§ 10-3 平面图形内各点的速度分析
1,基点法（速度合成法）
BAAB
vvv +=
ω?+= AB
A
v
点的速度合成定理：
rea
vvv +=
动点,M
绝对运动：未知的平面曲线运动牵连运动：平动
Ae
vv =
动系,Ax
1
y
1
(平动 )
相对运动：圆周运动
ωrv
r
=
rAreaM
vvvvvv +=+==
MAAM
vvv +=
2,速度投影法
BAAB
vvv +=
ABBAABAABB
v ][][][ += vv
ABv ⊥
BA
0
ABBA
=][v
∵
∴
于是有
ABAABB
][][ vv =
速度投影定理,同一刚体上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等（包含大小和正负号）。
此定理的物理意义为：刚体上任意两点的距离恒定不变 。
3．速度瞬心法如果某瞬时，平面图形上存在一动点
C，其相对于基点 A的速度满足下式
ACA
vv?=
则得到一个特殊的结论：
0
CAAC
=+= vvv
C点称为瞬时速度中心，或速度瞬心（简称 瞬心 ）。
如图示，作
A
v⊥AN
取
ω
A
v
AC =
，则有
ACA
vACv =?= ω
ACA
vv?=
由图示可见瞬心存在性定理,每一瞬时在平面图形或其延展平面上总存在一个唯一的瞬心。
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
①纯滚动的情形与固定面之接触点即为该瞬时之瞬心 C
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
②已知图形上任意两点 A,B的速度方位，且不平行。
分别过 A,B两点作 v
A
,v
B
的垂线，其交点即为瞬心 C。
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
③已知图形上存在两个点 A,B，有 v
A
∥ v
B
，且垂直于 AB连线，如下图所示。（此种情形还须知道两速度之大小。）
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
④瞬时平动情形若某瞬时已知平面运动刚体上有两点的速度相互平行但与两点连线不垂直，则此瞬时必有刚体上各点速度大小、方向全相同，称为 瞬时平动,如下图所示。
或者，已知图形上有两点的速度矢量相等，且与两点连线垂直，此时刚体也作 瞬时平动 。
A
B
v
A
v
B
例1、图示曲柄连杆机构。已知OA= r，AB= l。①求图示位置连杆 AB之瞬心；②求 OA在铅垂位置时连杆 AB之运动特点。
v
A
v
B
C
A
v
A
v
B
例 2、半径为 R的圆轮在地面上沿直线轨道作纯滚，已知轮心 O的速度 v
0
。求轮子的角速度和图示瞬时轮缘上 A,B两点的速度。
解：轮子作平面运动,C点为瞬时速度中心。
1．瞬心法
Rv
0
=ω
0
22 vRv
A
== ω
0
22 vRv
B
== ω
方向如图 b示。
2．用基点法求速度（思路）
（ 1）以 O为基点,C为动点，
0
COOC
=+= vvv
RvRv
OCO
==ω
（ 2）分别以 A,B为动点求 v
A
和 v
B
。
例 3、已知半径为 r的小圆柱沿半径为 R的大圆弧槽作纯滚式的往复摆动，
如图 a所示，小圆柱中心 A点沿其轨迹以 O
1
为原点按 s
A
=bsinω
0
t的规律运动。试求当 ω
0
t=π/3时，（ 1） A点的速度、加速度；（ 2）圆柱两边缘点
B和 D点的速度。
解：（ 1）求 A点的速度、加速度。
∵
tbs
A 0
sinω=
∴
tbsv
AA 00
cosωω==
null
t2
0
A A0
as bsintω ω==?
nullnull
tcos
rR
ωb
ρ
v
a
0
2
2
0
2
A
2
A
n
A
ω
==
当 ω
0
t=π/3时
0AA
bω
2
1
sv ==
null
t2
A A0
3
as bω
2
==?
nullnull
r)4(R
ωb
ρ
v
a
2
0
2
A
2
A
n
A
==
0AA
bω
2
1
sv ==
null
t2
A A0
3
as bω
2
==?
