第一节 二次型及其矩阵表示第二节 正交变换第三节 用正交变换化二次型为标准形第四节 用配方法化二次型为标准形第五节 正定二次型一、三元二次型及其表示二,n元二次型及其矩阵表示三、二次型的标准形定义 1
第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式
f (x,y,z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
称为 实二次型,其中 aij 为实常数,
一、三元二次型及其表示
§ 1、二次型及其矩阵表示取 a21 = a12,a31 = a13,a32 = a23,
从而,2a12xy = a12xy + a21yx,2a13xz = a13xz + a31zx,2a23yz = a23yz + a32zy,
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
zayaxa
zayaxa
zayaa
zyx
333231
232221
131211
),,(
z
y
x
aa
aa
aaa
zyx ),,(
333231
232221
131211
= XT AX,
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵,
三元实二 次 型 f 三阶实对称矩阵 A一一对应
A
X
例 2
第七章 二次型与二次曲面例 1
..3243 222 fAyzxyzyxf 并用矩阵形式表示的矩阵写出
A
.
4
2
30
2
331
011
),,(
z
y
x
zyxf
1
3
4
1 0
23
23
1
0
解上一页
.22232 222 xzxyzyx
z
y
x
zyxf
302
021
211
),,(
例 2
若二次型 f 的矩阵为
302
021
211
A
试写出 f,
解
,
定义 2
第七章 二次型与二次曲面
§ 1、二次型及其矩阵表示二,n 元二次型及其矩阵表示称 n 元实二次齐次式
nnn xxaxxaxaxxxf 112112211121 22),,,(
nn xxaxa 222222 2
2nnnxa?为 n 元 实二次型,
记 aij = aji,则
n
i
n
j jiijn
xxaxxxf
1 121
),,,(? )(
1,
n
ji jiij
xxa或记 X = ( x1,x2,…,xn)T,A =( aij )n?n,则 f ( x1,x2,…,xn) = X TAX,
其中 A 称为二次型的矩阵,A 的秩称为二次型的秩,
① 由于 aij = aji,所以 A T= A,
② A中 aii 是 xi2 的系数,aij 是交叉项 xixj 系数的一半,
注,
n 元实二次型 f n 阶实对称矩阵 A一一对应定义 3
第七章 二次型与二次曲面
§ 1、二次型及其矩阵表示三、二次型的标准形称只含平方项的二次型?
n
i ii
xf
1
2? 为 标准二次型,
n 元标准二次型 f n 阶对角 矩 阵一一对应思考,二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX,作满秩变换 X = CY,
则 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y,
而 (C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型,且二次型的矩阵为 C TAC,
满秩变换 X = CY
f = X TAX F = Y TBY? B = C TAC
定义 4
定义 5
第七章 二次型与二次曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B,若存在可逆矩阵 P 使
P TAP = B
则 称 A 合同于 B,记作 A B?
如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型
,?
n
i ii
y
1
2
n
i ii
y
1
2?则称 的一个 标准形,为 f = X
TAX
因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的,
上一页一、正交变换的概念二、正交矩阵定义 1
§ 2,正交变换一、正交变换的概念设? 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的 X,Y?Rn,有
||? (X) (Y ) || = || X?Y ||,(* )
则称? 为 Rn 上的 正交变换,
(*)可写成,||? (X?Y ) || = || X?Y ||,
第七章 二次型与二次曲面定理 1
设? 是欧氏空间 Rn 上的线性变换,则下列四个条件等价 (互为充分必要条件 ),
(1)? 为正交变换,
(2)? 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基,
(3) ||? (?)|| = ||?||, Rn ( 保持向量长度不变 ),
(4) (? (X ),? (Y )) = ( X,Y ) ( 保内积不变 ),
定义 2
§ 2,正交变换二、正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为 正交矩阵,
第七章 二次型与二次曲面定理 2
A 是正交矩阵? ATA=E ( 或 AAT = E ),
正交矩阵有如下性质：
定理 3
定理 4
设 A 是正交矩阵,则
(1) | A | =?1,
(2) A?1 =AT,
设 A 是正交矩阵?A 的列 (行 )向量组为相互正交的单位向量组,
第七章 二次型与二次曲面设 A 是正交矩阵，
nnijaA )( ),,,,( 21 n
T
n
T
T
TA
2
1
则
=证
),,,( 212
1
n
T
n
T
T
T AA
,
100
010
001
=
11T
22T
nTn
nT2
nT1
12T
1Tn 2Tn
21T
所以,1?iTi i =1,2,…,n.
