动力学普遍定理动力学普遍定理包括 动量定理,动量矩定理和 动能定理 。这些定理使某些与运动有关的物理量，如 动量,动量矩 和 动能,和某些与作用力有关的物理量，如 冲量,力矩 和 功 等联系起来，建立它们之间数量上的普遍关系。应用这些定理求解质点和质点系的动力学问题，不但数学运算得到简化，而且会使我们更深入地了解机械运动的性质。
第十二章 动量定理动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1 质系动量定理
■质点及质点系的动量动量 是度量物体机械运动强度的一个物理量。
质点的动量质点的动量 定义为它的质量与速度的乘积,即
p = mv
动量是 矢量,其方向与质点的速度方向相同。
动量在坐标轴上的投影是代数量。
质点系内所有质点的动量的矢量和称为 质点系的动量,即
p = ∑ p
i
= ∑ m
i
v
i
质点系内所有质点的动量构成一个动量系,质点系的动量即是这个 动量系的主矢量 。 质点系的动量是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
■质点系的动量定理考虑由 n个质点组成的质点系,对其第 i个质点应用牛顿第二定律得
ei
d
()
d
iii i
m
t
vFF= +
ei
d
()
d
iii i
m
t
vFF= +
式中 m
i
v
i
第 i个质点的动量,F
i
e
是作用于该质点的外力 的合力,F
i
i
是作用于该质点的内力的合力。
上式对 i求和得
ei
d
()
d
iiii
m
t
vFF=+
∑∑∑
e
d
()
d
iii
m
t
vF=
∑ ∑
()
∑
=
e
i
t
F
d
dp
上式表明,质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力系的主矢。 这一结论称为 质点系的动量定理。 在实际应用中常用其投影形式,
=
=
=
∑
∑
∑
e
iz
z
e
iy
y
e
ix
x
F
t
p
F
t
p
F
t
p
d
d
d
d
d
d
=
=
=
∑∑
∑∑
∑∑
e
izizi
e
iyiyi
e
ixixi
Fvm
t
Fvm
t
Fvm
t
)(
d
d
)(
d
d
)(
d
d
或
()
()
∑∑
==
e
iii
m
dt
d
t
Fv
d
dp
()
∑
∫
∑∑
=?=?
2
1
t
t
Fvvpp dtmm
e
iiiii
12
12
积分
()
∫
=
2
1
t
t
FI dt
e
i
e
i
令
I
i
e
称为力 F
i
(e)
在时间间隔（ t
2
–t
1
）内的冲量，
则上式可写为：
∑
=?
e
i
Ipp
12
∑
=?
e
i
Ipp
12
上式表明,质点系的动量在任一时间内的变化，
等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的 冲量的主矢。 这一结论称为 质点系的冲量定理。 在实际应用中常用其投影形式,
=?
=?
=?
∑
∑
∑
e
zzz
e
yyy
e
xxx
Ipp
Ipp
Ipp
12
12
12
由质点系的动量定理可知,
系统动量的改变只系统动量的改变只与外力有关与外力有关
,而与内力无关而与内力无关
。
。 内力只能改变系统内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传递,而不能改变整个系统的动量。
■质点系的动量守恒
∑ F
i
e
≡ 0
0
d
d
=
t
p
∑
=
e
i
F
td
dp
p =∑ m
i
v
i
= 常矢量若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零
,则该则该质点系的动量保持不变质点系的动量保持不变
——质点系的动量守恒质点系的动量守恒
。
。
∑
=
e
ix
x
F
t
p
d
d
0
d
d
=
t
p
x
∑ F
ix
e
≡ 0
p
x
=∑ m
i
v
ix
= 常数若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零,则该质点系的动量在同一轴上的投影保持不变 ——质点系的动量在该坐标轴方向守恒。
例 1,斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，一块沿原轨道返回抛射点，另一块落地点水平距离 OB
则是未炸裂时应有水平距离 OB
0
的两倍。求物体炸裂后两块质量之比。
解：设物体炸裂后两块质量分别为 m
1
和 m
2
，炸开前的速度为 v。炸开后第一块的速度变为 v
1
，继续向前；第二块的速度为 v
2
，转向后方，应有 v
2
=-v 。
因爆炸力为内力，系统动量在水平方向守恒，即
( )
xxx
vmvmvmm
221121
+=+
v:vBA:BA
1000
=
如图示，因为
vv 3
1
=
所以
vv,vv,vv
xxx
===
21
3
代入上式
() vmvmvmm
2121
3?=+
21
mm =
从而解得例 2、有一质量为 m
1
=2kg的小车，车上有一装着沙的箱子，
沙与箱的总质量 m
2
=1kg,小车与沙箱以 v
0
=3.5km/h在光滑水平面上作匀速直线运动。现有一质量为 m
3
=0.5kg的物体 A铅直向下落入沙箱，如图示，求此后小车的速度。设 A落入后，沙箱在小车上滑 动 0.2s后，才与车面相对静止，求车面与箱底相互作用的摩擦力的平均值。
解：（ 1）取系统为研究对象，受力如图示。系统动量在水平方向守恒。设重物落入小车后速度为 v，则
A
m
3
g
m
2
g
m
1
g
N
2
)vmm(m)vm(m
321021
++=+
v
0
解得：
3km/h3.5
0.512
12
v
mmm
mm
v
0
321
21
=×
++
+
=
++
+
=
N
1
（ 2）取小车为研究对象，其受力如图示。根据动量定理的有限形式有
m
1
g
N
F
Ftvmvm?=?
