第一节 二元一次方程组与二阶行列式第四节 克莱姆法则第二节 n 阶行列式第三节 行列式的性质与行列式的展开一、二元一次方程组的求解公式二、二阶行列式的概念一、三阶行列式二、排列与逆序数三,n阶行列式的定义一、行列式的性质二、行列式按行 (列 )展开
,1 1
D
D x?
,2 2
D
D x?
,?
D
D xn
n?
第一章 行列式一、二元一次方程组的求解公式设关于 x1,x2 的二元一次方程组为
,1212111 bxaxa
,2222121 bxaxa
(1.1)
其中 a11,a12,a21,a22,b1,b2 均为已知参数,用中学的消元法解此方程组,
时，得当 0 21122211 aaaa
,
21122211
212122
1 aaaa
babax
(1.2)
将它代入第一个方程并化简,得
.
21122211
121211
2 aaaa
babax
(1.3)
式 (1.2) 和 (1.3) 给出了两个变量两个方程的方程组 (1.1) 的求解公式 ( 当 a11 a22? a12 a21? 0时 ),
下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式 ( 1.2 ),( 1.3 ),
§ 1.二元一次方程组与二阶行列式第一章 行列式二、二阶行列式的概念其中横排称为 行,竖排称为 列,数 aij ( i,j =1,2) 表示第 i 行第 j 列的元素,
2221
1211
aa
aa
,21122211 aaaa
副对角线主对角线定义 1
二阶行列式在方程组
,1212111 bxaxa
,2222121 bxaxa
中,若令
,
2221
1211
aa
aaD?,
222
1211
ab
abD?,
221
1112
ba
baD?
§ 1.二元一次方程组与二阶行列式第一章 行列式
,11 DDx? DDx 22? ( 1.4 )
公式 (1.4 ) 与公式 (1.2 ) 及 (1.3 ) 表示的是同一式子,但显然公式 (1.4 ) 简单易记得多,
公式 (1.4 ) 称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的 克莱姆 (Cramer)法则,
例 1
设
2x1 + 3x2 = 5,
3x1 + x2 = 3,
解此方程组,
解?
13 32D
= 2 + 9 = 11? 0,
DDx 11,114 D
Dx 22?,1121?
13
35
1?D
=? 4,,21
33
52 2?
D
在 § 1 中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式,但实际问题中,往往要解多个变量的一次方程组 (称为线性方程组 ),其中最简单,最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组,因此有必要引入高阶行列式的概念,
其中 D 称为 系数行列式,则当系数行列式 D? 0 时,上述方程组的解可简记为上一页定义 1
第一章 行列式一、三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
,122133113223312213
122331133221332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
其中 aij ( i,j =1,2,3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素,
三阶行列式三阶行列式的计算可如下图,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
+
+
+
§ 2,n 阶行列式解第一章 行列式求三阶行列式,
123
142
108
原式 =32 + 4 + 0?12? (?16)?0
=32 + 4?12 +16 = 40.
以后我们将证明三元一次方程组
,1313212111 bxaxaxa
,2323222121 bxaxaxa
3333232131 bxaxaxa
的解将与它的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
密切相关,
上一页定理 2
定义 2
第一章 行列式二、排列与逆序数为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,先引 入排列和逆序数的概念,
将前 n 个自然数 1,2,…,n 按照某一顺序排成一行,就称为一个 n 级排列,其中若某两数之间大数在前而小数在后,则称它们构成 一个 逆序,一个排列中所有逆序数的总数称为该 排列的逆序数,
n 级排列 (i1 i2… in ) 的逆序数记为 τ(i1i2… in),简记为 τ,例如,四级排列 2314 中,2与 1,
3 与 1 构成逆序,故 τ(2314) = 2; 再如六级排列 243516 中,2 与 1,4 与 1,3 与 1,5与 1,4
与 3 均构成逆序,故 τ(243516) = 5.
奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为 偶排列,逆序数为奇数的排列称为 奇排列,
如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列,
对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,则称对该排列作了一次 对换,
如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得,而 τ(21534)=3,τ(31524)=4,
即经过对换后排列的奇偶性改变了,
每一次对换改变排列的奇偶性,
证
§ 2,n 阶行列式由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶排列各占一半,即各有 ( n!/2 ) 个,
第一章 行列式三,n 阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,332112322311312213
312312322113332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
中共 3! = 6 项,其中一半带正号,一半带负号,
τ(123)= 0 τ(312)=2 τ(231)=2
τ(321)=3 τ(132)=1 τ(213)=1
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,)1( 321321 321)( jjjjjj aaa?
其中? 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和,
三阶行列式可记为
2221
1211 aa aaD,)1(
2121 21)( jjjj aa?
其中? 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和,
同样,二阶行列式例 2
解定义 3
第一章 行列式仿此,可得
n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
其中? 是对所有 n 级排列 ( j1 j2… jn ) 求和,而 aij 仍称为第 i 行第 j 列的元素,
nnjjj aaa?21 21 )1()( 21 njjj
由定义 3 可知,n 阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和,且共有 n! 项,其中一半带正号,一半带负号,
在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什么符号?
由于 τ(3 4 2 1 5) = 5,列下标为奇排列,
故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号,
上一页例 3
第一章 行列式计算下列 n 阶行列式
.