,0?jTi i? j,
n
k kjki
aa
1
1,i =j,
0,i? j,
n
k jkik
aa
1
1,i =j,
0,i? j,
同理由 AAT = E,可得例如：
c o ss in s inc o sA
是正交矩阵,
上一页一、实对称方阵的对角化二,用正交变换化二次型为标准形定理 1
引理 2
§ 3,用正交变换化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面一、实对称方阵的对角化若? 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于? 的线性无关特征向量的最大个数均为 k,
引理 1
实对称方阵的特征值都是实数,
实对称方阵相似于一 个对角阵吗？
回答是肯定的！！！ 单击 此处 可查阅进一步内容对于任一个 n 阶实对称方阵 A,必存在一个正交方阵 P 使 P?1AP 为对角形,且 P?1AP 的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征值 ( 重数计算在内 ),P 的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交特征向量,证为了便于求出正交阵 P，特给出如下引理引理 3
设 A 是实对称方阵，则属于 A 的不同特征值的特征向量是正交的,
第七章 二次型与二次曲面例 1
求正交矩阵 Q 使 Q?1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵,
.
320
230
002
A其中解
320
230
002
||
λ
λ
λ
λ AE = ( 2)(?2? 6? + 5 ) = 0,
A 的特征值为?1 = 1,?2 = 2,?3 = 5.
1 = 1 时,由 (E?A)X = 0,即,0
220
220
001
3
2
1
x
x
x
解得对应的特征向量为?1 = (0,1,?1)T;
2 = 2 时,由 (2E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?2 = (1,0,0)T ;
3 = 5 时,由 (5E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?3 = (0,1,1)T.
上一页定理 1‘
将?1,?2,?3 单位化，得
,)21,21,0(01 T,)0,0,1(02 T,)21,21,0(03 T
故所求的正交变换矩阵为
21? 21
Q =
0
2121
1 0
0
0
对应于特征值
1
对应于特征值
2
对应于特征值
5
且,
500
020
001
Q?1AQ =
任意一个 n 元 实二次型
AXXxxxf Tn ),,,( 21,
1 1
n
i
n
j jiij
xxa
都存在正交变换 X = QY 使得其中?1,?2,…,?n 就是 A 的全部特征值,Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值?1,?2,…,?n 的标准正交特征向量,
,2222211 nnT yyyAXX
第七章 二次型与二次曲面上一页
§ 3,用正交变换化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二、用正交变换化二次型为标准形
1,写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征值?1,?2,…,?n ( 重数计算在内 ),
2,求出各特征值的特征向量；若?i 是 k 重根时,找出?I 的 k 个线性无关的特征向量,并用施特正交化方法将它们正交化,
步骤：
3,将所得的 n 个正交向量再单位化,得 n 个两两正交的单位向量 P1,P2,…,
Pn,记 P = [P1,P2,…,Pn],
则 X = PY 为所求正交变换,f 的标准形为
.2222211 nn yyyf
第七章 二次型与二次曲面例 2
求一个正交变换化二次型 323121232221 84444 xxxxxxxxxf 成标准形,
二次型的矩阵
,
442
442
221
A
解
A 的特征多项式为
442
442
221
|| EA ).9(2
A 的特征值是?1 =?2 = 0,?3 = 9.
对于?1=?2 = 0,
442
442
221
EA?
000
000
221
从而可取特征向量 p 1= (0,1,1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4,1,?1)T.
上一页第七章 二次型与二次曲面对于?3 = 9,
542
452
228
EA?,
000
990
542
取特征向量 p3 = (1,?2,2)T.
将上述相互正交的特征向量单位化，得
,)21,21,0(1 T
,)23 1,23 1,23 4(2 T
,)32,32,31(3 T
属于特征值 0
属于特征值 9
则存在正交变换
3
2
1
3
2
1
3
2
23
1
2
1
3
2
23
1
2
1
3
1
23
4
0
y
y
y
x
x
x
使二次型化为标准形,9 23yf?
