第一节 线性方程组的消元法第二节 齐次线性方程有非零解的条件及解的结构第三节 非齐次线性方程有解的条件及解的结构一、线性方程组的形式二、线性方程组的消元解法第四章 线性方程组
§ 1.线性方程组的消元解法一、线性方程组的形式设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
A11x1 + a12x2 +…+ a1nxn= b1,
A21x1 + a22x2 +…+ a2nxn= b2,
……………
Am1x1 + am2x2 +…+ amnxn= bm,
(1)
注意,m 可以大于 n,小于 n,等于 n,
记,
2 1
2 22 21
1 12 11
mn m m
n
n
a a a
a a a
a a a
A
,2
1
n x
x
x
X
,
2
1
mb
b
b
b
则 (1)式可写成如下矩阵形式：
AX = b,(2)
称 A 为线性方程组的 系数矩阵,
第四章 线性方程组
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即
A=(?1,?2,…,?n ),
则方程组又可写成向量形式,
x1?1+ x2?2+ …+ xn?n=b,
n
n
x
x
x
AX
2
1
21 ),,,(,2211 nnxxx
记,],[
21
222221
111211
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
bAA
称 A 为线性方程组的 增广矩阵,
当方程 组 右边的常数项不全为 0,即 b? 0 时,称 AX = b 为 非齐次线性方程组,
而称 AX= 0 为 齐次线性方程组,
上一页定理 1
第四章 线性方程组二、线性方程组的消元解法消元法 的三种基本运算包括：
1,对换两个方程的位置；
2,用一个数去乘一个方程加到另一个方程上；
3,用一个非零数去乘一个方程,
这三种运算称为线性方程组的 初等变换,
设将方程 AX = b 的增广矩阵 A = [A,b] 进行初等行变换所得到的矩阵为 D = [D,d],则 D 所对应的方程 DX = d 与原方程 AX = b同解,
AX = b A = [A,b]
D = [D,d],DX = d
同解方程 初等行变换一一对应一一对应
§ 1.线性方程组的消元解法例 1
解解线性方程组
x1 + x 2 + x3 = 1,
x1+ 2x2? 5x3 = 2,
2x1+3x2? 4x3 = 3,
3432
2521
1111
A
1610
1610
1111
0000
1610
1111
.
0000
1610
1701
第四章 线性方程组最后一个矩阵所对应的线性方程组为
x1+ 7x3 = 1,
x2?6x3 = 1,
它与原方程组同解，取 x3 = C,得 x1 = 1?7C,x2 = 1+6C,
即原方程组解为
x 1= 1? 7C,
x2 = 1+ 6C,其中 C 为任意实数,
x3 = C,
将解写成向量形式 ( x1,x2,x3 )T = (1?7C,1+6C,C )T.
例 1中,方程组的解含有任意常数,称之为方程组的 一般解或通解,
若向量? 是 AX=b 的解,且不含任意常数,则称? 是 AX=b 的一个 特解,
上一页第四章 线性方程组例 2
求下列线性方程组的解：
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0,
x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 0,
3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0,
x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0,
解
7931
1813
3211
1511
A?
0000
0000
4720
1511
81440
4720
4720
1511
0000
0000
22710
1511
.
0000
0000
22710
12301
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
,023 431 xxx
.0227 432 xxx
,23 211 CCx
,227 212 CCx
C1,C2? R,
取 x3 = C1,x4 = C2 得方程组的解为：
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法称为 高斯消元法 (或 矩阵消元法 ).
上一页一、齐次线性方程组有非零解的条件二、齐次线性方程组解的结构第四章 线性方程组齐次线性方程组形如
AX = 0,
或 x1?1 + x2?2 +…+ xn?n = 0,(5)
方程组显然有解 X = (0,…,0) T = 0,
(4)
系数矩阵 A 满足什么条件,AX = 0 有非零解？其非零解是否唯一？其通解的形式如何？
§ 2.齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构一、齐次线性方程组有非零解的条件定理 1
AX = 0 有非零解的充要条件是系数阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n,
Ax = 0有非零解,
存在不全为零的实数 x1,x2,…,xn 使 x1?1+x2?2+…+ xn?n = 0,
向量组?1,?2,…,? n 线性相关,
向量组?1,?2,…,? n 的秩小于 n.
r(A) < n.
证推论 3
当 m = n 时,AX = 0 有非零解? | A | = 0.
AX = 0 只有零解? | A |? 0.
推论 1
AX = 0 只有零解? r(A) = n.
推论 2
当方程个数 m 小于未知数个数 n 时,AX = 0 必有非零解,
第四章 线性方程组例 1
解当? 为何值时，方程组
x1 +?1x2 + x3 = 0,
x1? x2 + x3 = 0,
x1 + x2 + 2x3 = 0,
(1) 有非零解 ; (2)只有零解,
设方程系数阵为 A,则
21
111
11
A
210
111
010
.