nullnull
r)4(R
ωb
ρ
v
a
2
0
2
A
2
A
n
A
==
v
B
t
A
a
n
A
a
（ 2）求 v
B
和 v
D
。
0
2
ωω
r
b
r
v
A
A
==
0AB
bω2rωv ==
（顺时针）
(方向如图示)
0v
D
=
例 4、在下图 a所示机构中，曲柄 OA长 r，以作等角速度 ω0转动。
连杆 AB长,带动滚轮 B沿直线轨道作无滑动的滚动，滚轮半径 R=r/2。求当 时，杆 AB的角速度 ω
AB，
滚轮 B的角速度 ω
B
及轮上 E,D点的速度 v
E
,v
D
。
r2l =
°=? 45
解,A,B两点的速度如图示，应用速度投影定理，有因 E为轮 B的速度瞬心，因而有
0
23.2 ωω ==
R
v
B
B
0=
E
v
°=° 15cos30cos
AB
vv （逆时针）
0
115.1 ωrv
B
=
所以
0
577.12 ωω rRv
BD
==
（ 转 下页）
例 4、在下图 a所示机构中，曲柄 OA长 r，以作等角速度 ω0转动。
连杆 AB长,带动滚轮 B沿直线轨道作无滑动的滚动，滚轮半径 R=r/2。求当 时，杆 AB的角速度 ω
AB，
滚轮 B的角速度 ω
B
及轮上 E,D点的速度 v
E
,v
D
。
r2l =
°=? 45
x
v
BA
v
B
v
A
（ 接 上页）
将 v
B
= v
BA
+ v
A
向 AB的垂线投影，有：
nullnull
15sin30sin
ABAB
vvv?=
∴
0
816.015sin30sin ωrvvv
ABBA
=°+°=
0
BABA
AB
0.577ω
r2
v
l
v
ω === （顺时针）
例 5、矿石轧碎机的活动夹板
AB长 600mm，由曲柄 OE借连杆组带动而绕 A轴摆动，如图示。
曲柄 OE长 100mm，角速度为
10rad/s。连杆组由杆 BG,GD和
GE组成，杆 BG和 GD各长
500mm。求当机构在图示位置
（ OE,BD水平,OG铅垂）时，
夹板 AB的角速度。
解,B,G,E三点速度方向如图所示。
tgθsin15cos15
v
v
oo
E
G
=
取杆 EG，由速度投影定理取杆 BG，由速度投影定理
θ)cos(15vcosθv
GE
+°=
) tgθ sin15(cos15vv
oo
GE
=
°= cos60vv
GB
°= cos60vv
GB
tgθ sin15cos15
cos60v
v
oo
o
E
B
=
o
DGsin150.8
OE
OG
OE
tgθ
+
==
因代入数据得
0.888rad/s
AB
v
ω
B
AB
==
课后作业：
10-4,10-5,10-8,10-9、
10-11
1,基点法（速度合成法）
BAAB
vvv +=
ω?+= AB
A
v
点的速度合成定理：
rea
vvv +=
动点,M
绝对运动：未知的平面曲线运动牵连运动：平动
Ae
vv =
动系,Ax
1
y
1
(平动 )
相对运动：圆周运动
ωrv
r
=
rAreaM
vvvvvv +=+==
MAAM
vvv +=
2,速度投影法
BAAB
vvv +=
ABBAABAABB
v ][][][ += vv
ABv ⊥
BA
0
ABBA
=][v
∵
∴
于是有
ABAABB
][][ vv =
速度投影定理,同一刚体上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等（包含大小和正负号）。
此定理的物理意义为：刚体上任意两点的距离恒定不变 。
3．速度瞬心法如果某瞬时，平面图形上存在一动点
C，其相对于基点 A的速度满足下式
ACA
vv?=
则得到一个特殊的结论：
0
CAAC
=+= vvv
C点称为瞬时速度中心，或速度瞬心（简称 瞬心 ）。
如图示，作
A
v⊥AN
取
ω
A
v
AC =
，则有
ACA
vACv =?= ω
ACA
vv?=
由图示可见瞬心存在性定理,每一瞬时在平面图形或其延展平面上总存在一个唯一的瞬心。
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
①纯滚动的情形与固定面之接触点即为该瞬时之瞬心 C
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
②已知图形上任意两点 A,B的速度方位，且不平行。
分别过 A,B两点作 v
A
,v
B
的垂线，其交点即为瞬心 C。
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
③已知图形上存在两个点 A,B，有 v
A
∥ v
B
，且垂直于 AB连线，如下图所示。（此种情形还须知道两速度之大小。）
确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
④瞬时平动情形若某瞬时已知平面运动刚体上有两点的速度相互平行但与两点连线不垂直，则此瞬时必有刚体上各点速度大小、方向全相同，称为 瞬时平动,如下图所示。
或者，已知图形上有两点的速度矢量相等，且与两点连线垂直，此时刚体也作 瞬时平动 。
A
B
v
A
v
B
例1、图示曲柄连杆机构。已知OA= r，AB= l。①求图示位置连杆 AB之瞬心；②求 OA在铅垂位置时连杆 AB之运动特点。
v
A
v
B
C
A
v
A
v
B
例 2、半径为 R的圆轮在地面上沿直线轨道作纯滚，已知轮心 O的速度 v
0
。求轮子的角速度和图示瞬时轮缘上 A,B两点的速度。
解：轮子作平面运动,C点为瞬时速度中心。
1．瞬心法
Rv
0
=ω
0
22 vRv
A
== ω
0
22 vRv
B
== ω
方向如图 b示。
2．用基点法求速度（思路）
（ 1）以 O为基点,C为动点，
0
COOC
=+= vvv
RvRv
OCO
==ω
（ 2）分别以 A,B为动点求 v
A
和 v
B
。
例 3、已知半径为 r的小圆柱沿半径为 R的大圆弧槽作纯滚式的往复摆动，
如图 a所示，小圆柱中心 A点沿其轨迹以 O
1
为原点按 s
A
=bsinω
0
t的规律运动。试求当 ω
0
t=π/3时，（ 1） A点的速度、加速度；（ 2）圆柱两边缘点
B和 D点的速度。
解：（ 1）求 A点的速度、加速度。
∵
tbs
A 0
sinω=
∴
tbsv
AA 00
cosωω==
null
t2
0
A A0
as bsintω ω==?
