矩阵的运算方阵与分块矩阵矩阵的初等变换与矩阵的秩可逆矩阵齐次线性方程有非零解的条件及解的结构非齐次线性方程有解的条件及解的结构第一章 行列式第二章 矩阵理论第三章 向量空间第四章 线性方程组
n 阶行列式行列式的性质与行列式的展开向量的线性相关性向量空间,向量空间的基与坐标
§ 2
§ 3
§ 2
§ 3
§ 4
§ 5
§ 5
§ 3.
§ 4
§ 2
综合试卷（一直四章 ）
综合试卷 2
综合试卷 3
综合试卷 1
综合试卷 4 综合试卷 4答案综合试卷 3答案综合试卷 2答案综合试卷 1答案综 合 试 题 1
一、判别下列命题是否正确
1,如果行列式 d=0那么它至少有一行元素全为零,
2,如果含 n个末知量的 n个方程构成的线性方程组的系数行列式等于零,那么它有无穷多解,
3,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么 I~II.
5,如果向量 可由向量组 唯一线性表出,
则 线性无关,
6,方阵 A可逆当且仅当 A*可逆,
7,初等矩阵的乘积仍是初等矩阵
8,线性空间 V中,两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组的秩相等,
s,,21?
s,,21?
综合试题 1二、单选题
1.已知向量组 线性无关，则下列量组中线性相关的是
A,B.
C,D.
2.设 有,则下列表达式有意义的是
A,B,C,D.
3,设 A为 n阶方阵,则必有
A,B,C,D.
4.设 A是 3阶方阵,则
A,1 B,2 C,3 D.4
5.n 阶行列式的为零的充要条件是
A,有两行元素相等 B,有两行元素对应成比例,
C,有一行元素全为零,D,行向量线性相关
33221,4,32 4 3 321211,,
133221 3,2, 133221,,
mnmn C B A,,?
CAB'ABC' BCA'ACB'
EA C B D?
EA B C D?
321,,
EB C D A? EC DBA? EA D B C?
,
101
241
102
,2)(
BAr?)'( ABBr
综合试题 1三、填空
4P
1,排列与排列的逆序数的和为 （ ）,
2,如果 A为阶 n可逆方阵,,那么 B=（ ）,
3.设 有无穷多解,则 a =（ ）
4,设 为 5 阶矩阵单位,则 （ ）
5.
四,求 中由基 到基 的过渡矩阵,并求在 下的坐标,其中
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
nn
mm
n
m
DC
BA
EP
E 0
}{ ijE?24323423 EEEE
4321,,, 4321,,,
),,,(ξ 0001?
),1,0,1,1(
),1,1,2,1(
),1,1,1,1(
),01,2,1(
4
3
2
1
-
,
4321,,,
),2,1,3,1(
),2,1,1,2(
),2,2,1,0(
),10,1,2(
4
3
2
1
,
CAB?
综合试题 1
五,证明：向量组线性无关的充分必要条件是存在一个向量都可被它们惟一线性表出,
六,计算行列式
mxxx
xmxx
xxmx
n
n
n
21
21
21
返回目录下一套试卷答 案
一,5,6正确二,1.A 2,C 3.B 4.B 5.D
三,1,2,3.-2 4.0 5,
四,过渡矩阵为 在 下的坐标为
CA 1
DPBCPA
BA2
nC
五,如果 线性相关,则存在不全为零的数 使则对任意可由向量组 线性表出的向量 有故 不能由向量组 唯一线性表出,反之,若线性无关,则零向量由它们唯一线性表出,
六,
s,,21?
s,,21?
s,,21?,,,,21 skkk?
.02211 sskkk
sss
ss
kakaka
aaa
)()()( 222111
2211
s,,21?
)()1(
1
11 mxm n
i i
nn
,
0100
1110
1011
1001
),,,(ξ 0001? 4321,,,
).,,,( 13 313 2135133
综合试题
（一）
答案下 一套试卷返回 目录综 合 试 题 2
一、判别下列命题是否正确
1,( )
2,( ) 如果向量组线性相关,那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
3,( ) 如果线性方程组系数矩阵的秩小于未知量的个数,那么它有无穷多解,
4,( ) 如果 由一线性无关向量组线性表出,则表出式唯一,
5,( ) 如果 可由 线性表出,且那么 线性相关,
6,( ) 如果 那么向量组 与向量组等价,
7,( ) 矩阵 可逆的充要条件是 可以表示成若干个初等矩阵的乘积,
8,( ) 设 为 阶方阵,且 那么
.
222
222
222
khg
fed
cba
khg
fed
cba
khg
fed
cba
s,,,21? t,,,21?,ts?
s,,,21?
),,,(),( 32121 LL? },{ 21
},,{ 321
A A
CBA,,n,02?A,0?A
综合试题 2二、单选题
1,下列条件不是向量组线性相关的充分条件是 （ ）
A,有一个 为零向量 B．
C,齐次线性方程组 有非零解 ;
2,设 为 阶方阵,则必有 （ ）,
A,B,C,D.
3,设 是 矩阵,则 （ ）
A,0 B,1 C,2 D,3
4,为 4阶方阵,则 ( ).
A,B,C,D,以上均不一定成立
5,设 是 阶方阵,是 方阵,下列表达式有意义的是 ( ).
A,B,C,D.
)(BAr
},,2,1|),,,,({ 54321 s iaaaaa iiiiii
i? 5?s
.0
,0
,0
5544332211
525424323222121
515414313212111
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
sssss
ABCD n,EA B C D?
,EA C B D?,EB C D A?,EC D B A?,EA D B C?
43?n,
015
030
321
,2)(
BAr
,0*?An
0?A 0||?A 03?A
nA nm?B
AB AB? BA? BA?
综合试题 2三、填空
1,排列 与排列 的逆序数的和为 （ ）,
2,如果 为 阶方阵,那么 （ ）,
3,行列式 按 1,2两行展开的拉普拉斯展开式为 （ ）
4,设 为 阶方阵,则 （ ）,
5．,
四、计算行列式
sa a a?21 11 a a a ss
A n,2||A?|3| 2A
1201
1101
0112
1001
nn
mm
n
m
DC
BA
EP
E 0
)( ijbB? )4(?nn?32214 EBE
nn
nn
11000
00220
00011
1321
综合试题 2
,?
五,设 是一组 维列向量,已知单位向量可被它们线性表出,证明,线性无关,
n,,,21? n n,,,21?
n,,,21?
六,在 中,求由基 到基 的过渡矩阵,并求一非零向量 使它在 与 下有相同的坐标,
其中
4P 4321,,, 4321,,,
4321,,,
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
),3,1,6,6(
),1,2,,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
4
3
2
1
3
4321,,,
七,当 a取何值时,下线性方程组有惟一解,无穷多解,无解？
.
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
返回目录下一套试卷答 案一,4,5,6,7 正确二,1.B 2,B 3.C 4.D 5.D
三,1,2,3,4,5.
四.
43?n
DPBCPA
BA2
sC,21
11
01
10
12
11
12
01
n
k
kk Ebb
1
1234
五,如果 线性相关,则它 的极大无关组所包含向量的个数少于 n个，而 向量组 线性无关且可由该极大无关组线性表出,这样产生矛盾,
六,过渡矩阵为七,a=1时，无解,a=-2时，无穷多解,a≠1,-2时，唯一解
n,,21?
n,,,21?
)!1()1( 211 nn
,
3101
1211
6331
6502
).,,,( aaaa
综合试题
（二）
答案下一套试卷返回 目录综 合 试 题 3
,ts?
一、判别下列命题是否正确
1,( ) 如果线性方程组的方程的个数 =未知量的个数,那么就可以用克兰姆法则来求解,
2,( ) 如果行列式 那么它一定有两行元素对应成比例,
3,( ) 如果含 个末知量的 个方程构成的线性方程组的系数行列式等于零,那么它有无穷多解,
4,( ) 如果向量组线性相关,那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
5,( ) 如果 可由 线性表出,且那么 线性相关,
6,( ) 设 为 阶方阵,那么,
7,( )初等矩阵的乘积不是初等矩阵,
,0?d
n n
s,,21?
t,,,21?
BA,n,2)( 222 BABABA
s,,21?
8,( )
9,( ) 如果 都是线性空间 V的子空间,且那么 V=.
111
111
111
111
111
111
khg
fed
cba
khg
fed
cba
kkhhgg
ffeedd
ccbbaa
21,WW
,d i md i md i m 21 VWW 21 WW?
综合试题 3
综合试题 3二、单选题
1,已知向量组 线性无关,则下面线性相关的向量组是 （ ）
A,； B,；
C,； D．
2,设 是 矩阵,则 （ ）,
A,0 B,1 C,2 D,3
3,阶行列式的充要条件是 （ ）,
A,A有两行元素对应成比例
B．
C,A有一行元素全为零
D,A有两行元素相等
nAr?)(
321,,
133221,, 33221,,
321211,, 133221,,
A 34?,
305
020
201
,2)(
BAr?)( ABr
综合试 3
4．,向量组 线性相关的充要条件是 （ ）,
A,齐次线性方程组 有非零解 ;
B,齐次线性方程组 有非零解 ;
C,; D．,
5,为 阶方阵,且 则 等于 ( ).
A,B,C,D.
6,设 是 方阵,下列表达式无意义的是 ( ).
A,B,C,D.
},,2,1|),,,({ 21 s iaaa iniii
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nsnss
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
,0
,0
,0
2211
2222112
1221111
ssnnn
ss
ss
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
ns? ns?