200
010
111
λ
λ
当? = 2 或? =?1 时,r(A) = 2< 3,方程组有非零解,
当 2 且1 时，方程组只有零解,
上一页第四章 线性方程组定理 2
二、齐次线性方程组解的结构设 X1,X2 是方程组 AX = 0 的解，则?1X1 +?2X2 也是 AX = 0 的解，
其中?1,?2 为任意实数,
因为 AX1 = 0,AX2 = 0，
所以?1x1+?2x2 也是 AX = 0 的解,
而 A(?1X1+?2X2 ) =?1 A X1+?2 A X2 = 0,
证记 S 为 AX = 0 的解的全体，由定理 2 知 S 对向量加法和数乘两种运算是封闭的，所以 S 构成一个向量空间，称为 AX = 0 的 解空间,
回顾与思考：
① 向量空间的基有哪些特点？
② 向量空间的基唯一吗？
单击 此处 可查阅答案
§ 2.齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构第四章 线性方程组定义 1
定理 3
线性方程组 AX = 0 的解空间的一组基称为 AX = 0 的 基础解系,
设 AX = 0 的系数阵 A 的秩 r ( A ) = r < n,则 AX = 0 的解空间是 n?r
维的 ( AX = 0 的基础解系含 n?r 个解向量 ).
证 因为 r(A) = r < n,
所以 A 至少有一个 r 阶子式不为零,而所有 r +1 阶子式全为零,
不妨设 A 的左上角的一个 r 阶子式不为零,此时用初等行变换将 A 化为阶梯形形如,,
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
由此得 AX = 0 的同解方程组如下：
c11x1 + c12x2 +…+ c1r xr + c1,r+1 xr+1 +…+ c1nxn = 0,
c22x2 +…+ c2r xr + c2,r+1 xr+1 +…+ c2nxn = 0,
crr xr + cr,r+1 xr+1 +…+ crnxn = 0,
………………
上一页第四章 线性方程组逐步回代可得方程组的一般解为
x1 = d11xr+1 + d12xr+2 +…+ d1,n?rxn,
x2 = d21xr+1 + d22xr+2 +…+ d2,n?rxn,(6)
………………
xr = dr1xr+1 + dr2xr+2 +…+ dr,n?rxn,
其中 xr+1,…,xn 为任意实数,
将 xr+1,xr+2,…,xn 取下列 n? r 组值
,
0
0
1
2
1
n
r
r
x
x
x
,
0
0
1
0
,
1
0
0
…,
则可得 n? r 个解向量：
X1 = [d11,…,dr1,1,0,…,0] T
X2 = [d12,…,dr2,0,1,…,0] T
…………
Xn?r= [d1,n?r,…,dr,n?r,0,…,1] T
易知 X1,X2,…,Xn?r 线性无关,
下证 AX = 0 的每一解均可由 X1,X2,…,Xn?r 线性表示,
上一页第四章 线性方程组将一般解中的自由未知量 xr+1,xr+2,…,xn 任取一组数,k1,k2,…,kn?r,得相应解为
x1 = k1d11 + k2d12 +…+ kn?rd1,n?r
x2 = k1d21 + k2d22 +…+ kn?rd2,n?r
………………
xr = k1dr1 + k2dr2 +… + kn?rdr,n?r
xr+1 = k1
xr+2 = k2
xn = kn?r
………………
写成向量形式：
X = [x1,…,xn]T = k1X1 + k2X2 +…+ kn?rXn?r
所以 X1,X2,…,Xn?r 是 AX = 0 的解空间的一组基，从而 AX = 0 的解空间是 n? r 维的,
注意,上述证明过程提供了求基础解系的方法,
对于 n 元 齐次线性方程组 AX = 0
(1) 当 r(A) = n 时，方程组只有零解；
(2) 当 r(A) = r < n 时，方程组有穷多组解，且基础解系含 n?r 个解向量,
若?1,?2,…,?n?r是 AX = 0 的基础解系，则 AX = 0 的通解为
X = c1?1 + c2?2 + …+ cn?r?n?r
其中 c1,c2,…,cn?r 为任意实数,
上一页第四章 线性方程组例 2
解求下列线性方程组的基础解系：
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0,
x1 + x2– 2x3 + 3x4 = 0,
3x1 – x2+ 8x3 + x4 = 0,
x1+ 3x2 – 9x3 + 7x4= 0,
7931
1813
3211
1511
A?
0000
0000
4720
1511
81440
4720
4720
1511
0000
0000
22710
1511
.