21
2221
11
1
nnnn aaa
aa
a
D
(称为 (下 )三角行列式 )
由定义,D1 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积,除了 a11 a22 …ann 外,其余全为 0,而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n),
τ( 1 2 … n ) = 0,
D1= (?1)0 a11 a22… ann.故解作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式 (称为对角行列式 )
.221122
11
nn
nn
aaa
a
a
a
上一页例 4
第一章 行列式计算 n 阶行列式
.
1,1
21,2
1
2
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积,除 a1n a2,n-1 … an1 外,其余全为
0,而 a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n,n?1,…,1),
1)2()1()1,1,( nnnn?
故
.)1( 11,212 )1(2 nnnnn aaaD
,2 )1( nn
解由例 4 立即可知
.)1( 11,212 )1( nnnnn aaa
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
上一页第一章 行列式在 n 阶行列式的定义中,为了确定每一项的符号,把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列,事实上,数的乘法是可交换的,因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的,故 有
.)()()1( 22112121 njnijijinn aaajjjiiiD
定理 2
n 阶行列式的定义也可写成由定理 2 还可知道,若将列下标按自然顺序排列,则有
,1 21 2121 niiiiii nn aaaD
小结,n 阶行列式的定义有三种形式：
n
n njjjjjj aaaD
21
21 21)()1(
niiiiii nn aaa 21)( 2121)1(
.)1( 22112121 )()( nnnn jijijijjjiii aaa
证上一页性质 1
第一章 行列式按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算,
n 阶行列式与它的转置行列式相等,
,
321
22221
11211
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
,
21
22212
12111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
T
则 D = DT,
即如：
.53 4254 32?
证
§ 3.行列式的性质与行列式的展开一、行列式的性质由上节例 3 及性质 1 还可知
.2211 nnaaa
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
21
2212
11
nnnn aaa
aa
a
上三角行列式 下三角行列式三角行列式第一章 行列式上一页第一章 行列式性质 2
互换 n 阶行列式的任意两行 ( 列 ),行列式仅改变符号,
即
1
1
1
111
nnn
qnq
pnp
n
aa
aa
aa
aa
.
1
1
1
111
nnn
pnp
qnq
n
aa
aa
aa
aa
证这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D =? D,从而 D = 0.
如二阶行列式,8
75
31 而 8
31
75? 两者异号,
推论 1
若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同,则行列式为零,
上一页第一章 行列式性质 3
把行列式的某行 (列 )的所有元素同乘以 数 k,等于该行列式乘以数 k,
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
.
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
即由性质 3 可知,若行列式某行 ( 列 ) 有公因式则可提出来。
结合性质 2 和性质 3,有若 n 阶行列式有两行 (列 )对应元素成比例,则该行列式为零,
若 n 阶行列式有某行 (列 )全为零,则行列式为零,
推论 2
推论 3
证
ni njijjj akaaa )(21 21左
ni njijjj aaaak21 21 kD?
=右上一页第一章 行列式性质 4
若 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和,
1
11211
nnn2n1
ini2i
n
aaa
aaa
aaa
21
''
2
'
1
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
nnnn
ininiiii
n
aaa
aaaaaa
aaa
21
2211
11211
即如
1543 21
47 211543 21 =?10,
,10)9(114 2153 21
而
.14 2153 21
即证
.21 DD
上一页第一章 行列式性质 5
把 n 阶行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 )
的对应元素上去,行列式的值不变,
即
1
1
1
111
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
.
1
1
1
111
nnn
injniji
ini
n
aa
kaakaa
aa
aa
性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出,
如
,174 21
42744 21,110 21
两者相等,
上一页第一章 行列式行列式还有三条推论：
1,行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；
2,行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；
3,行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0,
由上节例 2 可知三角行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为 一个与之相等的三角行列式,从而简化行列式的计算,
为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示每 i 行,ci
以 k 加到第 i 行记作 ri+krj,
ji rr?
，将第 j 行乘表第 i 列,交换 i,j 两行记作小结：
1,DT = D ;
2,互换行列式的两行 ( 列 ),行列式 仅 变号 ;
3,行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；
4,行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；
5,行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 ) 对应元素上去，行列式的值不变,
行列式有五条性质：
上一页
r3+4r2
r4?8r2
34 45rr?
例 1
第一章 行列式计算行列式
.
3351
1102
4315
2113
3351
1102
4315
2113
3315
1120
4351
2131
21 cc?解
72160
1120
6480
2131
72160
6480
1120
2131
151000
10800
1120
2131
2
5000
10800
1120
2131
.4025821
21 rr?
上一页
r2?r1
r4 + 5r2
例 2
第一章 行列式解计算 n 阶行列式
,
abbb
babb
bbab
bbba
abbb
babb
bbab
bbba
)( 21 nccc
)1(
)1(
)1(
)1(
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
000
000
000
)1(
ba
ba
ba
bbbbna
,)()1( 1 nbabna1
rri?
( i? 1)
上一页例 3
第一章 行列式解计算 n 阶行列式
.