A n,0|| aA || *A
a a1 1?na na
BA,nm?
ABA? ABA AA? AAB?
综合试题 3三、填空
1,级排列 的逆序数为 5,那么排列 的逆序数为 （ ）,
2,为 阶方阵,如果,那么 （ ）,
3,设 则 （ ）,
4,( ).
n 54321 aaaaa 12345 aaaaa
BA,n 3||,2|| BA |3| 1AB
),(,3 ijn aAn3112 AEE
mm
nn
n
m
DC
BA
E
E
四、计算行列式
.
11111
11111
11111
11111
3
2
1
na
a
a
a
五,证明,如果向量组 (I)可以由向量组 (II)线性表出,那么
(I)的秩不超过 (II)秩,
综合试题 3
六,在 中,求由基 到基 的过渡矩阵,并求向量 在 下的坐标,设
4P 4321,,, 4321,,,
),,,( 4321 x x x x 4321,,,
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
),3,1,6,6(
),1,2,,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
4
3
2
1
3
返回目录下一套试卷答 案一,5,7正确二,1.D 2,C 3.B 4.B 5.C 6.D
三,1.5 2.2 3,4,
四.
BA DC1123Ea
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
五,设向量组 (I),(II)的极大无关组分别为则向量组 可由向量组 线性表出,
故 即 (I)的秩不超过 (II)秩,
六,过渡矩阵为 向量 在下的坐标为
s,,21?
,,,,,,,2121 ts
,,,,21 t
,ts?
,
3101
1211
6331
6502
),,,( 4321 x x x x 4321,,,
4
3
2
1
27
1
4
3
2
1
26937
18009
239121
3327912
x
x
x
x
x
x
x
x 综合试题
（三）
答案下一套试卷返回目录综 合 试 题 4
1V
一、判别下列命题是否正确
1.设 A,B,C,D为 n阶方阵,那么,
2.设 是线性空间 V中 S个线性无关的向量,
,那么 线性无关,
3,设 A为 n阶方阵,,则
4,A,B为 n阶方阵,那么
5,A为 n阶方阵,如果,那么,
6,初等矩阵的逆矩阵和初等矩阵的乘积都是初等矩阵,
7,设 是线性空间 V的子空间,,,那么,
CBADDC BA
s,,,21?
siiii,,2,1,1 s,,,21?
EA?2 nEArEAr )()(
ABBABA 2222
0?A 02?A
21,VV 21 VV 2V
综合试题 4二、单选题
1,设 A为 n阶方阵,则下条件中不是 A可逆的充要条件的有
A,B,A为一些初等矩阵的乘积
C,A与 E等价 D,存在矩阵 B使得
2,设 是线性空间 V的子空间,则下条件中不与其它条件等价的是
A,B.,
C,D.
3,设 是线性方程组 (1) AX = B的解,是 (1)的导出齐次线性方程组； (2)AX = 0的解,则下面那一个向量不是 (1) 的解
A,B.
C,D.
nAr?)(
)()( BrABr?
21,VV
1V?21 VV?
221 V VV
21 d i md i m VV?
.21 VV?
,1? 2? 3? 5,4
,4321
,543 2
321 232
.5421
综合试题 4三、填空
1.设 f(x)= x3+2 x2+3 x+1,则 f(A)=( )
2.设,那么 ( )
3.设,则 ( ).
4.设 均为 n阶方阵,其中 是矩阵单位,则
( )
5,( )
6,( )
,
01
01
01
0
A
d
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
21
22221
11211
12111
1,1,21,1
21
n
nnnn
nnnn
aaa
aaa
aaa
dA*A
3423,),( EEaA ij? 3423,EE
3423 AEE
1
CB
AO
1
1
1
100
210
401 1
综合试题 4四、求由齐次方程组
.0111784
,02463
,03542
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
确定的解空间的基与维数。
五,计算行列式,
na
a
a
a
11111
11111
11111
11111
3
2
1
六,证明,方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,
,
对任何 都有解的充分必要条件是系数行列式nbbb,,,21? 0||?ija
七,设,求矩阵 X.
112
011
111
011
220
111
X
返回目录答 案一,2,3正确二,1.D 2,B 3.D
三,
四,解空间的基为 维数 =2
五,
六,设 则 有解的充工条件为由 b的任意性知,即七,
001
012
104
.6
0
.5.4.3.)1(.2
1321
132
13
1
.1
1
111
2123
12
A
BCAB
Ea d n
d
n
)7,5,0,2()0,0,1,2(
)11(
121
n
i in a
aaa?
n
ij
b
b
b
b aA
2
1
)( bAX?
)(),( ArbAr?
nAr?)( 0||?ijA
064
031
6311
6
1
综合试题
（四）
答案返回目录恭喜你,
答对了！
对不起！选择错了！别着急，再想一想,
自测题 1.
请选择正确答案
11 a a a ss sa a a?21
排列 与排列的逆序数的和为
A
DB
C;2 )1(?ss
0;
s;;2 )1(?ss
上 一 题下 一 题详细解答返回目录解下 一 题 返回目录应该选择 D
ji a,asa a a?21
.2 )1(2 sssC
sa a a?21
因为 中任一对数 如果在排列 中构成顺序，则在排列 中构成逆序，如果在排列 中构成逆序，则在排列 中构成顺序，所以 排列 与排列逆序数的和为
11 a a a sssa a a?21
sa a a?21
11 a a a ss
11 a a a ss
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 2.
31
11
21
11
11
11
9 3
4 6
自测题 3.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,排列 217986354必定经过奇数次对换变为排列 123456789.
排列 2431必定经过偶数次对换变为排列 1234
A DB C1; 2; 1,2; 无,
自测题 4.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如果 是奇排列,那么 是偶排列,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
121 jjjj nnnn jjjj 121排列 与排列 的奇偶性相反,
654321 iiiiii 354261 iiiiii
自测题 5.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,排列 217986354必定经过奇数次对换变为排列 123456789.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
4255341321 aaaaa 是五级行列式中的一项且带有,一,号,
自测题 6.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
四级 行列式中的项 与带的符号是互为相反的,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
4123 4123 jjjj aaaa 4321 4321 jjjj aaaa
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
k
kckbka
kckbka
kckbka
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 7.
321
321
3
321
321
2
321
321
1 000000
ccc
bbb
a
ccc
bbb
a
ccc
bbb
a
321
321
321
ccc
bbb
aaa
321
321
321
3
ccc
bbb
aaa
321
321
321
333
333
ccc
bbb
aaa
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 8.
cbabaa
cbabaa
cba
232
abc
)(2 cba
3a
0
自测题 9.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
在一个阶行列式中等于零的元素个数比 还多，
则此行列式必等于零,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
nn?2
xyx
yx
yxy
yx
yxyx
xyxyx
yxyyx
0
0
1
)(2
22
22
22
自测题 10.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
111
111
111
111
111
111
khg
fed
cba
khg
fed
cba
kkhhgg
ffeedd
ccbbaa
如果,则行列式
0
001
0001
001
001
x
x
x
0?x
自测题 11.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
如果行列式 d=0 那么它一定有两行元素对应成比例,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.
222
222
222
khg
fed
cba
khg
fed
cba
khg
fed
cba
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 12.
4321
6510
2531
1021
15
－ 416
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 13.
1111
1111
1111
1111
－ 2
－ 86
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 14.
621721342
4435431014
327427246
0
1284 654000
－ 294× 105
自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
22
22
bbaa
baba
)( ba?
2)( ba?3)( ba
3)( ba?
解下 一 题 返回目录应该选择 B
32 )(
11
2)( babbaba
110
20
)( 22
bba
babba
111
22
22
bbaa
baba
自测题 16
A
DB
C
请选择正确答案
n?
333
3333
3323
3331
n; ;!n;)!3(!3?n;)!1(!2?n
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 17.
xy
yx
yx
00
00
00
nn yx? nnn yx 1)1(
nn yx? nnn yx )1(
n阶行列式解下 一 题 返回目录应该选择 C
xy
yx
yx
00
00
00
在行列式 的展开式中，
仅有两项不为零，即,,nn yx
前一项是主对角线的元素的乘积，其列足标的排列为 12...n,是偶排列，故该项的符号为正,而后一项的列足标的排列为 23… n1,
它的逆序数为 n-1,故 的系数为ny,)1( 1 n
自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
yxyx
xyxyx
yxyyx
22
22
22
)(2 33 yx
)(4 33 yxyx?
)(2 yx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
xyx
yx
yxy
yx
yxyx
xyxyx
yxyyx
0
0
1
)(2
22
22
22
)(2)(2 33 yxxyx yxyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n
n
a
a
a
a
0000
0000
0000
0000
1
2
1
nnn aaa?212 211
nn aaa?211? naaa?21
naaa?21?
自测题 19.
自测题 20.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
000
000
000
21
21
21
54321
54321
ee
dd
cc
bbbbb
aaaaa
0
5
1,ji
jiba
5
1,
2
1,,ji
mlkji
mlk
edcba
21ba
A
DB
C
自测题 21.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
ab
ba
ba
ba
000
000
000
000
nnn ba 11
ba?
nn ba?
nn ba?
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 22
0321
021
301
321
n
n
n
n n !n
n0
自测题 23.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
0050
0003
4000
0200
=
120
-600
23
自测题 24.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n
n
a
a
a
a
0000
0000
0000
0000
1
2
1
nnn aaa?212 211
nn aaa?211? naaa?21
naaa?21?
