第一节 矩阵的概念第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩第二节 矩阵的运算第五节 可逆矩阵第三节 方阵与分块矩阵第一章 行列式作行列式 ( i? j )
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
第 i 行第 j 行证则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素相同,由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同,故上行列式为零,将其第 j 行展开可得
.02211 jninjiji AaAaAa?
.02211 njnijiji AaAaAa?
类似地,有定义 1
第二章 矩阵理论由 m? n 个数 aij ( i =1,2,…,m ; j =1,2,…,n ) 有序地排列成 m 行 (横排 ) n 列
( 竖排 ) 的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的矩阵,简记为 ( aij )m? n,通常用大写字母 A,B,C,… 表示,
m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am? n,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素,而 aij 表示矩阵 第 i 行第 j 列的元素,
有几种特殊的矩阵,
1) 只有一行的矩阵 ( a1,a2,…,an ) 称为 行矩阵 ；
na
a
a
2
1
2) 只有一列的矩阵 称为 列矩阵 ;
3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若强调 零矩阵 是 m 行 n 列的，则记为 Om? n,
第二章 矩阵理论规定,两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相等 (称它们 同型 )，且对应元素也相等，
即若 A = ( aij )m? n,B = ( bij )m? n,
Aij = bij ( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n )
则称 A 与 B 相等，记作 A = B,
注意,不同型的零矩阵是不相等的,
有了矩阵的概念后,m 个方程 n 个未知量的线性方程组
a11x1+a12x2+…+ a1nxn = b1,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn = b2,
…………
am1x1+am2x2+…+ amnxn = bm
与 m 行 n+1 列矩阵
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解,
上一页例 1
解第二章 矩阵理论写出线性方程组
2 x1 + x2? 5 x3 + 4 x4 = 8,
x1? 3 x2? 5 x4 = 9,
2 x2? x3 + 2 x4 = 5,
x1 + 4 x2? 7 x3 + 6 x4 = 0
所确定的矩阵,
所求矩阵为
.
06741
52120
95031
84512
上一页一、矩阵的加法和减法二、数与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法四、矩阵的转置定义 1
第二章 矩阵理论
§ 2.矩阵的运算一、矩阵的加法和减法设有两个 m? n 矩阵 A = ( aij )m? n,B = ( bij )m? n,则矩阵
nmijcC )( nmijij ba )(
称为矩阵 A 与 B 的 和,记为 C = A+B.
注意,只有同型的矩阵才能进行加法运算,
易知，矩阵的加法满足下列运算规律：
( i ) 交换律,A + B = B + A ;
( ii ) 结合律,( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;
( iii ) A + O = A,
这里 A,B,C,O 均为 m? n 矩阵,
第二章 矩阵理论设矩阵 A = ( aij )m? n,则称矩阵 (? aij )m? n 为矩阵 A 的 负矩阵,记为?A,即
nmijaA )(
.
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
显然 A + (? A ) = O,
利用负矩阵，定义矩阵的减法为
A? B = A + (? B ) = ( aij? bij )m? n,
注意,两矩阵只有同型，才能进行减法运算,
上一页定义 2
第二章 矩阵理论二,数与矩阵的乘法设? 为常数,矩阵 A = ( aij )m? n,则称矩阵 (? aij ) m?n 为 数? 与矩阵 A 的乘积,记为? A,即
nmijaA )(
.
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律：
( i ) 结合律,( ) A =? (? A ) =? (? A ) ;
( ii ) 分配律,? ( A + B ) =? A+? B,
( iii ) 1? A = A,(?1 )? A =? A,
其中 A,B 均为 m? n 矩阵,而?,?为常数,
(?+? ) A =? A+? A ;
§ 2.矩阵的运算例 1
第二章 矩阵理论
315 0112103 1343
3 A?2 B
6210 022309 3912
.921 31110
设
,103 134A
求 3 A? 2 B,
,315 011B
解上一页定义 3
第二章 矩阵理论三,矩阵与矩阵的乘法设矩阵 A = ( aik )m? s,B = ( bkj )s? n,则定义 A 与 B 的 乘积 C 为
C = A B
.)( 2211 nmsjisjiji bababa
注意,只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,
sj
j
j
isii
b
b
b
aaa 2
1
21
§ 2.矩阵的运算例 2
第二章 矩阵理论设矩阵,
012
301?
A,
02
11
14
B 求乘积 A B 和 B A,
23
32 02
11
14
012
301
AB
=
1?4+0?(?1)+3?2
2?4+1?(?1)+0?2
1?1+0?1+3?0
2?1+1?1+0?0,37 110
22?
解
32
23
012
301
02
11
14
BA
33602
311
1216
由例 2 可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至 A 与 B 可以相乘,而 B 与 A 不能相乘,故通常把 A B 说成,A 右乘以 B,或,B 左乘以 A,.
上一页例 3
第二章 矩阵理论设
,11 11A,12 12B,31 32C,52 51D
试证,(1) A B = O ; (2) A C = AD,
1)
12 12 11 11AB 00 00 = O ;
2)
31 32 11 11AC,03 03
52 51 11 11AD,03 03
故 A C = A D,
由例 3 知矩阵乘法不满足消去律，且两个非零矩阵的乘积可能是零阵,
证上一页第二章 矩阵理论
1) 在数与数的乘法中,a b = b a ( 交换律 ),
在矩阵的乘法中,A B? BA ;
比较：
2) 在数与数的乘法中,a b = a c ( a? 0 )? b = c ( 消去律 ),
3) 在数与数的乘法中,a b = 0? a = 0 或 b = 0,
在矩阵的乘法中,A B = O? A = O 或 B =O,
虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，但可以证明它满足下列运算规律,
(1) 结合律,( A B ) C = A ( B C ) ;
(2) 分配律,A ( B + C ) = A B + A C,(B+C) A =B A+C A ;
(3)? ( A B ) = (? A ) B = A (? B ),? 为常数,
上一页在矩阵的乘法中,A B = AC? B = C ;
第二章 矩阵理论方程组的矩阵表示：
设方程组为
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2,
………………
am1 x1+ am2 x2 +… + amn xn = bm,
令,
，
mn m m
n
n
a a a
a a a
a a a
A
2 1
2 22 21
1 12 11
系数矩阵
,2
1
n x
x
x
X
,2
1
mb
b
b
B
则上述方程组可用矩阵表示为 A X = B,
上一页定义 4
第二章 矩阵理论四,矩阵的转置将 m? n 矩阵 A 的行和列互换而顺序不变，得到的 n? m 矩阵称为 A 的 转置矩阵,记作 AT 或 A’.
如
428642
7531
A,
87
65
43
21
24
T
A
可以证明，矩阵的转置满足下列规律：
1) ( A T ) T = A ;
2) ( A + B ) T = A T + B T ;
3) (? A ) T =? A T,? 为常数；
4) ( A B ) T = B T AT.
