第五章 欧氏空间第六章 线性变换第七章 二次型与二次曲面
§ 3
§ 5
二次型及其标准形正定二次型
§ 5
§ 3.
§ 4
§ 2 线性变换的概念线性变换和矩阵特征值与特征向量线性变换的不变子空间,象与核内积,欧氏空间 Rn
标准 正交基向量积与混合积
R 3 中直角坐标系下直线与平面方程空间曲面,空间曲线及其方程
§ 1
§ 4
§ 2
恭喜你,
答对了！
对不起！选择错了！别着急，再想一想,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
1.在下列 的变换中是线性变换的为 （ ）3R
),,(),,( 232221321 xxxxxxA?
)1,1,1(
),,(
321
321
xxx
xxxA
|)||,||,(|),,( 32321 xxxxxxA?
),,(
),,(
321
321
xxx
xxxA
自测题 1.
解下 一 题 返回目录应该选择 D
（ A）因为 所以 A
不是线性变换,),,,(),,()),,(( 321321
2321 xxxkAxxxAkxxxkA
).,,(),,(
),,(
),,(
),,(
),,()],,(),,[(
321321
321
321
332211
332211321321
yyyAxxxA
yyy
xxx
yxyxyx
yxyxyxAyyyxxxA
（ ）因为 所以不是线性变换 同理（ B）（ C）所指的变换也不是线性变换,
（ D）因为所以 A是线性变换,
),,(
),,(),,()),,((
321
321321321
xxxkA
kxkxkxkxkxkxAxxxkA
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 2.
下面所定义的变换中是线性变换的为
V,0
)(
)( ),,(),,( 233221321 xxxxxxx
),,2(),,( 13221321 xxxxxxxx
V,0
自测题 3.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是向量空间 V的线性变换,,如果,则是 A的特征向量 。
V 0A?
设 A是向量空间 V的可逆线性变换,是 A的一个特征值，
则 是 的一个特征值。
0
1
1?A
0?
自测题 5.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是空间的线性变换,,如果,
则,
V, AA?
设 A是向量空间 V的线性变换,,如果,如果 有不全为零的数 使,
则 线性相关 。
Vr,,,21?
02211 rr AkAkAk
r,,,21?
,,,21 rkkk?
自测题 4.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,设 A是 n维向量空间 V的线性变换,如果 V有一组基,其中向量都是 A的特征向量,则 A在的任一组基下的矩阵都与对角矩阵相似 。
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是 n维向量空间 V的线性变换，如果 A有 n个不同的特征值，则 A是可逆变换。
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 7.
为的变换中是线性变换的在下列 ][ xP
)1())(( xfxfA 2)())(( 2 xfxfA
1)())(( xfxfA 2)())(( xfxfA?
自测题 6.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是线性空间 V的可逆线性变换,如果V,
., 则AA
.0
),(0,,,,
,
2211
221121
rr
irrr
kkk
PkAkAkAkV
VPA
则如果的线性变换上线性空间是数域设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 9.
则的零变换是的恒等变换是的两个线性变换维线性空间是设
,,
,,
VOVE
VnBA
EBAAB
EBAABEBAAB
0 BAAB
自测题 8.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.),,,2,1(,,
,,21
BAniBAVBA
Vn
ii
n
则如果的线性变换都是的一个线性无关向量组维线性空间是设
.,
,,,
EBAEAB
VEVBA
则如果的恒等变换是的两个线性变换有限维线性空间设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 10.
则的三个线性变换是是有限维线性空间设,,,,VCBAV
222 2)( BABABA
22))(( BABABA
)()( BCACAB?
222)( BAAB?
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 11.
则的零变换是的三个线性变换是线性空间设,,,,VOVCBA
00,0 BAAB 或
00,0 BABA 000 ABBA 或
CB
ACABA
或0
自测题 12.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
21
21
21
2211221121
2
,
),,(),(
bb
aa
AA
xbxbxaxaxxAAR
下的矩阵为在标准基则为的线性变换设
.,,,
,,
313233
212223
111213
123
333231
232221
131211
321
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
AV
下的矩阵为在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
自测题 13.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
..,,,
,,
333231
232221
131211
321
333231
232221
131211
321
akaa
akaa
akaa
kA
aaa
aaa
aaa
A
AV
下的矩阵为在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
..,,,
,,
33323231
23222221
13121211
3221
333231
232221
131211
321
aaaa
aaaa
aaaa
A
aaa
aaa
aaa
A
AV
为下的矩阵在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 14.
是数域 p上 n维线性空间 V的一个线性变换
，如果?在任意一组基下的矩阵都相同，
那么．
是数乘变换
是零变换
是恒等变换
是可逆变换自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
50
21
21
,
10
11
,
,
01
12
,
ABV
AVA
则下的矩阵是的另一组基在下的矩阵是的一组基在设线性变换
4950 5051
10 501
01 12
50
10 01
解下 一 题 返回目录应该选择 A
.
4950
5051
11
01
10
501
11
01
11
01
10
11
11
01
,
11
01
11
01
501
50
1
A
BA
所以自测题 16
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录相似的矩阵是阶单位矩阵与 En
).1(?kkE数量矩阵单位矩阵 E 对角矩阵 D（主对角元素不为 1）
任意 n阶矩阵 A
解下 一 题 返回目录应该选择 B
.
,,,~ 1
EE
EECCBCEB
相似的矩阵仅有所以与使则存在可逆矩阵设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 17.
应满足的条件是则角阵的某组基下的矩阵是对在如果下的矩阵为的一组基在设线性变换
yxVA
yxAVA
,,
,
001
1
100
,,321
0 yx
0?xy 0 yx
0 yx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的特征值则是一个不可逆线性变换设 AA,
自测题 18.
至少有一个是零至多有一个是零全是零全不是零自测题 19.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录有一个特征值为则的一个特征值是线性变换设 3,2 AA
A
DB
C2
96
8
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则且的线性变换是上的线性空间是复数域设,,,,BAABVBACV?
A,B有有限多个公共的特征向量
A,B有无限多个公共的特征向量
A,B特征向量完全相同
A,B未必有公共的特征向量
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 21
则的维数为的特征子空间的属于特值的特征多项式为设线性变换
,2
,)2()1()(
2
42
tVA
fA
4? t 4? t
4? t4? t
自测题 22.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则的维数的特征子空间关于是重根的的特征多项式是线性变换设
,
,)(
00
0
VAt
sfA
st?
st? st?
st?