自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
56789
0120114
001030
00200
01000
120
0
60
36
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
0100
01020
0983
4567
=
-24
0
36
24
自测题 27.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
－ 1
0
3
－ 2
x
x
x
xx
xf
111
123
111
212
)(
中 的系数为3x
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
n?
222
2322
2222
2221
)!2(?n )!2)(2( n
nn )2(?0
解下 一 题 返回目录应该选择 D
n?
222
2322
2222
2221
2001
0101
0001
2221
n?
2001
0011
0001
2
n?
)!2)(2( n
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 29.
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
21
22212
12111
,n
,n bbaa
,1n ba
3,0
2),)((
,
1221
11
n
k
kk ba
1
,n
,2,1n ba
3,0
,11 bbaa ),)((
1221
解下 一 题 返回目录应该选择 A
当 时,；
当 时,
当 时,把第 1行的 倍分别加到第 i行,i=2、
3,…,n,行列式不变,得
111 baD
3?n
2?n
1?n
))(( 12212 bbaaD
1?
0
111
121212
12111
aaaaaa
aaaaaa
bababa
D
nnn
n
n
自测题 30.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
nn
n
n
baaa
abaa
aaba
21
221
211
0
)1(
1
21?
n
j j
j
n b
a
bbb?
nbbb?21?
)1(
1
n
j j
j
b
a
解下 一 题 返回目录应该选择 B
nn
n
n
n
baaa
abaa
aaba
aaa
21
221
211
21
0
0
0
1
加边
n
n
b
b
b
aaa
001
001
001
1
2
1
21
n
n
n
j j
j
b
b
b
aaa
b
a
000
000
000
1
1
1
21
1
)1(
1
21?
n
j j
j
n b
abbb?
原式自测题 31.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
1
)()1(
)()1(
111
naaa
naaa
naaa
nnn
nnn
a+n0
!2)!1(!)1( 2 )1( nnnn?
n
k
ka
1
)(
解下 一 题 返回目录应该选择 A
原式 =
nij
nn
jaia
0
2
)1(
)()1(
nnn
nn
naaa
naaa
naaa
)()1(
)()1(
1
111
)1(
2222
)1(
nij
nn
ji
0
2
)1(
)()1(
!2)!1(!)1( 2
)1(
nn
nn
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 32.
n
ab
ab
ba
ba
2
nba )( 22?
)( 22 ba? )( 22 ba
nba )( 22
解返回目录应该选择 B
原式
a
ab
ab
ba
ba
aD
n
0000
000
000
000
000
2
0000
000
000
000
000
)1(
12
b
ab
ab
ba
ba
b
n?
)1(222 )( nDba nn ba
ab
baba )()( 22122
自测题 1.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
1
)1,,(
21
22212
11211
y
x
cbb
baa
baa
y x
cybxb
yaxyaxa
21
2
2212
2
11
22
2cbb
ybaaxbaa i
21
2221211211 )()(
cybxb
ybyaxya
xbxyaxa
21
2
2
2212
112
2
11不能相乘解下 一 题 返回目录应该选择 D
1
)1,,(
21
22212
11211
y
x
cbb
baa
baa
yx
1
),,( 212221211211 y
x
cybxbbyaxabyaxa
cybxbyaxyaxa 2122212211 222
自测题 2.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=n
c o ss i n
s i nc o s
nn
nn
c o ss i n
s i nc o s
nn s i nc o s nn s i nc o s?
c o ss i n
s i nc o s
解下 一 题 返回目录应该选择 D
nn
nn
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s
)1c o s ()1s i n (
)1s i n ()1c o s (
nn
nn
用数学归纳法,可证事实上，假设
)1c o s ()1s i n (
)1s i n ()1c o s (
c o ss i n
s i nc o s 1
nn
nnn
则
nn
nnn
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
n
A
1111
1111
1111
1`111
若 n为偶数，则
En2
2A
An2
0
解下 一 题 返回目录应该选择 C
EA 22 2?
于是
4000
0400
0040
0004
1111
1111
1111
1111
2
2
A
EEEAAA nkkkkn 22)2()( 2222
即自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若 则 ；BCAC? BA?
若,则 或 ；EA?2 EAEA?
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若,则 ；AA?2 EA?
若,则 ；22 2)( BABABA BAAB?
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若,则 ；02?A 0?A
EAAEA 2)( 2
自测题 7
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 阶矩阵 满足,则必有设 是两个 阶矩阵,则
n
BA,n 22))(( BABABA
EABC? EB C A?CBA,,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 阶矩阵,满足,则必有CBA,,n IABC?
IACB?
ICB A?
IB A C?
IBCA?
自测题 8.
自测题 9
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设均 A,B为阶方阵，则必有 BABA
设 n阶方阵 A经过初等变换后所得方阵记为 B，
则若 则
0?B0?A
请选择正确答案
A
DB
C
213
654
321
112
101
032
101
213
112
X
若则 X=
220
340
241
220
320
141
210
030
233
240
040
226
自测题 10.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录解下 一 题 返回目录应该选择 D
101
113
112
213
654
321
X
220
340
241
112
101
032
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
若 A,B均为 n阶方阵，则下列结论正确的是（ ）
0||00 BAAB 且000 BAAB 且
00 AA 1 AEA
自测题 11.
自测题 12.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 是 阶方阵，且 可逆，则 也可逆，且,
BA,n ABE? BAE?
AABEBEBAE 11 )()(
设 且 均可逆,则
0
0
2
1
B
BA 21,BB
0
0
1
1
1
21
B
BA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
⒉ 若为反对称矩阵，则 Ak
不是反对称矩阵就是对称矩阵，二者必居其一必为反对称矩阵必为对称矩阵既不是反对称矩阵，又不是对称矩阵自测题 13.
自测题 14.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
对矩阵 施行若干次初行等变换，当 变为时,相应地变为
),( EA A E
1?AE
设 是 阶矩阵,是一个数,则,AA 22?n KA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设,,则
400
030
002
P
321
321
321
ccc
bbb
aaa
A
321
321
321
432
432
432
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
444
333
222
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
4
3
2
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
2
3
4
ccc
bbb
aaa
PA
自测题 15.
自测题 16.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
300
020
001
A1A设,则
3
100
0210
001
301
040
132
A
2
100
0210
101
自测题 17.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
011
001
A
)4()2( 21 EAEA
设,则
311
031
003
101
011
002
AE
自测题 18.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
若 A或 B不可逆，则 AB必不可逆,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
可逆矩阵一定是方阵,
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
432
032
001
A
A
1* )(?A
是 A 的伴随矩阵，设
A121
2AA
A41
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
,1,
bcad
dc
ba
A
设,则
1A
ac
bd
ac
bd
ad
bc
1
1
自测题 21.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A,B均为 n阶方阵，则必有 111)( BABA
设 A.,B为同阶可逆阵,则存在可逆阵 P,Q使 BP A Q?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录以下结论正确的是若方阵 A的行列式
|A|=0，则 A=0
若 A2=0，
则 A=0
若 A为对称矩阵,则
A2也是对称矩阵对任意的同阶方阵 A,B有
22))(( BABABA
自测题 22.
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A,B为 n 阶方阵，那么，
.2)( 222 BABABA
设 A为 n 阶方阵,且 那么,0?A,02?A
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积,
设 A,B,C,D为 n 阶方阵,那么,
CBADDC BA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 均为 阶方阵，则必有BA,n
BABA BAAB?
BAAB? 111)( BABA
自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
⒌ 设 A是 n阶可逆矩阵,A*是 A的伴随矩阵，则（ ）
AA
1 nAA
nAA
1 AA
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
若 均为 n阶可逆矩阵，
则
11,,, BABABA
111 )( BA
11 BA
BA?
ABAB 1)(
1)( BA
自测题 27.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 A是 n阶可逆矩阵，下列各式正确的是
11 2)2( AA
0AA
A
AA 11)(
TTT AA 111
自测题 28.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
B
A
D
C
设 A是 n阶可逆矩阵，则
CACBAB 则若,
A总可以经过初等行变换化为 I
对矩阵 (A I)施行若干次初等变换,当 A变
I时,相应地 I变为 A-1
对矩阵 施行若干次初等变换,当 A变
I时,相应地 I变为 A-1
IA
自测题 29.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
设 A是 n阶可逆矩阵，则 等于（ ）*)( A?
*A?
*A
*)1( An?
*1)1( An
自测题 30.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若向量 与 线性相关，则 a的取值为
1,0,1,3,22,,2,6,4 a
为任何数a;0?a ;0?a;0?a
自测题 1.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
4;1 ;2;3
向量组 的秩是6,1,1,3,2,1,9,0,3,0,1,1
自测题 2.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
4;1 ;2;3
向量组 的秩是1,1,1,1,1,7,0,6,1,2,3,0,0,3,1,2
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,,,
，,则这个向量组的一个极大线性无关组可以取向量组
1,2,0,111,0,2,121,1,1,03
0,1,1,140,4,2,35
21, 321,,
421,, 521,,
自测题 4.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C0?a 0?a
1?a 1?a
设向量组 线性无关，则的取值为
4,1,1,3,,1,6,2,1 aaa
自测题 5.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,,,,
则数域 上的任何一个三维向量 都可表为下列向量组中的一个的线性组合，这个向量组为
2,0,113,0,221,2,137,0,04
Pcba,,
21, 321,,
421,, 43
,
自测题 6.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 线性相关,则 也线性相关
若 线性无关,则 也线性无关
若 线性相关,则也线性相关
的相关性与的相关性没有联系
设有向量组 是 的部分组，则下列断语正确的是（ ）,
自测题 7.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录向量组 线性无关是向量组线性无关的（ ）
s,,,21?
s 21321211,,,,
充分但非必要的条件 必要但非分条件充分且必要条件 既不充分也不必要条件自测题 8.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若向量组 可由向量组 线性表出，且线性无关，则 与 的关系为
r,,,21? s,,,21?
r,,,21? r s
sr? sr?
sr?sr?