011
N
1
N
2
解得：
kN
t
vvm
F 4.1
3600
1000
2.0
)35.3(2)(
01
=×
×
=
=
§12-2 质心运动定理
■质点系的质量中心质量中心，简称质心，是反映质点系内质量分布状况的物理概念之一。
质点系的质心 C相对于 O的矢径定义为
i
C
i
i
m
m
r
r =
∑
∑
x
y
z
m
i
r
i
O
r
C
C
显然,质系矢径是质系中各点矢径的加权平均值，所取权数是该质点的质量 。
质心位置坐标公式
Ciii
Ciii
Ciii
xmxm
ymym
z mz m
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
式中 (x
i
,y
i
,z
i
)是质点 m
i
的坐标。
显然,均质物体的质心与形心相重合。在地球表面附近,质点系的质心与重心相重合。
■质心运动定理设 m = ∑ m
i
则有
mr
C
=∑ m
i
r
i
mv
C
=∑ m
i
v
i
= p
p = mv
C
即 质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积 。
∑
=
e
i
F
td
dp
ma
C
=∑ F
i
e
ma
C
=∑ F
i
e
即 质点系的总质量与质心加速度之积等于作用于质点系的外力系的主矢,这一结论称为 质心运动定理 。
由此定理可得到以下结论：
（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，
如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。
（ 2） 质系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。例如汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。
■质心运动定理的投影形式在自然轴系上的投影形式在直角坐标系上的投影形式
e
2
e
e
d
d
0
C
C
n
b
v
mF
t
v
mF
F
τ
ρ
=
=
=
∑
∑
∑
2
e
2
2
e
2
2
e
2
d
d
d
d
d
d
C
x
C
y
C
z
x
mF
t
y
mF
t
z
mF
t
=
=
=
∑
∑
∑
对于刚体系，整个系统的质心的矢径
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
P
zp
M
zm
z
P
yp
M
ym
y
P
xp
M
xm
x
CiiCii
C
CiiCii
C
CiiCii
C
M
m
Cii
C
∑
=
r
r
刚体系统质心运动定理
( )
()
()
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
e
CiziCz
e
CiyiCy
e
CixiCx
ZamMa
YamMa
XamMa
( )
∑∑
==
e
CiiC
mM Faa
ma
C
=∑ F
i
e
■质心运动守恒
a
C
= 0 v
C
= 常矢量
∑ F
i
e
≡ 0
若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,则该质点系的质心处于静止或匀速直线运动状态 —
质点系的质心运动守恒。
a
Cx
= 0∑ F
ix
e
≡ 0
v
Cx
= 常数若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零,则该质点系质心的速度在同一轴上的投影保持不变 ——质心运动在该坐标轴方向守恒。
∑ F
ix
e
≡ 0
v
Cx
= 常数
∑ F
ix
e
≡ 0 且 v
Cx0
= 0
x
C
= 常数
M
mx
M
mx
0∑∑
=
x
C
= x
C0
0=
∑
)
0
x-m(x
——质心守恒定律的位移形式例 1,试求下列均质体的动量。
O
ω
G
A
OA = l
(1)
p
O
r
ω
G
(2)
p = Glω/2gp= 0
例 2,己知 m,u,α = 45°,杆重不计,园盘沿斜面纯滚,
试求系统的动量。
m
m
u
α
O
解,斜面平动,园盘作平面运动,瞬心为 C。如图有
m
m
u
α
O
u
C
v
O
v
O
= u
斜面的动量大小为
p
1
= mu
园盘的动量大小为
p
2