自测题 23.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录有充要条件是对每个矩阵的的某基下的矩阵是对角在在则的特征子空间的关于是又设互不相同其中的特征多项式的线性变换维线性空间是设
ri
VAri
AV
f
AVnA
ir
s
r
ss
i
r
,,2,1
),,,2,1(
.,,,
,)()()()(
,
21
21
21
isV i?)(?维
isV i?)(?维 无关与维 isV i )(?
isV i?)(?维自测题 24.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录为不可逆的的特征值是零为矩阵 AA
充分条件非充分、非必要条件充要条件必要条件自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则的特征向量的分别属于是的两个不相同的特征值是矩阵与设
,,,
,
21
21
A
A
的特征向量都是对任意非零的
A
kkkk 2121,,?
的特征向量都是存在非零的
A
kkkk 2121,,?
的特征向量不可能是对任意非零的
A
kk
kk
21
21,,
的特征向量是使数存在唯一的一组非零常
A
kkkk 2121,,?
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的全部特征向量是属于的则与的基础解系为且齐次线性方程组的特征值阶矩阵是设
0
210
0
,0)(
,
AXAE
An
),( 212211 为任意常数cccc
),( 212211 为不全为零的常数cccc
21和
21或自测题 27.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
与则的特征向量与的分别属于为的两个不相同的特征值为设
,,
,,
21
21
A
A
线性相关线性无关对应分量成比例可能有零向量解下 一 题 返回目录应该选择 B
线性无关所以矛盾的特征向量是属于特征值即则设线性相关如果
,
!,
,)()(
,,,
22
2
kkAkAA
k
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则相似于且阶方阵是,,,BAnBA
A,B的特征矩阵相同
A,B的特征多项式相同
A,B相似于同一个对角阵
BATT
T
1
,
使得存在正交矩阵解下 一 题 返回目录应该选择 B
||
||||||
|)(|
||
||
.
1
1
1
1
AE
CAEC
CAEC
ACCE
BE
ACCB
则设自测题 29.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则有若,~ BA
BEAE |||| BA?
有相同的特征向量与矩阵对于相同的特征值 BA,?
对角矩阵相似均与同一个与 BA
解下 一 题 返回目录应该选择 C
也是错误的故不一定与对角矩阵相似或一般不成立为正确答案故从而使则存在可逆矩阵
)(,
,))((
.)(|,|||||||||
,,,~
1
1
DBA
BA
CAPAPB
APPBPBA
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 30.
n阶矩阵有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件既非充分也非必要条件解返回目录应该选择 B
矩阵 A有 n个不同的特征值，则一定有 n个线性无关的特征向量，从而一事实上可对角化，反过来不成立，故 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的充分但非必要条件，（ B）为正确答案,
下 一 题请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 31.
在该组基下的矩阵为使中一定存在一组基则且不变子空间的一维都是的线性变换是线性空间设
AV
WWWVAV
WWWVA
n
n
,
,,
,,,,
21
21
对角矩阵反对称矩阵可逆矩阵准对角矩阵解下 一 题 返回目录应该选择 A
n
n
niii
iiiii
AV
WWWVA
WAAWW
2
1
21
21
,,
,,
,,,
在该组基下的矩阵为而且的一组基是，，，所以因为即所以不变子空间是由于的基取自测题 32.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录在该组基下的矩阵为使中一定存在一组基则且不变子空间的都是的线性变换维线性空间是设
AV
WWWVnsAV
WWWVnA
s
s
,
,,,
,,,,
21
21
对角矩阵反对称矩阵可逆矩阵准对角矩阵解返回目录应该选择 D
.,
,,,
1
1
对角矩阵在该组基下的矩阵为准因而即所以不变子空间是由于的基为设
AA
WAAWW
i
i
r
j
ijjik
iikiirii
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
设?=(1,2,2,3),?=(3,1,5,1)．
则?,? 之间的夹角
3
6
2
4
自测题 1.
解下 一 题 返回目录应该选择 D
因为 (?,?)=18,(?,?)=18,(?,?)=36,则故
2
2
3618
18,c o s
4,
自测题 2.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
,,若 为互相垂直的三个非零向量，则向量 的长为 432r
222 1694
222 432
29
9
解下 一 题 返回目录应该选择 D
)432,432(|| ar
),(),(),(21694 222
222 1694
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
3
6
2
4
设?=(2,1,3,2),?=(1,2,－ 2,1)；
则?,? 之间的夹角为解下 一 题 返回目录应该选择 C
因为,
所以
012)2(32112),(
2,
自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,?n,? 都是一个欧氏空间的向量,且?是?1,?2,…,?n的线性组合,如果?与每一个?i正交,i=1,2,…,n,那么?=0．
设?1,?2,?3是一个欧氏空间里彼此正交的非零向量组，则?1,?2,?3
线性无关,
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,?n是欧氏空间 V的一组基，如果 使那么 ；
V
),,2,1(0),( nii 0
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V的一组向量,如果那么,
V?21,
),,2,1,,)(,(),( 21 sjiji
21
自测题 7
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?,?是欧氏空间 V中任意两个向量，如果则?,? 线性相关,
|,||||),(|
设?,?是欧氏空间 V中任意两个向量，如果则?,? 线性无关,
0),(
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?,?是欧氏空间 V中两个向量，如果,则与 正交,
||||
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V中两两正交的 s个向量，则
=,221 || s 22221 |||||| s
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录对于空间 R2中任意向量定义内积 （ p,q为实数）
使 R2成为一个欧氏空间的充要条件是
),,(),,( 2121 bbaa
2211),( bqabpa
p>0,q<0p<0,q<0
p>0,q>0 p≥0,q>0
自测题 8.
自测题 9
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是欧氏空间 V中的一组基 的度量矩阵，向量 在这组基下的坐标分别是 X,Y,(X,Y为列向量 )则n,,21
,
AXY),(
1,在线性空间 R3中,定义内积为 (?,? ) = x1y1+2x2y2+3x3y3,(其中?,=
(x1,x2,x3),? = (y1,y2,y3,)) 构成欧氏空间,那么?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3
(0,0,1),都是单位向量,
请选择正确答案
A
DB
C
自测题 10.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 是欧氏空间中的任两个向量，
则 | + 等于,2| 2||
22 |||| 22 ||||
22 ||2||222 ||2||2
解下 一 题 返回目录应该选择 B
.||2||2
),(2),(2
),(),(2),(),(),(2),(
),(),(||||
22
2
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
自测题 11.