0321
021
301
321
n
n
n
0321
021
301
321
n
n
n
000
2300
2620
321
n
n
n
n
ri+ r1
(i? 1),!321 nn
上一页第一章 行列式二、行列式按行 (列 )展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念,
定义 1
在 n 阶行列式中,去掉 aij ( i,j =1,2,… n ) 所在的行与所在列后剩下的 n?1 阶行列式称为元素 aij 的 余子式,记为 Mij,余子式 Mij 带上符号
(?1)i+j 则称为元素 aij 的 代数余子式,记为 Aij,即 Aij = (?1)i+j Mij,
,4 31 40 11M,4)1( 111111 MA
元素 a11 = 1的余子式和代数余子式分别为如三阶行列式
312
401
321
中,
元素 a12 = 2 的余子式和代数余子式分别为
,532 4112M,51 122112 MA
而元素 a13 = 3 的余子式和代数余子式分别为
,112 0113M,11 133113 MA
第一章 行列式
Laplace 展开定理又称为 行列式按行 (列 )展开的法则,利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算,
用 Laplace 展开定理解例 1,
3351
1102
4315
2113
c1?2c3
c4+c3
0355
0100
13111
1115
例 4
055
1111
115
)1( 33
21 rr?
)5(3r
11 26 )1()5( 31,4085
011
026
115
5
055
026
115
解上一页第一章 行列式通过直接计算可知
,176401630
312
401
321
而 131312121111 AaAaAa,17135241
两者相等,这个现象不是偶然的,事实上,有定理 1
( Laplace 展开定理 ) 行列式等于它的任一行 (列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = ininiiii AaAaAa2211,
1 ikik
n
k Aa
或 D = njnjjjjj AaAaAa2211,
1 kjkj
n
k Aa
),,2,1( ni
),,2,1( nj
即证上一页例 5
第一章 行列式计算 n 阶行列式
.
00
00
00
ab
ba
ba
将其直接按第一列展开,得解
00
00
00
ab
ba
ba
000
0
00
a
ba
ba
a
b
ba
b
b n
00
0
00
)1( 1
111 1 nnn bbaa
.1 1 nnn ba
上一页第一章 行列式例 7 证明 范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
.)(1 jinij xx
其中 n? 2,?称为连乘号,这里表示所有可能的 xi? xj (1? j < i? n) 的乘积,
证例 8 求四阶行列式
.
1111
3333
2222
tzyx
tzyx
tzyx
解原式 =
,)( ztytyzxtxzxy
此为四阶范德蒙行列式,于是上一页第一章 行列式例 6 计算 n 阶行列式
.
222
2322
2222
2221
n?
解
222
2322
2222
2221
n?
2000
0100
2222
0001
n?
200
010
222
1
n?
22121 n,!22 n
上一页
2rri?
( i? 2)
定理 2
第一章 行列式关于代数余子式,还有下列定理行列式的任一行 (列 )的所有元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,
,02211 jninjiji AaAaAa?
或,0
2211 njnijiji AaAaAa?
即
( i? j )
证例 9
上一页有了 n 阶行列式 概念后,可以把解二元一次方程组的克莱姆法则加以推广 。
定理 1
(克莱姆法则 )设 n 个变量 n 个方程的线性方程组为
,11212111 bxaxaxa nn
,22222121 bxaxaxa nn
,2211 nnnnnn bxaxaxa
(4.1)
………………
如果系数行列式
2 1
2 22 21
1 12 11
nn n n
n
n
a a a
a a a
a a a
D
,0?
则方程组 (4.1)有唯一解,且解可表示为,1 1DD x?,2 2DD x?,?,DD xn n?
其中 Di ( i = 1,2,?,n) 是用常数项 b1,b2,…,bn 代替 D 中第 i 列各元素而得到的 n 阶行列式,即
nninninn
nii
i
aabaa
aabaa
D
1,1,1
11,111,111
( i = 1,2,…,n ),
第一章 行列式证
§ 4.克莱姆法则例 1
第一章 行列式求解线性方程组
,12 4321 xxxx
,12 4321 xxxx
,2421 xxx
.1431 xxx
1101
1011
1211
2111
D,10
1101
1012
1211
2111
1
D,8
解
1 1 1 1
1 0 2 1
1 2 1 1
2 1 1 1
2
D,9
1 1 0 1
1 2 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1
3
D,5
上一页第一章 行列式
1101
2011
1211
1111
4
D,3
故,
541081x,1092?x,211053x,10
34?x
在方程组 (4.1) 中,若 b1 = b2 = …= bn = 0,即
,01212111 nn xaxaxa?
,02222121 nn xaxaxa?
…
,02211 nnnnn xaxaxa?
则称之为 齐次线性方程组,而 ( 4.1) 称为 非齐次的线性方程组,显然
x1 = x2 = … = xn = 0
是 ( 4.2 ) 的解 ( 零解 ),
( 4.2 )
上一页第一章 行列式关于齐次方程组 ( 4.2 ) 还有下列结论：
结论 1.若系数行列式 D? 0,则它只有零解,
结论 2.若齐次方程组有非零解,则必有系数行列式 D = 0.