= mu
系统的动量大小为
P
1
P
2
P
p = mu
2
例 3,均质杆 AB=2a,A端置于光滑水平面上,当杆从铅直位置无初速地倒下时,求 B端的轨迹。
A
B
C
θ
F
G
解,t=0时,v
Cx
=0,x
C
=0; 水平方向无外力作用,质心的水平运动守恒,故始终有 x
C
=0。如图在任意时刻有
y
B
=2y
C
= 2a sin θ
y
C
= a sin θ
而
x
B
= a cos θ
A
B
F
N
A
B
C
θ
F
G
y
x
由以上二式消去 θ 得
22
22
1
4
BB
xy
aa
+ =
即 B 端的轨迹为椭园。
例 4,已知 F
G
,F
P
,F
Q
,ω为常量,AO=2l,地面光滑。 (1)求电机质心 O 的水平运动 ;(2)如将电机固定于地面,求固定螺栓的最大水平反力。
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
解,以整个系统为研究对象。
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
(1) 取 x 轴水平向右为正,t=0时的电机质心
O为坐标原点。
在时刻 t 有
x
2
= x
1
+ l sin ωt
x
3
= x
1
+ 2l sin ωt
x
2
= x
1
+ l sin ωtx
3
= x
1
+ 2l sin ωt
故系统质心的坐标为,
系统在水平方向不受外力作用,
质心的水平运动守恒,而初始时刻 v
C
= 0,x
C
= 0,因此
G1 P2 Q3
GPQ
C
F xFxFx
x
FFF
++
=
++
PQ
1
GPQ
2
sin
FF
xlt
FFF
ω
+
=+
++
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
PQ
1
GPQ
2
sin 0
C
FF
xx l t
FFF
ω
+
= +=
++
PQ
1
GPQ
2
sin
FF
xlt
FFF
ω
+
=?
++
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
(2) 若电机固定于地面,仍取 x 轴水平向右为正,电机质心 O为坐标原点。 则
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
x
2
= l sin ωt
x
1
= 0
x
3
= 2l sin ωt
设固定螺栓的水平反力为 F
x
,
则由质心运动定理有
x
PQ
GPQ
2
sin
C
FF
xlt
FFF
ω
+
=
++
2
GPQ
2
d
()
d
C
x
FFF
x
F
gt
++
=
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
x
PQ2
2
sin
x
FF
F lt
g
ω ω
+
=?
PQ2
2
maxx
FF
F l
g
ω
+
=
例5,在光滑轨道上有一小车，长为 l，重为 w
1
。重为 w
2
的人站在小车A端，开始时人与车都静止，如图示。令人从A端走到B
端，问小车后退距离 s。
s
解：取整体。由题意可知，
质点所受外力在水平方向投影为零。开始时系统处于静止。
人从A端到B端时，小车和人的 x
坐标变量为
slxsx?==?
21
0=?
∑
xm
AB
AB
W
2
W
1
N
1
N
2
由
0)(
212
2
1
1
=?+?=?+? slwswx
g
w
x
g
w
0
21
2
ww
lw
l
+
=
得所以解：设 C
1
,C
2
分别为 OA杆,AB
杆的质心，有
2lcosxlcos
2
3
xcos
2
l
x
BC2C1
===
sin2lxsinl
2
3
xsin
2
l
x
BC2C1
=?=?=
sin2cos2
sin
2
3
cos
2
3
sin
2
cos
2
2
2
2
2
1
llx
llx
ll
x
B
C
C
=
=
=
例6,图示曲柄滑块机构，曲柄以匀角速度 ω转动，滑块 B沿 x轴滑动，
OA及 AB均为均质杆，质量均为 m
1
，
且 OA=OB=l，滑块质量为 m
2
。不计各处摩擦，求支座 O处的水平约束力。
系统受力如图所示。
由刚体系质心运动定理的投影形式
( )
∑∑∑
==
e
cCx
Xxmma
将上面的结果代入，并注意到
0,,===?ω?ω?