0000
0000
22710
12301
r(A) = 2 < 4,原方程组有无穷多组解,x3,x4 为自由未知量，其一般解为：
431 23 xxx
432 227 xxx
x3,x4任取。
取 x3 = 1,x4= 0,得,231x,272?x
取 x3 = 0,x4= 1,得,11x,22x
所以得基础解系,)0,1,27,23( T1,)1,0,2,1( T2
4
3
2
1
x
x
x
x
X
1
0
2
1
0
1
27
23
21 kk
.)1,0,2,1()0,1,27,23( T2T1 为基础解系，故,
将一般解写成向量形式：
2
1
21
21
2
2
7
2
3
k
k
kk
kk
上一页一、非齐次线性方程组 AX=b有解的条件二,非齐次线性方程组 AX=b的解的结构第四章 线性方程组一、非齐次线性方程组 AX=b 有解的条件线性方程组 AX = b有解,则称方程组 AX = b 相容,
§ 3.非齐次线性方程组有解的条件及解的结构定理 1
线性方程组 AX = b 有解? r(A) = r( A )
证记 },,,2,1,|{ 2211 niRM inn
它是 Rm 的子空间，称之为矩阵 A 的 列空间,所以
AX = b 有解
b 属于 A的列空间
r(A) = r ( A )
第四章 线性方程组二、非齐次线性方程组 AX=b 的解的结构定理 2
非齐次线性方程组 AX = b 的通解为 AX = b 的一个特解与相应齐次线性方程组 AX = 0 的通解之和,
证 设? 是 AX = b 的一个解,r(A) = r,
A? = b,A? I = 0,I =1,2,…,n?r,
从而对于任意常数 c1,c2,…,cn?r 有
A(? + c1?1 +…+ cn?r?n?r) = A? + c1A?1 +…+ cn?r A?n? r= b,
1,?2,…,?n?r 是 AX = 0 的一个基础解系，
则有即 X =? + c1?1 +…+ cn?r?n?r是 AX = b 的解,
又设?1 (?1) 为 AX = b 的任一解,即 A?1 = b,则 A(?1) = A?1?A? = b?b = 0,
即?1是 AX = 0 的解,
1 = l1?1 + l2?2 + …+ ln?r?n?r,
即?1=? + l1?1 + l2?2+ …+ ln?r?n?r,
这就证明了 AX = b 的任意解可表示成 AX = b 的一个特解与 AX = 0 的基础解系的解向量的线性组合之和,
所以，存在不全为零的常数 l1,l2,…,ln?r,使
§ 3.非齐次线性方程组有解的条件及解的结构第四章 线性方程组
X =?+ l1?1 + l2?2+ …+ ln?r?n?r
AX = b 的通解结构式：
其中? 为 AX = b 的一个特解,r(A) = r(A) = r,l1,l2,…,ln?r 为任意常数,?1,?2,…,
n?r为 AX = 0 的一个基础解系,
由定理 2知，当 AX = 0 只有零解时,AX = b 的解是唯一的，因此有：
(1) 当 r(A) = r(A) = n 时,AX = b 有唯一解；
(2) 当 r(A) = r(A) < n 时,AX = b 有无穷多组解；
(3) 当 r(A)? r(A) 时,AX = b 无解,
上一页第四章 线性方程组
][?AA?
211
111
111
a
a
a
.
2)2)(1(00
0110
111
aaa
aa
a
所以 a =?2.
要 AX =? 有解但不唯 一，必须 r(A) = r(A) < 3,
解 法 一因 AX =? 有解且不唯一，所以
11
11
11
||
a
a
a
A?,0)2()1( 2 aa
当 a =?2 时,r(A) = r(A) < 3,方程有解且不唯 一,
因 r(A)?r(A),故 方程无解,当 a = 1 时,r(A) =1,r(A) = 2,
解 法 二例 1
设矩阵,
1 1
1 1
1 1
a
a
a
A,
2
1
1
－
已知线性方程组 AX =? 有解但不唯一，试求 a 的值,
上一页例 2
第四章 线性方程组下列方程组是否有解？若有则求其通解,
2x + 3y + z = 1,
x + y – 2 z = 2,
4x+ 7y + 7z = –1,
x + 3y + 8z = – 4,
解
4831
1774
2211
1132
A
61020
91530
3510
2211
4831
1774
1132
2211
0000
0000
3510
2211
.
0000
0000
3510
5701
r(A) = r(A) = 2 < 3,原方程组有无穷多组解,
x1 = 5 + 7x3,
x2 = –3 – 5x3,
x3 任取,
3
2
1
x
x
x
X
k
k
k
53
75
.
0
3
5
1
5
7
k
取 x3 = k,将一般解写成向量形式原方程组一般解为上一页第四章 线性方程组定理 3
设 X1,X2 是 AX = b (b? 0) 的解,则 X1?X2 是 AX = 0 的解,
例 4
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知?1,?2,?3 是它的三个解向量,且?1 = (2,3,4,5)T,?2 +?3 = (1,2,3,4)T,求该方程组的通解,
设四元非齐次方程组为 AX = b,
则 A?1= b,A?2= b,A?3= b.
又
3232 21212 AAA bbb 2121
解则
2 321
是 AX = 0 的解,
3)(?Ar?