4 ) 的结论可推广到多个矩阵的情况，即
( A1 A2 … An ) T = AnT? A2T A1T,
证
§ 2.矩阵的运算一、方阵二、分块矩阵第二章 矩阵理论
§ 3.方阵与分块矩阵一、方阵行数与列数相同的矩阵称为 方阵,其行数 (列数 )称为该矩阵的 阶,
如 n? n 矩阵 A 称为 n 阶方阵，简记为 An,
若 A 为 n 阶方阵，则可定义 幂 的运算，记
A? A = A 2,A? A? A = A 3,A? A … A = A k,
k个显然有 A k? A l = A k + l,
( A k ) l = A k l ( 其中 k,l 均为正整数 ),
设 A,B 均为 n 阶方阵，一般地
( A B ) k? A k B k,
kkk BAABABABAB )(
注意：
第二章 矩阵理论方阵 A 构成的行列式记为 |A| 或 detA,若 |A|? 0,则称 A 为 非奇异 (非退化 )的；
若 |A| = 0,则称 A 为 奇异的,
A 与 |A| 不同,前者是矩阵,它只是一个,数表,,后者表行列式,
它是一个特定的,数,,且只有方阵才有它对应的行列式,
注意,
由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：
1) |? A | =?n | A | ;
2) | A B | = | A | | B | ;
3) | A m| = | A | m,
其中 A,B 均为 n 阶方阵,? 为常数,m 为正整数,
由以上结论可知，非奇异方阵的积仍是非奇异方阵,又 | A | = | AT |,故矩阵的转置矩阵也是非奇异方阵,
有几种重要的方阵以后常用到：
单击 此处 可查阅进一步内容,
2.2
上一页第二章 矩阵理论
1 ) 单位矩阵
.
1
1
1
n
E
对任何矩阵 Am? n 或 An? m,有
Am? n En = Am? n,En An? m= An?m,
故 En 在矩阵的乘法运算中，其作用类似于数的乘法运算中的,1,.
若不强调矩阵的阶，则将单位矩阵简记为 E,
上一页第二章 矩阵理论
2 ) 对角矩阵特别,当 a11 = a22 = … = ann = k 时,称为 数量矩阵,即
k
k
k
= k E,
1
1
1
k
.22
11
nna
a
a
对于对角阵，有
k
nna
a
a
22
11
.22
11
k
nn
k
k
a
a
a
上一页第二章 矩阵理论
3) 三角矩阵,分为上三角矩阵和下三角矩阵两种上三角矩阵,,222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
下三角矩阵,,
21
2221
11
nnnn aaa
aa
a
4) 对称阵,若 A T = A,即 aij = aji ( i,j =1,2,…,n ),则称 A 为对称阵，如
101
042
123
A
即为一个三阶对称阵,
对称阵的特点是：它的元素关于主对角线对应相等,
上一页第二章 矩阵理论例 1
5) 反对称阵,若 AT =?A,即 ai j =? aj i ( i = 1,2,…,n),则称为 A 为反对称阵,这时 ai i = 0
( i = 1,2,…,n ),即反对称阵的主对角线上元素全为零,如
032
301
210
A
为三阶反对称阵,
设 A 为任一方阵，证明 A + A T 为对称阵,A? A T 为反对称阵,
( A + A T) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T,
( A? A T ) T = A T? ( A T ) T = A T? A =? (A? AT),
故 A + A T 为对称阵，而 A?A T 为反对称阵,
证上一页第二章 矩阵理论二、分块矩阵将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵横线分成许多的矩阵，每个小矩阵称为 A 的子块,以子块作元素的矩阵 A 称为 分块矩阵,
如：
2104
1352
4703
4211
A
3231
2221
1211
AA
AA
AA
其中,
03
1111?
A,
47
4212?
A
A21 = (2,5),A22 = (3,1),
A31 = (4,0),A32 = (1,2)
为分块矩阵 A 的子块,
将矩阵进行分块后,大矩阵之间的运算可转化为若干个小矩阵的运算,这样可简化运算,
§ 3.方阵与分块矩阵对于同一矩阵，可以根据其不同的特点或不同需要进行不同的划分，如上述矩阵也可划分成
，
2104
1352
4703
4211
，
2104
1352
4703
4211
.
2104
1352
4703
4211
等
在对分块矩阵进行运算时,要注意以下几点：
1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保证对应子块同型；
2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；
3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置,
第二章 矩阵理论上一页第二章 矩阵理论若矩阵 A 经过某种分块后，能划分成如下形式：
,2
1
mA
A
A
A
其中 A,A2,…,Am 均为方阵，则称 A 为 准对角矩阵,它有着与对角矩阵类似的性质,
如
210000
112000
015000
000600
000041
000023
就是一个准对角矩阵,
上一页
3
2
1
A
A
A
一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、矩阵的秩第二章 矩阵理论
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩一、矩阵的初等变换在中学时用高斯消元法解线性方程组时，要将一个较复杂的方程组变为一个较简单的同解方程组，往往需将某些方程进行下列三种变形：
1) 互换两个方程的位置；
2) 将某个方程两边同时乘以一个不为零的常数? ；
3) 将某个方程乘以一个数? 后加到另一个方程上去，
若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际上是对方程组对应的矩阵进行变形，这种变形就是矩阵的初等变换,
定义 1
对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的 初等行变换,
1) 互换矩阵的两行 ( 记作 ri? rj ) ;
2) 以数 0 乘以矩阵的某一行 ( 记作 ri ) ;
3) 将矩阵的某一行各元素乘以数? 后加到另一行的对应元素上去 ( 记作 ri +?rj ),
将行换成列，则称为矩阵的 初等列变换 (所用记号将 r 换成 c ),
第二章 矩阵理论矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的 初等变换,
如：
421
103
112
412
130
121
.
630
130
121
c1?c2 r3+(?2)r1
上一页第二章 矩阵理论二、初等矩阵单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到的矩阵称为 初等矩阵,
初等矩阵共三种：
1
1
01
1
10
1
1
),(
jiP
1) ri? rj,得第 i 行第 j 行
2) ri ×? (0 ),得
1
1
1
1
))((
iP
第 i 行
3) ri +?rj,得
1
1
1
1
))(,(
jiP
第 i 行第 j 行
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩第二章 矩阵理论三种列变换也同样对应上三种初等矩阵
E P (i,j),
E P ( i (? ) ),
E
ci? cj
ci ×?
cj +?ci
P ( i,j (? ) ),
可以验证：
定理 1
设 A 是一个 m? n 矩阵,则对 A 施行一次初等行变换相当于 A 左乘以一个相应的初等矩阵；对 A 施行一次列变换,相当于 A 右乘以一个相应的初等矩阵,
上一页第二章 矩阵理论如
411
014
122
A
r1?r3
122
014
411 = A
1,
而
001
010
100
)3,1( AP
411
014
122
122
014
411
= A1,
又如
411
014
122
A
c1?c3
114
410
221
= A2,
而
001
010
100
411
014
122
)3,1( PA
114
410
221
于是，矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算,
= A2,
上一页第二章 矩阵理论三、矩阵的秩定义 2
设 A 为 m? n 矩阵,在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k ≤ min ( m,n) ),由这 k 行 k 列交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们的相对位置 ) 所构成的行列式称为 A 的一个 k 阶子式选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一阶子式，选取 A 的第一、三行及二、三列,
.
320
001
142
||
A,32 14
如：
320
001
142
A
而 A 的唯一的三阶子式为则得 A 的一个二阶子式
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩第二章 矩阵理论
m? n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个 kmkn CC (1 ≤ k ≤ min (m,n ) ).
这些子式中有的为零，有的不为零，对于不为零的子式，有定义 3
A 的不为零的子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩,记为 r ( A ).