例 3 例 4
上一页
§ 4,用配方法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面定理 1
每个二次型都可以用满秩线性变换化为 标准形,
定理 2
每个实对称矩阵 A,都存在一个可逆矩阵 P,使 P TAP 为 对角矩阵,
例 1
用配方法化二次型,62262 222 为标准形yzxzxyzyxf
因 f 中含有 x 的平方项,可将含 x 的项归到一起,配成一个完全平方的形式,
f = (x2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz
= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2– y2) + (6z2 – z2) + (6yz – 2yz)
= ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz
= ( x + y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2
= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2,
令
,2
zz
zyy
zyxx
.222 zyxf
解第七章 二次型与二次曲面例 2
解用配方法化 f = 2xy + 2xz – 6yz 为标准形,
令?
zz
yxy
yxx
zyzxyxf 8422 22 代入得
2222 282)242( zzyyzzxx
2222 6)44(2)(2 zzzyyzx
,6)2(2)(2 22 zzyzx
再令?
zz
zyy
zxx
2
.622 222 zyxf 从而上一页第七章 二次型与二次曲面通过配方法将二次型 f 化成标准形后,对应矩阵的秩不变,即二次型 f 的秩就等于它的标准形的秩,也就等于标准形中的项数,
利用配方法能保持二次型的矩阵的秩不变,但配方法不能保持 R3 中向量的长度,从而不能保持几何图形不变,
,2122 yx
也就是变成了 x'y'平面上一个半径为,
22 的圆比如,xy 面上圆周 x2 + y2 =1,在变换 x = x’ + y’,y = x’ – y’ 下,变成 (x' +y' )2 +
(x'– y' )2 =1,即上一页一、正定二次型和正定矩阵二、正定二次型的判别三、二次型的其它分类定义 1
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面一、正定二次型和正定矩阵定理 1
设 f 是一个秩为 r 的实二次型，则 f 经过一适当的满秩线性变换总可以变成如下形式的 规范形
.22 122221 rpp zzzzzf
规范形 是唯一的 ( 其中 p 称为 正惯性指数,r?p 称为 负惯性指数 ).
设秩为 r 的 n 元二次型 f = X TAX 经满秩线性变换化为规范形
22 122221 rpp zzzzzf
则
(2) 若 p = r < n,则称 f 为 半正定二次型,A 为 半正定矩阵,
(1) 若 p = r = n,则称 f 为 正定二次型,A 为 正定矩阵,
单击 此处 可查阅进一步内容定理 2
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面若 A 是实对称矩阵，则下列命题是等价的：
(1) A 是正定矩阵 ;
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0 ;
二、正定二次型的判别因 A 是正定阵,存在可逆阵 P,使
PTAP = E
X? Rn,X? 0,而 P 可逆，
即 A = (PT)?1P?1,
故 X TAX = X T ( P T ) P?1 X = X T ( P?1)T P?1 X = ( P?1 X )T ( P?1 X ) > 0,
故 PX? 0,同理 P?1X? 0,
(1) A 是正定矩阵 ;
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0,
证
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章 二次型与二次曲面若 A有一个非正的特征值，不妨设?i ≤ 0,存在正交阵 P,使得
.2
1
n
T APP
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0 ;
(3) A 的所有特征值都大于零,
令 X = P?1?,其中? = ( 0,0,…,0,1,0,…,0 ),
X TAX = ( P?1? ) T A P?1?则
的第 i 个分量是 1，其余分量全为 0,
=?i ≤ 0.
=? T (P?1) T AP?1?
=? T 矛盾
=? T P AP T?
证上一页第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值都大于 0,则 A 所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是 n,故 A 是正定矩阵,
(1) A 是正定矩阵
(3) A 的所有特征值都大于零,
证定理 3
二次型 f = XTAX 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式 Dk > 0,
k =1,2,…,n,
其中,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
AT =A,
,11111 aaD,
2221
1211
2 aa
aaD?,AD
n?…,
上一页第七章 二次型与二次曲面例 1
f 的矩阵
..232 222 的正定性判断设 fxyzyxf
,
300
021
011
A
由于 D1 = 1 > 0,
,011221 112 D
|D3 | = | A | = 3D2 = 3 > 0.