上一页第一章 行列式先考察相邻两个数字的对换,设排列
(,…,表不动的数字 ) 经 j,k 的对换
… k j …
显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外,其它任意两数的顺序并没有变,而 j 与 k
之间,若 j < k,则经对换后构成逆序使排列的逆序数增加 1,若 j > k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数减少 1,总之,排列的奇偶性改变了,
… j k …
变成排列再看一般情形的对换,设排列
… j i1 i2 … im k …
经 j 与 k 对换变成排列
… k i1 i2 … im j …
这可看作是通过一系列相邻对换得到的,从排列 … j i1 i2 … im k … 出发把 k 与 im 对换,再与 im?1 对换,一位位地向左移动,经 m 次相邻对换就变成了排列 … j k i1 i2 … im …,再把 j
一位一位地右移,经 m+1 次相邻对换就变成 … k i1 i2 … im j …,总共经过 2m+1 (奇数 )次对换,排列的奇偶性也改变了,
证将
nn jijiji aaa?2211
重排使其行下标成自然顺序
njnjj aaa21 21
由乘法交换律知 ( 2.4 ) 与 ( 2.5 ) 是相等的,
( 2.4 )
( 2.5 )
证由于 ( 2.5 ) 是由 ( 2.4 ) 经过一系列元素的对换得到的,而每作一次元素对换,
相应的行下标和列下标所成排列 i1 i2 … in 和 j1 j2… jn 也同时作了一次对换,由定理 1 知行下标和列下标的排列的逆序数同时改变奇偶性,因而行下标与列下标的排列的逆序数之和不改变奇偶性,
第一章 行列式
)()( 2121)1( nn jjjiii
)'''()12( 21)1( njjjn
,)1( )'''( 21 njjj
从而
nn
nn jijijijjjiii aaa
221
2121 1)()()1(
.)1( ''2'1)'''( 2121 nn njjjjjj aaa
于是第一章 行列式令,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
,
1
111
nnn
n
bb
bb
D
T
则 bij = aji ( i,j = 1,2 … n ),由定义有
nn jnjj
jjj bbbD
2121 21)1(
T
njjjjjj nn aaa 21 21211?
= D,
由性质 1 知行列式中对行成立的命题对列也成立,
证第一章 行列式证
nii njijijjj aaaaa )'(21 21左
nini njijjjnjijjj aaaaaaaa '2121 2121
.21 右 DD
第一章 行列式设
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
,
1
111
nnn
n
bb
bb
M
其中 M 为 D 经过互换第 p 行和第 q 行 ( 1? p < q? n ) 后得到,则
i? p,q 时,bij = aij ( j = 1,2,…,n) ;
i = p,q 时,bpj = aqj,bq j = apj ( j = 1,2,…,n ) ;
证于是
nqpnqp njqjpjjjjjjj bbbbbM 211 21)()1(?
nqpnqp njpjqjjjjjjj aaaaa 211 21)1(?
npqnqp njqjpjjjjjjj aaaaa 211 21)1(?
nqnpq njpjjjjjjj aaaa 211 21)1(?
.D
第一章 行列式证 先证明等式
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
1,1,1
11,111,111
0000
.ijijAa? ( 5.1 )
为此考虑特殊情形
nn
nnnnnn
nn
nn
a
aaaa
aaaa
aaaa
000
,11,12,11,1
21,22221
11,11211
.nnnn Aa? ( 5.2 )
将上式左端表为
,1 221 21 nnjjjjjj aaan 1? ( 5.3 )
nnjnjjjjj aaaa nn 121121,1211
就是对 n?1 级排列是 j1 j2 … jn?1 求和,且显然 ( j1 j2 … jn?1 n ) =? ( j1 j2 … jn?1 ),
故 ( 5.3 ) 式即为其中只有 jn = n 时,
nnja 才不会为零,这时和式对所有 n 级排列,j1 j2 … jn?1 n 求和
,nnnn Aa?
这就是 ( 5.2 ) 式,
第一章 行列式接下来将 ( 5.1 ) 式左端的行列式的第 i 行依次与其下面相邻的行对换,经 n?i 次对换后换到第 n 行,然后再将第 j 列依次与其右边相邻的列对换,经 n?j 次对换后换到第 n 列,这时 aij 换到右下角的位置,由性质 2,式 ( 5.1 ) 左端的行列式等于
jnin1
.
0000
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111
ij
jinijijii
jinijijii
jnjj
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
由于经上述行列互换,除第 i 行与第 j 列元素外,其它各行各列元素相对位置都没有改变,故上面行列式左上角的 n? 1 阶行列式即为 aij 的余子式 Mij,由 ( 5.2 )
式得 ( 5.1 ) 式左端的行列式为
ijijjnin Ma 1 ijijji Ma 1,ijijAa?
于是 ( 5.1 ) 式得证,
上一页第一章 行列式
00 00
21
2
11211
21
1
11211
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
ininiiii AaAaAa2211,
1 ikik
n
k Aa
类似地按列证明便得
.,2,11 njAaD kjkjnk
下面证明定理,先把 D 写成如下形式,并利用行列式性质 5 及 ( 5.1 ) 式有
0000000
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
上一页例 9
解第一章 行列式设行列式为
,
23145
70213
11976
1111
求,24232221 AAAA 其中 Aij 为元素 aij 的代数余子式,
由定理 2 可知
24232221 1111 AAAA
24232221 AAAA
2414231322122111 AaAaAaAa
.0?
第一章 行列式用数学归纳法,当 n = 2 时
12
21
2
11 xx
xxD
结论正确,
假设对于 n?1 阶范德蒙行列式结论正确,现在来证 n 阶的情形,设法将 Dn 降阶,为此,从第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1 倍,得证
)()(0
)()(0
0
111
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
n
n
)()(
)()(
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
,
11
22
2
2
112
n
n
n
n
n
xx
xx
xxxx
上式右端的行列式为 n?1 阶范德蒙行列式,于是由归纳假设有
ji
nijnn
xxxxxxD
2112
)(.1 jinij xx
,1 1
D
D x?