由上定义可知
(1) 若 A 为 m? n 矩阵,则 r ( A ) ≤ m 且 r (A ) ≤ n ;
(2) 若 A 为 n? n 矩阵,则 r ( A ) ≤ n,
① r (A) = n,| A |? 0 ( 非奇异阵 )称 A 为满秩阵,
② r (A) < n,| A | = 0 ( 奇异方阵 )称 A 为降秩阵,
关于矩阵的秩，有定理 2
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，而所有 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k,
证上一页第二章 矩阵理论利用定义 3 或定理 2 求矩阵的秩较困难，因为 A 的各阶子式的值不易看出来，因此需要借助矩阵的初等变换,
可以证明于是利用定理 3 可以通过初等 行变换 把矩阵变成较简单的形式,从而直接看出矩阵的秩,
证定理 3
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变,
上一页第二章 矩阵理论例 1
求矩阵
4431
2013
1211
A 的秩,
4431
2013
1211
A
r2?3r1
r3?r1
5640
5640
1211 r3?r2
0000
5640
1211 = A
1,解上面最后一个矩阵
,0440 11
故 r ( A1 ) = 2,从而 r ( A ) = 2.
三阶子式全为零，而可找到一个二阶子式不为零,如
0000
5640
1211
1A 称为 阶梯形矩阵,易知 A1 的任一用初等行变换求矩阵的秩的步骤,
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
0000
00
0
行变换右端矩阵称为 阶梯型矩阵,有 r 行不全为零，则 A 的秩为 r,
上一页第二章 矩阵理论例 3
已知矩阵
2540
002
1121
tA 的秩为 2,求 t 的值,
2540
002
1121
tA
2540
2240
1121
t
0300
2240
1121
t
t－
－
r (A) = 2? 3? t = 0,即 t = 3,
解若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：
000
00
0
00000
00100
00010
00001
右端 矩阵 称为 A 的 标准形,其左上角为一个 r 阶单位阵 ( r = r ( A )),其余元素全为零,
由上可知,秩为 r 的 m? n 矩阵有相同的标准型,且若 A 为 n 阶满秩阵 ( r ( A ) = n,|
A |? 0 ),则 A 的标准型为 n 阶单位阵 E,
上一页第二章 矩阵理论
11011
11110
02220
21110
A
02220
11110
21110
11011
例 2
,
11011
11110
02220
21110
A 求 A 的秩,
解
44000
30000
21110
11011
,
30000
44000
21110
11011
故 A 的秩为 4,
上一页第二章 矩阵理论例 4
的标准型,
A 行变换
30000
44000
21110
11011
30000
44000
21110
00001
30000
44000
00010
00001
11011
11110
02220
21110
A求解
10000
01000
00010
00001
.
01000
00100
00010
00001
30000
04000
00010
00001
上一页一、逆矩阵的定义二、矩阵可逆的条件及求逆公式三、逆矩阵的性质四、用初等行变换求逆矩阵五、逆矩阵的应用第二章 矩阵理论
§ 5.可逆矩阵一、逆矩阵的定义由定义 1 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是 互逆 的,
定义 1
设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B,使
A B = B A = E,
则称 B 为 A 的 逆矩阵,此时也称 A 可逆,
定理 1
若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的,
设 B,C 均为 A 的逆矩阵，则
C = C E = C (A B ) = (C A ) B = E B = B,
故 A 的逆矩阵是唯一的,
由矩阵 A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为 A?1.
证第二章 矩阵理论例 2
例 1
设 a11 a22 … ann? 0,则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵
1
22
11
nna
a
a
.
1
1
22
1
11
nna
a
a
若方阵 A1,A2,…,Am 均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵
1
2
1
mA
A
A
,
1
1
2
1
1
mA
A
A
上一页第二章 矩阵理论二、矩阵可逆的条件及求逆公式定义 2
设 n 阶方阵,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Aij 为元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n ),
nnnn
n
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
A
21
32313
22212
12111
*
称为矩阵 A 的 伴随矩阵,则矩阵例 3
解求矩阵
2221 1211 aa aaA 的伴随矩阵 A*,
A11 = a22,A12 =?a21,A21 =?a12,A22 = a11,
.*
1121
1222?
aa aaA
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 4
解求三阶矩阵
343
122
321
A 的伴随矩阵 A*,
A11 = 2,A12 =?3,A13 = 2,
A21 = 6,A22 =? 6,A23 = 2,
A31 =? 4,A32 = 5,A33 =?2,
故,
222
563
462
*
A
定理 2
且,*
|| 11 AAA
其中 A* 为 A 的伴随矩阵,
方阵 A 可逆? | A |? 0,
证上一页第二章 矩阵理论例 5
解设,
2221
1211?
aa
aaA,021122211 aaaa 求 A?1.
,
2221
1211?
aa
aaA,
1121
1222*?
aa
aaA | A |? 0,
*1 || 1 AAA,1
1121
1222
21122211
aa
aa
aaaa
上一页例 6
第二章 矩阵理论设,
5400
3200
0052
0021
A 求 A?1.
令,
52
21
1
A,
54
32
2
A
则
210 0AAA 为准对角矩阵,
且 | A1 | = 5? 4 = 1? 0,
|| 1
*11
1 AAA,12 25
| A2 | = 10?12 =? 2? 0,
|| 2
*21
2 AAA 24 3521,12 2325
12
111
0
0
A
AA,
1200
232500
0012
0025
解上一页第二章 矩阵理论例 7
求 例 3 中由例 3 知,
343
122
321
A,
222
563
462
*
A
2221 1211 aa aaA 的逆矩阵,
解
,02
343
122
321
|| A而
*1 || 1 AAA
222
563
462
2
1,
111
25323
231
由定理 2 还可得
| A | | B | = | A B | = | E | = 1,
且 A?1 = A?1 E = A?1 (A B) = (A?1 A ) B = B,
则 | A |? 0,A 可逆,
推论设 A,B 均为 n 阶方程，若 A B = E ( 或 B A = E ),则 B = A?1,
证上一页第二章 矩阵理论三、逆矩阵的性质矩阵的逆满足下列性质：
1) ( A?1 )?1 = A ; 2) ;1)( 11 AA
3) ( A T )?1 = ( A?1 ) T ; 4) ( A B)?1 = B?1 A?1 ;
5) ;||
|| 1|| 11 AAA
6) 若 A B = A C 且 A 可逆? B = C,
性质 4 还可推广到 m 个方阵的情形，即
.)( 11121121 AAAAAA mm
特别,( A m )?1 = ( A?1 ) m,
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论四、用初等行变换求逆矩阵定理 3
若方阵 A 可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pm,使
A = P1 P2 … Pm,
A 可逆，则 r (A ) = n,从而 A 的标准形为 n 阶单位矩阵 E,于是存在有限次初等变换使 A 化为 E ； 反之，也存在有限次初等变换使 E 化为 A,故? P1,P2,…,Pm
使 P1 P2 … Ps E Ps+1 … Pm = A,
即 A = P1 P2… Pm 。
证显然初等矩阵的行列式均不为零,即 P1,P2,…,Pm 均可逆,且逆矩阵仍为初等矩阵,由
A = P1 P2 … Pm
得 1
11211 PPPA m? EPPP m 11121
APPPAAE m 111211而由上两式知,A 经过一系列初等行变换变为 E,则 E 经过同样的行变换变为 A?1,即
( A | E ) 初等行变换 ( E | A?1),
,111211 EPPPA m′即,11121 APPPE m
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 8
解设,
343
122
321
A 求 A?1.