故 f 正定,
解上一页定义 1
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面
22 122221 rpp zzzzzf
(1) 若 p = 0,r < n 时,则称 f 为 半负定二次型,A 为 半负定矩阵,
(2) 若 p = 0,r = n 时,则称 f 为 负定二次型,A 为 负定矩阵,
(3) 若 0 < p < r ≤ n 时,则称 f 为 不定二次型,A 为 不定矩阵,
三、二次型的其它分类：
第七章 二次型与二次曲面例 2 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩 (A) = n,A
ij 是 A = (aij)n?n 中元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n),二次型
.||),,,(
1 121
n
i ji
n
j
ijn xxAAxxxf
(1) 记 X = (x1,x2,…,xn)T,把 f (x1,x2,…,xn) 写成矩阵形式，并证明二次型 f ( X )
的矩阵为 A?1;
(2) 二次型 g( X ) = X T AX 与 f (X) 的规范形是否相同？说明理由,
(1)二次型 f (x1,x2,…,xn)的矩阵形式为
nnnnn
n
n
n
x
x
x
AAA
AAA
AAA
AxxxXf?
2
1
21
22212
12111
21 ||
1),,,()(
A?1
解因秩 (A) = n,故 A 可逆，且,
|| 1 *1 AAA
从而,)()( 111 AAA TT
故 A?1 也是实对称矩阵，因此二次型 f ( X ) 的矩阵为 A?1.
(2) 因为,)()( 1111 AEAAAA TT
所以 A 与 A?1 合同，于是 g(X) = X TAX 与 f (X) 有相同的规范形,
上一页第七章 二次型与二次曲面
n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特征值 (重数计算在内 ),
n 阶实对称方阵必有 n 个线性无关的特征向量,
① 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,
实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵 ).
矩阵 A 的可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关特征向量,
② A 的对应于 k 重特征值? 的线性无关特征向量最大个数为 k,
A相似于对角阵，即存在在可逆矩阵 P,使得
,1 APP
若 P 又是正交阵,则
.APP T
第七章 二次型与二次曲面
n 阶实对称方阵 A,
A 有 n 个实特征值?i ( 重数在内 ),
A 有 n 个线性无关的特征向量 Xi 分别属于?I,
将 Xi 单位化正交化后得 Pi,Pi 仍是属于?I 的特征向量,
记 P = [P1,P2,…,Pn],P 是一个正交矩阵,
Api =?iPi ( i = 1,2,…,n ),AP = P?,
证明思路：
例 3
解第七章 二次型与二次曲面已知二次型 )0(2332),,( 32232221321 axaxxxxxxxf
通过正交变换化成标准形 232221 52 yyyf
求参数 a 及 有所用的正交变换矩阵,
二次型 f 的矩阵,
3 0
3 0
0 0 2
a
a A
特征方程为
3 0
3 0
0 0 2
| |
a
a A I = (2)(?2?6? + 9?a2) = 0,
A 的特征值为?1 = 1,?2 = 2,?3 = 5,
将? = 1 ( 或? = 5 ) 代入特征方程，得
A2?4 = 0,a =? 2.
因 a > 0,故取 a = 2,
这时,.
320
230
002
A
第七章 二次型与二次曲面
1 = 1 时,由 (I?A)X = 0,即
,0
220
220
001
3
2
1
x
x
x
解得对应的特征向量为?1 = (0,1,?1)T,
2 = 2 时,由 (2I?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?2 = (1,0,0)T,
3 = 5时,由 (5I?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?3 = (0,1,1)T.
将?1,?2,?3 单位化，得
,)21,21,0(01 T,)0,0,1(02 T,)21,21,0(03 T
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
T =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
上一页第七章 二次型与二次曲面例 4
解已知二次型
323121232221321 66255),,( xxxxxxcxxxxxxf 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值,
(2) 指出方程 f (x1,x2,x3) = 1 表示何种二次曲面,
(1)此二次型对应矩阵为,
33
351
315
c
A
,
300
120
351
33
351
315
cc
A
因 r(A) = 2,解得 c = 3.
这时，
333
351
315
||
AI =? (?4)(9),
故所求特征值为? = 0,? = 4,? = 9.
(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为
,94 2322 yyf
那么 f (x1,x2,x3) = 1 表示椭圆柱面,
第七章 二次型与二次曲面
XTAX 为正定二次型?
实对称方阵 A
为正定矩阵
A 合同于单位阵?