设 是欧氏空间中的两个线性无关的向量，
则
,
≥
|),(|
|||||),(|
||||
|),(|
|||||),(|
||||
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 12.
设 是三维欧氏空间 V
中一组标准正交基,则是空间 V的
321,,
)22(31 3211 )22(31 3212 )22(31 3213
正交向量组但不是一组基标准正交基正交基但不是标准正交基一组基但不是正交基解下 一 题 返回目录应该选择 C
因为
)22,22(91),( 32132121
0)]2()2(4[91
0),(),( 3231
1)22,22(91),( 32132111
1),(),( 3322同理可证故?1,?2,?3是一组标准正交基,
自测题 13.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 是欧氏空间 V中的两组基,A与 B分别是这两组基的度量矩阵，,则 A与 B相似
nn,,,,,2121
设 是欧氏空间 V中的任两个向量,则 ||||,
.
自测题 14.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,?3是 n维欧氏空间 V的标准正交组，证明对任意都有,
s
i i1
2),( 2||
齐次线性方程组的解空间 （ 作为 R5的子空间 ） 的一组标准正交基为
042 0
54321
54321 xxxxx xxxxx
)0,0,1,0,1(21? )0,4,3,2,3(381 )1,21,8,18,8(1201
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 15.
方程的解空间的一组标准正交基为
02 321 xxx
0,21,211 31,31,312?
0,21,211 31,31,312?
( )0,1,01 ( )1,0,02
21,0,211?
31,31,312?
自测题 16.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A为对称矩阵
A为正交矩阵
A为单位矩阵
A为对角矩阵如果 n阶矩阵 A的列向量是 Rn的一组标准正交基，则自测题 17.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
R3的一组标准正交基为
).,( 212121（ 1,0,0),(0,1.0),
（ 2,0,0),(0,2.0).(0,0,2)
（ 1,0,0),(0,－ 1.0).(2,0,1)
),,(
),,,(),,,(
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
A为正交矩阵自测题 18.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,? n 是欧氏空间Ｒ ｎ 中标准正交基，
A=(?1,?2,…,? n ) 则 A是正交距阵,
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V中 标准正交基,则
ssV ),(),(),(,22111
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知空间三点 A(1,2,3),B(2,－ 1,5),C(3,2,－ 5),则三角形 ABC的面积为
213
216
156
153
解下 一 题 返回目录应该选择 A
.21361224
)61224(
||
222
2
1
2
1
2
1
kji
ACABA B C 的面积自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知空间三点 A(1,2,3),B(2,－ 1,5),
C(3,2,－ 5),则三角形 ABC的 AB边上的高为
33
36
66
63
解下 一 题 返回目录应该选择 D
63
14
216||
2
1
AB
ACAB
HABA B C 边上的高的自测题 21.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
)(2)()(
.0,那么如果请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 22.
都垂直的单位向量为
），，，（与向量 )3,2,1(132
)31,31,31(?
)37,35 1,35 1(?
)35 1,31,35 7(?
)35 7,31,35 1(?
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
).,,(),,(),,(
),,(),,( kk?
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
).,,3(),,(),,3(
),,(2),,(
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 25.
的平行六面体体积为则以它们为三邻边作成
），，（，），，，（
已知向量
221)3,4,2(103
2
3
4
6
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 26.
则四面体的体积为
），，（，），，，（
已知四面体的顶点为
)3,1,2(,034)6,0,6(000?DCBA
3
4 2
1`
请选择正确答案
A
DB
C
自测题 27.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录平行于 y轴且通过点 P1(2,4,1)和 P2(3,1,－ 2 )
的平面方程为
0123 zx
023 zx
022 zx
073 zx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
因为平面平行于 y轴和向量,
而 y轴的方向为,=（ 1,－ 3,－ 3）,
则是平面的法向量,
又平面过点 P1,故平面的方程为：
或,
21PP
)0,1,0(?j? 21PP
)1,0,3(
331
01021
kji
PPj
0)1()2(3 zx 073 zx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 28.
通过已给三点 P(1,2,3),Q(,2,0),R(3,0,1)的平面方程为
022 zyx
056 zyx
07253 zyx
0342 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 C
设所求平面方程为,
由于平面过 P,Q,R三点,故将三个点的坐标代入方程,
于是有解之得,,,
代入所求平面中即
0 DCzByAx
03
02
032
DCA
DBA
DCBA
DA 73 DB 75 DC 72?
0727573 DzDyDxD
.07253 zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
B
A
D
C
自测题 29.
通过点 P0(x0,y0,z0)（ z0≠0），
且在 x轴和 y轴上的截距分别为 a和 b的平面方程为
11
0
00 zzbyaxbyax 1
0
zzbyax
11
0
00 zzbyaxbyax 1
0
00 zzbyaxbyax
解下 一 题 返回目录应该选择 A
设所求平面在 z轴上的截距为 c，
则它的方程为又因为它通过 P0,故而,可得,
从而平面的方程为
1 czbyax
1000 czbyax
00?z
0
00 111
zb
y
a
x
c
11
0
00
z
z
b
y
a
x
b
y
a
x
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
给定点 M1(3,0,4)和 M2(5,6,9)，
通过点 M1并垂直于向量 的平面方程为
21MM
自测题 30.
01832 zyx
026562 zyx
0274 zyx
0676 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 B
平面的法向量为 且过点,
故所求平面方程为即
}5,6,2{21?MM ( )4,0,31M
0)4(5)0(6)3(2 zyx
026562 zyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 31.
经过点 A(2,0,－ 1 )
平行于向量 和的平面方程为
)1,1,2()4,0,3(
01532 zyx
0113114 zyx
0249125 zyx
01105 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
由平面平行于向量 因此可取为平面的法向量,又平面过点 A (2,0,－ 1),故平面的方程为即
)3,11,4(
403
112
kji
0)1(3)0(11)2(4 zyx
.0113114 zyx
，和
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 32.
通过点 M1(1,2,3)并垂直于平面和
07 zyx
051223 zyx 的平面方程为
01222 zyx
0124 zyx 01132 zyx
032 zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
自测题 33.
两直线 和的夹角的余弦为
022
0243
zyx
zyx
023
0264
zy
zyx
68
27?
132
67? 13756?
195
98?
解下 一 题 返回目录应该选择 B
两直线的方向向量分别为故
,11210
212
2431 kji
kji
s
kji
kji
s
4123
310
6142
||||c o s 21
21
SS
SS
222222 412311210
411122310
195
98
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 34.