( A | E ) =
343
122
321
100
010
001
620
520
321
103
012
001
100
520
201
111
012
011
100
020
001
111
563
231
100
010
001
111
25323
231
故,
111
25323
231
1
A
上一页第二章 矩阵理论五、逆矩阵的应用
1) 解方程设 n 个方程 n 个未知量的线性方程组为
A X = B
其中 A = ( aij )n? n,若 | A |? 0,则 A?1 存在，且
X = A?1 B
.|| 1 * BAA?
这实际上是克莱姆法则的矩阵表示，若求出 A?1,则能得到方程组的解,
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 9
解设方程组为
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1,
2 x1 + 2 x2 + x3 =?1,
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3,
解此方程组,
令,
3 4 3
1 2 2
3 2 1
A,
3
1
1
B,
3
2
1
x
x
x
X
原方程组为 A X = B,X = A?1 B,由于 | A | = 2? 0,A 可逆，故而,
111
25323
231
1
A
3
2
1
x
x
x
X BA 1
111
25323
231
3
1
1
,
3
9
8
即 x1 =?8,x2 = 9,x3 =?3.
上一页第二章 矩阵理论例 10
17
213
124
021
,
31
52
41
213
124
021
X
2) 解矩阵方程设
31
52
41
213
124
021 1
X
0解
31
52
41
652
1211
245
17
1
.
356
3716
615
17
1
上一页求 X,
第二章 矩阵理论例 11 设 A,B 为三阶矩阵,I 为三阶单位阵，满足
A B + I = A2 + B,
又已知,
101
020
101
A 求 B,
由 A B + I = A2 + B? A B?B = A 2? I,
( A? I ) B = ( A?I ) ( A + I ),
,
001
010
100
IA? | A?I |? 0,A? I 可逆,
故 B = A + I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 2 0
1 0 1
.
2 0 1
0 3 0
1 0 2
解上一页第二章 矩阵理论设 A = ( aij ) m? s,B = ( bij )s? n,则 ( A B )T 是 n? m 矩阵,而 A T 是 s? m 矩阵，
B T 是 n? s 矩阵,故 B T A T 也是 n? m 矩阵,
又 ( A B )T 中第 i 行第 j 列的元素是 A B 中第 j 行第 i 列的元素,即
sijsijij bababa2211
( j = 1,2,…,n ; i = 1,2,…,m )
证
b1i aj1 + b2i aj2+ …+ bsi ajs = aj1 b1i + aj2 b2i + …+ ajs bsi
( j =1,2,…,n ; i = 1,2,…,m )
故 ( A B )T = B T A T,
而 B T 的第 i 行为 ( b1i,b2i,…,bsi),A T 的第 j 列为 (aj1,aj2,…,ajs)T,故 B T A T
中第 i 行第 j 列的元素为第二章 矩阵理论证 | A B | = | A | | B |,
先看一下特殊情形，即 A 是一个对角矩阵的情形，设
,2
1
nd
d
d
A
令 B = ( bij ),则
.
21
22222212
11121111
nnnnnnn
n
n
bdbdbd
bdbdbd
bdbdbd
AB
由行列式的性质得
.|||||||| 21 BABdddBA n
第二章 矩阵理论现在看一般情形,由引理知,可以通过第三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵
A0,并且有 | A | = | A0 |,反过来,也 可以通过 第三种初等变换把 A0 化为 A,这就是说,存在着一系列的 P ( i,j (?) ) 型矩阵 P1,P2,…,Pq,使故
A = P1 P2 … Ps A0 Ps+1 … Pq
A B = P1 P2 … Ps A0 Ps+1… Pq B,
|||| 1021 BPPAPPPAB qss
|| 10 BPPA qs |||| 10 BPPA qs
|||| 0 BA?,|||| BA?
上述结论可推广到 m 个矩阵的情形,
设 A1,A2,…,A m 为 m 个 n 阶方阵，则
| A 1 A 2 … A m | = | A 1 ||A 2 |… | A m |,
由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因对它施行第三种初等变换而改变,换一句话说,用一些 P ( i,j (?) ) 型的初等矩阵乘以一个 n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式,因此,注意到 A 0 是一个对角矩阵,我们有第二章 矩阵理论证 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零,则 A 的任一 k + 2 阶子式按某行 ( 列 )
展开后必为零,进而全部高于 k + 1 阶的子式全为零,又 A 中至少有一个 k
阶子式不为零,故 r ( A ) = k,
第二章 矩阵理论证 只要证明每一种初等行变换都不改变矩阵的秩就行了,
1) 设对 A 施行第一种初等行变换后成为 B,则因行列式交换两行仅改变符号,而
B 的每一子式与 A 中对应的子式或者相等,或者仅改变符号,故秩不变
2) 设对 A 施行第二种初等行变换后而成为 B,则因行列式的某一行乘以? ( 0 )
等于行列式乘以?,而 B 的子式与 A 中对应的子式或者相等,或者仅差? 倍,
故秩不变,
3) 设 A 经过第三种初等行变换后成为 B,且 r ( A ) = r,下面证 r (B) ≤ r ( A ),且 r
(A) ≤ r ( B ),则有 r (A) = r ( B ),
不失一般性,设 A 的第 i 行各元素乘以数? 后加到第 j 行对应元素上去而成为 B,即
,
21
21
21
11211
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
.
21
2211
21
11211
mnmm
injnijij
inii
n
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
B
第二章 矩阵理论设 Mr+1 是 B 的任 一个 r + 1 阶子式，这时有三种情况：
(i) Mr+1 不含 B 的第 j 行,则由于 A 与 B 除第 j 行外各行均相同,故 Mr+1也是 A 的一个 r + 1 阶子式,因 r(A ) = r,故 Mr+1 = 0 ;
(ii) Mr+1 含 B 中第 j 行且含第 i 行,则由行列式的性质知,Mr+1 的值等于 A
中含第 i 行和第 j 行相应元素的对应子式,故 Mr+1 = 0 ;
(iii) Mr+1 只含 B 中第 j 行而不含第 i 行，则由行列式的性质有
Mr+1 = N r+1+?Pr+1,
这里 Nr+1 和 Pr+1 均是 A 的 r+1 阶子式，它们均为零，故 Mr+1 = 0,
由于 Mr+1 只含有上述三种情况，故 B 的任一个 r+1 阶子式全为零，由此
r (B) ≤ r (A) = r.
另一方面，又可将 A 看成 B 经第 i 行乘以 ( ) 后加到第 j 行得来的，故同样有 r( A ) ≤ r (B ),
故 r ( A ) = r ( B ),
第二章 矩阵理论证 必要性,设 A 可逆，则? A?1,使
A A?1 = E,
则 | A | | A?1 | = | A A?1 | = | E | = 1,
故 | A |? 0,
充分性,设 | A |? 0,记 A = ( aij) n? n,由 Laplace 展开定理有
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
21
22221
11211
*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22221
11211
= | A | E,
||
||
||
A
A
A
=| A | E,?AA*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
||
||
||
A
A
A
于是,)
|| 1()|| 1( ** EAAAAAA
从而
.|| 1 *1 AAA
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
第 i 行第 j 行证则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素相同,由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同,故上行列式为零,将其第 j 行展开可得
.02211 jninjiji AaAaAa?