0AX 的基础解系只含一个解向量，
故 AX = b 的通解为 )
2( 3211 kX ).3,2
5,2,23()5,4,3,2( T k
例 5 例 6 单击 此处 可查阅本章小节上一页第四章 线性方程组由向量空间理论我们知道：
(1) 向量空间的基是一组线性无关的向量，且向量空间中的任一向量可由基线性表示；
(2) 向量空间的基是不唯一的,
所以,AX = 0 的解空间的基是不唯一的；只要找到了解空间的一组基,
便找到了方程的所有解 。
第四章 线性方程组例 3 判断? 为何值时，方程组
x1 + x2 + x3 = 1,
x1 +?x2 + x3 =?,
x1+ x2+?x3 =?2
有唯一解，无穷多解，无解,
解
211
11
111
A
32
2
2
1110
110
11
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
111
11
11 2
i) 当1且–2 时,r(A) = r(A) =3,此时方程组有唯一解；
ii) 当? = –2 时,r(A) = 2,r(A) = 3,此时方程组无解；
iii) 当? = 1 时,r(A) = r(A) = 1,此时方程组有无穷多组解，且
,
0000
0000
1111
A
取 x2,x3 为自由未知量，其通解为,x1 = 1–x2 – x3,x2,x3?R,
3
2
1
x
x
x
X
2
1
211
k
k
kk
0
0
1
1
0
1
0
1
1
21 kk
得同解方程 x1 + x2 + x3 = 1,
k1,k2?R,
上一页第四章 线性方程组证明思路：
AX=b有解
A 的列向量组的秩等于
A 的列向量组的秩
b 可表示成 A 的列向量组的线性组合
r( A )=r ( A )
证 将 AX = b 表示成向量形式
x1?1 + x2?2 + …+ xn?n = b,
因此,AX = b 有解等价于 b 可表示成?1,?2,…,?n 的线性组合,
一方面,如果 AX = b 有解,即 b 可表示成?1,?2,…,?n 的线性组合,则 b,?1,
2,…,?n 线性相关,故向量组?1,?2,…,?n 的极大无关组也是 b,?1,?2,…,?n
的极大无关组,r(A) = r( A ).所以两向量组的秩相等，从而
rjjj,,,21?
也是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组,所以 b 可由另一方面,若 r(A) = r(A) = r,
所以线性表示，从
rjjj,,,21?
则?1,?2,…,?n 的一个极大无关组
AX = b有解? r(A) = r( A )而 b 可由?1,?2,…,?n 线性表示,
第四章 线性方程组例 5 设 A 是 n 阶矩阵，证明：非齐次线性方程组 AX = b 对任何 b 都有解的充要条件是 | A |? 0.
若 |A|?0,则 A 可逆,
所以对任何 b,由 AX = b
可得 X = A?1b,
证
若方程组 AX = b 对任何 b 都有解，
则取 b = (1,0,…,0) T,(0,1,0,…,0) T,…,(0,…,0,1) T
可得相应解 X1,X2,…,Xn,记 B = (X1,…,Xn),
由于 A (X1,X2,…,Xn) = B = E,
故 A 可逆，从而 | A |? 0,
例 6
第四章 线性方程组
1=?1+ t?2,? 2=?2 + t?3,
3 =?3 + t?4,?4 =?4 + t?1,
讨论实数 t 满足什么关系时,? 1,? 2,? 3,?4 也是 AX = 0 的一个基础解系,
已知?1,?2,?3,?4是线性方程组 AX=0 的一个基础解系，若由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解,故? 1,? 2,? 3,?4
是 AX = 0 的解,
因此，当且仅当? 1,? 2,? 3,?4 线性无关,? 1,? 2,? 3,?4 是基础解系,
解
(? 1,? 2,? 3,?4 ) = (?1,?2,?3,?4)
100
010
001
001
t
t
t
t
(?1,?2,?3,?4)C,?=由于记 B = (? 1,? 2,? 3,?4 ),A = (?1,?2,?3,?4),
则有 | B | = | A | ·| C |,即 | A |? 0.
所以? 1,? 2,? 3,?4 线性无关? | B |? 0? | C |? 0,
又?1,?2,?3,?4 线性无关,
即,01
100
010
001
001
|| 4 t
t
t
t
t
C
故 t 1 时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的基础解系,
第四章 线性方程组显然? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的解,
设 k1? 1 + k2? 2 + k3? 3 + k4?4 = 0,
则有 k1(?1 + t?2) + k2(?2 + t?3) + k3(?3 + t?4) + k4(?4 + t?1) = 0,
即 (k1+ t k4)?1 + (k2+ t k1)?2 + (k3+ t k2)?3 + (k4+ t k3)?4 = 0
另 解由于?1,?2,?3,?4 线性无关，则有
k1+ t k4 = 0
t k1 + k2 = 0
t k2+ k3 = 0
t k3+ k4 = 0
要? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，则须上述关于 k1,k2,k3,k4的齐次线性相关组只有零解故系数行列式
.01
100
010
001
001
|| 4 t
t
t
t
t
C
所以 t1 时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的基础解系,
第四章 线性方程组
AX= 0 有非零解? r(A) < n ；
AX =b
有唯一解? r(A) = r(A) = n ；
有无穷多组解? r(A) = r(A) < n ；
无解? r(A)? r(A).