33
2
7
2 zyx
23
2
2
2
zyx
232
zyx
615
2
3
2
zyx
一直线通过点 A (2,－ 2,0)并和 y轴夹角为,
又和直线 相交,
这直线方程为
3
2
2
0
3
1
1
zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 35.
A
DB
C
点 P0 (3,－ 5,7)到平面的距离为
01432 zyx
29
48
26
4
2
3
7
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 36.
经过点 （ ）,
平行于直线的直线方程为
1,3,2?
3
3
0
1
2
1
zyx
3
1
0
3
2
2
zyx
302
zyx
30
1
2
2
zyx
1
3
32
2 zyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 37.
点 A (1,3,5)到直线的距离为 1
2/5
2
0
6
30
zyx
14
816
12
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 38.
一动点与 xoz面相距为 4单位,且与点 A（ 2,5,－ 1）
相距为 3个单位,它的几何轨迹为圆椭圆双曲线 抛物线请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 39.
已知准线方程为,
母线平行于 y轴，此柱面方程为
3
1
94
2
22
y
zyx
14 22 zx
04 22 zx
14 22 zx
04 22 zx
自测题 40
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
顶点在原点，准线为 的圆锥面方程为
1
422
x
zy 04 222 zyx
曲线 绕 x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为
0
222
z
ayx
2222 azyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的矩阵是二次型 222121321 2),,( xxxxxxxf
自测题 1.
11
21
000
010
011
11
11
000
011
011
排列 与排列的逆序数的和为自测题 2.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.0,
,
000 AXXXn
nA
都有维向量则对任一阶反对称矩阵是非退化设
.,,
,),,(.,
,32),,(
321
32
2
221
2
1321
BABA
xxxXBXXAXX
xxxxxxxxxf
且是两个三阶矩阵其中又可表为形式可以表为用矩阵乘积的二次型请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录化为平方和的形式可通过非退化线性替换二次型
2
21
2
321
2
321321 )3()22()23(),,( xxxxxxxxxxxf
自测题 3.
21y
2221 yy?
232221 yyy
232221 yyy
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
是则使存在可逆矩阵对于矩阵
CEACC
CA
,
,,
300
020
001
自测题 4.
实数域上的矩阵有理数域上的矩阵 复数域上的矩阵任意数域上的矩阵请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录合同的与等价是与矩阵 BABA
自测题 5.
充分条件必要条件充要条件既不充分怀不必要的条件请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的规范形为二次型在复数域上
2
32
2
321
2
31321
)3()2(
)2(),,(,
xxxxx
xxxxxf
自测题 6.
2221 yy?
232221 yyy
232221 yyy
2221 yy?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的规范形为二次型在实数域上
2
21
2
321
2
321321
)3()22(
)23(2),,(,
xxxxx
xxxxxxf
自测题 7.
2322212 yyy
2322212 yyy
2322212 yyy
22212 yy?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录复数域上的两个 n阶对称矩阵 A与 B等价是 A与 B合同的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件中，有自测题 8.
一个成立两个成立三个成立一个都不成立排列 与排列的逆序数的和为自测题 9.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.),,,(),,,(
,,
2121 具有相同的规范形与为矩阵的实二次型那么以合同与如果实对称矩阵
BXXxxxgAXXxxxf
BABA
nn
在实数域上，矩阵 是合同的,
12 2121 12 与请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
别为负惯性指数与符号差分的正惯性指数二次型
,
9622),,( 2332222121321 xxxxxxxxxxf
自测题 10.
2,0,2
2,1,1
2,0,0
1,1,0
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录指数分别是的正惯性指数与负惯性二次型 3231212221321 6223),,( xxxxxxxxxxxf
自测题 11.
1,1
2,1
1,－ 1
2,0
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
15类
21类
20类
42类全体五阶实对称矩阵的集合按合同分类，一共有自测题 12.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录
A
DB
C
如果在数域 P上，矩阵 与 合同，则 P是
10 01
10
01
任一数域有理数域实数域复数域自测题 13.
自测题 14.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
实对称矩阵 A是正定矩阵的充要条件是 A合同于单位矩阵 E.
设 A是实的 n阶可逆矩阵，则 A’A是正定矩阵,
自测题 15.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.,,也是正定矩阵则阶正定矩阵是两个设 BAnBA?
.,,也是正定矩阵则阶正定矩阵是设 ABnBA
自测题 16.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A DB C1个 ; 2个 ; 3个 ; 无,
设 A是 n阶正定矩阵,P是任意的 n阶实的可逆阵,则 P’AP的正定矩阵,
若 A是正定矩阵,则 A的伴随矩阵 A*也是正定矩阵
1.
2.
自测题 17.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若 A是正定矩阵，则 AK（ K是正整数）也是正定矩阵,
若 A,B是两个 n阶正定矩阵，则乘积 AB也是正定矩阵,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录二次型 是 2
332222121321 4
154),,( xxxxxxxxxxf
正定的负定的不定的半正定的自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
二次型 是 2
221321 32),,( xxxxxf
自测题 19.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录半正定的负定的不定的半负定的请选择正确答案
A
DB
C
实二次型 f=X’AX的矩阵 A的所有对角线元素,是 f为正定二次型的
0?iia
自测题 20.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录充分条件必要条件充要条件既不充分也不必要的条件请选择正确答案
A
DB
C
二次型 是 2
3222121321 22),,( xxxxxxxxf
自测题 21.
上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录正定的半正定的不定的半负定的自测题 22.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
1,若 A,B是两个 n阶负定矩阵，则 A+B也是负定矩阵,
2.
.,
,),,,(
2
21
是负定二次型既不是正定二次型也不那么不出现如果一个文字的平方项中二次型
fxa
xxxf
iii
n?
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,若 A是正定矩阵,则－ A是负定矩阵,
1,实二次型 f =X’AX，
如果 A的顺序主子式都大于等于 0，那么 f是半正定二次型,
§ 3
§ 5
二次型及其标准形正定二次型
§ 5
§ 3.
§ 4
§ 2 线性变换的概念线性变换和矩阵特征值与特征向量线性变换的不变子空间,象与核内积,欧氏空间 Rn
标准 正交基向量积与混合积
R 3 中直角坐标系下直线与平面方程空间曲面,空间曲线及其方程
§ 1
§ 4
§ 2
恭喜你,
答对了！
对不起！选择错了！别着急，再想一想,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
1.在下列 的变换中是线性变换的为 （ ）3R
),,(),,( 232221321 xxxxxxA?