.02211 njnijiji AaAaAa?
类似地,有定义 1
第二章 矩阵理论由 m? n 个数 aij ( i =1,2,…,m ; j =1,2,…,n ) 有序地排列成 m 行 (横排 ) n 列
( 竖排 ) 的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的矩阵,简记为 ( aij )m? n,通常用大写字母 A,B,C,… 表示,
m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am? n,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素,而 aij 表示矩阵 第 i 行第 j 列的元素,
有几种特殊的矩阵,
1) 只有一行的矩阵 ( a1,a2,…,an ) 称为 行矩阵 ；
na
a
a
2
1
2) 只有一列的矩阵 称为 列矩阵 ;
3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若强调 零矩阵 是 m 行 n 列的，则记为 Om? n,
第二章 矩阵理论规定,两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相等 (称它们 同型 )，且对应元素也相等，
即若 A = ( aij )m? n,B = ( bij )m? n,
Aij = bij ( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n )
则称 A 与 B 相等，记作 A = B,
注意,不同型的零矩阵是不相等的,
有了矩阵的概念后,m 个方程 n 个未知量的线性方程组
a11x1+a12x2+…+ a1nxn = b1,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn = b2,
…………
am1x1+am2x2+…+ amnxn = bm
与 m 行 n+1 列矩阵
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解,
上一页例 1
解第二章 矩阵理论写出线性方程组
2 x1 + x2? 5 x3 + 4 x4 = 8,
x1? 3 x2? 5 x4 = 9,
2 x2? x3 + 2 x4 = 5,
x1 + 4 x2? 7 x3 + 6 x4 = 0
所确定的矩阵,
所求矩阵为
.
06741
52120
95031
84512
上一页一、矩阵的加法和减法二、数与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法四、矩阵的转置定义 1
第二章 矩阵理论
§ 2.矩阵的运算一、矩阵的加法和减法设有两个 m? n 矩阵 A = ( aij )m? n,B = ( bij )m? n,则矩阵
nmijcC )( nmijij ba )(
称为矩阵 A 与 B 的 和,记为 C = A+B.
注意,只有同型的矩阵才能进行加法运算,
易知，矩阵的加法满足下列运算规律：
( i ) 交换律,A + B = B + A ;
( ii ) 结合律,( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;
( iii ) A + O = A,
这里 A,B,C,O 均为 m? n 矩阵,
第二章 矩阵理论设矩阵 A = ( aij )m? n,则称矩阵 (? aij )m? n 为矩阵 A 的 负矩阵,记为?A,即
nmijaA )(
.
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
显然 A + (? A ) = O,
利用负矩阵，定义矩阵的减法为
A? B = A + (? B ) = ( aij? bij )m? n,
注意,两矩阵只有同型，才能进行减法运算,
上一页定义 2
第二章 矩阵理论二,数与矩阵的乘法设? 为常数,矩阵 A = ( aij )m? n,则称矩阵 (? aij ) m?n 为 数? 与矩阵 A 的乘积,记为? A,即
nmijaA )(
.
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律：
( i ) 结合律,( ) A =? (? A ) =? (? A ) ;
( ii ) 分配律,? ( A + B ) =? A+? B,
( iii ) 1? A = A,(?1 )? A =? A,
其中 A,B 均为 m? n 矩阵,而?,?为常数,
(?+? ) A =? A+? A ;
§ 2.矩阵的运算例 1
第二章 矩阵理论
315 0112103 1343
3 A?2 B
6210 022309 3912
.921 31110
设
,103 134A
求 3 A? 2 B,
,315 011B
解上一页定义 3
第二章 矩阵理论三,矩阵与矩阵的乘法设矩阵 A = ( aik )m? s,B = ( bkj )s? n,则定义 A 与 B 的 乘积 C 为
C = A B
.)( 2211 nmsjisjiji bababa
注意,只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,
sj
j
j
isii
b
b
b
aaa 2
1
21
§ 2.矩阵的运算例 2
第二章 矩阵理论设矩阵,
012
301?
A,
02
11
14
B 求乘积 A B 和 B A,
23
32 02
11
14
012
301
AB
=
1?4+0?(?1)+3?2
2?4+1?(?1)+0?2
1?1+0?1+3?0
2?1+1?1+0?0,37 110
22?
解
32
23
012
301
02
11
14
BA
33602
311
1216
由例 2 可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至 A 与 B 可以相乘,而 B 与 A 不能相乘,故通常把 A B 说成,A 右乘以 B,或,B 左乘以 A,.
上一页例 3
第二章 矩阵理论设
,11 11A,12 12B,31 32C,52 51D
试证,(1) A B = O ; (2) A C = AD,
1)
12 12 11 11AB 00 00 = O ;
2)
31 32 11 11AC,03 03
52 51 11 11AD,03 03
故 A C = A D,
由例 3 知矩阵乘法不满足消去律，且两个非零矩阵的乘积可能是零阵,
证上一页第二章 矩阵理论
1) 在数与数的乘法中,a b = b a ( 交换律 ),
在矩阵的乘法中,A B? BA ;
比较：
2) 在数与数的乘法中,a b = a c ( a? 0 )? b = c ( 消去律 ),
3) 在数与数的乘法中,a b = 0? a = 0 或 b = 0,
在矩阵的乘法中,A B = O? A = O 或 B =O,
虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，但可以证明它满足下列运算规律,
(1) 结合律,( A B ) C = A ( B C ) ;
(2) 分配律,A ( B + C ) = A B + A C,(B+C) A =B A+C A ;
(3)? ( A B ) = (? A ) B = A (? B ),? 为常数,
上一页在矩阵的乘法中,A B = AC? B = C ;
第二章 矩阵理论方程组的矩阵表示：
设方程组为
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2,
………………
am1 x1+ am2 x2 +… + amn xn = bm,
令,
，
mn m m
n
n
a a a
a a a
a a a
A
2 1
2 22 21
1 12 11
系数矩阵
,2
1
n x
x
x
X
,2
1
mb
b
b
B
则上述方程组可用矩阵表示为 A X = B,
上一页定义 4
第二章 矩阵理论四,矩阵的转置将 m? n 矩阵 A 的行和列互换而顺序不变，得到的 n? m 矩阵称为 A 的 转置矩阵,记作 AT 或 A’.
如
428642
7531
A,
87
65
43
21
24
T
A
可以证明，矩阵的转置满足下列规律：
1) ( A T ) T = A ;
2) ( A + B ) T = A T + B T ;
3) (? A ) T =? A T,? 为常数；
4) ( A B ) T = B T AT.
