第一节 内积,欧氏空间 Rn
第二节 标准 正交基第三节 向量积与混合积第四节 R 3 中直角坐标系下直线与平面方程第五节 空间曲面,空间曲线及其方程一、几何空间中向量的内积二,n 维向量的积三、欧氏空间 Rn
一、几何空间中向量的内积
1,空间向量及两向量的夹角 (回顾 )
实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为 向量,
第五章 欧氏空间
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
① 几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小,
② 空间向量为 自由向量,在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为 向径,
点向 M(x,y,z) OM = (x,y,z)
③ 向量? = (x,y,z) 的 长度
222|| zyx
④ 向量的 方向角
,||a r c c o s?x?ρ,||a r c c o s?y?φ,||a r c c o s z?
⑤ 将空间两向量?,? 的起点移至一点 o,两有向线段的夹角? (0≤?≤? ),称为向量? 与? 的 夹角,
当
2
时，称? 与? 垂直 (正交 ),记作.
当? = 0 或? 时，称? 与? 平行 (共线 ),记作? //?.
o
记为 (a,b)
第五章 欧氏空间例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,
s
f
),c o s (? sf s f?W
2,空间向量的内积,
这个力所作的功为定义 1
设?,R3,记?与? 的夹角为 ),(,称数 ),c o s ( 为向量? 与? 的内积 ( 数量积 ),记为? ·?,即
),c o s ( (1)
上一页第五章 欧氏空间在直角坐标系下,设空间向量? = (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2),由于,及
构成三角形的三条边,
2 ),c o s (222
则由余弦定理知,
即 ),c o s( )(
21 222
])()()([21 221221221222222212121 zzyyxxzyxzyx
212121 zzyyxx
所以 212121 zzyyxx (2)
3,内积的坐标表示,
上一页第五章 欧氏空间
,
与? 的夹角 ),(
,a r c c o s
212121 zzyyxx,0?
的长度因为 = x12+y12+z12,
||||),c o s (
(?, 0 ),
,所以
4,用内积表示向量的长度及向量的夹角上一页定义 2
第五章 欧氏空间二,n维向量的内积
1,Rn 中向量内积定义设?,Rn,? = (x1,x2,…,xn),? = (y1,y2,…,yn),称数 x1 y1 + x2 y2+ …
+ xn yn 为? 与?的 内积,记为 (?,? ),即
(?,?) = x1 y1 + x2 y2 +…+ xn yn (3)
2、内积的性质设?,?,则?Rn,k?R,则上面定义的内积满足以下性质：
),(,()
),(),(), kkk(
,0,(?) 当且仅当? = 0 时,等号成立,
性质 (1) 到 (4) 的证明可由内积定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
),(),(,( )
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
定义 4
定义 3
第五章 欧氏空间三、欧氏空间 Rn
称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得 (Euclid) 空间,简称欧氏空间,仍记作 Rn.
三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为 几何空间,R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空间 具有可度量性,
设? = (x1,x2,…,xn)?Rn,? 的 长度 |? | 定义为 ),( αα,即
α,22221 nxxx (4)),( αα?
特别地,1|| 时,称? 为 单位向量,
当,0
2
),(
221
故称 为? 的 单位化向量,
=1,)|,(|| 2 | | |
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
定义 5
第五章 欧氏空间设?, Rn,? = (x1,x2,…,xn ),? = (y1,y2,…,yn ),称
),(|| 212
1
))((?
n
i ii
yx
为空间两点 (或两向量间 )的距离，并称之为 欧氏距离,
定理 1
向量内积满足 |||||),(| (5)
且等号成立的充要条件是? 与? 线性相关,
(5) 式称为柯西施瓦兹 (Cauchy-Schwarz) 不等式,
当?, 0,由柯西施瓦兹不等式可得,
,1|||| |),(|0,1|||| ),(1
证上一页定理 2
定义 6 向量 a,b 之间的 夹角 定义为
),(a r c c o s),( (6)
π ),(0
,2),( 称? 与? 正交,记,
,),( π0 或 称? 与? 共线,记? //?,
由定义知：
几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn,
设 a,b是欧氏空间 Rn 中的两个向量 则,
),c o s (2222
(7)
(8)
(1)
(2)
(三角不等式 )
(余弦定理 )
证第五章 欧氏空间上一页定理 3
第五章 欧氏空间
( 勾股定理 ) 设?1,?2,…,?k 是 n 维欧氏空间 Rn 中的向量,且 i?j 时,
(?i,?j ) = 0,则
221 || k,|||||| 22221 k
221 || k ),(
2121 kk
kikiikiiki,,,12111?
),(),(),( 2211 kk
.|||||| 22221 k
证上一页一、标准正交基的概念及意义二、施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基定义 1
第五章 欧氏空间
§ 2 标准正交基一、标准正交基的概念及意义
1,正交向量组,
如果欧氏空间中的向量组?1,?2,…,?m 中任意两个向量都是相互正交的,即
(?i,?j ) = 0,i? j,i,j = 1,2,…,m,
则称?1,?2,…,?m 为 正交向量组 (简称正交组,)
定理 1
不含零向量的正交向量组是线性无关的,
第五章 欧氏空间证 设?1,?2,…,?m是一个正交的向量组,又设
k1?1 + k2?2 +…+ km?m = 0
则
jj
m
j
i k
1,
,0),( iiik,,,2,1 mi
m
j
jijk
1 ),(
),(),(),( 2211 mmiii kkk
由于,0)(
,?ii
故 ki = 0,
故?1,?2,…,?m 线性无关,
.,,2,1 mi
上一页定义 2
第五章 欧氏空间
2,标准正交基设?1,?2,…,?n?Rn,如果
),( ji
,,1 ji?
,,0 ji?
.,,2,1 ni
则称?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组 标准正交基,
显然 )0,,0,1(1e ),0,,0,1,0(2e ) 1,0,,0(,ne 是 Rn 的标准正交基,
在 R3 中,),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k 分别为三个坐标轴正向的单位矢量,
定理 2
设?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组标准正交基,则 Rn 中向量? 在?1,
2,…,?n 下的坐标向量的第 j 个分量为
.,,2,1),( njx jj,
nnxx11
则 ),(),(
11 jnnj xx
),(
1 jii
n
i
x
jx?
设证上一页第五章 欧氏空间二,施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论,
o
,R3
在? 上的投影为：
||||
),(||),c o s (||
,
||
),(
在? 上的投影向量为：
|||| ),(|||| ),(,),( ),(
为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及校影向量,
§ 2 标准正交基第五章 欧氏空间设?1,?2,?3 是 R3 的一组基,令?1 =?1,将?2 在?1 上的投影向量记为?2?,则
2?= k12?1,其中
.),( ),(
11
1212k
2
2?o
11
再取,'
1122222 k
则?21,?1=?1
222
2?
2
o
将在?1,?2 上的投影向量分别记为,,2
313
3 在?1,?2 所在平面上的投影向量为?3,
则 2
3133,223113 kk
其中,),( ),(
11
1313k,),( ),(
22
2323k
3
13?
23?
1?
2?
3?
取 333,2231133 kk
则,13,23
因此 321,, 是两两正交的非零向量组,
再将 321,, 单位化,
即取,)3,2,1(, i
i
ii
321,,则 就是 R
3 的一组标准正交基,
1?
13?
23?
2?
3?
3
3?
上一页第五章 欧氏空间一般地,设
m,,,21?
是 Rn 中的一个线性 无关组,取;11;),( ),( 111 1222
.),( ),(),( ),(),( ),( 111 1222 2111 1 mmm mmmmmm;),( ),(),( ),( 222 23111 1333
容易验证 m,,,21? 两两正交,上述由 m,,1? 得到 m,,,21?
的过程称之为 向量组的正交化将这 个正交化的向量组再单位化,即取
mi
i
ii,,2,1
就得到正交的单位向量组,,,,21 m 称之为 标准正交组,
上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为 施密特 (Schmit) 正交化方法,
上一页第五章 欧氏空间例 1
解设 R3 的一组基为?1 = (1,2,?1),?2 = (?1,3,1),?3 = (4,?1,0),试用施密特正交化方法构造 R3 的一组标准正交基,
取? 1 =?1,
111 1222 ),(
),(?
)1,2,1(
64)1,3,1( ),1,1,1(3
5
222 23111 1333 ),( ),(),( ),(
)1,1,1(35)1,2,1(31)0,1,4( ),1,0,1(2?
取
|| 111?
),1,2,1(
6
1
|| 222?
),1,1,1(
3
1
|| 333?
),1,0,1(
2
1?