,2 2
D
D x?
,?
D
D xn
n?
第一章 行列式一、二元一次方程组的求解公式设关于 x1,x2 的二元一次方程组为
,1212111 bxaxa
,2222121 bxaxa
(1.1)
其中 a11,a12,a21,a22,b1,b2 均为已知参数,用中学的消元法解此方程组,
时，得当 0 21122211 aaaa
,
21122211
212122
1 aaaa
babax
(1.2)
将它代入第一个方程并化简,得
.
21122211
121211
2 aaaa
babax
(1.3)
式 (1.2) 和 (1.3) 给出了两个变量两个方程的方程组 (1.1) 的求解公式 ( 当 a11 a22? a12 a21? 0时 ),
下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式 ( 1.2 ),( 1.3 ),
§ 1.二元一次方程组与二阶行列式第一章 行列式二、二阶行列式的概念其中横排称为 行,竖排称为 列,数 aij ( i,j =1,2) 表示第 i 行第 j 列的元素,
2221
1211
aa
aa
,21122211 aaaa
副对角线主对角线定义 1
二阶行列式在方程组
,1212111 bxaxa
,2222121 bxaxa
中,若令
,
2221
1211
aa
aaD?,
222
1211
ab
abD?,
221
1112
ba
baD?
§ 1.二元一次方程组与二阶行列式第一章 行列式
,11 DDx? DDx 22? ( 1.4 )
公式 (1.4 ) 与公式 (1.2 ) 及 (1.3 ) 表示的是同一式子,但显然公式 (1.4 ) 简单易记得多,
公式 (1.4 ) 称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的 克莱姆 (Cramer)法则,
例 1
设
2x1 + 3x2 = 5,
3x1 + x2 = 3,
解此方程组,
解?
13 32D
= 2 + 9 = 11? 0,
DDx 11,114 D
Dx 22?,1121?
13
35
1?D
=? 4,,21
33
52 2?
D
在 § 1 中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式,但实际问题中,往往要解多个变量的一次方程组 (称为线性方程组 ),其中最简单,最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组,因此有必要引入高阶行列式的概念,
其中 D 称为 系数行列式,则当系数行列式 D? 0 时,上述方程组的解可简记为上一页定义 1
第一章 行列式一、三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
,122133113223312213
122331133221332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
其中 aij ( i,j =1,2,3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素,
三阶行列式三阶行列式的计算可如下图,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
+
+
+
§ 2,n 阶行列式解第一章 行列式求三阶行列式,
123
142
108
原式 =32 + 4 + 0?12? (?16)?0
=32 + 4?12 +16 = 40.
以后我们将证明三元一次方程组
,1313212111 bxaxaxa
,2323222121 bxaxaxa
3333232131 bxaxaxa
的解将与它的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
密切相关,
上一页定理 2
定义 2
第一章 行列式二、排列与逆序数为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,先引 入排列和逆序数的概念,
将前 n 个自然数 1,2,…,n 按照某一顺序排成一行,就称为一个 n 级排列,其中若某两数之间大数在前而小数在后,则称它们构成 一个 逆序,一个排列中所有逆序数的总数称为该 排列的逆序数,
n 级排列 (i1 i2… in ) 的逆序数记为 τ(i1i2… in),简记为 τ,例如,四级排列 2314 中,2与 1,
3 与 1 构成逆序,故 τ(2314) = 2; 再如六级排列 243516 中,2 与 1,4 与 1,3 与 1,5与 1,4
与 3 均构成逆序,故 τ(243516) = 5.
奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为 偶排列,逆序数为奇数的排列称为 奇排列,
如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列,
对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,则称对该排列作了一次 对换,
如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得,而 τ(21534)=3,τ(31524)=4,
即经过对换后排列的奇偶性改变了,
每一次对换改变排列的奇偶性,
证
§ 2,n 阶行列式由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶排列各占一半,即各有 ( n!/2 ) 个,
第一章 行列式三,n 阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,332112322311312213
312312322113332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
中共 3! = 6 项,其中一半带正号,一半带负号,
τ(123)= 0 τ(312)=2 τ(231)=2
τ(321)=3 τ(132)=1 τ(213)=1
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,)1( 321321 321)( jjjjjj aaa?
其中? 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和,
三阶行列式可记为
2221
1211 aa aaD,)1(
2121 21)( jjjj aa?
其中? 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和,
同样,二阶行列式例 2
解定义 3
第一章 行列式仿此,可得
n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
其中? 是对所有 n 级排列 ( j1 j2… jn ) 求和,而 aij 仍称为第 i 行第 j 列的元素,
nnjjj aaa?21 21 )1()( 21 njjj
由定义 3 可知,n 阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和,且共有 n! 项,其中一半带正号,一半带负号,
在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什么符号?
由于 τ(3 4 2 1 5) = 5,列下标为奇排列,
故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号,
上一页例 3
第一章 行列式计算下列 n 阶行列式
.
21
2221
11
1
nnnn aaa
aa
a
D
(称为 (下 )三角行列式 )
由定义,D1 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积,除了 a11 a22 …ann 外,其余全为 0,而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n),
τ( 1 2 … n ) = 0,
D1= (?1)0 a11 a22… ann.故解作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式 (称为对角行列式 )
.221122
11
nn
nn
aaa
a
a
a
上一页例 4
第一章 行列式计算 n 阶行列式
.