4 ) 的结论可推广到多个矩阵的情况，即
( A1 A2 … An ) T = AnT? A2T A1T,
证
§ 2.矩阵的运算一、方阵二、分块矩阵第二章 矩阵理论
§ 3.方阵与分块矩阵一、方阵行数与列数相同的矩阵称为 方阵,其行数 (列数 )称为该矩阵的 阶,
如 n? n 矩阵 A 称为 n 阶方阵，简记为 An,
若 A 为 n 阶方阵，则可定义 幂 的运算，记
A? A = A 2,A? A? A = A 3,A? A … A = A k,
k个显然有 A k? A l = A k + l,
( A k ) l = A k l ( 其中 k,l 均为正整数 ),
设 A,B 均为 n 阶方阵，一般地
( A B ) k? A k B k,
kkk BAABABABAB )(
注意：
第二章 矩阵理论方阵 A 构成的行列式记为 |A| 或 detA,若 |A|? 0,则称 A 为 非奇异 (非退化 )的；
若 |A| = 0,则称 A 为 奇异的,
A 与 |A| 不同,前者是矩阵,它只是一个,数表,,后者表行列式,
它是一个特定的,数,,且只有方阵才有它对应的行列式,
注意,
由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：
1) |? A | =?n | A | ;
2) | A B | = | A | | B | ;
3) | A m| = | A | m,
其中 A,B 均为 n 阶方阵,? 为常数,m 为正整数,
由以上结论可知，非奇异方阵的积仍是非奇异方阵,又 | A | = | AT |,故矩阵的转置矩阵也是非奇异方阵,
有几种重要的方阵以后常用到：
单击 此处 可查阅进一步内容,
2.2
上一页第二章 矩阵理论
1 ) 单位矩阵
.
1
1
1
n
E
对任何矩阵 Am? n 或 An? m,有
Am? n En = Am? n,En An? m= An?m,
故 En 在矩阵的乘法运算中，其作用类似于数的乘法运算中的,1,.
若不强调矩阵的阶，则将单位矩阵简记为 E,
上一页第二章 矩阵理论
2 ) 对角矩阵特别,当 a11 = a22 = … = ann = k 时,称为 数量矩阵,即
k
k
k
= k E,
1
1
1
k
.22
11
nna
a
a
对于对角阵，有
k
nna
a
a
22
11
.22
11
k
nn
k
k
a
a
a
上一页第二章 矩阵理论
3) 三角矩阵,分为上三角矩阵和下三角矩阵两种上三角矩阵,,222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
下三角矩阵,,
21
2221
11
nnnn aaa
aa
a
4) 对称阵,若 A T = A,即 aij = aji ( i,j =1,2,…,n ),则称 A 为对称阵，如
101
042
123
A
即为一个三阶对称阵,
对称阵的特点是：它的元素关于主对角线对应相等,
上一页第二章 矩阵理论例 1
5) 反对称阵,若 AT =?A,即 ai j =? aj i ( i = 1,2,…,n),则称为 A 为反对称阵,这时 ai i = 0
( i = 1,2,…,n ),即反对称阵的主对角线上元素全为零,如
032
301
210
A
为三阶反对称阵,
设 A 为任一方阵，证明 A + A T 为对称阵,A? A T 为反对称阵,
( A + A T) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T,
( A? A T ) T = A T? ( A T ) T = A T? A =? (A? AT),
故 A + A T 为对称阵，而 A?A T 为反对称阵,
证上一页第二章 矩阵理论二、分块矩阵将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵横线分成许多的矩阵，每个小矩阵称为 A 的子块,以子块作元素的矩阵 A 称为 分块矩阵,
如：
2104
1352
4703
4211
A
3231
2221
1211
AA
AA
AA
其中,
03
1111?
A,
47
4212?
A
A21 = (2,5),A22 = (3,1),
A31 = (4,0),A32 = (1,2)
为分块矩阵 A 的子块,
将矩阵进行分块后,大矩阵之间的运算可转化为若干个小矩阵的运算,这样可简化运算,
§ 3.方阵与分块矩阵对于同一矩阵，可以根据其不同的特点或不同需要进行不同的划分，如上述矩阵也可划分成
，
2104
1352
4703
4211
，
2104
1352
4703
4211
.
2104
1352
4703
4211
等
在对分块矩阵进行运算时,要注意以下几点：
1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保证对应子块同型；
2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；
3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置,
第二章 矩阵理论上一页第二章 矩阵理论若矩阵 A 经过某种分块后，能划分成如下形式：
,2
1
mA
A
A
A
其中 A,A2,…,Am 均为方阵，则称 A 为 准对角矩阵,它有着与对角矩阵类似的性质,
如
210000
112000
015000
000600
000041
000023
就是一个准对角矩阵,
上一页
3
2
1
A
A
A
一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、矩阵的秩第二章 矩阵理论
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩一、矩阵的初等变换在中学时用高斯消元法解线性方程组时，要将一个较复杂的方程组变为一个较简单的同解方程组，往往需将某些方程进行下列三种变形：
1) 互换两个方程的位置；
2) 将某个方程两边同时乘以一个不为零的常数? ；
3) 将某个方程乘以一个数? 后加到另一个方程上去，
若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际上是对方程组对应的矩阵进行变形，这种变形就是矩阵的初等变换,
定义 1
对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的 初等行变换,
1) 互换矩阵的两行 ( 记作 ri? rj ) ;
2) 以数 0 乘以矩阵的某一行 ( 记作 ri ) ;
3) 将矩阵的某一行各元素乘以数? 后加到另一行的对应元素上去 ( 记作 ri +?rj ),
将行换成列，则称为矩阵的 初等列变换 (所用记号将 r 换成 c ),
第二章 矩阵理论矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的 初等变换,
如：
421
103
112
412
130
121
.
630
130
121
c1?c2 r3+(?2)r1
上一页第二章 矩阵理论二、初等矩阵单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到的矩阵称为 初等矩阵,
初等矩阵共三种：
1
1
01
1
10
1
1
),(
jiP
1) ri? rj,得第 i 行第 j 行
2) ri ×? (0 ),得
1
1
1
1
))((
iP
第 i 行
3) ri +?rj,得
1
1
1
1
))(,(
jiP
第 i 行第 j 行
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩第二章 矩阵理论三种列变换也同样对应上三种初等矩阵
E P (i,j),
E P ( i (? ) ),
E
ci? cj
ci ×?
cj +?ci
P ( i,j (? ) ),
可以验证：
定理 1
设 A 是一个 m? n 矩阵,则对 A 施行一次初等行变换相当于 A 左乘以一个相应的初等矩阵；对 A 施行一次列变换,相当于 A 右乘以一个相应的初等矩阵,
上一页第二章 矩阵理论如
411
014
122
A
r1?r3
122
014
411 = A
1,
而
001
010
100
)3,1( AP
411
014
122
122
014
411
= A1,
又如
411
014
122
A
c1?c3
114
410
221
= A2,
而
001
010
100
411
014
122
)3,1( PA
114
410
221
于是，矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算,
= A2,
上一页第二章 矩阵理论三、矩阵的秩定义 2
设 A 为 m? n 矩阵,在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k ≤ min ( m,n) ),由这 k 行 k 列交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们的相对位置 ) 所构成的行列式称为 A 的一个 k 阶子式选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一阶子式，选取 A 的第一、三行及二、三列,
.
320
001
142
||
A,32 14
如：
320
001
142
A
而 A 的唯一的三阶子式为则得 A 的一个二阶子式
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩第二章 矩阵理论
m? n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个 kmkn CC (1 ≤ k ≤ min (m,n ) ).
这些子式中有的为零，有的不为零，对于不为零的子式，有定义 3
A 的不为零的子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩,记为 r ( A ).