便为所求的一组标准正交基,
上一页
32,,则第五章 欧氏空间
R3中内积两向量夹角向量长度三角不等式余弦定理勾股定理几何空间
R3中向量积与混合积直线、平面及其方程曲线、曲面及其方程
Rn中内积欧氏空间 Rn
标准正交基内积公理化定义欧氏空间 V
欧氏空间的正交分解上一页一、向量积二、向量的混合积定义 1
第五章 欧氏空间
§ 3 向量积与混合积一、向量积
1,向量积的定义设?,? 为 R3 中的向量,称向量? 为? 与? 的 向量积 (矢积或叉积 ),
其中,
,),s i n (
,,
(3)?,?,? 构成右手系,
.记作
(1)
(2)
由向量积的定义知,| | 在几何上表示 以向量?,? 为邻边的平行四边形的面积,
// = 0
0
第五章 欧氏空间
2,向量积的性质;0;00;;)()(( λλλ );( )
.)(
性质 (1) 到 (4) 的证明可由定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
设 ),0,0,1(?i ),0,1,0(?j,)1,0,0(?k
显然有,0 kkjjii
,kji
,ikj
,jik
,jki
,kij
.ijk
ji
k
上一页第五章 欧氏空间
3,向量积的坐标表示设,321 kji aaa,kji
321 bbb
则 )()( 321321 kjikji bbbaaa
)()( 32123211 kjijkji bbbabbba i
)()()( 312111 kijiii bababa
,)()()( 332313 kkjkik bababa)(32 kj ba
)( 3213 kjik bbba
)()( 2212 jjij baba
故,kji )()()( 122131132332 babababababa
利用行列式上式可写成
,
321
321
bbb
aaa
kji
(1) 或 (2) 称为向量积的坐标表示,
(2)
(1)
上一页例 1
解第五章 欧氏空间求同时垂直于向量? = (2,?3,1),? = (1,?2,3),3且模等于 的向量?,
设,),,( 321 ccc
321
132
kji
,kji 57
因为? 与 共线,所以有
71?c 52c 13c t?
.),0( Rtt
由已知 232221|| ccc 222 2549 ttt 275t?,3?
,51 t
故,)
51,1,57(
上一页第五章 欧氏空间定义 2
二、向量的混合积
1,混合积的定义设向量?,?, R3,? 与? 的向量积 再与向量? 的内积称为向量?,?,? 的混合积,记作 (?,?,? ),即
)(),,(
2,混合积的坐标表示设 ),,,(
321 aaa ),,,( 321 bbb,),,( 321 ccc
321
321
bbb
aaa
kji
,
21
21
31
31
32
32 kji
bb
aa
bb
aa
bb
aa
)(,
321 21231 31132 32 cbb
aac
bb
aac
bb
aa
.
321
321
321
ccc
bbb
aaa
)(
§ 3 向量积与混合积第五章 欧氏空间
3,混合积的性质由行列式的性质,可推得混合积具有以下性质,
)( )( )( )(
)( )(
上述性质说明,三矢混合积中轮换三个向量的位置其值不变 ; 互换两个向量的位置,其值只改变符号,
由于,)()(
所以常把三矢混合积记为,),,(
上一页第五章 欧氏空间
4,混合积的几何意义设三个非零?,?,? 不在同一平面上,将三个矢量的起点移至空间一点 o,以这三个向量为棱作一平行六面体,记
)(,),c o s (||||
其中 |||| 表示平行六面体的底面积,
),co s(|| 是? 在 2),(0 π 时,就是?,? 所在底面上的高,
),c o s (||||V )(?
故平行六面体的体积就是时,?,? 所在底面上的高为当 ππ ),(2,),c o s (||
此时 ),c o s (||||V,)(
因此,三个不共面矢量的混合积的绝对值是以?,?,? 为棱的平行六面体的体积,
若?,?,? 共面,则 垂直?,?所在平面，所以 也垂直?,故,0)(
反之,若,0)( 则 垂直?,而 也垂直于? 和?,故?,?,? 共面,
上一页
上的投影,当例 1
解第五章 欧氏空间定理非零向量?,?,? 共面,0),,(
求由不在一个平面上的空间四点 ),,,(
111 zyxA ),,,( 222 zyxB ),,,( 333 zyxC
),,( 444 zyxD 为顶点的四面体的体积,
由立体几何知 四面体 ABCD 的体积等于以体积的六分之一,
),,( ADACAB?,
,,
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.),,(61 ADACABV
,AB,AC AD为棱的平行六面体上一页一、直线方程二、平面方程三、直线与平面的位置关系四、点到平面、点到直线的距离定义 1
第五章 欧氏空间
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程一、直线方程如果一个非零向量 s 可平移至直线 L 上,则称 s 平行于 L,记作 s // L.
与直线平行的非零向量称为直线 L 的 方向向量,
思考：
① 过一点且与已知直线平行的直线是唯一的,
② 两点可确定一条直线,
几何上哪些条件可确定一条直线呢？
第五章 欧氏空间
1,直线过定点，且方向向量已知，求直线方程故有
.000 p zzn yym xx (1)
给定空间一点 P0(x0,y0,z0),向量 s = (m,n,p),则过 P0点以 s 为方向向量的直线 L是唯一确定的,设 P(x,y,z)为 L 上任意一点,则 P0P // s.
),,,( 0000 zzyyxxPP是它们的对应分量成比例，而两向量平行的充要条件一方面,直线 L 上的点必满足方程 (1),反过来,满足方程 (1)的点 P(x,y,z)必使 P0P // s,即 P 一定在 L 上,因此方程 (1)表示过点 (x0,y0,z0) 且以 s = (m,n,p)为方向向量的直线方程,称为直线的 对称式 (点向式 )方程,
在 (1)式中令比例系数为 t,则有
x = x0 + mt
y = y0 + nt
z = z0 + pt
t?R,(2)
(2)式称为直线的 参数方程,当 t 取遍每一实数时,P(x,y,z) 便是直线上的所有点,
注意,方程 (1) 中，当 m,n,p 中有一个或两个为 0 时，应仿照下面的举例来理解,
例如：当 m = 0,n,p? 0 时，
p zzn yyxx 0000
理解为
.00 p zzn yy
x = x0,
当 m = 0,n = 0,p? 0 时，
p zzyyxx
000
00
理解为
x = x0,
y = y0,
上一页例 1
第五章 欧氏空间如果我们知道直线过两个已知点,也就知道了它的方向向量,则由对称式方程可求直线方程,
2,直线过两点，求直线方程设一条直线过 M1(1,2,1),M2(2,?1,3) 两点，求此直线方程,
21MM?S
= (2?1,?1?2,3?1)
故
zzyx 1321 1
为所求直线方程,
= (1,?3,2),解上一页定义 1
第五章 欧氏空间二、平面方程如果某非零向量? 与平面? 内不共线的两向量垂直,则称? 垂直于?,记作,称垂直于平面的非零向量为该平面的 法向量,
① 过一点，与已知直线垂直的平面是唯一的,
② 不在同一直线上的三点可确定一个平面,
③ 过定直线与直线外一点的平面是唯一的,
几何上，哪些条件可确定一个平面呢？思考：
M0
l0
A
B
C?M0
l0
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程第五章 欧氏空间
1,点法式方程设 M0(x0,y0,z0) 为平面? 上一点，它的一个法向量为 n = ( A,B,C ),则 M0
和 n 便唯一确定了平面?,下面来求? 的方程,
设 M(x,y,z) 为? 上任意一点，
A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,(3)
称 (3) 为平面的 点法式方程,
M0M? n? M0M? n = 0.因为所以,平面的方程为
A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,
则 M0M = (x?x0,y?y0,z?z0),且 M0M? n.
上一页
/第五章 欧氏空间
2,平面的三点式方程设平面? 由三点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 确定,又设 M(x,y,z)为平面? 上任意一点,则三向量 M1M,M1M2,M1M3 共面,故
.0)( 31211 MMMMMM
将混合积展开可得平面的 三点式方程 为
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx (4)
特别地，当平面过点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)时,有
.0
0
0?