下面三个命题等价：
第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式
f (x,y,z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
称为 实二次型,其中 aij 为实常数,
一、三元二次型及其表示
§ 1、二次型及其矩阵表示取 a21 = a12,a31 = a13,a32 = a23,
从而,2a12xy = a12xy + a21yx,2a13xz = a13xz + a31zx,2a23yz = a23yz + a32zy,
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
zayaxa
zayaxa
zayaa
zyx
333231
232221
131211
),,(
z
y
x
aa
aa
aaa
zyx ),,(
333231
232221
131211
= XT AX,
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵,
三元实二 次 型 f 三阶实对称矩阵 A一一对应
A
X
例 2
第七章 二次型与二次曲面例 1
..3243 222 fAyzxyzyxf 并用矩阵形式表示的矩阵写出
A
.
4
2
30
2
331
011
),,(
z
y
x
zyxf
1
3
4
1 0
23
23
1
0
解上一页
.22232 222 xzxyzyx
z
y
x
zyxf
302
021
211
),,(
例 2
若二次型 f 的矩阵为
302
021
211
A
试写出 f,
解
,
定义 2
第七章 二次型与二次曲面
§ 1、二次型及其矩阵表示二,n 元二次型及其矩阵表示称 n 元实二次齐次式
nnn xxaxxaxaxxxf 112112211121 22),,,(
nn xxaxa 222222 2
2nnnxa?为 n 元 实二次型,
记 aij = aji,则
n
i
n
j jiijn
xxaxxxf
1 121
),,,(? )(
1,
n
ji jiij
xxa或记 X = ( x1,x2,…,xn)T,A =( aij )n?n,则 f ( x1,x2,…,xn) = X TAX,
其中 A 称为二次型的矩阵,A 的秩称为二次型的秩,
① 由于 aij = aji,所以 A T= A,
② A中 aii 是 xi2 的系数,aij 是交叉项 xixj 系数的一半,
注,
n 元实二次型 f n 阶实对称矩阵 A一一对应定义 3
第七章 二次型与二次曲面
§ 1、二次型及其矩阵表示三、二次型的标准形称只含平方项的二次型?
n
i ii
xf
1
2? 为 标准二次型,
n 元标准二次型 f n 阶对角 矩 阵一一对应思考,二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX,作满秩变换 X = CY,
则 f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y,
而 (C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型,且二次型的矩阵为 C TAC,
满秩变换 X = CY
f = X TAX F = Y TBY? B = C TAC
定义 4
定义 5
第七章 二次型与二次曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B,若存在可逆矩阵 P 使
P TAP = B
则 称 A 合同于 B,记作 A B?
如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型
,?
n
i ii
y
1
2
n
i ii
y
1
2?则称 的一个 标准形,为 f = X
TAX
因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的,
上一页一、正交变换的概念二、正交矩阵定义 1
§ 2,正交变换一、正交变换的概念设? 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的 X,Y?Rn,有
||? (X) (Y ) || = || X?Y ||,(* )
则称? 为 Rn 上的 正交变换,
(*)可写成,||? (X?Y ) || = || X?Y ||,
第七章 二次型与二次曲面定理 1
设? 是欧氏空间 Rn 上的线性变换,则下列四个条件等价 (互为充分必要条件 ),
(1)? 为正交变换,
(2)? 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基,
(3) ||? (?)|| = ||?||, Rn ( 保持向量长度不变 ),
(4) (? (X ),? (Y )) = ( X,Y ) ( 保内积不变 ),
定义 2
§ 2,正交变换二、正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为 正交矩阵,
第七章 二次型与二次曲面定理 2
A 是正交矩阵? ATA=E ( 或 AAT = E ),
正交矩阵有如下性质：
定理 3
定理 4
设 A 是正交矩阵,则
(1) | A | =?1,
(2) A?1 =AT,
设 A 是正交矩阵?A 的列 (行 )向量组为相互正交的单位向量组,
第七章 二次型与二次曲面设 A 是正交矩阵，
nnijaA )( ),,,,( 21 n
T
n
T
T
TA
2
1
则
=证
),,,( 212
1
n
T
n
T
T
T AA
,
100
010
001
=
11T
22T
nTn
nT2
nT1
12T
1Tn 2Tn
21T
所以,1?iTi i =1,2,…,n.
