011
1010
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
有权码 无权码有权码,8421码,5421码,2421码四位二进制数各有相应的权。每一位的 1在不同代码中代表固定的数值。
无权码：余 3BCD码，也有四位。与 8421码比较，对应于相同的十进制数，余 3码比相应的 8421码多出 0011（ 3）。
每一位的 1在不同代码中不代表固定的数值。
BCD码不是二进制计数体制
BCD码,4位二进制数表示一位十进制数。
以 8421码为例：
表示一位十进制数，和二进制计数体制一致。
（ 79） 10 =（ 1001111） 2
按权相加,64+8+4+2+1 = 79
用 8421码表示：
（ 79） 10=（ 0111 1001） BCD
东南大学远程学院数字电子技术基础第二讲主讲教师,刘其奇编码的可靠性
0111?1000
如果用触发器表示计数器的状态，则 4个触发器要同时发生状态变化。
由于触发器电气、工艺方面的差别，其翻转的速度不完全一致。可能出现 瞬间误码 。
0111?0000?1000
瞬间误码
1）格雷码（ Gray）
格雷码是这样一种编码：任意两个相邻的数，它们的格雷码表示形式中仅有一位不同。
因此按格雷码接成计数器形式，每次状态转换过程只有一个计数器翻转。避免发生竞争 — 冒险现象。
介绍一种典型的格雷码，以及其产生的方法。
可靠性编码代码本身具有一种特性和能力，在代码形成过程中不易出错，或者说代码出错容易发现。
镜像法 1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
4位格雷码（表示十进制数 0~15）
注意：相邻两组代码，彼此只有一个元素不相同奇偶校验码奇偶校验代码包含两部分：信息位和奇偶校验位。
两种编码形式：
奇校验：使得一个代码组中信息位和校验位中,1”的总和为奇数。
偶校验：使得一个代码组中信息位和校验位中,1”的总和为偶数。
1.2 逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算
A
基本逻辑运算复合逻辑运算
A=Y
D?C+B?A=YB?A=Y B+A=Y
11 ≥
1 ≥
Y Y Y
B
ABA
&
&
B?A=Y B+A=Y
=1AB Y
B?A+B?A=BA=Y ⊕
异或真值表
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
异或逻辑
=A
B
Y
B?A+B?A=BA=Y
同或真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
同或逻辑
⊙
异或逻辑与同或逻辑互为反运算
BA=BA ⊕ BA=BA ⊕⊙ ⊙
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
1.3.1 逻辑代数的基本公式三大类，八条基本定律
1）与普通代数相似的定律
）（交换律,5BA=AB ; ）（ 15A+B=B+A ;
）（结合律,6CAB=BCA ;)()( ）（ 16C+B+A=C+B+A ;)()
）（分配律,7AC+AB=C+BA ;)(
）（ 17C+AB+A=BC+A );)((
与对或的分配或对与的分配
2）变量常量关系定律;A=1?A10 律：,;0=0?A)2( ）（ 1;1=1+A ）（ 11 ;A=0+A ）（ 12；互补律,0=A?A）（ 4 ;1=A+A ）（ 14
3）逻辑代数的特殊定律；重叠律,A=A?A）（ 3 ;=A+A ）（ 13；否定律 A=A:）（ 9；反演律 B+A=B?A,;B?A=B+A）（ 8 ）（ 18
列真值表证明反演律：
B+A=B+A =B?A;B?A
B+AB+A B?AA B B?A B?AB+AA B
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
相等 相等东南大学远程学院数字电子技术基础第三讲主讲教师,刘其奇
1.3.2 逻辑代数的常用公式及公式化简
CB+AC=Y
A C D+CB+A B C=Y
在 与 — 或 逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少，
而且每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数式为 最简形式 。
逻辑函数式除了 与 — 或 形式外，还有 与 — 非,或 — 非,与或非 形式，根据具体的逻辑器件来决定。
与 — 或 逻辑表达式：若干乘积项相加的形式 。（积之和）
A=1?A=B?A+A证明：
BC+CA=BC+B+1CA=BC+CBA+CA=Y )(
两乘积项相加，其中一项以另一项为因子，则该项多余。
（吸收法,消去项 ）
A=B?A+A1） ）（ 21
BA=F+EB CDA+BA=Y )(
BC+A=BC+D+CB+ABC+D+CB+AA+A=
BC+D+CB+ABC+A+A=
BC+D+CB+ABCA+A=Y
)()(
))((
)(