ca
ba
zyax
即 bcx + acy + abz = abc,
当 abc? 0 时,上式改写为,1
czbyax
(5)
(5) 式称为平面的 截距式方程,
a
b
c
x
y
z
上一页
/第五章 欧氏空间
3,平面的一般方程从 (3),(4),(5) 式看出，平面方程都可写成一个关于 x,y,z 的三元一次方程：
Ax + By + Cz + D = 0 (6)
的形式,称 (6) 式为平面的一般方程,每一平面都对应着一个三元一次方程,任意的关于 x,y,z 的三元一次方程在几何上表示一张平面,
特别地,三元一次方程中系数 A,B,C,D 中有些为 0 时，表示一些特殊平面,
① 当 D = 0 时，平面过原点
③ A = B = 0 时，平面法向 n = (0,0,C),n // k,即 n 垂直于 xOy 面，因而平面与 xOy 面平行,
其他情形可类似考虑,
2x? 3y + 4z = 0 表示一个法向量为 n = (2,?3,4) 且过原点的平面 ;
x + y = 1 是一张与 oz 轴平行的平面 ;
y = 1 是平行于 xoz 面的平面,
例如，
上一页
② 当 A = 0 时，平面法向量 n = (0,B,C),由于,故 n 与 x 轴垂直，从而平面平行于 x 轴,
0in
例 2
解求平行于向量? = (1,0,2),? = (3,?1,1) 并经过原点的平面方程,
设平面的法向量为 n,由于 n,n,则
n =
113
201
ki j
jki 52
又因为平面过原点，故所求平面方程为 2x? y + 5z = 0,
例 3 求过点 M
1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和 M3(0,2,3) 的平面方程,
解一
1 3 2
6 4 3
k j i
n,9 14k j i
由平面的点法式方程得所求平面方程为,14( x?2 ) + 9( y + 1)?( z? 4) = 0,
即 14x + 9y? z? 15 = 0,
因 M1M2 = (?3,4,?6),M1M3 = (?2,3,?1),所以平面的法向量 n = M1M2? M1M3;
即解 二 设 M = (x,y,z) 为平面上一点,由,0),,( 31211?MMMMMM
得
,0
132
643
412
zyx
即 14x + 9y? z?15 = 0,/第五章 欧氏空间上一页
/第五章 欧氏空间
4,直线作为平面的交线我们知道，两平面若相交，其交线是一条直线,
1,A1x + Bly + C1z + D1 = 0,
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
设两平面?1,?2 的方程分别为：
则方程组
A1x + Bly + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
(6)
就是两平面?1,?2 的交线 L 的方程，称 (6) 式为空间直线的 一般方程,
上一页
/第五章 欧氏空间例 4
解用对称式方程和参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0,
2x? y + 3z + 4 = 0,
两平面法向量分别为 n1 = (1,1,1),n2 = (2,?1,3),设直线方向向量为 s,则 s? n1,
s? n2,因此有
s = n1? n2
312
111
kji
.kji 34
取 x0 = 1 代入方程组得
y + z =?2,
y + 3z =? 6,
解之得 y0 = 0,z0 =?2,所以 (1,0,?2) 是直线上的点，故直线的对称式方程为：
.3214 1 zyx
直线的参数方程为
x = 1+ 4t,
y =? t,
z =?2?3t,
t?R,
上一页
/第五章 欧氏空间定理 1
三、直线与平面的位置关系
1,两直线的夹角两直线的方向向量之间所夹的 锐角 定义为 两直线的夹角,
L1 L
2
定义 3
设直线 L1 和 L2 的方向向量分别为
由 s
1? s2 = | s1 | | s2 | cos ( s1,s2) 易知两直线夹角可由下面的 ( 7 ) 式求出,
S1 = (m1,n1,p1),s2 = (m2,n2,p2),
直线 L1 与 L2 的夹角为
||||
||a r c c o s
21
21 SS SS,||a r c c o s 2
22222212121
212121
pnmpnm
ppnnmm
( 7 )
特别地,当
L1? L2? s1? s2? m1m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0 ;
L1 / /L2? s1 // s2?,
2
1
2
1
2
1 ppnnmm
时，2 L1? L2,? = 0 时,L1 // L2,
因此，
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
/第五章 欧氏空间定理 2
2,两平面之间的夹角两平面的法向量之间所夹角的 锐角 定义为 两平面的夹角,
设两平面?1,?2 的法向量分别为 n1 = (A1,B1,C1),n2 = (A2,B2,C2),由两向量的夹角计算公式及两平面夹角定义可得两平夹角计算公式,
定义 4
两平面夹角为：
||||
||a r c c o s
21
21 nn nn,||
222222212121
212121 CBACBA CCBBAA (10)
2? 1
n2 n1
特别地，两平面?1 与?2 垂直与平行的充要条件分别为：
12? n1? n2? A1A2 +B1B2 +C1 C2 = 0 ;
1 //?2? n1 // n2?,
2
1
2
1
2
1 CCBBAA
(11)
(12)
上一页
/第五章 欧氏空间
3,直线与平面的夹角设有平面?,直线 L,过直线 L 作垂直于? 的平面?1,? 与?1 的交线 L1 称为 L 在平面? 上的 投影直线,L
1
L1
直线 L 与其在平面? 上的投影直线 L1 的夹角? 称为 直线 L 与平面? 的夹角,
定义 1
L
1
L1
设 L 的方向向量为 s = ( m,n,p ),平面? 的法向量为 n = (A,B,C ),则 s 与 n
的夹角? 满足
.||||c o s sn snθ
L 与其投影直线 L1之夹角? 同? 之间有如下关系
2,)2(?＋或
πθ?
L1
Ln
n
上一页
/第五章 欧氏空间定理 3
因此? |cos|?,sin? 从而,
|||| ||sin sn sn
由此得如下结论：
|||| ||a r c s in sn sn
直线 L 与平面? 的夹角为：
.||a r c s i n 222222 pnmCBA CpBmAm (13)
特别地,当? = 0 时,直线与平面平行，当
L s // n?
L // s? n? 0 CpBnAm
(14)
(15)
时，2π 直线与平面垂直,
pCnBmA
上一页
/第五章 欧氏空间四、点到平面、点到直线的距离
1,点到平面的距离设平面? 的方程为 Ax + By + Cz + D = 0,M0(x0,y0,z0) 是平面外一点,任取平面上一点 M(x,y,z),则 MM0 = (x0?x,y0?y,z0?z),点 M0 到平面? 的距离 d 就是
MM0 在平面? 的法向量 n 上的投影的绝对值,即
||
|| 0
n
n MMd,|)()()(|
222 000 CBA
zzCyyBxxA
而 M(x,y,z)是平面? 上一点，因此 Ax + By + Cz + D = 0,从而
.|| 222 000 CBA DCzByAxd (16)
M
M0
n
例如，点 (1,2,3) 到平面 2x? 3y + z? 4 = 0 的距离为
2 2 21 ) 3 ( 2
| 4 3 2 3 1 2 |
d,
145?
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
/第五章 欧氏空间例 1
解
2,点到直线的距离求点 (1,2,1 ) 到直线
1 41 32 2 zyx
的距离,
以 L 的方向向量为法向量作过 p0(1,2,1)的平面?,
2(x?1) + ( y?2) + z?1 = 0,
即 2x + y + z? 5 = 0,
p0? p1
L
下面求出 L 与平面? 的交点 p1,
将 L 的参数方程
x = 2 + 2t,
y = 3 + t,.
z = 4 + t,
代入平面方程得 t =?1,从而得交点 p1(0,2,3),从而两点 p0 与 p1 的距离
520)1( || 2221pp
为所求点到直线距离,
因此,||||
01 ss MMd
故,
||
|| 01
s
sMMd
设直线外一点 M0 到直线 L的距离为 d,在 L 上取一点 M1,||
01 s?MM
是以 MM0,s 为邻边的平行四边形的面积,
M0
M1
d
s L
上一页
/第五章 欧氏空间空间平面一般形式：
法点式：
截距式：
Ax + By + Cz + D = 0.
.1 rzqypx
,00 MMn
即 A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,
本节小结空间直线交面式对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 )：
.000 p zzn yym xx
x = x0 + mt,
y = y0 + nt,
z = z0 + pt ;
即,0010 MMMM
.01 001 001 0 zz zzyy yyxx xx
A1x + Bly + C1z + D1 = 0,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
上一页
/第五章 欧氏空间直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影：
过直线的平面束中垂直于已知平面的平面与已知平面的交线 (交面式 ).
s1,s2 间夹角
n1,n2 间夹角与 s1,n 间夹角互余数量积 向量积平行 相交垂直点到直线的距离点到平面的距离
||
|| 0
s
s MMd
Ax + By + Cz + D = 0
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
s
d
M
l
M0
M0
M1 n
n = (A,B,C)
上一页一、空间曲面及其方程二、空间曲线及其方程三、二次曲面由上节知，空间平面对应于一 个三元一次方程：
0 DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面,
(1)
一、空间曲面及其方程空间平面? 三元一次方程在直角坐标系下
§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间设有空间曲面 S 及三元方程 F (x,y,z) = 0,如果
1,曲面方程的概念
② F (x,y,z) = 0 的任一解 (x,y,z) 对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上,
① S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标 x,y,z 都满足方程 F (x,y,z) = 0；
则称 F(x,y,z) = 0 为 S 的方程,而 S 则称为 F (x,y,z) = 0 的 几何图形,
/第五章 欧氏空间空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全体构成的几何图形称为 球面,定点
M0 为球面的中心,R 称为球面的半径,
设球面上任一点 M 的坐标为 ( x,y,z ) 则 M 到球心 M0的距离为 R,即 | M0M | = R,
故
2202020 )()()( Rzzyyxx (2)
为中心在 M0 半径为 R 的 球面方程,
特例,x0 = y0 = z0 = 0,则 (2) 变为
x 2 + y 2 + z 2 = R 2,(3)
(3)表 示中心在原点，半径为 R的球面方程,
M0 R
0x y
z
M
上一页
/第五章 欧氏空间
2,旋转曲面以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫 旋转曲面,
旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的 母线 和 轴,
设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y,z)= 0,将曲线绕 z 轴旋转一周得一曲面,设旋转面上任一点 M(x,y,z),于 M 作垂直于 z 轴的 平面,它与曲线 C 交于 M1 ( 0,y1,
z),与 z 轴交于 M2 (0,0,z).