,0?jTi i? j,
n
k kjki
aa
1
1,i =j,
0,i? j,
n
k jkik
aa
1
1,i =j,
0,i? j,
同理由 AAT = E,可得例如：
c o ss in s inc o sA
是正交矩阵,
上一页一、实对称方阵的对角化二,用正交变换化二次型为标准形定理 1
引理 2
§ 3,用正交变换化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面一、实对称方阵的对角化若? 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于? 的线性无关特征向量的最大个数均为 k,
引理 1
实对称方阵的特征值都是实数,
实对称方阵相似于一 个对角阵吗？
回答是肯定的！！！ 单击 此处 可查阅进一步内容对于任一个 n 阶实对称方阵 A,必存在一个正交方阵 P 使 P?1AP 为对角形,且 P?1AP 的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征值 ( 重数计算在内 ),P 的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交特征向量,证为了便于求出正交阵 P，特给出如下引理引理 3
设 A 是实对称方阵，则属于 A 的不同特征值的特征向量是正交的,
第七章 二次型与二次曲面例 1
求正交矩阵 Q 使 Q?1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵,
.
320
230
002
A其中解
320
230
002
||
λ
λ
λ
λ AE = ( 2)(?2? 6? + 5 ) = 0,
A 的特征值为?1 = 1,?2 = 2,?3 = 5.
1 = 1 时,由 (E?A)X = 0,即,0
220
220
001
3
2
1
x
x
x
解得对应的特征向量为?1 = (0,1,?1)T;
2 = 2 时,由 (2E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?2 = (1,0,0)T ;
3 = 5 时,由 (5E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?3 = (0,1,1)T.
上一页定理 1‘
将?1,?2,?3 单位化，得
,)21,21,0(01 T,)0,0,1(02 T,)21,21,0(03 T
故所求的正交变换矩阵为
21? 21
Q =
0
2121
1 0
0
0
对应于特征值
1
对应于特征值
2
对应于特征值
5
且,
500
020
001
Q?1AQ =
任意一个 n 元 实二次型
AXXxxxf Tn ),,,( 21,
1 1
n
i
n
j jiij
xxa
都存在正交变换 X = QY 使得其中?1,?2,…,?n 就是 A 的全部特征值,Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值?1,?2,…,?n 的标准正交特征向量,
,2222211 nnT yyyAXX
第七章 二次型与二次曲面上一页
§ 3,用正交变换化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二、用正交变换化二次型为标准形
1,写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征值?1,?2,…,?n ( 重数计算在内 ),
2,求出各特征值的特征向量；若?i 是 k 重根时,找出?I 的 k 个线性无关的特征向量,并用施特正交化方法将它们正交化,
步骤：
3,将所得的 n 个正交向量再单位化,得 n 个两两正交的单位向量 P1,P2,…,
Pn,记 P = [P1,P2,…,Pn],
则 X = PY 为所求正交变换,f 的标准形为
.2222211 nn yyyf
第七章 二次型与二次曲面例 2
求一个正交变换化二次型 323121232221 84444 xxxxxxxxxf 成标准形,
二次型的矩阵
,
442
442
221
A
解
A 的特征多项式为
442
442
221
|| EA ).9(2
A 的特征值是?1 =?2 = 0,?3 = 9.
对于?1=?2 = 0,
442
442
221
EA?
000
000
221
从而可取特征向量 p 1= (0,1,1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4,1,?1)T.
上一页第七章 二次型与二次曲面对于?3 = 9,
542
452
228
EA?,
000
990
542
取特征向量 p3 = (1,?2,2)T.
将上述相互正交的特征向量单位化，得
,)21,21,0(1 T
,)23 1,23 1,23 4(2 T
,)32,32,31(3 T
属于特征值 0
属于特征值 9
则存在正交变换
3
2
1
3
2
1
3
2
23
1
2
1
3
2
23
1
2
1
3
1
23
4
0
y
y
y
x
x
x
使二次型化为标准形,9 23yf?