本章小结
X =?+ l1?1+l2?2+ …+ ln?r?n?r
AX = b 的通解结构式：
设 r(A) = r(A) = r,?1,?2,…,?n?r是 AX = 0 的一个基础解系,? 是 AX = b
的一个特解,则
AX = 0 的通解,
X = l1?1+l2?2+ …+ ln?r?n?r
§ 1.线性方程组的消元解法一、线性方程组的形式设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
A11x1 + a12x2 +…+ a1nxn= b1,
A21x1 + a22x2 +…+ a2nxn= b2,
……………
Am1x1 + am2x2 +…+ amnxn= bm,
(1)
注意,m 可以大于 n,小于 n,等于 n,
记,
2 1
2 22 21
1 12 11
mn m m
n
n
a a a
a a a
a a a
A
,2
1
n x
x
x
X
,
2
1
mb
b
b
b
则 (1)式可写成如下矩阵形式：
AX = b,(2)
称 A 为线性方程组的 系数矩阵,
第四章 线性方程组
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即
A=(?1,?2,…,?n ),
则方程组又可写成向量形式,
x1?1+ x2?2+ …+ xn?n=b,
n
n
x
x
x
AX
2
1
21 ),,,(,2211 nnxxx
记,],[
21
222221
111211
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
bAA
称 A 为线性方程组的 增广矩阵,
当方程 组 右边的常数项不全为 0,即 b? 0 时,称 AX = b 为 非齐次线性方程组,
而称 AX= 0 为 齐次线性方程组,
上一页定理 1
第四章 线性方程组二、线性方程组的消元解法消元法 的三种基本运算包括：
1,对换两个方程的位置；
2,用一个数去乘一个方程加到另一个方程上；
3,用一个非零数去乘一个方程,
这三种运算称为线性方程组的 初等变换,
设将方程 AX = b 的增广矩阵 A = [A,b] 进行初等行变换所得到的矩阵为 D = [D,d],则 D 所对应的方程 DX = d 与原方程 AX = b同解,
AX = b A = [A,b]
D = [D,d],DX = d
同解方程 初等行变换一一对应一一对应
§ 1.线性方程组的消元解法例 1
解解线性方程组
x1 + x 2 + x3 = 1,
x1+ 2x2? 5x3 = 2,
2x1+3x2? 4x3 = 3,
3432
2521
1111
A
1610
1610
1111
0000
1610
1111
.
0000
1610
1701
第四章 线性方程组最后一个矩阵所对应的线性方程组为
x1+ 7x3 = 1,
x2?6x3 = 1,
它与原方程组同解，取 x3 = C,得 x1 = 1?7C,x2 = 1+6C,
即原方程组解为
x 1= 1? 7C,
x2 = 1+ 6C,其中 C 为任意实数,
x3 = C,
将解写成向量形式 ( x1,x2,x3 )T = (1?7C,1+6C,C )T.
例 1中,方程组的解含有任意常数,称之为方程组的 一般解或通解,
若向量? 是 AX=b 的解,且不含任意常数,则称? 是 AX=b 的一个 特解,
上一页第四章 线性方程组例 2
求下列线性方程组的解：
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0,
x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 0,
3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0,
x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0,
解
7931
1813
3211
1511
A?
0000
0000
4720
1511
81440
4720
4720
1511
0000
0000
22710
1511
.
0000
0000
22710
12301
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
,023 431 xxx
.0227 432 xxx
,23 211 CCx
,227 212 CCx
C1,C2? R,
取 x3 = C1,x4 = C2 得方程组的解为：
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法称为 高斯消元法 (或 矩阵消元法 ).
上一页一、齐次线性方程组有非零解的条件二、齐次线性方程组解的结构第四章 线性方程组齐次线性方程组形如
AX = 0,
或 x1?1 + x2?2 +…+ xn?n = 0,(5)
方程组显然有解 X = (0,…,0) T = 0,
(4)
系数矩阵 A 满足什么条件,AX = 0 有非零解？其非零解是否唯一？其通解的形式如何？
§ 2.齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构一、齐次线性方程组有非零解的条件定理 1
AX = 0 有非零解的充要条件是系数阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n,
Ax = 0有非零解,
存在不全为零的实数 x1,x2,…,xn 使 x1?1+x2?2+…+ xn?n = 0,
向量组?1,?2,…,? n 线性相关,
向量组?1,?2,…,? n 的秩小于 n.
r(A) < n.
证推论 3
当 m = n 时,AX = 0 有非零解? | A | = 0.
AX = 0 只有零解? | A |? 0.
推论 1
AX = 0 只有零解? r(A) = n.
推论 2
当方程个数 m 小于未知数个数 n 时,AX = 0 必有非零解,
第四章 线性方程组例 1
解当? 为何值时，方程组
x1 +?1x2 + x3 = 0,
x1? x2 + x3 = 0,
x1 + x2 + 2x3 = 0,
(1) 有非零解 ; (2)只有零解,
设方程系数阵为 A,则
21
111
11
A
210
111
010
.