自测题 9.
排列 与排列的逆序数的和为自测题 10
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么
I~II.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量 可由向量组唯一线性表出,则 线性无关,
s,,21?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 11.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
t,,,21?
如果 可由 线性表出，
且 那么 线性相关,
s,,21?,ts?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 12.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么
I~II.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量 可由向量组唯一线性表出,则 线性无关,
s,,21?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 13.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
t,,,21?
如果 可由 线性表出，
且 那么 线性相关,
s,,21?,ts?
s,,21?
自测题 14.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果 那么向量组与向量组 等价,
),,,(),( 32121 LL?
},{ 21 },,{ 321
设 是线性空间 V中 S个 n 维向量,且 n>s,那么 线性无关
s,,21?
s,,21?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解 答返回目录如果向量组 可由向量组 线性表出，那么
的秩 的秩 的秩的秩的秩 的秩 的秩的秩
自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录如果每一个 维向量都可由向量组 线性表出，
那向量组
n n,,,21?
n,,,21?
线性相关相关性不定线性无关是单位向量自测题 16.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
如果向量组 与向量组 等价，那么I?
自测题 17.
以上都错
的秩 的秩I?
的秩 = 的秩I?
的秩 的秩I?≤
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录可由 线性表出I 不一定能由线性表出
I?
线性相关 的向量个数多于 的线性个数
I?
设两个向量组 与 的秩相等，且 可由 线性表出，
则
II?
自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设有向量组
，它们的秩分别为,则
s,,,21? t,,,)I( 21? s,,,)II( 21?
)III(,,,21 t,,,321 rrr
21321 ),m ax ( rrrrr 21321 ),m ax ( rrrrr
32121,m ax rrrrr
321 rrr
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设有矩阵,
则
nsijnsij bBaA,
snsssnss
nn
nn
bbbaaa
bbbaaa
bbbaaa
C
2121
2222122221
1121111211
BAC 秩秩秩BAC 秩秩秩
BAC 秩秩秩BAC 秩秩秩
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n设有一组 维向量,使得任一 维向量 都可由这个向量组线性表出，则（ ）
s,,,21? n?
ns? ns?
ns? ns?
自测题 21.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,则这个向量组等价于向量组
32123211,,,,,bbbaaa
),,(
),,(
3322112
3322111
bababa
bababa
)0,0,0(
)2,2,2(
2
3211
aaa
),,(
)3,2,(
3212
3211
bbb
aaa
)3,2,(
)3,2,(
3212
3211
bbb
aaa
自测题 22.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
nm?
A
DB
C
设 A是 n阶矩阵,C是 n阶可逆矩阵，矩阵 A的秩为 r，矩阵 B=AC的秩为 r1，则
1rr?
1rr?
1rr?
r与 r1的关系依 C
而定自测题 23.
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A DB C1个 ; 2个 ; 3个 ; 无,
下列向量组有几个是线性相关组
)2,0,1()5,2,0(3,2,1(,1 321,），
1,3,4,2,0,2,3,0,1,1,1,2,2 321
)1,3,1(),1,2,3(),3,2,1(,3 321
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 A,B均为 n阶非零矩阵，且 AB=0，则 A和 B的秩必有一个等于零都小于 n
一个小于 n，一个等于 n
都等于 n
自测题 25.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录
A
DB
C
R3 中由标准基 e1= (1,0,0),e2= (0,1,0),e3= (0,0,1),
到基?1= (1,1,2),?2= (1,3,0),?3= (1,0,1) 的过渡矩阵为,
自测题 26.
102
031
111
0028
031
11018
122
011
233
2
3
1
解下 一 题 返回目录应该选择 D
102
031
111
),,(),,( 321321 eeeααα?
所求过渡矩阵为
102
031
111
C
自测题 27.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,R 看作自身上的线性空间是一维的,数 1 就是它的一个基,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如设 是线性空间 V的子空间,,
那么,
21,VV 21 VV
1V 2V
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录判断 R n中下列子集哪个是子空间：
}2,0,,0,11 nn aaaa
0,,,121
n
i in aaaa?
1,,,
121
n
i in
aaaa nIZaaaa in,,2,1,,,,21
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
设方程组 有非零解则（ ）
0
0
02
zyx
zykx
zyx
1?k 2?k
1k 2k
自测题 1.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果齐次线性方程组 有非零解，
系数 矩阵的秩为 q，则它的基础解系中含有向量的个数为（ ）
0
0
2211
1212111
pspss
pp
xaxaxa
xaxaxa
qs?
ps?
pq?
qp?
自测题 2.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果齐次线性方程组 有非零解，
那么（ ）
0
0
2211
1212111
nsnss
nn
xaxaxa
xaxaxa
ns?
ns?
ns?
三种情况都有可能自测题 3.
上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,若线性方程组（ I）经方程组的初等变换变为方程组（ II），
则（ I）与（ II）是同解方程组,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,证明：含有 n个未知量 n+1个方程组的线性方程组如果有解,那么行列式,1,,2,1,2211 nibxaxaxa ininii
0
111211
21
111211
nnnnn
nnnnn
n
baaa
baaa
baaa
D
证明 因为这个方程组有解，故系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即秩（ A） =秩 ( ).但由于 A只有 n列，所以秩（ A） ≤ n.
从而秩解下 一 题 返回目录应该选择 D
A
,
11211
21
11211
nnnn
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
A
111211
21
111211
nnnnn
nnnnn
n
baaa
baaa
baaa
A
.0||,)( DAnA
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,线性方程组的两个解向量的和还是这个线性方程组的解,
1,线性方程组 有解的充要条件为,
441
343
232
121
3
43
32
2
bxx
bxx
bxx
bxx
04321 bbbb
1,证明：方程组的增广矩阵为,将第 1,2,3、
4行都加到末行，得 由此可见，方程组有解的充要条件为系数矩阵 A的秩 = 的秩 =3，亦即,
解下 一 题 返回目录应该选择 D
4
3
2
1
1-001
4300
0320
0021
b
b
b
b
A
4321
3
2
1
0000
4300
0320
0021
bbbb
b
b
b
A 04321 bbbb
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,齐次线性方程组如果有非零解，那么方程的个数小于未知量的个数,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,若齐次线性方程组 未知量的个数多于方程的个数,则它有非零解,
0
0
2211
1212111
nsnss
nn
xaxaxa
xaxaxa
自测题 7.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,n元齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩为 n-2，那么它的任意两个非零解就是它的一个基础解系,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,n元齐次线性方程组,如果系数矩阵的秩为 r,那么它的任意 n-r个线性无关的非零解就是它的一个基础解系,
自测题 8.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,齐次线性方程组,如果有一个基础解系,那么它有无穷多个基础解系,
1,齐次线性方程组 的任意两个线性无关的解是它的一个基础解系,
0
0
44332211
44332211
xbxbxbxb
xaxaxaxa
自测题 9.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,齐次线性方程组，如果有非零解，那么系数矩阵的秩与自由未知量的个数相等,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,齐次线性方程组,如果有基础解系,那么一个基础解系中解的个数与自由未知量的个数相等,
自测题 10.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C2; 1; 1,2; 无,
1,如果向量 是一个齐次线性方程组的基础解系，那么这个齐次线性方程组的全部解为,其中是不全为零的任意数,
21,aa
2211 kk? 21,kk
2,n元线性方程组 Ax=B有无穷多个解的充要条件是秩 （ A）
=秩,nA?)(
自测题 11.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
1,如果向量 是 n元线性方程组 的两个解向量，那么 也是这个方程组的一个解向量,
21, BAx?
21 3
2
3
1
2,如果非齐次的线性方程组 有解,那么一定存在一组解向量,使每个解向量都可由这一组解向量线性表示,
BAx?
请选择正确答案
A
DB
C
若方程组 有解，则（ ）
axxxx
xxxx
xxxx
4321
4321
4321
847
232
12
7a
7a
0?a
0?a
自测题 12.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
方程组有 无穷多个解的充要条件是 （ ）
bxxx
axxx
xxx
321
321
321
2
22
12
为任何数ba,7?
1,7 ba
1,7 ba
为任何数,b= -1 上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 13.
请选择正确答案
A
DB
C
方程组 没有解，则系数 a,b取值为（ ）
bxxx
axxx
xxx
321
321
321
2
22
12
1,7 ba
1,7 ba
1,7 ba
1,7 ba
自测题 14.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
若线性方程组 有唯一解，则（ ）
2
321
321
3211 1
kkxxx
kxkxx
xxxk
21 kk 或
21 kk 且
21 kk 或
2k
自测题 15.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果线性方程组 无解，那么（ A）
2
321
321
321 1
kkxxx
kxkxx
xxkx
2k
1?k
2k
0?k
自测题 16.