t
得
O
Xlmlm
l
m =ω?ω?ω cos2cos
2
3
cos
2
2
2
2
1
2
1
( ) tlmmX
O
ωω cos2
2
21
+?=解得课后作业：
P
244-247
,12-1(b、d)、12-4、12-8、
12-10、12-12
第十二章 动量定理动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1 质系动量定理
■质点及质点系的动量动量 是度量物体机械运动强度的一个物理量。
质点的动量质点的动量 定义为它的质量与速度的乘积,即
p = mv
动量是 矢量,其方向与质点的速度方向相同。
动量在坐标轴上的投影是代数量。
质点系内所有质点的动量的矢量和称为 质点系的动量,即
p = ∑ p
i
= ∑ m
i
v
i
质点系内所有质点的动量构成一个动量系,质点系的动量即是这个 动量系的主矢量 。 质点系的动量是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
■质点系的动量定理考虑由 n个质点组成的质点系,对其第 i个质点应用牛顿第二定律得
ei
d
()
d
iii i
m
t
vFF= +
ei
d
()
d
iii i
m
t
vFF= +
式中 m
i
v
i
第 i个质点的动量,F
i
e
是作用于该质点的外力 的合力,F
i
i
是作用于该质点的内力的合力。
上式对 i求和得
ei
d
()
d
iiii
m
t
vFF=+
∑∑∑
e
d
()
d
iii
m
t
vF=
∑ ∑
()
∑
=
e
i
t
F
d
dp
上式表明,质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力系的主矢。 这一结论称为 质点系的动量定理。 在实际应用中常用其投影形式,
=
=
=
∑
∑
∑
e
iz
z
e
iy
y
e
ix
x
F
t
p
F
t
p
F
t
p
d
d
d
d
d
d
=
=
=
∑∑
∑∑
∑∑
e
izizi
e
iyiyi
e
ixixi
Fvm
t
Fvm
t
Fvm
t
)(
d
d
)(
d
d
)(
d
d
或
()
()
∑∑
==
e
iii
m
dt
d
t
Fv
d
dp
()
∑
∫
∑∑
=?=?
2
1
t
t
Fvvpp dtmm
e
iiiii
12
12
积分
()
∫
=
2
1
t
t
FI dt
e
i
e
i
令
I
i
e
称为力 F
i
(e)
在时间间隔（ t
2
–t
1
）内的冲量，
则上式可写为：
∑
=?
e
i
Ipp
12
∑
=?
e
i
Ipp
12
上式表明,质点系的动量在任一时间内的变化，
等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的 冲量的主矢。 这一结论称为 质点系的冲量定理。 在实际应用中常用其投影形式,
=?
=?
=?
∑
∑
∑
e
zzz
e
yyy
e
xxx
Ipp
Ipp
Ipp
12
12
12
由质点系的动量定理可知,
系统动量的改变只系统动量的改变只与外力有关与外力有关
,而与内力无关而与内力无关
。
。 内力只能改变系统内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传递,而不能改变整个系统的动量。
■质点系的动量守恒
∑ F
i
e
≡ 0
0
d
d
=
t
p
∑
=
e
i
F
td
dp
p =∑ m
i
v
i
= 常矢量若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零
,则该则该质点系的动量保持不变质点系的动量保持不变
——质点系的动量守恒质点系的动量守恒
。
。
∑
=
e
ix
x
F
t
p
d
d
0
d
d
=
t
p
x
∑ F
ix
e
≡ 0
p
x
=∑ m
i
v
ix
= 常数若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零,则该质点系的动量在同一轴上的投影保持不变 ——质点系的动量在该坐标轴方向守恒。
例 1,斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，一块沿原轨道返回抛射点，另一块落地点水平距离 OB
则是未炸裂时应有水平距离 OB
0
的两倍。求物体炸裂后两块质量之比。
解：设物体炸裂后两块质量分别为 m
1
和 m
2
，炸开前的速度为 v。炸开后第一块的速度变为 v
1
，继续向前；第二块的速度为 v
2
，转向后方，应有 v
2
=-v 。
因爆炸力为内力，系统动量在水平方向守恒，即
( )
xxx
vmvmvmm
221121
+=+
v:vBA:BA
1000
=
如图示，因为
vv 3
1
=
所以
vv,vv,vv
xxx
===
21
3
代入上式
() vmvmvmm
2121
3?=+
21
mm =
从而解得例 2、有一质量为 m
1
=2kg的小车，车上有一装着沙的箱子，
沙与箱的总质量 m
2
=1kg,小车与沙箱以 v
0
=3.5km/h在光滑水平面上作匀速直线运动。现有一质量为 m
3
=0.5kg的物体 A铅直向下落入沙箱，如图示，求此后小车的速度。设 A落入后，沙箱在小车上滑 动 0.2s后，才与车面相对静止，求车面与箱底相互作用的摩擦力的平均值。
解：（ 1）取系统为研究对象，受力如图示。系统动量在水平方向守恒。设重物落入小车后速度为 v，则
A
m
3
g
m
2
g
m
1
g
N
2
)vmm(m)vm(m
321021
++=+
v
0
解得：
3km/h3.5
0.512
12
v
mmm
mm
v
0
321
21
=×
++
+
=
++
+
=
N
1
（ 2）取小车为研究对象，其受力如图示。根据动量定理的有限形式有
m
1
g
N
F
Ftvmvm?=?