200
010
111
λ
λ
当? = 2 或? =?1 时,r(A) = 2< 3,方程组有非零解,
当 2 且1 时，方程组只有零解,
上一页第四章 线性方程组定理 2
二、齐次线性方程组解的结构设 X1,X2 是方程组 AX = 0 的解，则?1X1 +?2X2 也是 AX = 0 的解，
其中?1,?2 为任意实数,
因为 AX1 = 0,AX2 = 0，
所以?1x1+?2x2 也是 AX = 0 的解,
而 A(?1X1+?2X2 ) =?1 A X1+?2 A X2 = 0,
证记 S 为 AX = 0 的解的全体，由定理 2 知 S 对向量加法和数乘两种运算是封闭的，所以 S 构成一个向量空间，称为 AX = 0 的 解空间,
回顾与思考：
① 向量空间的基有哪些特点？
② 向量空间的基唯一吗？
单击 此处 可查阅答案
§ 2.齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构第四章 线性方程组定义 1
定理 3
线性方程组 AX = 0 的解空间的一组基称为 AX = 0 的 基础解系,
设 AX = 0 的系数阵 A 的秩 r ( A ) = r < n,则 AX = 0 的解空间是 n?r
维的 ( AX = 0 的基础解系含 n?r 个解向量 ).
证 因为 r(A) = r < n,
所以 A 至少有一个 r 阶子式不为零,而所有 r +1 阶子式全为零,
不妨设 A 的左上角的一个 r 阶子式不为零,此时用初等行变换将 A 化为阶梯形形如,,
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
由此得 AX = 0 的同解方程组如下：
c11x1 + c12x2 +…+ c1r xr + c1,r+1 xr+1 +…+ c1nxn = 0,
c22x2 +…+ c2r xr + c2,r+1 xr+1 +…+ c2nxn = 0,
crr xr + cr,r+1 xr+1 +…+ crnxn = 0,
………………
上一页第四章 线性方程组逐步回代可得方程组的一般解为
x1 = d11xr+1 + d12xr+2 +…+ d1,n?rxn,
x2 = d21xr+1 + d22xr+2 +…+ d2,n?rxn,(6)
………………
xr = dr1xr+1 + dr2xr+2 +…+ dr,n?rxn,
其中 xr+1,…,xn 为任意实数,
将 xr+1,xr+2,…,xn 取下列 n? r 组值
,
0
0
1
2
1
n
r
r
x
x
x
,
0
0
1
0
,
1
0
0
…,
则可得 n? r 个解向量：
X1 = [d11,…,dr1,1,0,…,0] T
X2 = [d12,…,dr2,0,1,…,0] T
…………
Xn?r= [d1,n?r,…,dr,n?r,0,…,1] T
易知 X1,X2,…,Xn?r 线性无关,
下证 AX = 0 的每一解均可由 X1,X2,…,Xn?r 线性表示,
上一页第四章 线性方程组将一般解中的自由未知量 xr+1,xr+2,…,xn 任取一组数,k1,k2,…,kn?r,得相应解为
x1 = k1d11 + k2d12 +…+ kn?rd1,n?r
x2 = k1d21 + k2d22 +…+ kn?rd2,n?r
………………
xr = k1dr1 + k2dr2 +… + kn?rdr,n?r
xr+1 = k1
xr+2 = k2
xn = kn?r
………………
写成向量形式：
X = [x1,…,xn]T = k1X1 + k2X2 +…+ kn?rXn?r
所以 X1,X2,…,Xn?r 是 AX = 0 的解空间的一组基，从而 AX = 0 的解空间是 n? r 维的,
注意,上述证明过程提供了求基础解系的方法,
对于 n 元 齐次线性方程组 AX = 0
(1) 当 r(A) = n 时，方程组只有零解；
(2) 当 r(A) = r < n 时，方程组有穷多组解，且基础解系含 n?r 个解向量,
若?1,?2,…,?n?r是 AX = 0 的基础解系，则 AX = 0 的通解为
X = c1?1 + c2?2 + …+ cn?r?n?r
其中 c1,c2,…,cn?r 为任意实数,
上一页第四章 线性方程组例 2
解求下列线性方程组的基础解系：
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0,
x1 + x2– 2x3 + 3x4 = 0,
3x1 – x2+ 8x3 + x4 = 0,
x1+ 3x2 – 9x3 + 7x4= 0,
7931
1813
3211
1511
A?
0000
0000
4720
1511
81440
4720
4720
1511
0000
0000
22710
1511
.