上 一 题下 一 题详 细 解答返回目录
n 阶行列式行列式的性质与行列式的展开向量的线性相关性向量空间,向量空间的基与坐标
§ 2
§ 3
§ 2
§ 3
§ 4
§ 5
§ 5
§ 3.
§ 4
§ 2
综合试卷（一直四章 ）
综合试卷 2
综合试卷 3
综合试卷 1
综合试卷 4 综合试卷 4答案综合试卷 3答案综合试卷 2答案综合试卷 1答案综 合 试 题 1
一、判别下列命题是否正确
1,如果行列式 d=0那么它至少有一行元素全为零,
2,如果含 n个末知量的 n个方程构成的线性方程组的系数行列式等于零,那么它有无穷多解,
3,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么 I~II.
5,如果向量 可由向量组 唯一线性表出,
则 线性无关,
6,方阵 A可逆当且仅当 A*可逆,
7,初等矩阵的乘积仍是初等矩阵
8,线性空间 V中,两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组的秩相等,
s,,21?
s,,21?
综合试题 1二、单选题
1.已知向量组 线性无关，则下列量组中线性相关的是
A,B.
C,D.
2.设 有,则下列表达式有意义的是
A,B,C,D.
3,设 A为 n阶方阵,则必有
A,B,C,D.
4.设 A是 3阶方阵,则
A,1 B,2 C,3 D.4
5.n 阶行列式的为零的充要条件是
A,有两行元素相等 B,有两行元素对应成比例,
C,有一行元素全为零,D,行向量线性相关
33221,4,32 4 3 321211,,
133221 3,2, 133221,,
mnmn C B A,,?
CAB'ABC' BCA'ACB'
EA C B D?
EA B C D?
321,,
EB C D A? EC DBA? EA D B C?
,
101
241
102
,2)(
BAr?)'( ABBr
综合试题 1三、填空
4P
1,排列与排列的逆序数的和为 （ ）,
2,如果 A为阶 n可逆方阵,,那么 B=（ ）,
3.设 有无穷多解,则 a =（ ）
4,设 为 5 阶矩阵单位,则 （ ）
5.
四,求 中由基 到基 的过渡矩阵,并求在 下的坐标,其中
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
nn
mm
n
m
DC
BA
EP
E 0
}{ ijE?24323423 EEEE
4321,,, 4321,,,
),,,(ξ 0001?
),1,0,1,1(
),1,1,2,1(
),1,1,1,1(
),01,2,1(
4
3
2
1
-
,
4321,,,
),2,1,3,1(
),2,1,1,2(
),2,2,1,0(
),10,1,2(
4
3
2
1
,
CAB?
综合试题 1
五,证明：向量组线性无关的充分必要条件是存在一个向量都可被它们惟一线性表出,
六,计算行列式
mxxx
xmxx
xxmx
n
n
n
21
21
21
返回目录下一套试卷答 案
一,5,6正确二,1.A 2,C 3.B 4.B 5.D
三,1,2,3.-2 4.0 5,
四,过渡矩阵为 在 下的坐标为
CA 1
DPBCPA
BA2
nC
五,如果 线性相关,则存在不全为零的数 使则对任意可由向量组 线性表出的向量 有故 不能由向量组 唯一线性表出,反之,若线性无关,则零向量由它们唯一线性表出,
六,
s,,21?
s,,21?
s,,21?,,,,21 skkk?
.02211 sskkk
sss
ss
kakaka
aaa
)()()( 222111
2211
s,,21?
)()1(
1
11 mxm n
i i
nn
,
0100
1110
1011
1001
),,,(ξ 0001? 4321,,,
).,,,( 13 313 2135133
综合试题
（一）
答案下 一套试卷返回 目录综 合 试 题 2
一、判别下列命题是否正确
1,( )
2,( ) 如果向量组线性相关,那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
3,( ) 如果线性方程组系数矩阵的秩小于未知量的个数,那么它有无穷多解,
4,( ) 如果 由一线性无关向量组线性表出,则表出式唯一,
5,( ) 如果 可由 线性表出,且那么 线性相关,
6,( ) 如果 那么向量组 与向量组等价,
7,( ) 矩阵 可逆的充要条件是 可以表示成若干个初等矩阵的乘积,
8,( ) 设 为 阶方阵,且 那么
.
222
222
222
khg
fed
cba
khg
fed
cba
khg
fed
cba
s,,,21? t,,,21?,ts?
s,,,21?
),,,(),( 32121 LL? },{ 21
},,{ 321
A A
CBA,,n,02?A,0?A
综合试题 2二、单选题
1,下列条件不是向量组线性相关的充分条件是 （ ）
A,有一个 为零向量 B．
C,齐次线性方程组 有非零解 ;
2,设 为 阶方阵,则必有 （ ）,
A,B,C,D.
3,设 是 矩阵,则 （ ）
A,0 B,1 C,2 D,3
4,为 4阶方阵,则 ( ).
A,B,C,D,以上均不一定成立
5,设 是 阶方阵,是 方阵,下列表达式有意义的是 ( ).
A,B,C,D.
)(BAr
},,2,1|),,,,({ 54321 s iaaaaa iiiiii
i? 5?s
.0
,0
,0
5544332211
525424323222121
515414313212111
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
sssss
ABCD n,EA B C D?
,EA C B D?,EB C D A?,EC D B A?,EA D B C?
43?n,
015
030
321
,2)(
BAr
,0*?An
0?A 0||?A 03?A
nA nm?B
AB AB? BA? BA?
综合试题 2三、填空
1,排列 与排列 的逆序数的和为 （ ）,
2,如果 为 阶方阵,那么 （ ）,
3,行列式 按 1,2两行展开的拉普拉斯展开式为 （ ）
4,设 为 阶方阵,则 （ ）,
5．,
四、计算行列式
sa a a?21 11 a a a ss
A n,2||A?|3| 2A
1201
1101
0112
1001
nn
mm
n
m
DC
BA
EP
E 0
)( ijbB? )4(?nn?32214 EBE
nn
nn
11000
00220
00011
1321
综合试题 2
,?
五,设 是一组 维列向量,已知单位向量可被它们线性表出,证明,线性无关,
n,,,21? n n,,,21?
n,,,21?
六,在 中,求由基 到基 的过渡矩阵,并求一非零向量 使它在 与 下有相同的坐标,
其中
4P 4321,,, 4321,,,
4321,,,
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
),3,1,6,6(
),1,2,,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
4
3
2
1
3
4321,,,
七,当 a取何值时,下线性方程组有惟一解,无穷多解,无解？
.
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
返回目录下一套试卷答 案一,4,5,6,7 正确二,1.B 2,B 3.C 4.D 5.D
三,1,2,3,4,5.
四.
43?n
DPBCPA
BA2
sC,21
11
01
10
12
11
12
01
n
k
kk Ebb
1
1234
五,如果 线性相关,则它 的极大无关组所包含向量的个数少于 n个，而 向量组 线性无关且可由该极大无关组线性表出,这样产生矛盾,
六,过渡矩阵为七,a=1时，无解,a=-2时，无穷多解,a≠1,-2时，唯一解
n,,21?
n,,,21?
)!1()1( 211 nn
,
3101
1211
6331
6502
).,,,( aaaa
综合试题
（二）
答案下一套试卷返回 目录综 合 试 题 3
,ts?
一、判别下列命题是否正确
1,( ) 如果线性方程组的方程的个数 =未知量的个数,那么就可以用克兰姆法则来求解,
2,( ) 如果行列式 那么它一定有两行元素对应成比例,
3,( ) 如果含 个末知量的 个方程构成的线性方程组的系数行列式等于零,那么它有无穷多解,
4,( ) 如果向量组线性相关,那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
5,( ) 如果 可由 线性表出,且那么 线性相关,
6,( ) 设 为 阶方阵,那么,
7,( )初等矩阵的乘积不是初等矩阵,
,0?d
n n
s,,21?
t,,,21?
BA,n,2)( 222 BABABA
s,,21?
8,( )
9,( ) 如果 都是线性空间 V的子空间,且那么 V=.
111
111
111
111
111
111
khg
fed
cba
khg
fed
cba
kkhhgg
ffeedd
ccbbaa
21,WW
,d i md i md i m 21 VWW 21 WW?
综合试题 3
综合试题 3二、单选题
1,已知向量组 线性无关,则下面线性相关的向量组是 （ ）
A,； B,；
C,； D．
2,设 是 矩阵,则 （ ）,
A,0 B,1 C,2 D,3
3,阶行列式的充要条件是 （ ）,
A,A有两行元素对应成比例
B．
C,A有一行元素全为零
D,A有两行元素相等
nAr?)(
321,,
133221,, 33221,,
321211,, 133221,,
A 34?,
305
020
201
,2)(
BAr?)( ABr
综合试 3
4．,向量组 线性相关的充要条件是 （ ）,
A,齐次线性方程组 有非零解 ;
B,齐次线性方程组 有非零解 ;
C,; D．,
5,为 阶方阵,且 则 等于 ( ).
A,B,C,D.
6,设 是 方阵,下列表达式无意义的是 ( ).
A,B,C,D.
},,2,1|),,,({ 21 s iaaa iniii
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nsnss
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
,0
,0
,0
2211
2222112
1221111
ssnnn
ss
ss
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
ns? ns?
A n,0|| aA || *A
a a1 1?na na
BA,nm?
ABA? ABA AA? AAB?