011
N
1
N
2
解得：
kN
t
vvm
F 4.1
3600
1000
2.0
)35.3(2)(
01
=×
×
=
=
§12-2 质心运动定理
■质点系的质量中心质量中心，简称质心，是反映质点系内质量分布状况的物理概念之一。
质点系的质心 C相对于 O的矢径定义为
i
C
i
i
m
m
r
r =
∑
∑
x
y
z
m
i
r
i
O
r
C
C
显然,质系矢径是质系中各点矢径的加权平均值，所取权数是该质点的质量 。
质心位置坐标公式
Ciii
Ciii
Ciii
xmxm
ymym
z mz m
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
式中 (x
i
,y
i
,z
i
)是质点 m
i
的坐标。
显然,均质物体的质心与形心相重合。在地球表面附近,质点系的质心与重心相重合。
■质心运动定理设 m = ∑ m
i
则有
mr
C
=∑ m
i
r
i
mv
C
=∑ m
i
v
i
= p
p = mv
C
即 质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积 。
∑
=
e
i
F
td
dp
ma
C
=∑ F
i
e
ma
C
=∑ F
i
e
即 质点系的总质量与质心加速度之积等于作用于质点系的外力系的主矢,这一结论称为 质心运动定理 。
由此定理可得到以下结论：
（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，
如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。
（ 2） 质系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。例如汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。
■质心运动定理的投影形式在自然轴系上的投影形式在直角坐标系上的投影形式
e
2
e
e
d
d
0
C
C
n
b
v
mF
t
v
mF
F
τ
ρ
=
=
=
∑
∑
∑
2
e
2
2
e
2
2
e
2
d
d
d
d
d
d
C
x
C
y
C
z
x
mF
t
y
mF
t
z
mF
t
=
=
=
∑
∑
∑
对于刚体系，整个系统的质心的矢径
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
P
zp
M
zm
z
P
yp
M
ym
y
P
xp
M
xm
x
CiiCii
C
CiiCii
C
CiiCii
C
M
m
Cii
C
∑
=
r
r
刚体系统质心运动定理
( )
()
()
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
e
CiziCz
e
CiyiCy
e
CixiCx
ZamMa
YamMa
XamMa
( )
∑∑
==
e
CiiC
mM Faa
ma
C
=∑ F
i
e
■质心运动守恒
a
C
= 0 v
C
= 常矢量
∑ F
i
e
≡ 0
若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,则该质点系的质心处于静止或匀速直线运动状态 —
质点系的质心运动守恒。
a
Cx
= 0∑ F
ix
e
≡ 0
v
Cx
= 常数若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零,则该质点系质心的速度在同一轴上的投影保持不变 ——质心运动在该坐标轴方向守恒。
∑ F
ix
e
≡ 0
v
Cx
= 常数
∑ F
ix
e
≡ 0 且 v
Cx0
= 0
x
C
= 常数
M
mx
M
mx
0∑∑
=
x
C
= x
C0
0=
∑
)
0
x-m(x
——质心守恒定律的位移形式例 1,试求下列均质体的动量。
O
ω
G
A
OA = l
(1)
p
O
r
ω
G
(2)
p = Glω/2gp= 0
例 2,己知 m,u,α = 45°,杆重不计,园盘沿斜面纯滚,
试求系统的动量。
m
m
u
α
O
解,斜面平动,园盘作平面运动,瞬心为 C。如图有
m
m
u
α
O
u
C
v
O
v
O
= u
斜面的动量大小为
p
1
= mu
园盘的动量大小为
p
2
= mu
系统的动量大小为
P
1
P
2
P
p = mu
2