0000
0000
22710
12301
r(A) = 2 < 4,原方程组有无穷多组解,x3,x4 为自由未知量，其一般解为：
431 23 xxx
432 227 xxx
x3,x4任取。
取 x3 = 1,x4= 0,得,231x,272?x
取 x3 = 0,x4= 1,得,11x,22x
所以得基础解系,)0,1,27,23( T1,)1,0,2,1( T2
4
3
2
1
x
x
x
x
X
1
0
2
1
0
1
27
23
21 kk
.)1,0,2,1()0,1,27,23( T2T1 为基础解系，故,
将一般解写成向量形式：
2
1
21
21
2
2
7
2
3
k
k
kk
kk
上一页一、非齐次线性方程组 AX=b有解的条件二,非齐次线性方程组 AX=b的解的结构第四章 线性方程组一、非齐次线性方程组 AX=b 有解的条件线性方程组 AX = b有解,则称方程组 AX = b 相容,
§ 3.非齐次线性方程组有解的条件及解的结构定理 1
线性方程组 AX = b 有解? r(A) = r( A )
证记 },,,2,1,|{ 2211 niRM inn
它是 Rm 的子空间，称之为矩阵 A 的 列空间,所以
AX = b 有解
b 属于 A的列空间
r(A) = r ( A )
第四章 线性方程组二、非齐次线性方程组 AX=b 的解的结构定理 2
非齐次线性方程组 AX = b 的通解为 AX = b 的一个特解与相应齐次线性方程组 AX = 0 的通解之和,
证 设? 是 AX = b 的一个解,r(A) = r,
A? = b,A? I = 0,I =1,2,…,n?r,
从而对于任意常数 c1,c2,…,cn?r 有
A(? + c1?1 +…+ cn?r?n?r) = A? + c1A?1 +…+ cn?r A?n? r= b,
1,?2,…,?n?r 是 AX = 0 的一个基础解系，
则有即 X =? + c1?1 +…+ cn?r?n?r是 AX = b 的解,
又设?1 (?1) 为 AX = b 的任一解,即 A?1 = b,则 A(?1) = A?1?A? = b?b = 0,
即?1是 AX = 0 的解,
1 = l1?1 + l2?2 + …+ ln?r?n?r,
即?1=? + l1?1 + l2?2+ …+ ln?r?n?r,
这就证明了 AX = b 的任意解可表示成 AX = b 的一个特解与 AX = 0 的基础解系的解向量的线性组合之和,
所以，存在不全为零的常数 l1,l2,…,ln?r,使
§ 3.非齐次线性方程组有解的条件及解的结构第四章 线性方程组
X =?+ l1?1 + l2?2+ …+ ln?r?n?r
AX = b 的通解结构式：
其中? 为 AX = b 的一个特解,r(A) = r(A) = r,l1,l2,…,ln?r 为任意常数,?1,?2,…,
n?r为 AX = 0 的一个基础解系,
由定理 2知，当 AX = 0 只有零解时,AX = b 的解是唯一的，因此有：
(1) 当 r(A) = r(A) = n 时,AX = b 有唯一解；
(2) 当 r(A) = r(A) < n 时,AX = b 有无穷多组解；
(3) 当 r(A)? r(A) 时,AX = b 无解,
上一页第四章 线性方程组
][?AA?
211
111
111
a
a
a
.
2)2)(1(00
0110
111
aaa
aa
a
所以 a =?2.
要 AX =? 有解但不唯 一，必须 r(A) = r(A) < 3,
解 法 一因 AX =? 有解且不唯一，所以
11
11
11
||
a
a
a
A?,0)2()1( 2 aa
当 a =?2 时,r(A) = r(A) < 3,方程有解且不唯 一,
因 r(A)?r(A),故 方程无解,当 a = 1 时,r(A) =1,r(A) = 2,
解 法 二例 1
设矩阵,
1 1
1 1
1 1
a
a
a
A,
2
1
1
－
已知线性方程组 AX =? 有解但不唯一，试求 a 的值,
上一页例 2
第四章 线性方程组下列方程组是否有解？若有则求其通解,
2x + 3y + z = 1,
x + y – 2 z = 2,
4x+ 7y + 7z = –1,
x + 3y + 8z = – 4,
解
4831
1774
2211
1132
A
61020
91530
3510
2211
4831
1774
1132
2211
0000
0000
3510
2211
.
0000
0000
3510
5701
r(A) = r(A) = 2 < 3,原方程组有无穷多组解,
x1 = 5 + 7x3,
x2 = –3 – 5x3,
x3 任取,
3
2
1
x
x
x
X
k
k
k
53
75
.
0
3
5
1
5
7
k
取 x3 = k,将一般解写成向量形式原方程组一般解为上一页第四章 线性方程组定理 3
设 X1,X2 是 AX = b (b? 0) 的解,则 X1?X2 是 AX = 0 的解,
例 4
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知?1,?2,?3 是它的三个解向量,且?1 = (2,3,4,5)T,?2 +?3 = (1,2,3,4)T,求该方程组的通解,
设四元非齐次方程组为 AX = b,
则 A?1= b,A?2= b,A?3= b.
又
3232 21212 AAA bbb 2121
解则
2 321
是 AX = 0 的解,
3)(?Ar?