综合试题 3三、填空
1,级排列 的逆序数为 5,那么排列 的逆序数为 （ ）,
2,为 阶方阵,如果,那么 （ ）,
3,设 则 （ ）,
4,( ).
n 54321 aaaaa 12345 aaaaa
BA,n 3||,2|| BA |3| 1AB
),(,3 ijn aAn3112 AEE
mm
nn
n
m
DC
BA
E
E
四、计算行列式
.
11111
11111
11111
11111
3
2
1
na
a
a
a
五,证明,如果向量组 (I)可以由向量组 (II)线性表出,那么
(I)的秩不超过 (II)秩,
综合试题 3
六,在 中,求由基 到基 的过渡矩阵,并求向量 在 下的坐标,设
4P 4321,,, 4321,,,
),,,( 4321 x x x x 4321,,,
),1,0,0,0(
),0,1,0,0(
),0,0,1,0(
),0,0,0,1(
4
3
2
1
),3,1,6,6(
),1,2,,5(
),0,1,3,0(
),1,1,1,2(
4
3
2
1
3
返回目录下一套试卷答 案一,5,7正确二,1.D 2,C 3.B 4.B 5.C 6.D
三,1.5 2.2 3,4,
四.
BA DC1123Ea
)11(
1
21?
n
i i
n aaaa?
五,设向量组 (I),(II)的极大无关组分别为则向量组 可由向量组 线性表出,
故 即 (I)的秩不超过 (II)秩,
六,过渡矩阵为 向量 在下的坐标为
s,,21?
,,,,,,,2121 ts
,,,,21 t
,ts?
,
3101
1211
6331
6502
),,,( 4321 x x x x 4321,,,
4
3
2
1
27
1
4
3
2
1
26937
18009
239121
3327912
x
x
x
x
x
x
x
x 综合试题
（三）
答案下一套试卷返回目录综 合 试 题 4
1V
一、判别下列命题是否正确
1.设 A,B,C,D为 n阶方阵,那么,
2.设 是线性空间 V中 S个线性无关的向量,
,那么 线性无关,
3,设 A为 n阶方阵,,则
4,A,B为 n阶方阵,那么
5,A为 n阶方阵,如果,那么,
6,初等矩阵的逆矩阵和初等矩阵的乘积都是初等矩阵,
7,设 是线性空间 V的子空间,,,那么,
CBADDC BA
s,,,21?
siiii,,2,1,1 s,,,21?
EA?2 nEArEAr )()(
ABBABA 2222
0?A 02?A
21,VV 21 VV 2V
综合试题 4二、单选题
1,设 A为 n阶方阵,则下条件中不是 A可逆的充要条件的有
A,B,A为一些初等矩阵的乘积
C,A与 E等价 D,存在矩阵 B使得
2,设 是线性空间 V的子空间,则下条件中不与其它条件等价的是
A,B.,
C,D.
3,设 是线性方程组 (1) AX = B的解,是 (1)的导出齐次线性方程组； (2)AX = 0的解,则下面那一个向量不是 (1) 的解
A,B.
C,D.
nAr?)(
)()( BrABr?
21,VV
1V?21 VV?
221 V VV
21 d i md i m VV?
.21 VV?
,1? 2? 3? 5,4
,4321
,543 2
321 232
.5421
综合试题 4三、填空
1.设 f(x)= x3+2 x2+3 x+1,则 f(A)=( )
2.设,那么 ( )
3.设,则 ( ).
4.设 均为 n阶方阵,其中 是矩阵单位,则
( )
5,( )
6,( )
,
01
01
01
0
A
d
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
21
22221
11211
12111
1,1,21,1
21
n
nnnn
nnnn
aaa
aaa
aaa
dA*A
3423,),( EEaA ij? 3423,EE
3423 AEE
1
CB
AO
1
1
1
100
210
401 1
综合试题 4四、求由齐次方程组
.0111784
,02463
,03542
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
确定的解空间的基与维数。
五,计算行列式,
na
a
a
a
11111
11111
11111
11111
3
2
1
六,证明,方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,
,
对任何 都有解的充分必要条件是系数行列式nbbb,,,21? 0||?ija
七,设,求矩阵 X.
112
011
111
011
220
111
X
返回目录答 案一,2,3正确二,1.D 2,B 3.D
三,
四,解空间的基为 维数 =2
五,
六,设 则 有解的充工条件为由 b的任意性知,即七,
001
012
104
.6
0
.5.4.3.)1(.2
1321
132
13
1
.1
1
111
2123
12
A
BCAB
Ea d n
d
n
)7,5,0,2()0,0,1,2(
)11(
121
n
i in a
aaa?
n
ij
b
b
b
b aA
2
1
)( bAX?
)(),( ArbAr?
nAr?)( 0||?ijA
064
031
6311
6
1
综合试题
（四）
答案返回目录恭喜你,
答对了！
对不起！选择错了！别着急，再想一想,
自测题 1.
请选择正确答案
11 a a a ss sa a a?21
排列 与排列的逆序数的和为
A
DB
C;2 )1(?ss
0;
s;;2 )1(?ss
上 一 题下 一 题详细解答返回目录解下 一 题 返回目录应该选择 D
ji a,asa a a?21
.2 )1(2 sssC
sa a a?21
因为 中任一对数 如果在排列 中构成顺序，则在排列 中构成逆序，如果在排列 中构成逆序，则在排列 中构成顺序，所以 排列 与排列逆序数的和为
11 a a a sssa a a?21
sa a a?21
11 a a a ss
11 a a a ss
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 2.
31
11
21
11
11
11
9 3
4 6
自测题 3.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,排列 217986354必定经过奇数次对换变为排列 123456789.
排列 2431必定经过偶数次对换变为排列 1234
A DB C1; 2; 1,2; 无,
自测题 4.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如果 是奇排列,那么 是偶排列,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
121 jjjj nnnn jjjj 121排列 与排列 的奇偶性相反,
654321 iiiiii 354261 iiiiii
自测题 5.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,排列 217986354必定经过奇数次对换变为排列 123456789.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
4255341321 aaaaa 是五级行列式中的一项且带有,一,号,
自测题 6.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
四级 行列式中的项 与带的符号是互为相反的,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
4123 4123 jjjj aaaa 4321 4321 jjjj aaaa
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
k
kckbka
kckbka
kckbka
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 7.
321
321
3
321
321
2
321
321
1 000000
ccc
bbb
a
ccc
bbb
a
ccc
bbb
a
321
321
321
ccc
bbb
aaa
321
321
321
3
ccc
bbb
aaa
321
321
321
333
333
ccc
bbb
aaa
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 8.
cbabaa
cbabaa
cba
232
abc
)(2 cba
3a
0
自测题 9.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
在一个阶行列式中等于零的元素个数比 还多，
则此行列式必等于零,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
nn?2
xyx
yx
yxy
yx
yxyx
xyxyx
yxyyx
0
0
1
)(2
22
22
22
自测题 10.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
111
111
111
111
111
111
khg
fed
cba
khg
fed
cba
kkhhgg
ffeedd
ccbbaa
如果,则行列式
0
001
0001
001
001
x
x
x
0?x
自测题 11.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
如果行列式 d=0 那么它一定有两行元素对应成比例,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.
222
222
222
khg
fed
cba
khg
fed
cba
khg
fed
cba
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 12.
4321
6510
2531
1021
15
－ 416
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 13.
1111
1111
1111
1111
－ 2
－ 86
0
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 14.
621721342
4435431014
327427246
0
1284 654000
－ 294× 105
自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
22
22
bbaa
baba
)( ba?
2)( ba?3)( ba
3)( ba?
解下 一 题 返回目录应该选择 B
32 )(
11
2)( babbaba
110
20
)( 22
bba
babba
111
22
22
bbaa
baba
自测题 16
A
DB
C
请选择正确答案
n?
333
3333
3323
3331
n; ;!n;)!3(!3?n;)!1(!2?n
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 17.
xy
yx
yx
00
00
00
nn yx? nnn yx 1)1(
nn yx? nnn yx )1(
n阶行列式解下 一 题 返回目录应该选择 C
xy
yx
yx
00
00
00
在行列式 的展开式中，
仅有两项不为零，即,,nn yx
前一项是主对角线的元素的乘积，其列足标的排列为 12...n,是偶排列，故该项的符号为正,而后一项的列足标的排列为 23… n1,
它的逆序数为 n-1,故 的系数为ny,)1( 1 n
自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
yxyx
xyxyx
yxyyx
22
22
22
)(2 33 yx
)(4 33 yxyx?
)(2 yx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
xyx
yx
yxy
yx
yxyx
xyxyx
yxyyx
0
0
1
)(2
22
22
22
)(2)(2 33 yxxyx yxyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n
n
a
a
a
a
0000
0000
0000
0000
1
2
1
nnn aaa?212 211
nn aaa?211? naaa?21
naaa?21?
自测题 19.
自测题 20.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
000
000
000
21
21
21
54321
54321
ee
dd
cc
bbbbb
aaaaa
0
5
1,ji
jiba
5
1,
2
1,,ji
mlkji
mlk
edcba
21ba
A
DB
C
自测题 21.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
ab
ba
ba
ba
000
000
000
000
nnn ba 11
ba?
nn ba?
nn ba?
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 22
0321
021
301
321
n
n
n
n n !n
n0
自测题 23.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
0050
0003
4000
0200
=
120
-600
23
自测题 24.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n
n
a
a
a
a
0000
0000
0000
0000
1
2
1
nnn aaa?212 211
nn aaa?211? naaa?21
naaa?21?