例 3 例 4
上一页
§ 4,用配方法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面定理 1
每个二次型都可以用满秩线性变换化为 标准形,
定理 2
每个实对称矩阵 A,都存在一个可逆矩阵 P,使 P TAP 为 对角矩阵,
例 1
用配方法化二次型,62262 222 为标准形yzxzxyzyxf
因 f 中含有 x 的平方项,可将含 x 的项归到一起,配成一个完全平方的形式,
f = (x2 + 2xy + 2xz) + 2y2 + 6z2 + 6yz
= ( x2 + 2xy + 2xz + 2yz +y2 + z2 ) + ( 2y2– y2) + (6z2 – z2) + (6yz – 2yz)
= ( x + y + z)2 + y2 + 5z2 + 4yz
= ( x + y + z)2 + ( y2 + 4yz) + 5z2
= ( x + y + z)2 + ( y + 2z )2 + z2,
令
,2
zz
zyy
zyxx
.222 zyxf
解第七章 二次型与二次曲面例 2
解用配方法化 f = 2xy + 2xz – 6yz 为标准形,
令?
zz
yxy
yxx
zyzxyxf 8422 22 代入得
2222 282)242( zzyyzzxx
2222 6)44(2)(2 zzzyyzx
,6)2(2)(2 22 zzyzx
再令?
zz
zyy
zxx
2
.622 222 zyxf 从而上一页第七章 二次型与二次曲面通过配方法将二次型 f 化成标准形后,对应矩阵的秩不变,即二次型 f 的秩就等于它的标准形的秩,也就等于标准形中的项数,
利用配方法能保持二次型的矩阵的秩不变,但配方法不能保持 R3 中向量的长度,从而不能保持几何图形不变,
,2122 yx
也就是变成了 x'y'平面上一个半径为,
22 的圆比如,xy 面上圆周 x2 + y2 =1,在变换 x = x’ + y’,y = x’ – y’ 下,变成 (x' +y' )2 +
(x'– y' )2 =1,即上一页一、正定二次型和正定矩阵二、正定二次型的判别三、二次型的其它分类定义 1
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面一、正定二次型和正定矩阵定理 1
设 f 是一个秩为 r 的实二次型，则 f 经过一适当的满秩线性变换总可以变成如下形式的 规范形
.22 122221 rpp zzzzzf
规范形 是唯一的 ( 其中 p 称为 正惯性指数,r?p 称为 负惯性指数 ).
设秩为 r 的 n 元二次型 f = X TAX 经满秩线性变换化为规范形
22 122221 rpp zzzzzf
则
(2) 若 p = r < n,则称 f 为 半正定二次型,A 为 半正定矩阵,
(1) 若 p = r = n,则称 f 为 正定二次型,A 为 正定矩阵,
单击 此处 可查阅进一步内容定理 2
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面若 A 是实对称矩阵，则下列命题是等价的：
(1) A 是正定矩阵 ;
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0 ;
二、正定二次型的判别因 A 是正定阵,存在可逆阵 P,使
PTAP = E
X? Rn,X? 0,而 P 可逆，
即 A = (PT)?1P?1,
故 X TAX = X T ( P T ) P?1 X = X T ( P?1)T P?1 X = ( P?1 X )T ( P?1 X ) > 0,
故 PX? 0,同理 P?1X? 0,
(1) A 是正定矩阵 ;
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0,
证
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章 二次型与二次曲面若 A有一个非正的特征值，不妨设?i ≤ 0,存在正交阵 P,使得
.2
1
n
T APP
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0 ;
(3) A 的所有特征值都大于零,
令 X = P?1?,其中? = ( 0,0,…,0,1,0,…,0 ),
X TAX = ( P?1? ) T A P?1?则
的第 i 个分量是 1，其余分量全为 0,
=?i ≤ 0.
=? T (P?1) T AP?1?
=? T 矛盾
=? T P AP T?
证上一页第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值都大于 0,则 A 所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是 n,故 A 是正定矩阵,
(1) A 是正定矩阵
(3) A 的所有特征值都大于零,
证定理 3
二次型 f = XTAX 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式 Dk > 0,
k =1,2,…,n,
其中,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
AT =A,
,11111 aaD,
2221
1211
2 aa
aaD?,AD
n?…,
上一页第七章 二次型与二次曲面例 1
f 的矩阵
..232 222 的正定性判断设 fxyzyxf
,
300
021
011
A
由于 D1 = 1 > 0,
,011221 112 D
|D3 | = | A | = 3D2 = 3 > 0.