)1,1,1(
),,(
321
321
xxx
xxxA
|)||,||,(|),,( 32321 xxxxxxA?
),,(
),,(
321
321
xxx
xxxA
自测题 1.
解下 一 题 返回目录应该选择 D
（ A）因为 所以 A
不是线性变换,),,,(),,()),,(( 321321
2321 xxxkAxxxAkxxxkA
).,,(),,(
),,(
),,(
),,(
),,()],,(),,[(
321321
321
321
332211
332211321321
yyyAxxxA
yyy
xxx
yxyxyx
yxyxyxAyyyxxxA
（ ）因为 所以不是线性变换 同理（ B）（ C）所指的变换也不是线性变换,
（ D）因为所以 A是线性变换,
),,(
),,(),,()),,((
321
321321321
xxxkA
kxkxkxkxkxkxAxxxkA
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 2.
下面所定义的变换中是线性变换的为
V,0
)(
)( ),,(),,( 233221321 xxxxxxx
),,2(),,( 13221321 xxxxxxxx
V,0
自测题 3.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是向量空间 V的线性变换,,如果,则是 A的特征向量 。
V 0A?
设 A是向量空间 V的可逆线性变换,是 A的一个特征值，
则 是 的一个特征值。
0
1
1?A
0?
自测题 5.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是空间的线性变换,,如果,
则,
V, AA?
设 A是向量空间 V的线性变换,,如果,如果 有不全为零的数 使,
则 线性相关 。
Vr,,,21?
02211 rr AkAkAk
r,,,21?
,,,21 rkkk?
自测题 4.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2,设 A是 n维向量空间 V的线性变换,如果 V有一组基,其中向量都是 A的特征向量,则 A在的任一组基下的矩阵都与对角矩阵相似 。
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是 n维向量空间 V的线性变换，如果 A有 n个不同的特征值，则 A是可逆变换。
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 7.
为的变换中是线性变换的在下列 ][ xP
)1())(( xfxfA 2)())(( 2 xfxfA
1)())(( xfxfA 2)())(( xfxfA?
自测题 6.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是线性空间 V的可逆线性变换,如果V,
., 则AA
.0
),(0,,,,
,
2211
221121
rr
irrr
kkk
PkAkAkAkV
VPA
则如果的线性变换上线性空间是数域设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 9.
则的零变换是的恒等变换是的两个线性变换维线性空间是设
,,
,,
VOVE
VnBA
EBAAB
EBAABEBAAB
0 BAAB
自测题 8.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.),,,2,1(,,
,,21
BAniBAVBA
Vn
ii
n
则如果的线性变换都是的一个线性无关向量组维线性空间是设
.,
,,,
EBAEAB
VEVBA
则如果的恒等变换是的两个线性变换有限维线性空间设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 10.
则的三个线性变换是是有限维线性空间设,,,,VCBAV
222 2)( BABABA
22))(( BABABA
)()( BCACAB?
222)( BAAB?
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 11.
则的零变换是的三个线性变换是线性空间设,,,,VOVCBA
00,0 BAAB 或
00,0 BABA 000 ABBA 或
CB
ACABA
或0
自测题 12.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
21
21
21
2211221121
2
,
),,(),(
bb
aa
AA
xbxbxaxaxxAAR
下的矩阵为在标准基则为的线性变换设
.,,,
,,
313233
212223
111213
123
333231
232221
131211
321
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
AV
下的矩阵为在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
自测题 13.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
..,,,
,,
333231
232221
131211
321
333231
232221
131211
321
akaa
akaa
akaa
kA
aaa
aaa
aaa
A
AV
下的矩阵为在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
..,,,
,,
33323231
23222221
13121211
3221
333231
232221
131211
321
aaaa
aaaa
aaaa
A
aaa
aaa
aaa
A
AV
为下的矩阵在则下的矩阵为在基上线性变换设三维向量空间
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 14.
是数域 p上 n维线性空间 V的一个线性变换
，如果?在任意一组基下的矩阵都相同，
那么．
是数乘变换
是零变换
是恒等变换
是可逆变换自测题 15.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
50
21
21
,
10
11
,
,
01
12
,
ABV
AVA
则下的矩阵是的另一组基在下的矩阵是的一组基在设线性变换
4950 5051
10 501
01 12
50
10 01
解下 一 题 返回目录应该选择 A
.
4950
5051
11
01
10
501
11
01
11
01
10
11
11
01
,
11
01
11
01
501
50
1
A
BA
所以自测题 16
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录相似的矩阵是阶单位矩阵与 En
).1(?kkE数量矩阵单位矩阵 E 对角矩阵 D（主对角元素不为 1）
任意 n阶矩阵 A
解下 一 题 返回目录应该选择 B
.
,,,~ 1
EE
EECCBCEB
相似的矩阵仅有所以与使则存在可逆矩阵设
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 17.
应满足的条件是则角阵的某组基下的矩阵是对在如果下的矩阵为的一组基在设线性变换
yxVA
yxAVA
,,
,
001
1
100
,,321
0 yx
0?xy 0 yx
0 yx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的特征值则是一个不可逆线性变换设 AA,
自测题 18.
至少有一个是零至多有一个是零全是零全不是零自测题 19.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录有一个特征值为则的一个特征值是线性变换设 3,2 AA
A
DB
C2
96
8
自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则且的线性变换是上的线性空间是复数域设,,,,BAABVBACV?
A,B有有限多个公共的特征向量
A,B有无限多个公共的特征向量
A,B特征向量完全相同
A,B未必有公共的特征向量
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 21
则的维数为的特征子空间的属于特值的特征多项式为设线性变换
,2
,)2()1()(
2
42
tVA
fA
4? t 4? t
4? t4? t
自测题 22.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则的维数的特征子空间关于是重根的的特征多项式是线性变换设
,
,)(
00
0
VAt
sfA
st?
st? st?
st?
自测题 23.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录有充要条件是对每个矩阵的的某基下的矩阵是对角在在则的特征子空间的关于是又设互不相同其中的特征多项式的线性变换维线性空间是设
ri
VAri
AV
f
AVnA
ir
s
r
ss
i
r
,,2,1
),,,2,1(
.,,,
,)()()()(
,
21
21
21
isV i?)(?维
isV i?)(?维 无关与维 isV i )(?
isV i?)(?维自测题 24.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录为不可逆的的特征值是零为矩阵 AA
充分条件非充分、非必要条件充要条件必要条件自测题 25.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则的特征向量的分别属于是的两个不相同的特征值是矩阵与设
,,,
,
21
21
A
A
的特征向量都是对任意非零的
A
kkkk 2121,,?