自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
56789
0120114
001030
00200
01000
120
0
60
36
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
0100
01020
0983
4567
=
-24
0
36
24
自测题 27.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
－ 1
0
3
－ 2
x
x
x
xx
xf
111
123
111
212
)(
中 的系数为3x
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
n?
222
2322
2222
2221
)!2(?n )!2)(2( n
nn )2(?0
解下 一 题 返回目录应该选择 D
n?
222
2322
2222
2221
2001
0101
0001
2221
n?
2001
0011
0001
2
n?
)!2)(2( n
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 29.
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
21
22212
12111
,n
,n bbaa
,1n ba
3,0
2),)((
,
1221
11
n
k
kk ba
1
,n
,2,1n ba
3,0
,11 bbaa ),)((
1221
解下 一 题 返回目录应该选择 A
当 时,；
当 时,
当 时,把第 1行的 倍分别加到第 i行,i=2、
3,…,n,行列式不变,得
111 baD
3?n
2?n
1?n
))(( 12212 bbaaD
1?
0
111
121212
12111
aaaaaa
aaaaaa
bababa
D
nnn
n
n
自测题 30.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
nn
n
n
baaa
abaa
aaba
21
221
211
0
)1(
1
21?
n
j j
j
n b
a
bbb?
nbbb?21?
)1(
1
n
j j
j
b
a
解下 一 题 返回目录应该选择 B
nn
n
n
n
baaa
abaa
aaba
aaa
21
221
211
21
0
0
0
1
加边
n
n
b
b
b
aaa
001
001
001
1
2
1
21
n
n
n
j j
j
b
b
b
aaa
b
a
000
000
000
1
1
1
21
1
)1(
1
21?
n
j j
j
n b
abbb?
原式自测题 31.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
1
)()1(
)()1(
111
naaa
naaa
naaa
nnn
nnn
a+n0
!2)!1(!)1( 2 )1( nnnn?
n
k
ka
1
)(
解下 一 题 返回目录应该选择 A
原式 =
nij
nn
jaia
0
2
)1(
)()1(
nnn
nn
naaa
naaa
naaa
)()1(
)()1(
1
111
)1(
2222
)1(
nij
nn
ji
0
2
)1(
)()1(
!2)!1(!)1( 2
)1(
nn
nn
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 32.
n
ab
ab
ba
ba
2
nba )( 22?
)( 22 ba? )( 22 ba
nba )( 22
解返回目录应该选择 B
原式
a
ab
ab
ba
ba
aD
n
0000
000
000
000
000
2
0000
000
000
000
000
)1(
12
b
ab
ab
ba
ba
b
n?
)1(222 )( nDba nn ba
ab
baba )()( 22122
自测题 1.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
1
)1,,(
21
22212
11211
y
x
cbb
baa
baa
y x
cybxb
yaxyaxa
21
2
2212
2
11
22
2cbb
ybaaxbaa i
21
2221211211 )()(
cybxb
ybyaxya
xbxyaxa
21
2
2
2212
112
2
11不能相乘解下 一 题 返回目录应该选择 D
1
)1,,(
21
22212
11211
y
x
cbb
baa
baa
yx
1
),,( 212221211211 y
x
cybxbbyaxabyaxa
cybxbyaxyaxa 2122212211 222
自测题 2.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=n
c o ss i n
s i nc o s
nn
nn
c o ss i n
s i nc o s
nn s i nc o s nn s i nc o s?
c o ss i n
s i nc o s
解下 一 题 返回目录应该选择 D
nn
nn
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s
)1c o s ()1s i n (
)1s i n ()1c o s (
nn
nn
用数学归纳法,可证事实上，假设
)1c o s ()1s i n (
)1s i n ()1c o s (
c o ss i n
s i nc o s 1
nn
nnn
则
nn
nnn
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
n
A
1111
1111
1111
1`111
若 n为偶数，则
En2
2A
An2
0
解下 一 题 返回目录应该选择 C
EA 22 2?
于是
4000
0400
0040
0004
1111
1111
1111
1111
2
2
A
EEEAAA nkkkkn 22)2()( 2222
即自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若 则 ；BCAC? BA?
若,则 或 ；EA?2 EAEA?
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若,则 ；AA?2 EA?
若,则 ；22 2)( BABABA BAAB?
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若,则 ；02?A 0?A
EAAEA 2)( 2
自测题 7
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 阶矩阵 满足,则必有设 是两个 阶矩阵,则
n
BA,n 22))(( BABABA
EABC? EB C A?CBA,,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 阶矩阵,满足,则必有CBA,,n IABC?
IACB?
ICB A?
IB A C?
IBCA?
自测题 8.
自测题 9
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设均 A,B为阶方阵，则必有 BABA
设 n阶方阵 A经过初等变换后所得方阵记为 B，
则若 则
0?B0?A
请选择正确答案
A
DB
C
213
654
321
112
101
032
101
213
112
X
若则 X=
220
340
241
220
320
141
210
030
233
240
040
226
自测题 10.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录解下 一 题 返回目录应该选择 D
101
113
112
213
654
321
X
220
340
241
112
101
032
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
若 A,B均为 n阶方阵，则下列结论正确的是（ ）
0||00 BAAB 且000 BAAB 且
00 AA 1 AEA
自测题 11.
自测题 12.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 是 阶方阵，且 可逆，则 也可逆，且,
BA,n ABE? BAE?
AABEBEBAE 11 )()(
设 且 均可逆,则
0
0
2
1
B
BA 21,BB
0
0
1
1
1
21
B
BA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
⒉ 若为反对称矩阵，则 Ak
不是反对称矩阵就是对称矩阵，二者必居其一必为反对称矩阵必为对称矩阵既不是反对称矩阵，又不是对称矩阵自测题 13.
自测题 14.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
对矩阵 施行若干次初行等变换，当 变为时,相应地变为
),( EA A E
1?AE
设 是 阶矩阵,是一个数,则,AA 22?n KA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设,,则
400
030
002
P
321
321
321
ccc
bbb
aaa
A
321
321
321
432
432
432
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
444
333
222
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
4
3
2
ccc
bbb
aaa
PA
321
321
321
2
3
4
ccc
bbb
aaa
PA
自测题 15.
自测题 16.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
300
020
001
A1A设,则
3
100
0210
001
301
040
132
A
2
100
0210
101
自测题 17.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
111
011
001
A
)4()2( 21 EAEA
设,则
311
031
003
101
011
002
AE
自测题 18.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
若 A或 B不可逆，则 AB必不可逆,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
可逆矩阵一定是方阵,
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
432
032
001
A
A
1* )(?A
是 A 的伴随矩阵，设
A121
2AA
A41
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
,1,
bcad
dc
ba
A
设,则
1A
ac
bd
ac
bd
ad
bc
1
1
自测题 21.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A,B均为 n阶方阵，则必有 111)( BABA
设 A.,B为同阶可逆阵,则存在可逆阵 P,Q使 BP A Q?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录以下结论正确的是若方阵 A的行列式
|A|=0，则 A=0
若 A2=0，
则 A=0
若 A为对称矩阵,则
A2也是对称矩阵对任意的同阶方阵 A,B有
22))(( BABABA
自测题 22.
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A,B为 n 阶方阵，那么，
.2)( 222 BABABA
设 A为 n 阶方阵,且 那么,0?A,02?A
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积,
设 A,B,C,D为 n 阶方阵,那么,
CBADDC BA
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 均为 阶方阵，则必有BA,n
BABA BAAB?
BAAB? 111)( BABA
自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
⒌ 设 A是 n阶可逆矩阵,A*是 A的伴随矩阵，则（ ）
AA
1 nAA
nAA
1 AA
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
若 均为 n阶可逆矩阵，
则
11,,, BABABA
111 )( BA
11 BA
BA?
ABAB 1)(
1)( BA
自测题 27.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 A是 n阶可逆矩阵，下列各式正确的是
11 2)2( AA
0AA
A
AA 11)(
TTT AA 111
自测题 28.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
B
A
D
C
设 A是 n阶可逆矩阵，则
CACBAB 则若,
A总可以经过初等行变换化为 I
对矩阵 (A I)施行若干次初等变换,当 A变
I时,相应地 I变为 A-1
对矩阵 施行若干次初等变换,当 A变
I时,相应地 I变为 A-1
IA
自测题 29.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
设 A是 n阶可逆矩阵，则 等于（ ）*)( A?
*A?
*A
*)1( An?
*1)1( An
自测题 30.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若向量 与 线性相关，则 a的取值为
1,0,1,3,22,,2,6,4 a
为任何数a;0?a ;0?a;0?a
自测题 1.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
4;1 ;2;3
向量组 的秩是6,1,1,3,2,1,9,0,3,0,1,1
自测题 2.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
4;1 ;2;3
向量组 的秩是1,1,1,1,1,7,0,6,1,2,3,0,0,3,1,2
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,,,
，,则这个向量组的一个极大线性无关组可以取向量组
1,2,0,111,0,2,121,1,1,03
0,1,1,140,4,2,35
21, 321,,
421,, 521,,
自测题 4.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C0?a 0?a
1?a 1?a
设向量组 线性无关，则的取值为
4,1,1,3,,1,6,2,1 aaa
自测题 5.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,,,,
则数域 上的任何一个三维向量 都可表为下列向量组中的一个的线性组合，这个向量组为
2,0,113,0,221,2,137,0,04
Pcba,,
21, 321,,
421,, 43
,
自测题 6.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若 线性相关,则 也线性相关
若 线性无关,则 也线性无关
若 线性相关,则也线性相关
的相关性与的相关性没有联系
设有向量组 是 的部分组，则下列断语正确的是（ ）,
自测题 7.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录向量组 线性无关是向量组线性无关的（ ）
s,,,21?
s 21321211,,,,
充分但非必要的条件 必要但非分条件充分且必要条件 既不充分也不必要条件自测题 8.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录若向量组 可由向量组 线性表出，且线性无关，则 与 的关系为
r,,,21? s,,,21?
r,,,21? r s
sr? sr?
sr?sr?