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2
因为 M1 (0,y1,z) 在 C 上,所以 f (y1,z) = 0,
由旋转性知,| M1M2 | = | MM2 |,即
,|| 221 yxy
.0),( 22 zyxf
代入 f (y1,z) = 0 得
.0),( 22 zxyf
xy上平面曲线 f (x,y) = 0 绕 x 轴旋转所成旋转面之方程,
.0),( 22 zyxf
yz上平面曲线 f (y,z) = 0 绕 y 轴旋转所成旋转面之方程,
其它情形,
上一页
/第五章 欧氏空间常用旋转曲面－ 圆锥面两相交直线中一条直线 l 绕另一直线旋转一周而成曲面称为 圆锥面,
)20( παα 称为圆锥面的 半顶角,l 与旋转轴夹角任取圆锥面上一点 M(x,y,z),过 M 作垂直于 z 轴的平面交 z 轴于 M2(0,0,z),交直线 l 面于 M1.
由几何性质知：,
||
||
2
2 tan α?OM MM
故
.t a n|| 22z yx
即得曲面方程,) co t( 2222?yxz
0
x
y
z
l
M
M
2
M1?
上一页
/第五章 欧氏空间锥面方程也可以按如下方法求得：
因母线 l 的方程为 y = z tan?,z 轴为旋转轴，
故将 l 的方程中的 y 替换为
,22 xy
便得锥面方程,
,t a n22?zxy
即 z2 = (x2+y2)cot 2?,
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为 圆柱面,
常用旋转曲面 —— 圆柱面例如,y = R 绕 z 轴旋转一周得圆柱面方程为
,22 Ryx
即 x2 + y2 = R2,
z
lx
y0 R
上一页
/第五章 欧氏空间
3,柱面平行于定直线 L0 并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的轨迹叫做 柱面,称 L
为柱面的 母线,C 为柱面的 准线,
如不特别说明，柱面皆指母线平行于某坐标轴,准线为一平面曲线的柱面,
L0
C
z
x
yL
z
x
C
y
o
柱面方程有何特点呢？
方程 x2+y2 = R2 表示圆柱面，其母线平行于 z 轴，准线为 xy 面上的圆周 x2+y2=R2.
F(x,y) = 0 表示母线平行于 z 轴,准线为 xoy 面上曲线 C1,F(x,y) = 0 的柱面；
一般地：
H(y,z) = 0 表示母线平行于 x 轴,准线为 yoz 面上曲线 C2,H(y,z) = 0 的柱面；
G(x,z) = 0 表示母线平行于 y 轴,准线为 xoz 面上曲线 C3,G(x,z) = 0 的柱面,
上一页
§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间二、空间曲线及其方程空间曲线,空间两曲面的交线,
其方程可描述为 F1(x,y,z) = 0,
F2(x,y,z) = 0,
称为交面式方程或一般方程,
1,空间曲线的方程例如,x
2+y2=1
x+y+z=2,表示圆柱面与平面的交线,
我们也可用参数形式表示空间曲线,
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t).
空间曲线参数方程为：
/第五章 欧氏空间例 2
解若空间中点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v 都是常数 ),则点 M 构成的图形为螺旋线,
试求 其方程 。
x = acos? t,
y = asin? t,
z = vt.
t ≥ 0.
设时间 t 为参数,初始时刻 (t = 0) 动点在 A(a,0,0)处，经时间 t，动点运动到 M (x,y,z).
z
x
y0
A
M
M'
作 M 在 xy 平面的投影，投影点为 M‘，其坐标为 (x,y,0),
由题意,|'| tMMz v
,c o s|'| tOMx ω?
.s i ns i n|'| tatOMy ωω
螺旋线 参数方程 为上一页
/第五章 欧氏空间
2,空间曲线在坐标面的投影设空间曲线
F1(x,y,z ) = 0,
F2(x,y,z ) = 0,
(5)
消去 z,得
H (x,y ) = 0,(6)
曲面 (6) 为母线平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5)，则 (x,y) 满足 (6),故 C
是柱面 (6) 上的一条曲线,所以 C 在 xy 平面的投影为
H (x,y) = 0,
z = 0,(7)
(7) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
上一页
/第五章 欧氏空间例 3
由参数方程，即得 x2 + y2 = a2 ( 消去了 z ),
故投影方程为
z = 0.
X2 + y2 = a2,
y = asin? t 在 xy 平面上的投影,求螺旋线
x = acos? t,
z = vt.
解例 4
求球面 x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + ( y?1)2 + ( z?1 )2 = 1 的交线在 xy 面上的投影方程,
交线方程为
x2 + y2 + z2 = 1,
x2 + ( y?1)2 + ( z?1)2 = 1,z
x
y
解两式相减,2y + 2z = 2,即 z = 1? y,
故投影方程为：
x2 + 2y2? 2y = 0，
z = 0.
x2 + y2 + (1?y)2 = 1,
x2 + 2y2? 2y = 0,
代入第一个方程得：
上一页
§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间三、二次曲面一般地，称方程形如：
A11x2 + A22y2 + A33z2 + 2A12xy + 2A23yz + 2A31zx + A1x + A2y + A3z +A = 0
的曲面为三维空间 R3 中的二次曲面方程,
1,椭球面
,1222222 czbyax ( a,b,c均大于 0).
易知,| x | ≤ a,| y | ≤ b,| z | ≤ c，为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面 z = z0 (| z0 | ≤ c) 截曲面，得到截线方程为
,1 2202222 czbyax
z = z0.
椭圆当,||
0 时cz? 截线是平面 z = z0 上一椭圆，
而当 | z0| = c 时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
/第五章 欧氏空间
z
x
y
0
同理，以平面 x = x0 ( |x0|≤ a )
和平面 y = y0 ( |y0| ≤b) 截椭球面所得截线与上述情况类似,因此,椭球面的形状如右图,
若 a = b，
,1222222 czayax
若 a = b = c,
方程变为方程变为 x2 + y2 + z2 = a2.
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz面上椭圆 1
2
2
2
2
czax
绕 z轴旋转而成的旋转 曲面，称为 旋转椭球面,
它表示一个球心在原点，半径为 a的球面,
上一页
/第五章 欧氏空间
2,椭圆抛物面
,22 022 zqypx
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面 z = z0 ( z0 > 0) 截椭圆抛物面，所得截线方程为
.),(22 22 同号qpzqypx
.0zz?
椭圆
,22 202 qyzpx
.0yy?
抛物线
x
z
y
以平行于 xz面的平面 y = y0 截曲面，截线方程为同理，以平行于 yz 面的平面 x = x0 截曲面所得截线是平面 x = x0 上的一条抛物线,
若 p,q 均大于 0，则椭圆抛物线的开口朝上,
若 p,q 均小于 0，则椭圆抛物线的开口朝下,
特例,若 p = q,方程变为
,22 202 zpypx
它是由 xz 面上曲线
p
xz
2
2? 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
上一页
/第五章 欧氏空间
3,双曲抛物面
.),(22 22 同号qpzqypx
z
x
y
y = y0,
.22 202 qyzpx
x = x0,
.22 202 pxzqy
抛物线抛物线
z
x
y
z = z0,
,2 20 2 2z q y p x
双曲线上一页
/第五章 欧氏空间
4,单叶双曲面
,1222222 czbyax a,b,c 均大于 0,
,1 2202222 czbyax
.0zz?
椭圆以平行于 xy 面的平面 z = z0 截曲面，所得截线方程为以平行于 xz 面的平面 y = y0 截曲面，所得截线方程为
,1 2202222 byczax
.0yy?
双曲线
,1 2202222 axczby
.0xx?
双曲线以平行于 yz 面的平面 x = x 0 截曲面，所得截线方程为上一页
/第五章 欧氏空间
5,双叶双曲面
1222222 czbyax (a,b,c均大于 0)
,1 2202222 czbyax
.0zz?
双曲线以平行于 xy 面的平面 z = z0 截曲面，所得截线方程为以平行于 xz 面的平面 y = y0 截曲面，所得截线方程为以平行于 yz 面的平面 x = x0 截曲面，所得截线方程为
,1 2202222 byczax
.0yy?