的特征向量都是存在非零的
A
kkkk 2121,,?
的特征向量不可能是对任意非零的
A
kk
kk
21
21,,
的特征向量是使数存在唯一的一组非零常
A
kkkk 2121,,?
自测题 26.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的全部特征向量是属于的则与的基础解系为且齐次线性方程组的特征值阶矩阵是设
0
210
0
,0)(
,
AXAE
An
),( 212211 为任意常数cccc
),( 212211 为不全为零的常数cccc
21和
21或自测题 27.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
与则的特征向量与的分别属于为的两个不相同的特征值为设
,,
,,
21
21
A
A
线性相关线性无关对应分量成比例可能有零向量解下 一 题 返回目录应该选择 B
线性无关所以矛盾的特征向量是属于特征值即则设线性相关如果
,
!,
,)()(
,,,
22
2
kkAkAA
k
自测题 28.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则相似于且阶方阵是,,,BAnBA
A,B的特征矩阵相同
A,B的特征多项式相同
A,B相似于同一个对角阵
BATT
T
1
,
使得存在正交矩阵解下 一 题 返回目录应该选择 B
||
||||||
|)(|
||
||
.
1
1
1
1
AE
CAEC
CAEC
ACCE
BE
ACCB
则设自测题 29.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录则有若,~ BA
BEAE |||| BA?
有相同的特征向量与矩阵对于相同的特征值 BA,?
对角矩阵相似均与同一个与 BA
解下 一 题 返回目录应该选择 C
也是错误的故不一定与对角矩阵相似或一般不成立为正确答案故从而使则存在可逆矩阵
)(,
,))((
.)(|,|||||||||
,,,~
1
1
DBA
BA
CAPAPB
APPBPBA
A
DB
C
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 30.
n阶矩阵有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件既非充分也非必要条件解返回目录应该选择 B
矩阵 A有 n个不同的特征值，则一定有 n个线性无关的特征向量，从而一事实上可对角化，反过来不成立，故 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的充分但非必要条件，（ B）为正确答案,
下 一 题请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 31.
在该组基下的矩阵为使中一定存在一组基则且不变子空间的一维都是的线性变换是线性空间设
AV
WWWVAV
WWWVA
n
n
,
,,
,,,,
21
21
对角矩阵反对称矩阵可逆矩阵准对角矩阵解下 一 题 返回目录应该选择 A
n
n
niii
iiiii
AV
WWWVA
WAAWW
2
1
21
21
,,
,,
,,,
在该组基下的矩阵为而且的一组基是，，，所以因为即所以不变子空间是由于的基取自测题 32.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录在该组基下的矩阵为使中一定存在一组基则且不变子空间的都是的线性变换维线性空间是设
AV
WWWVnsAV
WWWVnA
s
s
,
,,,
,,,,
21
21
对角矩阵反对称矩阵可逆矩阵准对角矩阵解返回目录应该选择 D
.,
,,,
1
1
对角矩阵在该组基下的矩阵为准因而即所以不变子空间是由于的基为设
AA
WAAWW
i
i
r
j
ijjik
iikiirii
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
设?=(1,2,2,3),?=(3,1,5,1)．
则?,? 之间的夹角
3
6
2
4
自测题 1.
解下 一 题 返回目录应该选择 D
因为 (?,?)=18,(?,?)=18,(?,?)=36,则故
2
2
3618
18,c o s
4,
自测题 2.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
,,若 为互相垂直的三个非零向量，则向量 的长为 432r
222 1694
222 432
29
9
解下 一 题 返回目录应该选择 D
)432,432(|| ar
),(),(),(21694 222
222 1694
自测题 3.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
=
3
6
2
4
设?=(2,1,3,2),?=(1,2,－ 2,1)；
则?,? 之间的夹角为解下 一 题 返回目录应该选择 C
因为,
所以
012)2(32112),(
2,
自测题 4.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,?n,? 都是一个欧氏空间的向量,且?是?1,?2,…,?n的线性组合,如果?与每一个?i正交,i=1,2,…,n,那么?=0．
设?1,?2,?3是一个欧氏空间里彼此正交的非零向量组，则?1,?2,?3
线性无关,
自测题 5.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,?n是欧氏空间 V的一组基，如果 使那么 ；
V
),,2,1(0),( nii 0
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V的一组向量,如果那么,
V?21,
),,2,1,,)(,(),( 21 sjiji
21
自测题 7
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?,?是欧氏空间 V中任意两个向量，如果则?,? 线性相关,
|,||||),(|
设?,?是欧氏空间 V中任意两个向量，如果则?,? 线性无关,
0),(
自测题 6.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?,?是欧氏空间 V中两个向量，如果,则与 正交,
||||
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V中两两正交的 s个向量，则
=,221 || s 22221 |||||| s
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录对于空间 R2中任意向量定义内积 （ p,q为实数）
使 R2成为一个欧氏空间的充要条件是
),,(),,( 2121 bbaa
2211),( bqabpa
p>0,q<0p<0,q<0
p>0,q>0 p≥0,q>0
自测题 8.
自测题 9
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 A是欧氏空间 V中的一组基 的度量矩阵，向量 在这组基下的坐标分别是 X,Y,(X,Y为列向量 )则n,,21
,
AXY),(
1,在线性空间 R3中,定义内积为 (?,? ) = x1y1+2x2y2+3x3y3,(其中?,=
(x1,x2,x3),? = (y1,y2,y3,)) 构成欧氏空间,那么?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3
(0,0,1),都是单位向量,
请选择正确答案
A
DB
C
自测题 10.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录设 是欧氏空间中的任两个向量，
则 | + 等于,2| 2||
22 |||| 22 ||||
22 ||2||222 ||2||2
解下 一 题 返回目录应该选择 B
.||2||2
),(2),(2
),(),(2),(),(),(2),(
),(),(||||
22
2
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
自测题 11.
设 是欧氏空间中的两个线性无关的向量，
则
,
≥
|),(|
|||||),(|
||||
|),(|
|||||),(|
||||
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 12.