例 3,均质杆 AB=2a,A端置于光滑水平面上,当杆从铅直位置无初速地倒下时,求 B端的轨迹。
A
B
C
θ
F
G
解,t=0时,v
Cx
=0,x
C
=0; 水平方向无外力作用,质心的水平运动守恒,故始终有 x
C
=0。如图在任意时刻有
y
B
=2y
C
= 2a sin θ
y
C
= a sin θ
而
x
B
= a cos θ
A
B
F
N
A
B
C
θ
F
G
y
x
由以上二式消去 θ 得
22
22
1
4
BB
xy
aa
+ =
即 B 端的轨迹为椭园。
例 4,已知 F
G
,F
P
,F
Q
,ω为常量,AO=2l,地面光滑。 (1)求电机质心 O 的水平运动 ;(2)如将电机固定于地面,求固定螺栓的最大水平反力。
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
解,以整个系统为研究对象。
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
(1) 取 x 轴水平向右为正,t=0时的电机质心
O为坐标原点。
在时刻 t 有
x
2
= x
1
+ l sin ωt
x
3
= x
1
+ 2l sin ωt
x
2
= x
1
+ l sin ωtx
3
= x
1
+ 2l sin ωt
故系统质心的坐标为,
系统在水平方向不受外力作用,
质心的水平运动守恒,而初始时刻 v
C
= 0,x
C
= 0,因此
G1 P2 Q3
GPQ
C
F xFxFx
x
FFF
++
=
++
PQ
1
GPQ
2
sin
FF
xlt
FFF
ω
+
=+
++
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
PQ
1
GPQ
2
sin 0
C
FF
xx l t
FFF
ω
+
= +=
++
PQ
1
GPQ
2
sin
FF
xlt
FFF
ω
+
=?
++
O
F
G
F
P
A
F
Q
x
x
1
x
2
x
3
(2) 若电机固定于地面,仍取 x 轴水平向右为正,电机质心 O为坐标原点。 则
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
x
2
= l sin ωt
x
1
= 0
x
3
= 2l sin ωt
设固定螺栓的水平反力为 F
x
,
则由质心运动定理有
x
PQ
GPQ
2
sin
C
FF
xlt
FFF
ω
+
=
++
2
GPQ
2
d
()
d
C
x
FFF
x
F
gt
++
=
O
F
G
F
P
ωt
A
F
Q
x
PQ2
2
sin
x
FF
F lt
g
ω ω
+
=?
PQ2
2
maxx
FF
F l
g
ω
+
=
例5,在光滑轨道上有一小车，长为 l，重为 w
1
。重为 w
2
的人站在小车A端，开始时人与车都静止，如图示。令人从A端走到B
端，问小车后退距离 s。
s
解：取整体。由题意可知，
质点所受外力在水平方向投影为零。开始时系统处于静止。
人从A端到B端时，小车和人的 x
坐标变量为
slxsx?==?
21
0=?
∑
xm
AB
AB
W
2
W
1
N
1
N
2
由
0)(
212
2
1
1
=?+?=?+? slwswx
g
w
x
g
w
0
21
2
ww
lw
l
+
=
得所以解：设 C
1
,C
2
分别为 OA杆,AB
杆的质心，有
2lcosxlcos
2
3
xcos
2
l
x
BC2C1
===
sin2lxsinl
2
3
xsin
2
l
x
BC2C1
=?=?=
sin2cos2
sin
2
3
cos
2
3
sin
2
cos
2
2
2
2
2
1
llx
llx
ll
x
B
C
C
=
=
=
例6,图示曲柄滑块机构，曲柄以匀角速度 ω转动，滑块 B沿 x轴滑动，
OA及 AB均为均质杆，质量均为 m
1
，
且 OA=OB=l，滑块质量为 m
2
。不计各处摩擦，求支座 O处的水平约束力。
系统受力如图所示。
由刚体系质心运动定理的投影形式
( )
∑∑∑
==
e
cCx
Xxmma
将上面的结果代入，并注意到
0,,===?ω?ω?
t
得
O
Xlmlm
l
m =ω?ω?ω cos2cos
2
3
cos
2
2
2
2
1
2
1
( ) tlmmX
O
ωω cos2
2
21
+?=解得课后作业：
P
244-247
,12-1(b、d)、12-4、12-8、
12-10、12-12