双曲线
,12202222 axczby
.0xx?
椭圆
0
x
y
za
上一页第五章 欧氏空间
1) 当? = 0 ( 或? = 0) 时,0),( (5) 式成立,
2) 当 0,且 0 时,对于任意实数 t,有
),( tt 2),(),(2),( tt,0?
记 ),)(,(4)),(2( 2,),)(,(4),(4 2
从而有
,04),(4 222
即
.),(
证所以? 与? 线性相关
),(
综合 (1),(2) 定理证毕,
+ t? = 0
(? + t?,? + t?) = 0
= 0
第五章 欧氏空间证 2 ),(
),(),(2),(
.||||2| 22 || |
故,
(1)
(2) ),(2
),(2),(),(
||||
),(|||2|||| 22
|
,),c o s (||||2|||| 22
故 (8) 式成立,
第二节 标准 正交基第三节 向量积与混合积第四节 R 3 中直角坐标系下直线与平面方程第五节 空间曲面,空间曲线及其方程一、几何空间中向量的内积二,n 维向量的积三、欧氏空间 Rn
一、几何空间中向量的内积
1,空间向量及两向量的夹角 (回顾 )
实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为 向量,
第五章 欧氏空间
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
① 几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小,
② 空间向量为 自由向量,在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为 向径,
点向 M(x,y,z) OM = (x,y,z)
③ 向量? = (x,y,z) 的 长度
222|| zyx
④ 向量的 方向角
,||a r c c o s?x?ρ,||a r c c o s?y?φ,||a r c c o s z?
⑤ 将空间两向量?,? 的起点移至一点 o,两有向线段的夹角? (0≤?≤? ),称为向量? 与? 的 夹角,
当
2
时，称? 与? 垂直 (正交 ),记作.
当? = 0 或? 时，称? 与? 平行 (共线 ),记作? //?.
o
记为 (a,b)
第五章 欧氏空间例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,
s
f
),c o s (? sf s f?W
2,空间向量的内积,
这个力所作的功为定义 1
设?,R3,记?与? 的夹角为 ),(,称数 ),c o s ( 为向量? 与? 的内积 ( 数量积 ),记为? ·?,即
),c o s ( (1)
上一页第五章 欧氏空间在直角坐标系下,设空间向量? = (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2),由于,及
构成三角形的三条边,
2 ),c o s (222
则由余弦定理知,
即 ),c o s( )(
21 222
])()()([21 221221221222222212121 zzyyxxzyxzyx
212121 zzyyxx
所以 212121 zzyyxx (2)
3,内积的坐标表示,
上一页第五章 欧氏空间
,
与? 的夹角 ),(
,a r c c o s
212121 zzyyxx,0?
的长度因为 = x12+y12+z12,
||||),c o s (
(?, 0 ),
,所以
4,用内积表示向量的长度及向量的夹角上一页定义 2
第五章 欧氏空间二,n维向量的内积
1,Rn 中向量内积定义设?,Rn,? = (x1,x2,…,xn),? = (y1,y2,…,yn),称数 x1 y1 + x2 y2+ …
+ xn yn 为? 与?的 内积,记为 (?,? ),即
(?,?) = x1 y1 + x2 y2 +…+ xn yn (3)
2、内积的性质设?,?,则?Rn,k?R,则上面定义的内积满足以下性质：
),(,()
),(),(), kkk(
,0,(?) 当且仅当? = 0 时,等号成立,
性质 (1) 到 (4) 的证明可由内积定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
),(),(,( )
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
定义 4
定义 3
第五章 欧氏空间三、欧氏空间 Rn
称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得 (Euclid) 空间,简称欧氏空间,仍记作 Rn.
三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为 几何空间,R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空间 具有可度量性,
设? = (x1,x2,…,xn)?Rn,? 的 长度 |? | 定义为 ),( αα,即
α,22221 nxxx (4)),( αα?
特别地,1|| 时,称? 为 单位向量,
当,0
2
),(
221
故称 为? 的 单位化向量,
=1,)|,(|| 2 | | |
§ 1,内积、欧氏空间 Rn
定义 5
第五章 欧氏空间设?, Rn,? = (x1,x2,…,xn ),? = (y1,y2,…,yn ),称
),(|| 212
1
))((?
n
i ii
yx
为空间两点 (或两向量间 )的距离，并称之为 欧氏距离,
定理 1
向量内积满足 |||||),(| (5)
且等号成立的充要条件是? 与? 线性相关,
(5) 式称为柯西施瓦兹 (Cauchy-Schwarz) 不等式,
当?, 0,由柯西施瓦兹不等式可得,
,1|||| |),(|0,1|||| ),(1
证上一页定理 2
定义 6 向量 a,b 之间的 夹角 定义为
),(a r c c o s),( (6)
π ),(0
,2),( 称? 与? 正交,记,
,),( π0 或 称? 与? 共线,记? //?,
由定义知：
几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn,
设 a,b是欧氏空间 Rn 中的两个向量 则,
),c o s (2222
(7)
(8)
(1)
(2)
(三角不等式 )
(余弦定理 )
证第五章 欧氏空间上一页定理 3
第五章 欧氏空间
( 勾股定理 ) 设?1,?2,…,?k 是 n 维欧氏空间 Rn 中的向量,且 i?j 时,
(?i,?j ) = 0,则
221 || k,|||||| 22221 k
221 || k ),(
2121 kk
kikiikiiki,,,12111?
),(),(),( 2211 kk
.|||||| 22221 k
证上一页一、标准正交基的概念及意义二、施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基定义 1
第五章 欧氏空间
§ 2 标准正交基一、标准正交基的概念及意义
1,正交向量组,
如果欧氏空间中的向量组?1,?2,…,?m 中任意两个向量都是相互正交的,即
(?i,?j ) = 0,i? j,i,j = 1,2,…,m,
则称?1,?2,…,?m 为 正交向量组 (简称正交组,)
定理 1
不含零向量的正交向量组是线性无关的,
第五章 欧氏空间证 设?1,?2,…,?m是一个正交的向量组,又设
k1?1 + k2?2 +…+ km?m = 0
则
jj
m
j
i k
1,
,0),( iiik,,,2,1 mi
m
j
jijk
1 ),(
),(),(),( 2211 mmiii kkk
由于,0)(
,?ii
故 ki = 0,
故?1,?2,…,?m 线性无关,
.,,2,1 mi
上一页定义 2
第五章 欧氏空间
2,标准正交基设?1,?2,…,?n?Rn,如果
),( ji
,,1 ji?
,,0 ji?
.,,2,1 ni
则称?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组 标准正交基,
显然 )0,,0,1(1e ),0,,0,1,0(2e ) 1,0,,0(,ne 是 Rn 的标准正交基,
在 R3 中,),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k 分别为三个坐标轴正向的单位矢量,
定理 2
设?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组标准正交基,则 Rn 中向量? 在?1,
2,…,?n 下的坐标向量的第 j 个分量为
.,,2,1),( njx jj,
nnxx11
则 ),(),(
11 jnnj xx
),(
1 jii
n
i
x
jx?
设证上一页第五章 欧氏空间二,施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论,
o
,R3
在? 上的投影为：
||||
),(||),c o s (||
,
||
),(
在? 上的投影向量为：
|||| ),(|||| ),(,),( ),(
为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及校影向量,
§ 2 标准正交基第五章 欧氏空间设?1,?2,?3 是 R3 的一组基,令?1 =?1,将?2 在?1 上的投影向量记为?2?,则
2?= k12?1,其中
.),( ),(
11
1212k
2
2?o
11
再取,'
1122222 k
则?21,?1=?1
222
2?
2
o
将在?1,?2 上的投影向量分别记为,,2
313
3 在?1,?2 所在平面上的投影向量为?3,
则 2
3133,223113 kk
其中,),( ),(
11
1313k,),( ),(
22
2323k
3
13?
23?
1?
2?
3?
取 333,2231133 kk
则,13,23
因此 321,, 是两两正交的非零向量组,
再将 321,, 单位化,
即取,)3,2,1(, i
i
ii
321,,则 就是 R
3 的一组标准正交基,
1?
13?
23?
2?
3?
3
3?
上一页第五章 欧氏空间一般地,设
m,,,21?
是 Rn 中的一个线性 无关组,取;11;),( ),( 111 1222
.),( ),(),( ),(),( ),( 111 1222 2111 1 mmm mmmmmm;),( ),(),( ),( 222 23111 1333
容易验证 m,,,21? 两两正交,上述由 m,,1? 得到 m,,,21?
的过程称之为 向量组的正交化将这 个正交化的向量组再单位化,即取
mi
i
ii,,2,1
就得到正交的单位向量组,,,,21 m 称之为 标准正交组,
上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为 施密特 (Schmit) 正交化方法,
上一页第五章 欧氏空间例 1
解设 R3 的一组基为?1 = (1,2,?1),?2 = (?1,3,1),?3 = (4,?1,0),试用施密特正交化方法构造 R3 的一组标准正交基,
取? 1 =?1,
111 1222 ),(
),(?