nullnull
tcos
rR
ωb
ρ
v
a
0
2
2
0
2
A
2
A
n
A
ω
==
当 ω
0
t=π/3时
0AA
bω
2
1
sv ==
null
t2
A A0
3
as bω
2
==?
nullnull
r)4(R
ωb
ρ
v
a
2
0
2
A
2
A
n
A
==
0AA
bω
2
1
sv ==
null
t2
A A0
3
as bω
2
==?
nullnull
r)4(R
ωb
ρ
v
a
2
0
2
A
2
A
n
A
==
v
B
t
A
a
n
A
a
（ 2）求 v
B
和 v
D
。
0
2
ωω
r
b
r
v
A
A
==
0AB
bω2rωv ==
（顺时针）
(方向如图示)
0v
D
=
例 4、在下图 a所示机构中，曲柄 OA长 r，以作等角速度 ω0转动。
连杆 AB长,带动滚轮 B沿直线轨道作无滑动的滚动，滚轮半径 R=r/2。求当 时，杆 AB的角速度 ω
AB，
滚轮 B的角速度 ω
B
及轮上 E,D点的速度 v
E
,v
D
。
r2l =
°=? 45
解,A,B两点的速度如图示，应用速度投影定理，有因 E为轮 B的速度瞬心，因而有
0
23.2 ωω ==
R
v
B
B
0=
E
v
°=° 15cos30cos
AB
vv （逆时针）
0
115.1 ωrv
B
=
所以
0
577.12 ωω rRv
BD
==
（ 转 下页）
例 4、在下图 a所示机构中，曲柄 OA长 r，以作等角速度 ω0转动。
连杆 AB长,带动滚轮 B沿直线轨道作无滑动的滚动，滚轮半径 R=r/2。求当 时，杆 AB的角速度 ω
AB，
滚轮 B的角速度 ω
B
及轮上 E,D点的速度 v
E
,v
D
。
r2l =
°=? 45
x
v
BA
v
B
v
A
（ 接 上页）
将 v
B
= v
BA
+ v
A
向 AB的垂线投影，有：
nullnull
15sin30sin
ABAB
vvv?=
∴
0
816.015sin30sin ωrvvv
ABBA
=°+°=
0
BABA
AB
0.577ω
r2
v
l
v
ω === （顺时针）
例 5、矿石轧碎机的活动夹板
AB长 600mm，由曲柄 OE借连杆组带动而绕 A轴摆动，如图示。
曲柄 OE长 100mm，角速度为
10rad/s。连杆组由杆 BG,GD和
GE组成，杆 BG和 GD各长
500mm。求当机构在图示位置
（ OE,BD水平,OG铅垂）时，
夹板 AB的角速度。
解,B,G,E三点速度方向如图所示。
tgθsin15cos15
v
v
oo
E
G
=
取杆 EG，由速度投影定理取杆 BG，由速度投影定理
θ)cos(15vcosθv
GE
+°=
) tgθ sin15(cos15vv
oo
GE
=
°= cos60vv
GB
°= cos60vv
GB
tgθ sin15cos15
cos60v
v
oo
o
E
B
=
o
DGsin150.8
OE
OG
OE
tgθ
+
==
因代入数据得
0.888rad/s
AB
v
ω
B
AB
==
课后作业：
10-4,10-5,10-8,10-9、
10-11