1,1
21,2
1
2
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积,除 a1n a2,n-1 … an1 外,其余全为
0,而 a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n,n?1,…,1),
1)2()1()1,1,( nnnn?
故
.)1( 11,212 )1(2 nnnnn aaaD
,2 )1( nn
解由例 4 立即可知
.)1( 11,212 )1( nnnnn aaa
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
上一页第一章 行列式在 n 阶行列式的定义中,为了确定每一项的符号,把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列,事实上,数的乘法是可交换的,因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的,故 有
.)()()1( 22112121 njnijijinn aaajjjiiiD
定理 2
n 阶行列式的定义也可写成由定理 2 还可知道,若将列下标按自然顺序排列,则有
,1 21 2121 niiiiii nn aaaD
小结,n 阶行列式的定义有三种形式：
n
n njjjjjj aaaD
21
21 21)()1(
niiiiii nn aaa 21)( 2121)1(
.)1( 22112121 )()( nnnn jijijijjjiii aaa
证上一页性质 1
第一章 行列式按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算,
n 阶行列式与它的转置行列式相等,
,
321
22221
11211
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
,
21
22212
12111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
T
则 D = DT,
即如：
.53 4254 32?
证
§ 3.行列式的性质与行列式的展开一、行列式的性质由上节例 3 及性质 1 还可知
.2211 nnaaa
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
21
2212
11
nnnn aaa
aa
a
上三角行列式 下三角行列式三角行列式第一章 行列式上一页第一章 行列式性质 2
互换 n 阶行列式的任意两行 ( 列 ),行列式仅改变符号,
即
1
1
1
111
nnn
qnq
pnp
n
aa
aa
aa
aa
.
1
1
1
111
nnn
pnp
qnq
n
aa
aa
aa
aa
证这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D =? D,从而 D = 0.
如二阶行列式,8
75
31 而 8
31
75? 两者异号,
推论 1
若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同,则行列式为零,
上一页第一章 行列式性质 3
把行列式的某行 (列 )的所有元素同乘以 数 k,等于该行列式乘以数 k,
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
.
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
即由性质 3 可知,若行列式某行 ( 列 ) 有公因式则可提出来。
结合性质 2 和性质 3,有若 n 阶行列式有两行 (列 )对应元素成比例,则该行列式为零,
若 n 阶行列式有某行 (列 )全为零,则行列式为零,
推论 2
推论 3
证
ni njijjj akaaa )(21 21左
ni njijjj aaaak21 21 kD?
=右上一页第一章 行列式性质 4
若 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和,
1
11211
nnn2n1
ini2i
n
aaa
aaa
aaa
21
''
2
'
1
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
nnnn
ininiiii
n
aaa
aaaaaa
aaa
21
2211
11211
即如
1543 21
47 211543 21 =?10,
,10)9(114 2153 21
而
.14 2153 21
即证
.21 DD
上一页第一章 行列式性质 5
把 n 阶行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 )
的对应元素上去,行列式的值不变,
即
1
1
1
111
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
.
1
1
1
111
nnn
injniji
ini
n
aa
kaakaa
aa
aa
性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出,
如
,174 21
42744 21,110 21
两者相等,
上一页第一章 行列式行列式还有三条推论：
1,行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；
2,行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；
3,行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0,
由上节例 2 可知三角行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为 一个与之相等的三角行列式,从而简化行列式的计算,
为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示每 i 行,ci
以 k 加到第 i 行记作 ri+krj,
ji rr?
，将第 j 行乘表第 i 列,交换 i,j 两行记作小结：
1,DT = D ;
2,互换行列式的两行 ( 列 ),行列式 仅 变号 ;
3,行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；
4,行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；
5,行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 ) 对应元素上去，行列式的值不变,
行列式有五条性质：
上一页
r3+4r2
r4?8r2
34 45rr?
例 1
第一章 行列式计算行列式
.
3351
1102
4315
2113
3351
1102
4315
2113
3315
1120
4351
2131
21 cc?解
72160
1120
6480
2131
72160
6480
1120
2131
151000
10800
1120
2131
2
5000
10800
1120
2131
.4025821
21 rr?
上一页
r2?r1
r4 + 5r2
例 2
第一章 行列式解计算 n 阶行列式
,
abbb
babb
bbab
bbba
abbb
babb
bbab
bbba
)( 21 nccc
)1(
)1(
)1(
)1(
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
000
000
000
)1(
ba
ba
ba
bbbbna
,)()1( 1 nbabna1
rri?
( i? 1)
上一页例 3
第一章 行列式解计算 n 阶行列式
.