)1,2,1(
64)1,3,1( ),1,1,1(3
5
222 23111 1333 ),( ),(),( ),(
)1,1,1(35)1,2,1(31)0,1,4( ),1,0,1(2?
取
|| 111?
),1,2,1(
6
1
|| 222?
),1,1,1(
3
1
|| 333?
),1,0,1(
2
1?
便为所求的一组标准正交基,
上一页
32,,则第五章 欧氏空间
R3中内积两向量夹角向量长度三角不等式余弦定理勾股定理几何空间
R3中向量积与混合积直线、平面及其方程曲线、曲面及其方程
Rn中内积欧氏空间 Rn
标准正交基内积公理化定义欧氏空间 V
欧氏空间的正交分解上一页一、向量积二、向量的混合积定义 1
第五章 欧氏空间
§ 3 向量积与混合积一、向量积
1,向量积的定义设?,? 为 R3 中的向量,称向量? 为? 与? 的 向量积 (矢积或叉积 ),
其中,
,),s i n (
,,
(3)?,?,? 构成右手系,
.记作
(1)
(2)
由向量积的定义知,| | 在几何上表示 以向量?,? 为邻边的平行四边形的面积,
// = 0
0
第五章 欧氏空间
2,向量积的性质;0;00;;)()(( λλλ );( )
.)(
性质 (1) 到 (4) 的证明可由定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
设 ),0,0,1(?i ),0,1,0(?j,)1,0,0(?k
显然有,0 kkjjii
,kji
,ikj
,jik
,jki
,kij
.ijk
ji
k
上一页第五章 欧氏空间
3,向量积的坐标表示设,321 kji aaa,kji
321 bbb
则 )()( 321321 kjikji bbbaaa
)()( 32123211 kjijkji bbbabbba i
)()()( 312111 kijiii bababa
,)()()( 332313 kkjkik bababa)(32 kj ba
)( 3213 kjik bbba
)()( 2212 jjij baba
故,kji )()()( 122131132332 babababababa
利用行列式上式可写成
,
321
321
bbb
aaa
kji
(1) 或 (2) 称为向量积的坐标表示,
(2)
(1)
上一页例 1
解第五章 欧氏空间求同时垂直于向量? = (2,?3,1),? = (1,?2,3),3且模等于 的向量?,
设,),,( 321 ccc
321
132
kji
,kji 57
因为? 与 共线,所以有
71?c 52c 13c t?
.),0( Rtt
由已知 232221|| ccc 222 2549 ttt 275t?,3?
,51 t
故,)
51,1,57(
上一页第五章 欧氏空间定义 2
二、向量的混合积
1,混合积的定义设向量?,?, R3,? 与? 的向量积 再与向量? 的内积称为向量?,?,? 的混合积,记作 (?,?,? ),即
)(),,(
2,混合积的坐标表示设 ),,,(
321 aaa ),,,( 321 bbb,),,( 321 ccc
321
321
bbb
aaa
kji
,
21
21
31
31
32
32 kji
bb
aa
bb
aa
bb
aa
)(,
321 21231 31132 32 cbb
aac
bb
aac
bb
aa
.
321
321
321
ccc
bbb
aaa
)(
§ 3 向量积与混合积第五章 欧氏空间
3,混合积的性质由行列式的性质,可推得混合积具有以下性质,
)( )( )( )(
)( )(
上述性质说明,三矢混合积中轮换三个向量的位置其值不变 ; 互换两个向量的位置,其值只改变符号,
由于,)()(
所以常把三矢混合积记为,),,(
上一页第五章 欧氏空间
4,混合积的几何意义设三个非零?,?,? 不在同一平面上,将三个矢量的起点移至空间一点 o,以这三个向量为棱作一平行六面体,记
)(,),c o s (||||
其中 |||| 表示平行六面体的底面积,
),co s(|| 是? 在 2),(0 π 时,就是?,? 所在底面上的高,
),c o s (||||V )(?
故平行六面体的体积就是时,?,? 所在底面上的高为当 ππ ),(2,),c o s (||
此时 ),c o s (||||V,)(
因此,三个不共面矢量的混合积的绝对值是以?,?,? 为棱的平行六面体的体积,
若?,?,? 共面,则 垂直?,?所在平面，所以 也垂直?,故,0)(
反之,若,0)( 则 垂直?,而 也垂直于? 和?,故?,?,? 共面,
上一页
上的投影,当例 1
解第五章 欧氏空间定理非零向量?,?,? 共面,0),,(
求由不在一个平面上的空间四点 ),,,(
111 zyxA ),,,( 222 zyxB ),,,( 333 zyxC
),,( 444 zyxD 为顶点的四面体的体积,
由立体几何知 四面体 ABCD 的体积等于以体积的六分之一,
),,( ADACAB?,
,,
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.),,(61 ADACABV
,AB,AC AD为棱的平行六面体上一页一、直线方程二、平面方程三、直线与平面的位置关系四、点到平面、点到直线的距离定义 1
第五章 欧氏空间
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程一、直线方程如果一个非零向量 s 可平移至直线 L 上,则称 s 平行于 L,记作 s // L.
与直线平行的非零向量称为直线 L 的 方向向量,
思考：
① 过一点且与已知直线平行的直线是唯一的,
② 两点可确定一条直线,
几何上哪些条件可确定一条直线呢？
第五章 欧氏空间
1,直线过定点，且方向向量已知，求直线方程故有
.000 p zzn yym xx (1)
给定空间一点 P0(x0,y0,z0),向量 s = (m,n,p),则过 P0点以 s 为方向向量的直线 L是唯一确定的,设 P(x,y,z)为 L 上任意一点,则 P0P // s.
),,,( 0000 zzyyxxPP是它们的对应分量成比例，而两向量平行的充要条件一方面,直线 L 上的点必满足方程 (1),反过来,满足方程 (1)的点 P(x,y,z)必使 P0P // s,即 P 一定在 L 上,因此方程 (1)表示过点 (x0,y0,z0) 且以 s = (m,n,p)为方向向量的直线方程,称为直线的 对称式 (点向式 )方程,
在 (1)式中令比例系数为 t,则有
x = x0 + mt
y = y0 + nt
z = z0 + pt
t?R,(2)
(2)式称为直线的 参数方程,当 t 取遍每一实数时,P(x,y,z) 便是直线上的所有点,
注意,方程 (1) 中，当 m,n,p 中有一个或两个为 0 时，应仿照下面的举例来理解,
例如：当 m = 0,n,p? 0 时，
p zzn yyxx 0000
理解为
.00 p zzn yy
x = x0,
当 m = 0,n = 0,p? 0 时，
p zzyyxx
000
00
理解为
x = x0,
y = y0,
上一页例 1
第五章 欧氏空间如果我们知道直线过两个已知点,也就知道了它的方向向量,则由对称式方程可求直线方程,
2,直线过两点，求直线方程设一条直线过 M1(1,2,1),M2(2,?1,3) 两点，求此直线方程,
21MM?S
= (2?1,?1?2,3?1)
故
zzyx 1321 1
为所求直线方程,
= (1,?3,2),解上一页定义 1
第五章 欧氏空间二、平面方程如果某非零向量? 与平面? 内不共线的两向量垂直,则称? 垂直于?,记作,称垂直于平面的非零向量为该平面的 法向量,
① 过一点，与已知直线垂直的平面是唯一的,
② 不在同一直线上的三点可确定一个平面,
③ 过定直线与直线外一点的平面是唯一的,
几何上，哪些条件可确定一个平面呢？思考：
M0
l0
A
B
C?M0
l0
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程第五章 欧氏空间
1,点法式方程设 M0(x0,y0,z0) 为平面? 上一点，它的一个法向量为 n = ( A,B,C ),则 M0
和 n 便唯一确定了平面?,下面来求? 的方程,
设 M(x,y,z) 为? 上任意一点，
A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,(3)
称 (3) 为平面的 点法式方程,
M0M? n? M0M? n = 0.因为所以,平面的方程为
A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,
则 M0M = (x?x0,y?y0,z?z0),且 M0M? n.