0AX 的基础解系只含一个解向量，
故 AX = b 的通解为 )
2( 3211 kX ).3,2
5,2,23()5,4,3,2( T k
例 5 例 6 单击 此处 可查阅本章小节上一页第四章 线性方程组由向量空间理论我们知道：
(1) 向量空间的基是一组线性无关的向量，且向量空间中的任一向量可由基线性表示；
(2) 向量空间的基是不唯一的,
所以,AX = 0 的解空间的基是不唯一的；只要找到了解空间的一组基,
便找到了方程的所有解 。
第四章 线性方程组例 3 判断? 为何值时，方程组
x1 + x2 + x3 = 1,
x1 +?x2 + x3 =?,
x1+ x2+?x3 =?2
有唯一解，无穷多解，无解,
解
211
11
111
A
32
2
2
1110
110
11
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
111
11
11 2
i) 当1且–2 时,r(A) = r(A) =3,此时方程组有唯一解；
ii) 当? = –2 时,r(A) = 2,r(A) = 3,此时方程组无解；
iii) 当? = 1 时,r(A) = r(A) = 1,此时方程组有无穷多组解，且
,
0000
0000
1111
A
取 x2,x3 为自由未知量，其通解为,x1 = 1–x2 – x3,x2,x3?R,
3
2
1
x
x
x
X
2
1
211
k
k
kk
0
0
1
1
0
1
0
1
1
21 kk
得同解方程 x1 + x2 + x3 = 1,
k1,k2?R,
上一页第四章 线性方程组证明思路：
AX=b有解
A 的列向量组的秩等于
A 的列向量组的秩
b 可表示成 A 的列向量组的线性组合
r( A )=r ( A )
证 将 AX = b 表示成向量形式
x1?1 + x2?2 + …+ xn?n = b,
因此,AX = b 有解等价于 b 可表示成?1,?2,…,?n 的线性组合,
一方面,如果 AX = b 有解,即 b 可表示成?1,?2,…,?n 的线性组合,则 b,?1,
2,…,?n 线性相关,故向量组?1,?2,…,?n 的极大无关组也是 b,?1,?2,…,?n
的极大无关组,r(A) = r( A ).所以两向量组的秩相等，从而
rjjj,,,21?
也是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组,所以 b 可由另一方面,若 r(A) = r(A) = r,
所以线性表示，从
rjjj,,,21?
则?1,?2,…,?n 的一个极大无关组
AX = b有解? r(A) = r( A )而 b 可由?1,?2,…,?n 线性表示,
第四章 线性方程组例 5 设 A 是 n 阶矩阵，证明：非齐次线性方程组 AX = b 对任何 b 都有解的充要条件是 | A |? 0.
若 |A|?0,则 A 可逆,
所以对任何 b,由 AX = b
可得 X = A?1b,
证
若方程组 AX = b 对任何 b 都有解，
则取 b = (1,0,…,0) T,(0,1,0,…,0) T,…,(0,…,0,1) T
可得相应解 X1,X2,…,Xn,记 B = (X1,…,Xn),
由于 A (X1,X2,…,Xn) = B = E,
故 A 可逆，从而 | A |? 0,
例 6
第四章 线性方程组
1=?1+ t?2,? 2=?2 + t?3,
3 =?3 + t?4,?4 =?4 + t?1,
讨论实数 t 满足什么关系时,? 1,? 2,? 3,?4 也是 AX = 0 的一个基础解系,
已知?1,?2,?3,?4是线性方程组 AX=0 的一个基础解系，若由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解,故? 1,? 2,? 3,?4
是 AX = 0 的解,
因此，当且仅当? 1,? 2,? 3,?4 线性无关,? 1,? 2,? 3,?4 是基础解系,
解
(? 1,? 2,? 3,?4 ) = (?1,?2,?3,?4)
100
010
001
001
t
t
t
t
(?1,?2,?3,?4)C,?=由于记 B = (? 1,? 2,? 3,?4 ),A = (?1,?2,?3,?4),
则有 | B | = | A | ·| C |,即 | A |? 0.
所以? 1,? 2,? 3,?4 线性无关? | B |? 0? | C |? 0,
又?1,?2,?3,?4 线性无关,
即,01
100
010
001
001
|| 4 t
t
t
t
t
C
故 t 1 时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的基础解系,
第四章 线性方程组显然? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的解,
设 k1? 1 + k2? 2 + k3? 3 + k4?4 = 0,
则有 k1(?1 + t?2) + k2(?2 + t?3) + k3(?3 + t?4) + k4(?4 + t?1) = 0,
即 (k1+ t k4)?1 + (k2+ t k1)?2 + (k3+ t k2)?3 + (k4+ t k3)?4 = 0
另 解由于?1,?2,?3,?4 线性无关，则有
k1+ t k4 = 0
t k1 + k2 = 0
t k2+ k3 = 0
t k3+ k4 = 0
要? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，则须上述关于 k1,k2,k3,k4的齐次线性相关组只有零解故系数行列式
.01
100
010
001
001
|| 4 t
t
t
t
t
C
所以 t1 时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX = 0 的基础解系,
第四章 线性方程组
AX= 0 有非零解? r(A) < n ；
AX =b
有唯一解? r(A) = r(A) = n ；
有无穷多组解? r(A) = r(A) < n ；
无解? r(A)? r(A).
本章小结
X =?+ l1?1+l2?2+ …+ ln?r?n?r
AX = b 的通解结构式：
设 r(A) = r(A) = r,?1,?2,…,?n?r是 AX = 0 的一个基础解系,? 是 AX = b
的一个特解,则
AX = 0 的通解,
X = l1?1+l2?2+ …+ ln?r?n?r