0321
021
301
321
n
n
n
0321
021
301
321
n
n
n
000
2300
2620
321
n
n
n
n
ri+ r1
(i? 1),!321 nn
上一页第一章 行列式二、行列式按行 (列 )展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念,
定义 1
在 n 阶行列式中,去掉 aij ( i,j =1,2,… n ) 所在的行与所在列后剩下的 n?1 阶行列式称为元素 aij 的 余子式,记为 Mij,余子式 Mij 带上符号
(?1)i+j 则称为元素 aij 的 代数余子式,记为 Aij,即 Aij = (?1)i+j Mij,
,4 31 40 11M,4)1( 111111 MA
元素 a11 = 1的余子式和代数余子式分别为如三阶行列式
312
401
321
中,
元素 a12 = 2 的余子式和代数余子式分别为
,532 4112M,51 122112 MA
而元素 a13 = 3 的余子式和代数余子式分别为
,112 0113M,11 133113 MA
第一章 行列式
Laplace 展开定理又称为 行列式按行 (列 )展开的法则,利用这一法则并结合行列式的性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算,从而简化计算,
用 Laplace 展开定理解例 1,
3351
1102
4315
2113
c1?2c3
c4+c3
0355
0100
13111
1115
例 4
055
1111
115
)1( 33
21 rr?
)5(3r
11 26 )1()5( 31,4085
011
026
115
5
055
026
115
解上一页第一章 行列式通过直接计算可知
,176401630
312
401
321
而 131312121111 AaAaAa,17135241
两者相等,这个现象不是偶然的,事实上,有定理 1
( Laplace 展开定理 ) 行列式等于它的任一行 (列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = ininiiii AaAaAa2211,
1 ikik
n
k Aa
或 D = njnjjjjj AaAaAa2211,
1 kjkj
n
k Aa
),,2,1( ni
),,2,1( nj
即证上一页例 5
第一章 行列式计算 n 阶行列式
.
00
00
00
ab
ba
ba
将其直接按第一列展开,得解
00
00
00
ab
ba
ba
000
0
00
a
ba
ba
a
b
ba
b
b n
00
0
00
)1( 1
111 1 nnn bbaa
.1 1 nnn ba
上一页第一章 行列式例 7 证明 范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
.)(1 jinij xx
其中 n? 2,?称为连乘号,这里表示所有可能的 xi? xj (1? j < i? n) 的乘积,
证例 8 求四阶行列式
.
1111
3333
2222
tzyx
tzyx
tzyx
解原式 =
,)( ztytyzxtxzxy
此为四阶范德蒙行列式,于是上一页第一章 行列式例 6 计算 n 阶行列式
.
222
2322
2222
2221
n?
解
222
2322
2222
2221
n?
2000
0100
2222
0001
n?
200
010
222
1
n?
22121 n,!22 n
上一页
2rri?
( i? 2)
定理 2
第一章 行列式关于代数余子式,还有下列定理行列式的任一行 (列 )的所有元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,
,02211 jninjiji AaAaAa?
或,0
2211 njnijiji AaAaAa?
即
( i? j )
证例 9
上一页有了 n 阶行列式 概念后,可以把解二元一次方程组的克莱姆法则加以推广 。
定理 1
(克莱姆法则 )设 n 个变量 n 个方程的线性方程组为
,11212111 bxaxaxa nn
,22222121 bxaxaxa nn
,2211 nnnnnn bxaxaxa
(4.1)
………………
如果系数行列式
2 1
2 22 21
1 12 11
nn n n
n
n
a a a
a a a
a a a
D
,0?
则方程组 (4.1)有唯一解,且解可表示为,1 1DD x?,2 2DD x?,?,DD xn n?
其中 Di ( i = 1,2,?,n) 是用常数项 b1,b2,…,bn 代替 D 中第 i 列各元素而得到的 n 阶行列式,即
nninninn
nii
i
aabaa
aabaa
D
1,1,1
11,111,111
( i = 1,2,…,n ),
第一章 行列式证
§ 4.克莱姆法则例 1
第一章 行列式求解线性方程组
,12 4321 xxxx
,12 4321 xxxx
,2421 xxx
.1431 xxx
1101
1011
1211
2111
D,10
1101
1012
1211
2111
1
D,8
解
1 1 1 1
1 0 2 1
1 2 1 1
2 1 1 1
2
D,9
1 1 0 1
1 2 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1
3
D,5
上一页第一章 行列式
1101
2011
1211
1111
4
D,3
故,
541081x,1092?x,211053x,10
34?x
在方程组 (4.1) 中,若 b1 = b2 = …= bn = 0,即
,01212111 nn xaxaxa?
,02222121 nn xaxaxa?
…
,02211 nnnnn xaxaxa?
则称之为 齐次线性方程组,而 ( 4.1) 称为 非齐次的线性方程组,显然
x1 = x2 = … = xn = 0
是 ( 4.2 ) 的解 ( 零解 ),
( 4.2 )
上一页第一章 行列式关于齐次方程组 ( 4.2 ) 还有下列结论：
结论 1.若系数行列式 D? 0,则它只有零解,
结论 2.若齐次方程组有非零解,则必有系数行列式 D = 0.