上一页
/第五章 欧氏空间
2,平面的三点式方程设平面? 由三点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 确定,又设 M(x,y,z)为平面? 上任意一点,则三向量 M1M,M1M2,M1M3 共面,故
.0)( 31211 MMMMMM
将混合积展开可得平面的 三点式方程 为
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx (4)
特别地，当平面过点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)时,有
.0
0
0?
ca
ba
zyax
即 bcx + acy + abz = abc,
当 abc? 0 时,上式改写为,1
czbyax
(5)
(5) 式称为平面的 截距式方程,
a
b
c
x
y
z
上一页
/第五章 欧氏空间
3,平面的一般方程从 (3),(4),(5) 式看出，平面方程都可写成一个关于 x,y,z 的三元一次方程：
Ax + By + Cz + D = 0 (6)
的形式,称 (6) 式为平面的一般方程,每一平面都对应着一个三元一次方程,任意的关于 x,y,z 的三元一次方程在几何上表示一张平面,
特别地,三元一次方程中系数 A,B,C,D 中有些为 0 时，表示一些特殊平面,
① 当 D = 0 时，平面过原点
③ A = B = 0 时，平面法向 n = (0,0,C),n // k,即 n 垂直于 xOy 面，因而平面与 xOy 面平行,
其他情形可类似考虑,
2x? 3y + 4z = 0 表示一个法向量为 n = (2,?3,4) 且过原点的平面 ;
x + y = 1 是一张与 oz 轴平行的平面 ;
y = 1 是平行于 xoz 面的平面,
例如，
上一页
② 当 A = 0 时，平面法向量 n = (0,B,C),由于,故 n 与 x 轴垂直，从而平面平行于 x 轴,
0in
例 2
解求平行于向量? = (1,0,2),? = (3,?1,1) 并经过原点的平面方程,
设平面的法向量为 n,由于 n,n,则
n =
113
201
ki j
jki 52
又因为平面过原点，故所求平面方程为 2x? y + 5z = 0,
例 3 求过点 M
1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和 M3(0,2,3) 的平面方程,
解一
1 3 2
6 4 3
k j i
n,9 14k j i
由平面的点法式方程得所求平面方程为,14( x?2 ) + 9( y + 1)?( z? 4) = 0,
即 14x + 9y? z? 15 = 0,
因 M1M2 = (?3,4,?6),M1M3 = (?2,3,?1),所以平面的法向量 n = M1M2? M1M3;
即解 二 设 M = (x,y,z) 为平面上一点,由,0),,( 31211?MMMMMM
得
,0
132
643
412
zyx
即 14x + 9y? z?15 = 0,/第五章 欧氏空间上一页
/第五章 欧氏空间
4,直线作为平面的交线我们知道，两平面若相交，其交线是一条直线,
1,A1x + Bly + C1z + D1 = 0,
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
设两平面?1,?2 的方程分别为：
则方程组
A1x + Bly + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
(6)
就是两平面?1,?2 的交线 L 的方程，称 (6) 式为空间直线的 一般方程,
上一页
/第五章 欧氏空间例 4
解用对称式方程和参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0,
2x? y + 3z + 4 = 0,
两平面法向量分别为 n1 = (1,1,1),n2 = (2,?1,3),设直线方向向量为 s,则 s? n1,
s? n2,因此有
s = n1? n2
312
111
kji
.kji 34
取 x0 = 1 代入方程组得
y + z =?2,
y + 3z =? 6,
解之得 y0 = 0,z0 =?2,所以 (1,0,?2) 是直线上的点，故直线的对称式方程为：
.3214 1 zyx
直线的参数方程为
x = 1+ 4t,
y =? t,
z =?2?3t,
t?R,
上一页
/第五章 欧氏空间定理 1
三、直线与平面的位置关系
1,两直线的夹角两直线的方向向量之间所夹的 锐角 定义为 两直线的夹角,
L1 L
2
定义 3
设直线 L1 和 L2 的方向向量分别为
由 s
1? s2 = | s1 | | s2 | cos ( s1,s2) 易知两直线夹角可由下面的 ( 7 ) 式求出,
S1 = (m1,n1,p1),s2 = (m2,n2,p2),
直线 L1 与 L2 的夹角为
||||
||a r c c o s
21
21 SS SS,||a r c c o s 2
22222212121
212121
pnmpnm
ppnnmm
( 7 )
特别地,当
L1? L2? s1? s2? m1m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0 ;
L1 / /L2? s1 // s2?,
2
1
2
1
2
1 ppnnmm
时，2 L1? L2,? = 0 时,L1 // L2,
因此，
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
/第五章 欧氏空间定理 2
2,两平面之间的夹角两平面的法向量之间所夹角的 锐角 定义为 两平面的夹角,
设两平面?1,?2 的法向量分别为 n1 = (A1,B1,C1),n2 = (A2,B2,C2),由两向量的夹角计算公式及两平面夹角定义可得两平夹角计算公式,
定义 4
两平面夹角为：
||||
||a r c c o s
21
21 nn nn,||
222222212121
212121 CBACBA CCBBAA (10)
2? 1
n2 n1
特别地，两平面?1 与?2 垂直与平行的充要条件分别为：
12? n1? n2? A1A2 +B1B2 +C1 C2 = 0 ;
1 //?2? n1 // n2?,
2
1
2
1
2
1 CCBBAA
(11)
(12)
上一页
/第五章 欧氏空间
3,直线与平面的夹角设有平面?,直线 L,过直线 L 作垂直于? 的平面?1,? 与?1 的交线 L1 称为 L 在平面? 上的 投影直线,L
1
L1
直线 L 与其在平面? 上的投影直线 L1 的夹角? 称为 直线 L 与平面? 的夹角,
定义 1
L
1
L1
设 L 的方向向量为 s = ( m,n,p ),平面? 的法向量为 n = (A,B,C ),则 s 与 n
的夹角? 满足
.||||c o s sn snθ
L 与其投影直线 L1之夹角? 同? 之间有如下关系
2,)2(?＋或
πθ?
L1
Ln
n
上一页
/第五章 欧氏空间定理 3
因此? |cos|?,sin? 从而,
|||| ||sin sn sn
由此得如下结论：
|||| ||a r c s in sn sn
直线 L 与平面? 的夹角为：
.||a r c s i n 222222 pnmCBA CpBmAm (13)
特别地,当? = 0 时,直线与平面平行，当
L s // n?
L // s? n? 0 CpBnAm
(14)
(15)
时，2π 直线与平面垂直,
pCnBmA
上一页
/第五章 欧氏空间四、点到平面、点到直线的距离
1,点到平面的距离设平面? 的方程为 Ax + By + Cz + D = 0,M0(x0,y0,z0) 是平面外一点,任取平面上一点 M(x,y,z),则 MM0 = (x0?x,y0?y,z0?z),点 M0 到平面? 的距离 d 就是
MM0 在平面? 的法向量 n 上的投影的绝对值,即
||
|| 0
n
n MMd,|)()()(|
222 000 CBA
zzCyyBxxA
而 M(x,y,z)是平面? 上一点，因此 Ax + By + Cz + D = 0,从而
.|| 222 000 CBA DCzByAxd (16)
M
M0
n
例如，点 (1,2,3) 到平面 2x? 3y + z? 4 = 0 的距离为
2 2 21 ) 3 ( 2
| 4 3 2 3 1 2 |
d,
145?
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
/第五章 欧氏空间例 1
解
2,点到直线的距离求点 (1,2,1 ) 到直线
1 41 32 2 zyx
的距离,
以 L 的方向向量为法向量作过 p0(1,2,1)的平面?,
2(x?1) + ( y?2) + z?1 = 0,
即 2x + y + z? 5 = 0,
p0? p1
L
下面求出 L 与平面? 的交点 p1,
将 L 的参数方程
x = 2 + 2t,
y = 3 + t,.
z = 4 + t,
代入平面方程得 t =?1,从而得交点 p1(0,2,3),从而两点 p0 与 p1 的距离
520)1( || 2221pp
为所求点到直线距离,
因此,||||
01 ss MMd
故,
||
|| 01
s
sMMd
设直线外一点 M0 到直线 L的距离为 d,在 L 上取一点 M1,||
01 s?MM
是以 MM0,s 为邻边的平行四边形的面积,
M0
M1
d
s L
上一页
/第五章 欧氏空间空间平面一般形式：
法点式：
截距式：
Ax + By + Cz + D = 0.