B+A=B+A?A+A=B?A+A )()(:证明
C+AB=ABC+AB=
B+AC+AB=CB+CA+AB=Y
)(
)(
利用或对与的分配。
两乘积项相加，其中一项取反后作为另一项的因子，则该因子多余。（消去法 —— 消去多余因子 ）
B+A=B?A+A2 ） ）（ 22
反演律
A=B+BA=B?A+B?A )(证明：
1=A+A利用 并项,消去一对互非因子
A=B?A+B?A3） ）（ 23
A=C+BA+C+BA=CBA+AC+AB=Y )()(
A=BA+AB=C+CBA++=
CBA+CAB+CBA+A B C=
CB+CBA+CB+BCA=Y
)(
)
)()(
)CA B ( C
A=B?A+A=B?A+A?A=B+A?A )(证明：
）式（ 21
同（ 21）吸收法,消去和式
A=B+A?A4 )(） ）（ 24
C?B+C?A+B?A证明：
若两个乘积项分别包含互非的两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三项时，则第三项多余。 消去项
C?A+B?A=C?B+C?A+B?A5 ） ）（ 25
)( A+AC?B+C?A+B?A= 配项
C?B?A+C?B?A+C?A+B?A=
)()( B+1C?A+C+1B?A=
C?A+B?A=
C?A+B?A=D?C?B+C?A+B?A
25 式变形：)(
CB+BA+AC=C+B+BA+AC=Y
BD+C+AD+A BC=BD+DC+DA+A BC=Y )(
EDBC+DBCA+DBA+DBA+A B C+CBA=Y
BD+DAC+A B C=
DC+DA+A B C=
CB+AC=
DAC+A B C=
)()()( E+ADBC+DBA+BA+CAB+BA=
)]([)()( E+ABDC+DBA+CBA= ⊕⊕
DBA+CBA= )()( ⊕⊕
B?A=B+A?A=B?A?A
126
)(
）证明：（ -
当 A和一个乘积项的非相乘时，而且 A为乘积项的因子时，则 A这个因子可以消去。 消去因子
A=B+1?A=B?A+A?A=B+A?A=B?A?A
226
)()(
）证明：（ -
当 和一个乘积项的非相乘时，而且 A为乘积项的因子时，结果就是 。 消去因子
A
A
B?A=B?A?A6）
A=B?A?A ）（
）（
226
126
-
-
五种公式化简方法：
并项法：（ 23）
吸收法：（ 21）、（ 24）
消项法：（ 25）
消因子法：（ 22）
配项法：
利用 进行配项化简 )BB(AA
BA+CB+CB+BA=Y
例题：
)()( C+CBA+CBA+A+CB+BA=
配项
CBAB C +AC+BAC+B+AC+B= BA
BCA+CBA+CB+BA=
)( BC+CBA+CB+BA=
CA+CB+BA=
EAD E +CE+C+BDCBB E +AY = A C E +
（吸收）DEC+ECB+DCB+EA+A CE=
分配）)(DEBEDB(C)AAC(E
消去、分配）)](DB(EDB[(C)CA(E
反演）)(EDBDB(CECEA
消去）)(EDB(CECEA
分配）(ECDCBECEA
)(DCBE
)(DCBEEA
吸收并项
例题：
1.1 概述
1.1.1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
*数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的；在时间上不连续。
*模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。
数字信号：表示数字量的信号，是在两个 稳定状态 之间作阶跃式变化的信号。
脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号 。
t
V
模拟电子技术,对模拟信号进行产生、放大、应用的电路数字电子技术,专门研究数字信号的产生、整型、
运算,编码等数字电路：工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。
数字电路包括 脉冲电路 和 数字逻辑电路脉冲电路：研究脉冲的产生、变换以及脉冲的测量等。
数字逻辑电路：能够实现某种逻辑功能的电路。
1.1.2 数制和码制
（一）数制,数字量的计数方法日常生活中计数体制是十进制；
数字电路中使用的数制是二进制和十六进制。
（二）不同数制之间的转换,
1）二进制转换成十进制按权相加法,将各位二进制数的权值乘上系数，相加。
例：求二进制数 11010.101相应的十进制数。
（ 11010.101） =1?24+1?23+0?22+1?21+0?20+1?2-1+0?2-2+1?2-3
=16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=(26.625)10
常用二进制的权
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
2) 十进制转换成二进制十进制整数用 除 2取余法例：将十进制 13转换成二进制形式