上一页第一章 行列式先考察相邻两个数字的对换,设排列
(,…,表不动的数字 ) 经 j,k 的对换
… k j …
显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外,其它任意两数的顺序并没有变,而 j 与 k
之间,若 j < k,则经对换后构成逆序使排列的逆序数增加 1,若 j > k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数减少 1,总之,排列的奇偶性改变了,
… j k …
变成排列再看一般情形的对换,设排列
… j i1 i2 … im k …
经 j 与 k 对换变成排列
… k i1 i2 … im j …
这可看作是通过一系列相邻对换得到的,从排列 … j i1 i2 … im k … 出发把 k 与 im 对换,再与 im?1 对换,一位位地向左移动,经 m 次相邻对换就变成了排列 … j k i1 i2 … im …,再把 j
一位一位地右移,经 m+1 次相邻对换就变成 … k i1 i2 … im j …,总共经过 2m+1 (奇数 )次对换,排列的奇偶性也改变了,
证将
nn jijiji aaa?2211
重排使其行下标成自然顺序
njnjj aaa21 21
由乘法交换律知 ( 2.4 ) 与 ( 2.5 ) 是相等的,
( 2.4 )
( 2.5 )
证由于 ( 2.5 ) 是由 ( 2.4 ) 经过一系列元素的对换得到的,而每作一次元素对换,
相应的行下标和列下标所成排列 i1 i2 … in 和 j1 j2… jn 也同时作了一次对换,由定理 1 知行下标和列下标的排列的逆序数同时改变奇偶性,因而行下标与列下标的排列的逆序数之和不改变奇偶性,
第一章 行列式
)()( 2121)1( nn jjjiii
)'''()12( 21)1( njjjn
,)1( )'''( 21 njjj
从而
nn
nn jijijijjjiii aaa
221
2121 1)()()1(
.)1( ''2'1)'''( 2121 nn njjjjjj aaa
于是第一章 行列式令,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
,
1
111
nnn
n
bb
bb
D
T
则 bij = aji ( i,j = 1,2 … n ),由定义有
nn jnjj
jjj bbbD
2121 21)1(
T
njjjjjj nn aaa 21 21211?
= D,
由性质 1 知行列式中对行成立的命题对列也成立,
证第一章 行列式证
nii njijijjj aaaaa )'(21 21左
nini njijjjnjijjj aaaaaaaa '2121 2121
.21 右 DD
第一章 行列式设
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
,
1
111
nnn
n
bb
bb
M
其中 M 为 D 经过互换第 p 行和第 q 行 ( 1? p < q? n ) 后得到,则
i? p,q 时,bij = aij ( j = 1,2,…,n) ;
i = p,q 时,bpj = aqj,bq j = apj ( j = 1,2,…,n ) ;
证于是
nqpnqp njqjpjjjjjjj bbbbbM 211 21)()1(?
nqpnqp njpjqjjjjjjj aaaaa 211 21)1(?
npqnqp njqjpjjjjjjj aaaaa 211 21)1(?
nqnpq njpjjjjjjj aaaa 211 21)1(?
.D
第一章 行列式证 先证明等式
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
1,1,1
11,111,111
0000
.ijijAa? ( 5.1 )
为此考虑特殊情形
nn
nnnnnn
nn
nn
a
aaaa
aaaa
aaaa
000
,11,12,11,1
21,22221
11,11211
.nnnn Aa? ( 5.2 )
将上式左端表为
,1 221 21 nnjjjjjj aaan 1? ( 5.3 )
nnjnjjjjj aaaa nn 121121,1211
就是对 n?1 级排列是 j1 j2 … jn?1 求和,且显然 ( j1 j2 … jn?1 n ) =? ( j1 j2 … jn?1 ),
故 ( 5.3 ) 式即为其中只有 jn = n 时,
nnja 才不会为零,这时和式对所有 n 级排列,j1 j2 … jn?1 n 求和
,nnnn Aa?
这就是 ( 5.2 ) 式,
第一章 行列式接下来将 ( 5.1 ) 式左端的行列式的第 i 行依次与其下面相邻的行对换,经 n?i 次对换后换到第 n 行,然后再将第 j 列依次与其右边相邻的列对换,经 n?j 次对换后换到第 n 列,这时 aij 换到右下角的位置,由性质 2,式 ( 5.1 ) 左端的行列式等于
jnin1
.
0000
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111
ij
jinijijii
jinijijii
jnjj
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
由于经上述行列互换,除第 i 行与第 j 列元素外,其它各行各列元素相对位置都没有改变,故上面行列式左上角的 n? 1 阶行列式即为 aij 的余子式 Mij,由 ( 5.2 )
式得 ( 5.1 ) 式左端的行列式为
ijijjnin Ma 1 ijijji Ma 1,ijijAa?
于是 ( 5.1 ) 式得证,
上一页第一章 行列式
00 00
21
2
11211
21
1
11211
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
ininiiii AaAaAa2211,
1 ikik
n
k Aa
类似地按列证明便得
.,2,11 njAaD kjkjnk
下面证明定理,先把 D 写成如下形式,并利用行列式性质 5 及 ( 5.1 ) 式有
0000000
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
上一页例 9
解第一章 行列式设行列式为
,
23145
70213
11976
1111
求,24232221 AAAA 其中 Aij 为元素 aij 的代数余子式,
由定理 2 可知
24232221 1111 AAAA
24232221 AAAA
2414231322122111 AaAaAaAa
.0?
第一章 行列式用数学归纳法,当 n = 2 时
12
21
2
11 xx
xxD
结论正确,
假设对于 n?1 阶范德蒙行列式结论正确,现在来证 n 阶的情形,设法将 Dn 降阶,为此,从第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1 倍,得证
)()(0
)()(0
0
111
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
n
n
)()(
)()(
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
,
11
22
2
2
112
n
n
n
n
n
xx
xx
xxxx
上式右端的行列式为 n?1 阶范德蒙行列式,于是由归纳假设有
ji
nijnn
xxxxxxD
2112
)(.1 jinij xx