由上定义可知
(1) 若 A 为 m? n 矩阵,则 r ( A ) ≤ m 且 r (A ) ≤ n ;
(2) 若 A 为 n? n 矩阵,则 r ( A ) ≤ n,
① r (A) = n,| A |? 0 ( 非奇异阵 )称 A 为满秩阵,
② r (A) < n,| A | = 0 ( 奇异方阵 )称 A 为降秩阵,
关于矩阵的秩，有定理 2
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，而所有 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k,
证上一页第二章 矩阵理论利用定义 3 或定理 2 求矩阵的秩较困难，因为 A 的各阶子式的值不易看出来，因此需要借助矩阵的初等变换,
可以证明于是利用定理 3 可以通过初等 行变换 把矩阵变成较简单的形式,从而直接看出矩阵的秩,
证定理 3
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变,
上一页第二章 矩阵理论例 1
求矩阵
4431
2013
1211
A 的秩,
4431
2013
1211
A
r2?3r1
r3?r1
5640
5640
1211 r3?r2
0000
5640
1211 = A
1,解上面最后一个矩阵
,0440 11
故 r ( A1 ) = 2,从而 r ( A ) = 2.
三阶子式全为零，而可找到一个二阶子式不为零,如
0000
5640
1211
1A 称为 阶梯形矩阵,易知 A1 的任一用初等行变换求矩阵的秩的步骤,
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
0000
00
0
行变换右端矩阵称为 阶梯型矩阵,有 r 行不全为零，则 A 的秩为 r,
上一页第二章 矩阵理论例 3
已知矩阵
2540
002
1121
tA 的秩为 2,求 t 的值,
2540
002
1121
tA
2540
2240
1121
t
0300
2240
1121
t
t－
－
r (A) = 2? 3? t = 0,即 t = 3,
解若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：
000
00
0
00000
00100
00010
00001
右端 矩阵 称为 A 的 标准形,其左上角为一个 r 阶单位阵 ( r = r ( A )),其余元素全为零,
由上可知,秩为 r 的 m? n 矩阵有相同的标准型,且若 A 为 n 阶满秩阵 ( r ( A ) = n,|
A |? 0 ),则 A 的标准型为 n 阶单位阵 E,
上一页第二章 矩阵理论
11011
11110
02220
21110
A
02220
11110
21110
11011
例 2
,
11011
11110
02220
21110
A 求 A 的秩,
解
44000
30000
21110
11011
,
30000
44000
21110
11011
故 A 的秩为 4,
上一页第二章 矩阵理论例 4
的标准型,
A 行变换
30000
44000
21110
11011
30000
44000
21110
00001
30000
44000
00010
00001
11011
11110
02220
21110
A求解
10000
01000
00010
00001
.
01000
00100
00010
00001
30000
04000
00010
00001
上一页一、逆矩阵的定义二、矩阵可逆的条件及求逆公式三、逆矩阵的性质四、用初等行变换求逆矩阵五、逆矩阵的应用第二章 矩阵理论
§ 5.可逆矩阵一、逆矩阵的定义由定义 1 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是 互逆 的,
定义 1
设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B,使
A B = B A = E,
则称 B 为 A 的 逆矩阵,此时也称 A 可逆,
定理 1
若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的,
设 B,C 均为 A 的逆矩阵，则
C = C E = C (A B ) = (C A ) B = E B = B,
故 A 的逆矩阵是唯一的,
由矩阵 A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为 A?1.
证第二章 矩阵理论例 2
例 1
设 a11 a22 … ann? 0,则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵
1
22
11
nna
a
a
.
1
1
22
1
11
nna
a
a
若方阵 A1,A2,…,Am 均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵
1
2
1
mA
A
A
,
1
1
2
1
1
mA
A
A
上一页第二章 矩阵理论二、矩阵可逆的条件及求逆公式定义 2
设 n 阶方阵,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Aij 为元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n ),
nnnn
n
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
A
21
32313
22212
12111
*
称为矩阵 A 的 伴随矩阵,则矩阵例 3
解求矩阵
2221 1211 aa aaA 的伴随矩阵 A*,
A11 = a22,A12 =?a21,A21 =?a12,A22 = a11,
.*
1121
1222?
aa aaA
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 4
解求三阶矩阵
343
122
321
A 的伴随矩阵 A*,
A11 = 2,A12 =?3,A13 = 2,
A21 = 6,A22 =? 6,A23 = 2,
A31 =? 4,A32 = 5,A33 =?2,
故,
222
563
462
*
A
定理 2
且,*
|| 11 AAA
其中 A* 为 A 的伴随矩阵,
方阵 A 可逆? | A |? 0,
证上一页第二章 矩阵理论例 5
解设,
2221
1211?
aa
aaA,021122211 aaaa 求 A?1.
,
2221
1211?
aa
aaA,
1121
1222*?
aa
aaA | A |? 0,
*1 || 1 AAA,1
1121
1222
21122211
aa
aa
aaaa
上一页例 6
第二章 矩阵理论设,
5400
3200
0052
0021
A 求 A?1.
令,
52
21
1
A,
54
32
2
A
则
210 0AAA 为准对角矩阵,
且 | A1 | = 5? 4 = 1? 0,
|| 1
*11
1 AAA,12 25
| A2 | = 10?12 =? 2? 0,
|| 2
*21
2 AAA 24 3521,12 2325
12
111
0
0
A
AA,
1200
232500
0012
0025
解上一页第二章 矩阵理论例 7
求 例 3 中由例 3 知,
343
122
321
A,
222
563
462
*
A
2221 1211 aa aaA 的逆矩阵,
解
,02
343
122
321
|| A而
*1 || 1 AAA
222
563
462
2
1,
111
25323
231
由定理 2 还可得
| A | | B | = | A B | = | E | = 1,
且 A?1 = A?1 E = A?1 (A B) = (A?1 A ) B = B,
则 | A |? 0,A 可逆,
推论设 A,B 均为 n 阶方程，若 A B = E ( 或 B A = E ),则 B = A?1,
证上一页第二章 矩阵理论三、逆矩阵的性质矩阵的逆满足下列性质：
1) ( A?1 )?1 = A ; 2) ;1)( 11 AA
3) ( A T )?1 = ( A?1 ) T ; 4) ( A B)?1 = B?1 A?1 ;
5) ;||
|| 1|| 11 AAA
6) 若 A B = A C 且 A 可逆? B = C,
性质 4 还可推广到 m 个方阵的情形，即
.)( 11121121 AAAAAA mm
特别,( A m )?1 = ( A?1 ) m,
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论四、用初等行变换求逆矩阵定理 3
若方阵 A 可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pm,使
A = P1 P2 … Pm,
A 可逆，则 r (A ) = n,从而 A 的标准形为 n 阶单位矩阵 E,于是存在有限次初等变换使 A 化为 E ； 反之，也存在有限次初等变换使 E 化为 A,故? P1,P2,…,Pm
使 P1 P2 … Ps E Ps+1 … Pm = A,
即 A = P1 P2… Pm 。
证显然初等矩阵的行列式均不为零,即 P1,P2,…,Pm 均可逆,且逆矩阵仍为初等矩阵,由
A = P1 P2 … Pm
得 1
11211 PPPA m? EPPP m 11121
APPPAAE m 111211而由上两式知,A 经过一系列初等行变换变为 E,则 E 经过同样的行变换变为 A?1,即
( A | E ) 初等行变换 ( E | A?1),
,111211 EPPPA m′即,11121 APPPE m
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 8
解设,
343
122
321
A 求 A?1.