自测题 9.
排列 与排列的逆序数的和为自测题 10
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么
I~II.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量 可由向量组唯一线性表出,则 线性无关,
s,,21?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 11.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
t,,,21?
如果 可由 线性表出，
且 那么 线性相关,
s,,21?,ts?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 12.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,如量向量组 I与向量组 II的秩相等,那么
I~II.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量 可由向量组唯一线性表出,则 线性无关,
s,,21?
s,,21?
排列 与排列的逆序数的和为自测题 13.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都能由其余向量线性表出,
t,,,21?
如果 可由 线性表出，
且 那么 线性相关,
s,,21?,ts?
s,,21?
自测题 14.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如果 那么向量组与向量组 等价,
),,,(),( 32121 LL?
},{ 21 },,{ 321
设 是线性空间 V中 S个 n 维向量,且 n>s,那么 线性无关
s,,21?
s,,21?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解 答返回目录如果向量组 可由向量组 线性表出，那么
的秩 的秩 的秩的秩的秩 的秩 的秩的秩
自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录如果每一个 维向量都可由向量组 线性表出，
那向量组
n n,,,21?
n,,,21?
线性相关相关性不定线性无关是单位向量自测题 16.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
如果向量组 与向量组 等价，那么I?
自测题 17.
以上都错
的秩 的秩I?
的秩 = 的秩I?
的秩 的秩I?≤
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录可由 线性表出I 不一定能由线性表出
I?
线性相关 的向量个数多于 的线性个数
I?
设两个向量组 与 的秩相等，且 可由 线性表出，
则
II?
自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设有向量组
，它们的秩分别为,则
s,,,21? t,,,)I( 21? s,,,)II( 21?
)III(,,,21 t,,,321 rrr
21321 ),m ax ( rrrrr 21321 ),m ax ( rrrrr
32121,m ax rrrrr
321 rrr
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设有矩阵,
则
nsijnsij bBaA,
snsssnss
nn
nn
bbbaaa
bbbaaa
bbbaaa
C
2121
2222122221
1121111211
BAC 秩秩秩BAC 秩秩秩
BAC 秩秩秩BAC 秩秩秩
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
n设有一组 维向量,使得任一 维向量 都可由这个向量组线性表出，则（ ）
s,,,21? n?
ns? ns?
ns? ns?
自测题 21.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知向量组,则这个向量组等价于向量组
32123211,,,,,bbbaaa
),,(
),,(
3322112
3322111
bababa
bababa
)0,0,0(
)2,2,2(
2
3211
aaa
),,(
)3,2,(
3212
3211
bbb
aaa
)3,2,(
)3,2,(
3212
3211
bbb
aaa
自测题 22.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
nm?
A
DB
C
设 A是 n阶矩阵,C是 n阶可逆矩阵，矩阵 A的秩为 r，矩阵 B=AC的秩为 r1，则
1rr?
1rr?
1rr?
r与 r1的关系依 C
而定自测题 23.
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A DB C1个 ; 2个 ; 3个 ; 无,
下列向量组有几个是线性相关组
)2,0,1()5,2,0(3,2,1(,1 321,），
1,3,4,2,0,2,3,0,1,1,1,2,2 321
)1,3,1(),1,2,3(),3,2,1(,3 321
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 A,B均为 n阶非零矩阵，且 AB=0，则 A和 B的秩必有一个等于零都小于 n
一个小于 n，一个等于 n
都等于 n
自测题 25.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录
A
DB
C
R3 中由标准基 e1= (1,0,0),e2= (0,1,0),e3= (0,0,1),
到基?1= (1,1,2),?2= (1,3,0),?3= (1,0,1) 的过渡矩阵为,
自测题 26.
102
031
111
0028
031
11018
122
011
233
2
3
1
解下 一 题 返回目录应该选择 D
102
031
111
),,(),,( 321321 eeeααα?
所求过渡矩阵为
102
031
111
C
自测题 27.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,R 看作自身上的线性空间是一维的,数 1 就是它的一个基,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
如设 是线性空间 V的子空间,,
那么,
21,VV 21 VV
1V 2V
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录判断 R n中下列子集哪个是子空间：
}2,0,,0,11 nn aaaa
0,,,121
n
i in aaaa?
1,,,
121
n
i in
aaaa nIZaaaa in,,2,1,,,,21
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
设方程组 有非零解则（ ）
0
0
02
zyx
zykx
zyx
1?k 2?k
1k 2k
自测题 1.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果齐次线性方程组 有非零解，
系数 矩阵的秩为 q，则它的基础解系中含有向量的个数为（ ）
0
0
2211
1212111
pspss
pp
xaxaxa
xaxaxa
qs?
ps?
pq?
qp?
自测题 2.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果齐次线性方程组 有非零解，
那么（ ）
0
0
2211
1212111
nsnss
nn
xaxaxa
xaxaxa
ns?
ns?
ns?
三种情况都有可能自测题 3.
上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,若线性方程组（ I）经方程组的初等变换变为方程组（ II），
则（ I）与（ II）是同解方程组,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,证明：含有 n个未知量 n+1个方程组的线性方程组如果有解,那么行列式,1,,2,1,2211 nibxaxaxa ininii
0
111211
21
111211
nnnnn
nnnnn
n
baaa
baaa
baaa
D
证明 因为这个方程组有解，故系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即秩（ A） =秩 ( ).但由于 A只有 n列，所以秩（ A） ≤ n.
从而秩解下 一 题 返回目录应该选择 D
A
,
11211
21
11211
nnnn
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
A
111211
21
111211
nnnnn
nnnnn
n
baaa
baaa
baaa
A
.0||,)( DAnA
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,线性方程组的两个解向量的和还是这个线性方程组的解,
1,线性方程组 有解的充要条件为,
441
343
232
121
3
43
32
2
bxx
bxx
bxx
bxx
04321 bbbb
1,证明：方程组的增广矩阵为,将第 1,2,3、
4行都加到末行，得 由此可见，方程组有解的充要条件为系数矩阵 A的秩 = 的秩 =3，亦即,
解下 一 题 返回目录应该选择 D
4
3
2
1
1-001
4300
0320
0021
b
b
b
b
A
4321
3
2
1
0000
4300
0320
0021
bbbb
b
b
b
A 04321 bbbb
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,齐次线性方程组如果有非零解，那么方程的个数小于未知量的个数,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,若齐次线性方程组 未知量的个数多于方程的个数,则它有非零解,
0
0
2211
1212111
nsnss
nn
xaxaxa
xaxaxa
自测题 7.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,n元齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩为 n-2，那么它的任意两个非零解就是它的一个基础解系,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,n元齐次线性方程组,如果系数矩阵的秩为 r,那么它的任意 n-r个线性无关的非零解就是它的一个基础解系,
自测题 8.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,齐次线性方程组,如果有一个基础解系,那么它有无穷多个基础解系,
1,齐次线性方程组 的任意两个线性无关的解是它的一个基础解系,
0
0
44332211
44332211
xbxbxbxb
xaxaxaxa
自测题 9.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1,齐次线性方程组，如果有非零解，那么系数矩阵的秩与自由未知量的个数相等,
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,齐次线性方程组,如果有基础解系,那么一个基础解系中解的个数与自由未知量的个数相等,
自测题 10.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C2; 1; 1,2; 无,
1,如果向量 是一个齐次线性方程组的基础解系，那么这个齐次线性方程组的全部解为,其中是不全为零的任意数,
21,aa
2211 kk? 21,kk
2,n元线性方程组 Ax=B有无穷多个解的充要条件是秩 （ A）
=秩,nA?)(
自测题 11.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
1,如果向量 是 n元线性方程组 的两个解向量，那么 也是这个方程组的一个解向量,
21, BAx?
21 3
2
3
1
2,如果非齐次的线性方程组 有解,那么一定存在一组解向量,使每个解向量都可由这一组解向量线性表示,
BAx?
请选择正确答案
A
DB
C
若方程组 有解，则（ ）
axxxx
xxxx
xxxx
4321
4321
4321
847
232
12
7a
7a
0?a
0?a
自测题 12.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
方程组有 无穷多个解的充要条件是 （ ）
bxxx
axxx
xxx
321
321
321
2
22
12
为任何数ba,7?
1,7 ba
1,7 ba
为任何数,b= -1 上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 13.
请选择正确答案
A
DB
C
方程组 没有解，则系数 a,b取值为（ ）
bxxx
axxx
xxx
321
321
321
2
22
12
1,7 ba
1,7 ba
1,7 ba
1,7 ba
自测题 14.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
若线性方程组 有唯一解，则（ ）
2
321
321
3211 1
kkxxx
kxkxx
xxxk
21 kk 或
21 kk 且
21 kk 或
2k
自测题 15.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录请选择正确答案
A
DB
C
如果线性方程组 无解，那么（ A）
2
321
321
321 1
kkxxx
kxkxx
xxkx
2k
1?k
2k
0?k
自测题 16.
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