2 13 余数
2 6 1 因此：（ 13） 10=（ 1101） 2
2 3 0
2 1 1
0 1
十进制净小数用 乘 2取整法例：将十进制纯小数 0.562转换成误差 不大于 2-6的二进制数
0.562× 2=1.124 1 (K-1)
0.124× 2=0.248 0 (K-2)
0.248× 2=0.496 0 (K-3)
0.496× 2=0.992 0 (K-4)
0.992× 2=1.984 1 (K-5)
最后余小数 0.984>0.5，四舍五入 K-6=1。
所以 （ 0.562)10=(0.100011)2
3）十、二、十六进制的相互转换
二进制转换成十六进制从最低位开始，四位二进制合成一位十六进制，不足四位，
高位补零。
十六进制转换成二进制将一位十六进制数，换成四位二进制数。
十六进制转换成十进制按权相加法例：（ 7A.58） 16 =（？） 10
(7A.58)16 =7 × 161+10 × 160+5 × 16-1+8 × 16-2=(122.34375)10
十进制转换成十六进制先将十进制数转换成二进制数，整数部分和小数部分分别进行。然后，四位二进制数一组组成一位十六进制。
（三）码制代码：以数字形式出现，已经没有数量的含义，而是用来表示不同事物的特征。这些数码称为代码。
遵循一定的规则编制代码，这些规则称为 码制 。
BCD码,十进制数的代码表示。具有二进制形式，
却有十进制数特点。是一种以二进制形式编码的十进制数码（ Binary Coded Decimals）。简称
BCD码 。
0— 9数字，必须用四位二进制数表示。
常用 BCD码十进制数 8421BCD 5421BCD 余 3BCD
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
1100
1011
1010
1001
1000
0100
0011
0010
0001
0000
1100
1011
1010
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
有权码 无权码有权码,8421码,5421码,2421码四位二进制数各有相应的权。每一位的 1在不同代码中代表固定的数值。
无权码：余 3BCD码，也有四位。与 8421码比较，对应于相同的十进制数，余 3码比相应的 8421码多出 0011（ 3）。
每一位的 1在不同代码中不代表固定的数值。
BCD码不是二进制计数体制
BCD码,4位二进制数表示一位十进制数。
以 8421码为例：
表示一位十进制数，和二进制计数体制一致。
（ 79） 10 =（ 1001111） 2
按权相加,64+8+4+2+1 = 79
用 8421码表示：
（ 79） 10=（ 0111 1001） BCD
东南大学远程学院数字电子技术基础第二讲主讲教师,刘其奇编码的可靠性
0111?1000
如果用触发器表示计数器的状态，则 4个触发器要同时发生状态变化。
由于触发器电气、工艺方面的差别，其翻转的速度不完全一致。可能出现 瞬间误码 。
0111?0000?1000
瞬间误码
1）格雷码（ Gray）
格雷码是这样一种编码：任意两个相邻的数，它们的格雷码表示形式中仅有一位不同。
因此按格雷码接成计数器形式，每次状态转换过程只有一个计数器翻转。避免发生竞争 — 冒险现象。
介绍一种典型的格雷码，以及其产生的方法。
可靠性编码代码本身具有一种特性和能力，在代码形成过程中不易出错，或者说代码出错容易发现。
镜像法 1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
4位格雷码（表示十进制数 0~15）
注意：相邻两组代码，彼此只有一个元素不相同奇偶校验码奇偶校验代码包含两部分：信息位和奇偶校验位。
两种编码形式：
奇校验：使得一个代码组中信息位和校验位中,1”的总和为奇数。
偶校验：使得一个代码组中信息位和校验位中,1”的总和为偶数。
1.2 逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算
A
基本逻辑运算复合逻辑运算
A=Y
D?C+B?A=YB?A=Y B+A=Y
11 ≥
1 ≥
Y Y Y
B
ABA
&
&
B?A=Y B+A=Y
=1AB Y
B?A+B?A=BA=Y ⊕
异或真值表
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
异或逻辑
=A
B
Y
B?A+B?A=BA=Y
同或真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
同或逻辑
⊙
异或逻辑与同或逻辑互为反运算
BA=BA ⊕ BA=BA ⊕⊙ ⊙
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
1.3.1 逻辑代数的基本公式三大类，八条基本定律
1）与普通代数相似的定律
）（交换律,5BA=AB ; ）（ 15A+B=B+A ;
）（结合律,6CAB=BCA ;)()( ）（ 16C+B+A=C+B+A ;)()