设 是三维欧氏空间 V
中一组标准正交基,则是空间 V的
321,,
)22(31 3211 )22(31 3212 )22(31 3213
正交向量组但不是一组基标准正交基正交基但不是标准正交基一组基但不是正交基解下 一 题 返回目录应该选择 C
因为
)22,22(91),( 32132121
0)]2()2(4[91
0),(),( 3231
1)22,22(91),( 32132111
1),(),( 3322同理可证故?1,?2,?3是一组标准正交基,
自测题 13.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设 是欧氏空间 V中的两组基,A与 B分别是这两组基的度量矩阵，,则 A与 B相似
nn,,,,,2121
设 是欧氏空间 V中的任两个向量,则 ||||,
.
自测题 14.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,?3是 n维欧氏空间 V的标准正交组，证明对任意都有,
s
i i1
2),( 2||
齐次线性方程组的解空间 （ 作为 R5的子空间 ） 的一组标准正交基为
042 0
54321
54321 xxxxx xxxxx
)0,0,1,0,1(21? )0,4,3,2,3(381 )1,21,8,18,8(1201
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 15.
方程的解空间的一组标准正交基为
02 321 xxx
0,21,211 31,31,312?
0,21,211 31,31,312?
( )0,1,01 ( )1,0,02
21,0,211?
31,31,312?
自测题 16.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A为对称矩阵
A为正交矩阵
A为单位矩阵
A为对角矩阵如果 n阶矩阵 A的列向量是 Rn的一组标准正交基，则自测题 17.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
R3的一组标准正交基为
).,( 212121（ 1,0,0),(0,1.0),
（ 2,0,0),(0,2.0).(0,0,2)
（ 1,0,0),(0,－ 1.0).(2,0,1)
),,(
),,,(),,,(
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
A为正交矩阵自测题 18.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
设?1,?2,…,? n 是欧氏空间Ｒ ｎ 中标准正交基，
A=(?1,?2,…,? n ) 则 A是正交距阵,
设?1,?2,…,?s是欧氏空间 V中 标准正交基,则
ssV ),(),(),(,22111
自测题 19.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知空间三点 A(1,2,3),B(2,－ 1,5),C(3,2,－ 5),则三角形 ABC的面积为
213
216
156
153
解下 一 题 返回目录应该选择 A
.21361224
)61224(
||
222
2
1
2
1
2
1
kji
ACABA B C 的面积自测题 20.
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录已知空间三点 A(1,2,3),B(2,－ 1,5),
C(3,2,－ 5),则三角形 ABC的 AB边上的高为
33
36
66
63
解下 一 题 返回目录应该选择 D
63
14
216||
2
1
AB
ACAB
HABA B C 边上的高的自测题 21.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
)(2)()(
.0,那么如果请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 22.
都垂直的单位向量为
），，，（与向量 )3,2,1(132
)31,31,31(?
)37,35 1,35 1(?
)35 1,31,35 7(?
)35 7,31,35 1(?
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
).,,(),,(),,(
),,(),,( kk?
自测题 24.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
).,,3(),,(),,3(
),,(2),,(
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 25.
的平行六面体体积为则以它们为三邻边作成
），，（，），，，（
已知向量
221)3,4,2(103
2
3
4
6
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 26.
则四面体的体积为
），，（，），，，（
已知四面体的顶点为
)3,1,2(,034)6,0,6(000?DCBA
3
4 2
1`
请选择正确答案
A
DB
C
自测题 27.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录平行于 y轴且通过点 P1(2,4,1)和 P2(3,1,－ 2 )
的平面方程为
0123 zx
023 zx
022 zx
073 zx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
因为平面平行于 y轴和向量,
而 y轴的方向为,=（ 1,－ 3,－ 3）,
则是平面的法向量,
又平面过点 P1,故平面的方程为：
或,
21PP
)0,1,0(?j? 21PP
)1,0,3(
331
01021
kji
PPj
0)1()2(3 zx 073 zx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 28.
通过已给三点 P(1,2,3),Q(,2,0),R(3,0,1)的平面方程为
022 zyx
056 zyx
07253 zyx
0342 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 C
设所求平面方程为,
由于平面过 P,Q,R三点,故将三个点的坐标代入方程,
于是有解之得,,,
代入所求平面中即
0 DCzByAx
03
02
032
DCA
DBA
DCBA
DA 73 DB 75 DC 72?
0727573 DzDyDxD
.07253 zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
B
A
D
C
自测题 29.
通过点 P0(x0,y0,z0)（ z0≠0），
且在 x轴和 y轴上的截距分别为 a和 b的平面方程为
11
0
00 zzbyaxbyax 1
0
zzbyax
11
0
00 zzbyaxbyax 1
0
00 zzbyaxbyax
解下 一 题 返回目录应该选择 A
设所求平面在 z轴上的截距为 c，
则它的方程为又因为它通过 P0,故而,可得,
从而平面的方程为
1 czbyax
1000 czbyax
00?z
0
00 111
zb
y
a
x
c
11
0
00
z
z
b
y
a
x
b
y
a
x
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
给定点 M1(3,0,4)和 M2(5,6,9)，
通过点 M1并垂直于向量 的平面方程为
21MM
自测题 30.
01832 zyx
026562 zyx
0274 zyx
0676 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 B
平面的法向量为 且过点,
故所求平面方程为即
}5,6,2{21?MM ( )4,0,31M
0)4(5)0(6)3(2 zyx
026562 zyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 31.
经过点 A(2,0,－ 1 )
平行于向量 和的平面方程为
)1,1,2()4,0,3(
01532 zyx
0113114 zyx
0249125 zyx
01105 zyx
解下 一 题 返回目录应该选择 D
由平面平行于向量 因此可取为平面的法向量,又平面过点 A (2,0,－ 1),故平面的方程为即
)3,11,4(
403
112
kji
0)1(3)0(11)2(4 zyx
.0113114 zyx
，和
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 32.
通过点 M1(1,2,3)并垂直于平面和
07 zyx
051223 zyx 的平面方程为
01222 zyx
0124 zyx 01132 zyx
032 zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
自测题 33.
两直线 和的夹角的余弦为
022
0243
zyx
zyx
023
0264
zy
zyx
68
27?
132
67? 13756?
195
98?
解下 一 题 返回目录应该选择 B
两直线的方向向量分别为故
,11210
212
2431 kji
kji
s
kji
kji
s
4123
310
6142
||||c o s 21
21
SS
SS
222222 412311210
411122310
195
98
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 34.