( A | E ) =
343
122
321
100
010
001
620
520
321
103
012
001
100
520
201
111
012
011
100
020
001
111
563
231
100
010
001
111
25323
231
故,
111
25323
231
1
A
上一页第二章 矩阵理论五、逆矩阵的应用
1) 解方程设 n 个方程 n 个未知量的线性方程组为
A X = B
其中 A = ( aij )n? n,若 | A |? 0,则 A?1 存在，且
X = A?1 B
.|| 1 * BAA?
这实际上是克莱姆法则的矩阵表示，若求出 A?1,则能得到方程组的解,
§ 5.可逆矩阵第二章 矩阵理论例 9
解设方程组为
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1,
2 x1 + 2 x2 + x3 =?1,
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3,
解此方程组,
令,
3 4 3
1 2 2
3 2 1
A,
3
1
1
B,
3
2
1
x
x
x
X
原方程组为 A X = B,X = A?1 B,由于 | A | = 2? 0,A 可逆，故而,
111
25323
231
1
A
3
2
1
x
x
x
X BA 1
111
25323
231
3
1
1
,
3
9
8
即 x1 =?8,x2 = 9,x3 =?3.
上一页第二章 矩阵理论例 10
17
213
124
021
,
31
52
41
213
124
021
X
2) 解矩阵方程设
31
52
41
213
124
021 1
X
0解
31
52
41
652
1211
245
17
1
.
356
3716
615
17
1
上一页求 X,
第二章 矩阵理论例 11 设 A,B 为三阶矩阵,I 为三阶单位阵，满足
A B + I = A2 + B,
又已知,
101
020
101
A 求 B,
由 A B + I = A2 + B? A B?B = A 2? I,
( A? I ) B = ( A?I ) ( A + I ),
,
001
010
100
IA? | A?I |? 0,A? I 可逆,
故 B = A + I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 2 0
1 0 1
.
2 0 1
0 3 0
1 0 2
解上一页第二章 矩阵理论设 A = ( aij ) m? s,B = ( bij )s? n,则 ( A B )T 是 n? m 矩阵,而 A T 是 s? m 矩阵，
B T 是 n? s 矩阵,故 B T A T 也是 n? m 矩阵,
又 ( A B )T 中第 i 行第 j 列的元素是 A B 中第 j 行第 i 列的元素,即
sijsijij bababa2211
( j = 1,2,…,n ; i = 1,2,…,m )
证
b1i aj1 + b2i aj2+ …+ bsi ajs = aj1 b1i + aj2 b2i + …+ ajs bsi
( j =1,2,…,n ; i = 1,2,…,m )
故 ( A B )T = B T A T,
而 B T 的第 i 行为 ( b1i,b2i,…,bsi),A T 的第 j 列为 (aj1,aj2,…,ajs)T,故 B T A T
中第 i 行第 j 列的元素为第二章 矩阵理论证 | A B | = | A | | B |,
先看一下特殊情形，即 A 是一个对角矩阵的情形，设
,2
1
nd
d
d
A
令 B = ( bij ),则
.
21
22222212
11121111
nnnnnnn
n
n
bdbdbd
bdbdbd
bdbdbd
AB
由行列式的性质得
.|||||||| 21 BABdddBA n
第二章 矩阵理论现在看一般情形,由引理知,可以通过第三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵
A0,并且有 | A | = | A0 |,反过来,也 可以通过 第三种初等变换把 A0 化为 A,这就是说,存在着一系列的 P ( i,j (?) ) 型矩阵 P1,P2,…,Pq,使故
A = P1 P2 … Ps A0 Ps+1 … Pq
A B = P1 P2 … Ps A0 Ps+1… Pq B,
|||| 1021 BPPAPPPAB qss
|| 10 BPPA qs |||| 10 BPPA qs
|||| 0 BA?,|||| BA?
上述结论可推广到 m 个矩阵的情形,
设 A1,A2,…,A m 为 m 个 n 阶方阵，则
| A 1 A 2 … A m | = | A 1 ||A 2 |… | A m |,
由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因对它施行第三种初等变换而改变,换一句话说,用一些 P ( i,j (?) ) 型的初等矩阵乘以一个 n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式,因此,注意到 A 0 是一个对角矩阵,我们有第二章 矩阵理论证 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零,则 A 的任一 k + 2 阶子式按某行 ( 列 )
展开后必为零,进而全部高于 k + 1 阶的子式全为零,又 A 中至少有一个 k
阶子式不为零,故 r ( A ) = k,
第二章 矩阵理论证 只要证明每一种初等行变换都不改变矩阵的秩就行了,
1) 设对 A 施行第一种初等行变换后成为 B,则因行列式交换两行仅改变符号,而
B 的每一子式与 A 中对应的子式或者相等,或者仅改变符号,故秩不变
2) 设对 A 施行第二种初等行变换后而成为 B,则因行列式的某一行乘以? ( 0 )
等于行列式乘以?,而 B 的子式与 A 中对应的子式或者相等,或者仅差? 倍,
故秩不变,
3) 设 A 经过第三种初等行变换后成为 B,且 r ( A ) = r,下面证 r (B) ≤ r ( A ),且 r
(A) ≤ r ( B ),则有 r (A) = r ( B ),
不失一般性,设 A 的第 i 行各元素乘以数? 后加到第 j 行对应元素上去而成为 B,即
,
21
21
21
11211
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
.
21
2211
21
11211
mnmm
injnijij
inii
n
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
B
第二章 矩阵理论设 Mr+1 是 B 的任 一个 r + 1 阶子式，这时有三种情况：
(i) Mr+1 不含 B 的第 j 行,则由于 A 与 B 除第 j 行外各行均相同,故 Mr+1也是 A 的一个 r + 1 阶子式,因 r(A ) = r,故 Mr+1 = 0 ;
(ii) Mr+1 含 B 中第 j 行且含第 i 行,则由行列式的性质知,Mr+1 的值等于 A
中含第 i 行和第 j 行相应元素的对应子式,故 Mr+1 = 0 ;
(iii) Mr+1 只含 B 中第 j 行而不含第 i 行，则由行列式的性质有
Mr+1 = N r+1+?Pr+1,
这里 Nr+1 和 Pr+1 均是 A 的 r+1 阶子式，它们均为零，故 Mr+1 = 0,
由于 Mr+1 只含有上述三种情况，故 B 的任一个 r+1 阶子式全为零，由此
r (B) ≤ r (A) = r.
另一方面，又可将 A 看成 B 经第 i 行乘以 ( ) 后加到第 j 行得来的，故同样有 r( A ) ≤ r (B ),
故 r ( A ) = r ( B ),
第二章 矩阵理论证 必要性,设 A 可逆，则? A?1,使
A A?1 = E,
则 | A | | A?1 | = | A A?1 | = | E | = 1,
故 | A |? 0,
充分性,设 | A |? 0,记 A = ( aij) n? n,由 Laplace 展开定理有
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
21
22221
11211
*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22221
11211
= | A | E,
||
||
||
A
A
A
=| A | E,?AA*
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
||
||
||
A
A
A
于是,)
|| 1()|| 1( ** EAAAAAA
从而
.|| 1 *1 AAA