）（分配律,7AC+AB=C+BA ;)(
）（ 17C+AB+A=BC+A );)((
与对或的分配或对与的分配
2）变量常量关系定律;A=1?A10 律：,;0=0?A)2( ）（ 1;1=1+A ）（ 11 ;A=0+A ）（ 12；互补律,0=A?A）（ 4 ;1=A+A ）（ 14
3）逻辑代数的特殊定律；重叠律,A=A?A）（ 3 ;=A+A ）（ 13；否定律 A=A:）（ 9；反演律 B+A=B?A,;B?A=B+A）（ 8 ）（ 18
列真值表证明反演律：
B+A=B+A =B?A;B?A
B+AB+A B?AA B B?A B?AB+AA B
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
相等 相等东南大学远程学院数字电子技术基础第三讲主讲教师,刘其奇
1.3.2 逻辑代数的常用公式及公式化简
CB+AC=Y
A C D+CB+A B C=Y
在 与 — 或 逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少，
而且每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数式为 最简形式 。
逻辑函数式除了 与 — 或 形式外，还有 与 — 非,或 — 非,与或非 形式，根据具体的逻辑器件来决定。
与 — 或 逻辑表达式：若干乘积项相加的形式 。（积之和）
A=1?A=B?A+A证明：
BC+CA=BC+B+1CA=BC+CBA+CA=Y )(
两乘积项相加，其中一项以另一项为因子，则该项多余。
（吸收法,消去项 ）
A=B?A+A1） ）（ 21
BA=F+EB CDA+BA=Y )(
BC+A=BC+D+CB+ABC+D+CB+AA+A=
BC+D+CB+ABC+A+A=
BC+D+CB+ABCA+A=Y
)()(
))((
)(
B+A=B+A?A+A=B?A+A )()(:证明
C+AB=ABC+AB=
B+AC+AB=CB+CA+AB=Y
)(
)(
利用或对与的分配。
两乘积项相加，其中一项取反后作为另一项的因子，则该因子多余。（消去法 —— 消去多余因子 ）
B+A=B?A+A2 ） ）（ 22
反演律
A=B+BA=B?A+B?A )(证明：
1=A+A利用 并项,消去一对互非因子
A=B?A+B?A3） ）（ 23
A=C+BA+C+BA=CBA+AC+AB=Y )()(
A=BA+AB=C+CBA++=
CBA+CAB+CBA+A B C=
CB+CBA+CB+BCA=Y
)(
)
)()(
)CA B ( C
A=B?A+A=B?A+A?A=B+A?A )(证明：
）式（ 21
同（ 21）吸收法,消去和式
A=B+A?A4 )(） ）（ 24
C?B+C?A+B?A证明：
若两个乘积项分别包含互非的两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三项时，则第三项多余。 消去项
C?A+B?A=C?B+C?A+B?A5 ） ）（ 25
)( A+AC?B+C?A+B?A= 配项
C?B?A+C?B?A+C?A+B?A=
)()( B+1C?A+C+1B?A=
C?A+B?A=
C?A+B?A=D?C?B+C?A+B?A
25 式变形：)(
CB+BA+AC=C+B+BA+AC=Y
BD+C+AD+A BC=BD+DC+DA+A BC=Y )(
EDBC+DBCA+DBA+DBA+A B C+CBA=Y
BD+DAC+A B C=
DC+DA+A B C=
CB+AC=
DAC+A B C=
)()()( E+ADBC+DBA+BA+CAB+BA=
)]([)()( E+ABDC+DBA+CBA= ⊕⊕
DBA+CBA= )()( ⊕⊕
B?A=B+A?A=B?A?A
126
)(
）证明：（ -
当 A和一个乘积项的非相乘时，而且 A为乘积项的因子时，则 A这个因子可以消去。 消去因子
A=B+1?A=B?A+A?A=B+A?A=B?A?A
226
)()(
）证明：（ -
当 和一个乘积项的非相乘时，而且 A为乘积项的因子时，结果就是 。 消去因子
A
A
B?A=B?A?A6）
A=B?A?A ）（
）（
226
126
-
-
五种公式化简方法：
并项法：（ 23）
吸收法：（ 21）、（ 24）
消项法：（ 25）
消因子法：（ 22）
配项法：
利用 进行配项化简 )BB(AA
BA+CB+CB+BA=Y
例题：
)()( C+CBA+CBA+A+CB+BA=
配项
CBAB C +AC+BAC+B+AC+B= BA
BCA+CBA+CB+BA=
)( BC+CBA+CB+BA=
CA+CB+BA=
EAD E +CE+C+BDCBB E +AY = A C E +
（吸收）DEC+ECB+DCB+EA+A CE=
分配）)(DEBEDB(C)AAC(E
消去、分配）)](DB(EDB[(C)CA(E
反演）)(EDBDB(CECEA
消去）)(EDB(CECEA
分配）(ECDCBECEA
)(DCBE
)(DCBEEA
吸收并项
例题：