故 f 正定,
解上一页定义 1
§ 5 正定二次型第七章 二次型与二次曲面
22 122221 rpp zzzzzf
(1) 若 p = 0,r < n 时,则称 f 为 半负定二次型,A 为 半负定矩阵,
(2) 若 p = 0,r = n 时,则称 f 为 负定二次型,A 为 负定矩阵,
(3) 若 0 < p < r ≤ n 时,则称 f 为 不定二次型,A 为 不定矩阵,
三、二次型的其它分类：
第七章 二次型与二次曲面例 2 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩 (A) = n,A
ij 是 A = (aij)n?n 中元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n),二次型
.||),,,(
1 121
n
i ji
n
j
ijn xxAAxxxf
(1) 记 X = (x1,x2,…,xn)T,把 f (x1,x2,…,xn) 写成矩阵形式，并证明二次型 f ( X )
的矩阵为 A?1;
(2) 二次型 g( X ) = X T AX 与 f (X) 的规范形是否相同？说明理由,
(1)二次型 f (x1,x2,…,xn)的矩阵形式为
nnnnn
n
n
n
x
x
x
AAA
AAA
AAA
AxxxXf?
2
1
21
22212
12111
21 ||
1),,,()(
A?1
解因秩 (A) = n,故 A 可逆，且,
|| 1 *1 AAA
从而,)()( 111 AAA TT
故 A?1 也是实对称矩阵，因此二次型 f ( X ) 的矩阵为 A?1.
(2) 因为,)()( 1111 AEAAAA TT
所以 A 与 A?1 合同，于是 g(X) = X TAX 与 f (X) 有相同的规范形,
上一页第七章 二次型与二次曲面
n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特征值 (重数计算在内 ),
n 阶实对称方阵必有 n 个线性无关的特征向量,
① 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,
实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵 ).
矩阵 A 的可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关特征向量,
② A 的对应于 k 重特征值? 的线性无关特征向量最大个数为 k,
A相似于对角阵，即存在在可逆矩阵 P,使得
,1 APP
若 P 又是正交阵,则
.APP T
第七章 二次型与二次曲面
n 阶实对称方阵 A,
A 有 n 个实特征值?i ( 重数在内 ),
A 有 n 个线性无关的特征向量 Xi 分别属于?I,
将 Xi 单位化正交化后得 Pi,Pi 仍是属于?I 的特征向量,
记 P = [P1,P2,…,Pn],P 是一个正交矩阵,
Api =?iPi ( i = 1,2,…,n ),AP = P?,
证明思路：
例 3
解第七章 二次型与二次曲面已知二次型 )0(2332),,( 32232221321 axaxxxxxxxf
通过正交变换化成标准形 232221 52 yyyf
求参数 a 及 有所用的正交变换矩阵,
二次型 f 的矩阵,
3 0
3 0
0 0 2
a
a A
特征方程为
3 0
3 0
0 0 2
| |
a
a A I = (2)(?2?6? + 9?a2) = 0,
A 的特征值为?1 = 1,?2 = 2,?3 = 5,
将? = 1 ( 或? = 5 ) 代入特征方程，得
A2?4 = 0,a =? 2.
因 a > 0,故取 a = 2,
这时,.
320
230
002
A
第七章 二次型与二次曲面
1 = 1 时,由 (I?A)X = 0,即
,0
220
220
001
3
2
1
x
x
x
解得对应的特征向量为?1 = (0,1,?1)T,
2 = 2 时,由 (2I?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?2 = (1,0,0)T,
3 = 5时,由 (5I?A)X = 0,
解得对应的特征向量为?3 = (0,1,1)T.
将?1,?2,?3 单位化，得
,)21,21,0(01 T,)0,0,1(02 T,)21,21,0(03 T
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
T =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
上一页第七章 二次型与二次曲面例 4
解已知二次型
323121232221321 66255),,( xxxxxxcxxxxxxf 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值,
(2) 指出方程 f (x1,x2,x3) = 1 表示何种二次曲面,
(1)此二次型对应矩阵为,
33
351
315
c
A
,
300
120
351
33
351
315
cc
A
因 r(A) = 2,解得 c = 3.
这时，
333
351
315
||
AI =? (?4)(9),
故所求特征值为? = 0,? = 4,? = 9.
(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为
,94 2322 yyf
那么 f (x1,x2,x3) = 1 表示椭圆柱面,
第七章 二次型与二次曲面
XTAX 为正定二次型?
实对称方阵 A
为正定矩阵
A 合同于单位阵?
下面三个命题等价：