33
2
7
2 zyx
23
2
2
2
zyx
232
zyx
615
2
3
2
zyx
一直线通过点 A (2,－ 2,0)并和 y轴夹角为,
又和直线 相交,
这直线方程为
3
2
2
0
3
1
1
zyx
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 35.
A
DB
C
点 P0 (3,－ 5,7)到平面的距离为
01432 zyx
29
48
26
4
2
3
7
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 36.
经过点 （ ）,
平行于直线的直线方程为
1,3,2?
3
3
0
1
2
1
zyx
3
1
0
3
2
2
zyx
302
zyx
30
1
2
2
zyx
1
3
32
2 zyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 37.
点 A (1,3,5)到直线的距离为 1
2/5
2
0
6
30
zyx
14
816
12
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 38.
一动点与 xoz面相距为 4单位,且与点 A（ 2,5,－ 1）
相距为 3个单位,它的几何轨迹为圆椭圆双曲线 抛物线请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录自测题 39.
已知准线方程为,
母线平行于 y轴，此柱面方程为
3
1
94
2
22
y
zyx
14 22 zx
04 22 zx
14 22 zx
04 22 zx
自测题 40
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
顶点在原点，准线为 的圆锥面方程为
1
422
x
zy 04 222 zyx
曲线 绕 x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为
0
222
z
ayx
2222 azyx
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的矩阵是二次型 222121321 2),,( xxxxxxxf
自测题 1.
11
21
000
010
011
11
11
000
011
011
排列 与排列的逆序数的和为自测题 2.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.0,
,
000 AXXXn
nA
都有维向量则对任一阶反对称矩阵是非退化设
.,,
,),,(.,
,32),,(
321
32
2
221
2
1321
BABA
xxxXBXXAXX
xxxxxxxxxf
且是两个三阶矩阵其中又可表为形式可以表为用矩阵乘积的二次型请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录化为平方和的形式可通过非退化线性替换二次型
2
21
2
321
2
321321 )3()22()23(),,( xxxxxxxxxxxf
自测题 3.
21y
2221 yy?
232221 yyy
232221 yyy
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
是则使存在可逆矩阵对于矩阵
CEACC
CA
,
,,
300
020
001
自测题 4.
实数域上的矩阵有理数域上的矩阵 复数域上的矩阵任意数域上的矩阵请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录合同的与等价是与矩阵 BABA
自测题 5.
充分条件必要条件充要条件既不充分怀不必要的条件请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的规范形为二次型在复数域上
2
32
2
321
2
31321
)3()2(
)2(),,(,
xxxxx
xxxxxf
自测题 6.
2221 yy?
232221 yyy
232221 yyy
2221 yy?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录的规范形为二次型在实数域上
2
21
2
321
2
321321
)3()22(
)23(2),,(,
xxxxx
xxxxxxf
自测题 7.
2322212 yyy
2322212 yyy
2322212 yyy
22212 yy?
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录复数域上的两个 n阶对称矩阵 A与 B等价是 A与 B合同的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件中，有自测题 8.
一个成立两个成立三个成立一个都不成立排列 与排列的逆序数的和为自测题 9.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.),,,(),,,(
,,
2121 具有相同的规范形与为矩阵的实二次型那么以合同与如果实对称矩阵
BXXxxxgAXXxxxf
BABA
nn
在实数域上，矩阵 是合同的,
12 2121 12 与请选择正确答案上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A
DB
C
别为负惯性指数与符号差分的正惯性指数二次型
,
9622),,( 2332222121321 xxxxxxxxxxf
自测题 10.
2,0,2
2,1,1
2,0,0
1,1,0
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录指数分别是的正惯性指数与负惯性二次型 3231212221321 6223),,( xxxxxxxxxxxf
自测题 11.
1,1
2,1
1,－ 1
2,0
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录
15类
21类
20类
42类全体五阶实对称矩阵的集合按合同分类，一共有自测题 12.
请选择正确答案上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录
A
DB
C
如果在数域 P上，矩阵 与 合同，则 P是
10 01
10
01
任一数域有理数域实数域复数域自测题 13.
自测题 14.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
实对称矩阵 A是正定矩阵的充要条件是 A合同于单位矩阵 E.
设 A是实的 n阶可逆矩阵，则 A’A是正定矩阵,
自测题 15.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
.,,也是正定矩阵则阶正定矩阵是两个设 BAnBA?
.,,也是正定矩阵则阶正定矩阵是设 ABnBA
自测题 16.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录
A DB C1个 ; 2个 ; 3个 ; 无,
设 A是 n阶正定矩阵,P是任意的 n阶实的可逆阵,则 P’AP的正定矩阵,
若 A是正定矩阵,则 A的伴随矩阵 A*也是正定矩阵
1.
2.
自测题 17.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
1.
2.
A DB C1; 2; 1,2; 无,
若 A是正定矩阵，则 AK（ K是正整数）也是正定矩阵,
若 A,B是两个 n阶正定矩阵，则乘积 AB也是正定矩阵,
请选择正确答案
A
DB
C
上 一 题下 一 题详细解答返回目录二次型 是 2
332222121321 4
154),,( xxxxxxxxxxf
正定的负定的不定的半正定的自测题 18.
请选择正确答案
A
DB
C
二次型 是 2
221321 32),,( xxxxxf
自测题 19.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录半正定的负定的不定的半负定的请选择正确答案
A
DB
C
实二次型 f=X’AX的矩阵 A的所有对角线元素,是 f为正定二次型的
0?iia
自测题 20.
上 一 题下 一 题详细解答返回目录充分条件必要条件充要条件既不充分也不必要的条件请选择正确答案
A
DB
C
二次型 是 2
3222121321 22),,( xxxxxxxxf
自测题 21.
上 一 题下 一 题详细 解 答返回目录正定的半正定的不定的半负定的自测题 22.
上命题中正确的有 上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
1,若 A,B是两个 n阶负定矩阵，则 A+B也是负定矩阵,
2.
.,
,),,,(
2
21
是负定二次型既不是正定二次型也不那么不出现如果一个文字的平方项中二次型
fxa
xxxf
iii
n?
自测题 23.
上命题中正确的有上 一 题下 一 题详细解答返回目录判别下列命题是否正确
A DB C1; 2; 1,2; 无,
2,若 A是正定矩阵,则－ A是负定矩阵,
1,实二次型 f =X’AX，
如果 A的顺序主子式都大于等于 0，那么 f是半正定二次型,