.1 rzqypx
,00 MMn
即 A(x?x0) + B(y?y0) + c(z?z0) = 0,
本节小结空间直线交面式对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 )：
.000 p zzn yym xx
x = x0 + mt,
y = y0 + nt,
z = z0 + pt ;
即,0010 MMMM
.01 001 001 0 zz zzyy yyxx xx
A1x + Bly + C1z + D1 = 0,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
上一页
/第五章 欧氏空间直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影：
过直线的平面束中垂直于已知平面的平面与已知平面的交线 (交面式 ).
s1,s2 间夹角
n1,n2 间夹角与 s1,n 间夹角互余数量积 向量积平行 相交垂直点到直线的距离点到平面的距离
||
|| 0
s
s MMd
Ax + By + Cz + D = 0
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
s
d
M
l
M0
M0
M1 n
n = (A,B,C)
上一页一、空间曲面及其方程二、空间曲线及其方程三、二次曲面由上节知，空间平面对应于一 个三元一次方程：
0 DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面,
(1)
一、空间曲面及其方程空间平面? 三元一次方程在直角坐标系下
§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间设有空间曲面 S 及三元方程 F (x,y,z) = 0,如果
1,曲面方程的概念
② F (x,y,z) = 0 的任一解 (x,y,z) 对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上,
① S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标 x,y,z 都满足方程 F (x,y,z) = 0；
则称 F(x,y,z) = 0 为 S 的方程,而 S 则称为 F (x,y,z) = 0 的 几何图形,
/第五章 欧氏空间空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全体构成的几何图形称为 球面,定点
M0 为球面的中心,R 称为球面的半径,
设球面上任一点 M 的坐标为 ( x,y,z ) 则 M 到球心 M0的距离为 R,即 | M0M | = R,
故
2202020 )()()( Rzzyyxx (2)
为中心在 M0 半径为 R 的 球面方程,
特例,x0 = y0 = z0 = 0,则 (2) 变为
x 2 + y 2 + z 2 = R 2,(3)
(3)表 示中心在原点，半径为 R的球面方程,
M0 R
0x y
z
M
上一页
/第五章 欧氏空间
2,旋转曲面以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫 旋转曲面,
旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的 母线 和 轴,
设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y,z)= 0,将曲线绕 z 轴旋转一周得一曲面,设旋转面上任一点 M(x,y,z),于 M 作垂直于 z 轴的 平面,它与曲线 C 交于 M1 ( 0,y1,
z),与 z 轴交于 M2 (0,0,z).
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2
因为 M1 (0,y1,z) 在 C 上,所以 f (y1,z) = 0,
由旋转性知,| M1M2 | = | MM2 |,即
,|| 221 yxy
.0),( 22 zyxf
代入 f (y1,z) = 0 得
.0),( 22 zxyf
xy上平面曲线 f (x,y) = 0 绕 x 轴旋转所成旋转面之方程,
.0),( 22 zyxf
yz上平面曲线 f (y,z) = 0 绕 y 轴旋转所成旋转面之方程,
其它情形,
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/第五章 欧氏空间常用旋转曲面－ 圆锥面两相交直线中一条直线 l 绕另一直线旋转一周而成曲面称为 圆锥面,
)20( παα 称为圆锥面的 半顶角,l 与旋转轴夹角任取圆锥面上一点 M(x,y,z),过 M 作垂直于 z 轴的平面交 z 轴于 M2(0,0,z),交直线 l 面于 M1.
由几何性质知：,
||
||
2
2 tan α?OM MM
故
.t a n|| 22z yx
即得曲面方程,) co t( 2222?yxz
0
x
y
z
l
M
M
2
M1?
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/第五章 欧氏空间锥面方程也可以按如下方法求得：
因母线 l 的方程为 y = z tan?,z 轴为旋转轴，
故将 l 的方程中的 y 替换为
,22 xy
便得锥面方程,
,t a n22?zxy
即 z2 = (x2+y2)cot 2?,
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为 圆柱面,
常用旋转曲面 —— 圆柱面例如,y = R 绕 z 轴旋转一周得圆柱面方程为
,22 Ryx
即 x2 + y2 = R2,
z
lx
y0 R
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/第五章 欧氏空间
3,柱面平行于定直线 L0 并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的轨迹叫做 柱面,称 L
为柱面的 母线,C 为柱面的 准线,
如不特别说明，柱面皆指母线平行于某坐标轴,准线为一平面曲线的柱面,
L0
C
z
x
yL
z
x
C
y
o
柱面方程有何特点呢？
方程 x2+y2 = R2 表示圆柱面，其母线平行于 z 轴，准线为 xy 面上的圆周 x2+y2=R2.
F(x,y) = 0 表示母线平行于 z 轴,准线为 xoy 面上曲线 C1,F(x,y) = 0 的柱面；
一般地：
H(y,z) = 0 表示母线平行于 x 轴,准线为 yoz 面上曲线 C2,H(y,z) = 0 的柱面；
G(x,z) = 0 表示母线平行于 y 轴,准线为 xoz 面上曲线 C3,G(x,z) = 0 的柱面,
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§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间二、空间曲线及其方程空间曲线,空间两曲面的交线,
其方程可描述为 F1(x,y,z) = 0,
F2(x,y,z) = 0,
称为交面式方程或一般方程,
1,空间曲线的方程例如,x
2+y2=1
x+y+z=2,表示圆柱面与平面的交线,
我们也可用参数形式表示空间曲线,
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t).
空间曲线参数方程为：
/第五章 欧氏空间例 2
解若空间中点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v 都是常数 ),则点 M 构成的图形为螺旋线,
试求 其方程 。
x = acos? t,
y = asin? t,
z = vt.
t ≥ 0.
设时间 t 为参数,初始时刻 (t = 0) 动点在 A(a,0,0)处，经时间 t，动点运动到 M (x,y,z).
z
x
y0
A
M
M'
作 M 在 xy 平面的投影，投影点为 M‘，其坐标为 (x,y,0),
由题意,|'| tMMz v
,c o s|'| tOMx ω?
.s i ns i n|'| tatOMy ωω
螺旋线 参数方程 为上一页
/第五章 欧氏空间
2,空间曲线在坐标面的投影设空间曲线
F1(x,y,z ) = 0,
F2(x,y,z ) = 0,
(5)
消去 z,得
H (x,y ) = 0,(6)
曲面 (6) 为母线平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5)，则 (x,y) 满足 (6),故 C
是柱面 (6) 上的一条曲线,所以 C 在 xy 平面的投影为
H (x,y) = 0,
z = 0,(7)
(7) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
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/第五章 欧氏空间例 3
由参数方程，即得 x2 + y2 = a2 ( 消去了 z ),
故投影方程为
z = 0.
X2 + y2 = a2,
y = asin? t 在 xy 平面上的投影,求螺旋线
x = acos? t,
z = vt.
解例 4
求球面 x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + ( y?1)2 + ( z?1 )2 = 1 的交线在 xy 面上的投影方程,
交线方程为
x2 + y2 + z2 = 1,
x2 + ( y?1)2 + ( z?1)2 = 1,z
x
y
解两式相减,2y + 2z = 2,即 z = 1? y,
故投影方程为：
x2 + 2y2? 2y = 0，
z = 0.
x2 + y2 + (1?y)2 = 1,
x2 + 2y2? 2y = 0,
代入第一个方程得：
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§ 5,空间曲面和空间曲线
/第五章 欧氏空间三、二次曲面一般地，称方程形如：
A11x2 + A22y2 + A33z2 + 2A12xy + 2A23yz + 2A31zx + A1x + A2y + A3z +A = 0
的曲面为三维空间 R3 中的二次曲面方程,
1,椭球面
,1222222 czbyax ( a,b,c均大于 0).
易知,| x | ≤ a,| y | ≤ b,| z | ≤ c，为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面 z = z0 (| z0 | ≤ c) 截曲面，得到截线方程为
,1 2202222 czbyax
z = z0.
椭圆当,||
0 时cz? 截线是平面 z = z0 上一椭圆，
而当 | z0| = c 时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
/第五章 欧氏空间
z
x
y
0
同理，以平面 x = x0 ( |x0|≤ a )
和平面 y = y0 ( |y0| ≤b) 截椭球面所得截线与上述情况类似,因此,椭球面的形状如右图,
若 a = b，
,1222222 czayax
若 a = b = c,
方程变为方程变为 x2 + y2 + z2 = a2.
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz面上椭圆 1
2
2
2
2
czax
绕 z轴旋转而成的旋转 曲面，称为 旋转椭球面,
它表示一个球心在原点，半径为 a的球面,
上一页
/第五章 欧氏空间
2,椭圆抛物面
,22 022 zqypx
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面 z = z0 ( z0 > 0) 截椭圆抛物面，所得截线方程为
.),(22 22 同号qpzqypx
.0zz?
椭圆
,22 202 qyzpx
.0yy?
抛物线
x
z
y
以平行于 xz面的平面 y = y0 截曲面，截线方程为同理，以平行于 yz 面的平面 x = x0 截曲面所得截线是平面 x = x0 上的一条抛物线,
若 p,q 均大于 0，则椭圆抛物线的开口朝上,
若 p,q 均小于 0，则椭圆抛物线的开口朝下,
特例,若 p = q,方程变为
,22 202 zpypx
它是由 xz 面上曲线
p
xz
2
2? 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
上一页
/第五章 欧氏空间
3,双曲抛物面
.),(22 22 同号qpzqypx
z
x
y
y = y0,
.22 202 qyzpx
x = x0,
.22 202 pxzqy
抛物线抛物线
z
x
y
z = z0,
,2 20 2 2z q y p x
双曲线上一页
/第五章 欧氏空间
4,单叶双曲面
,1222222 czbyax a,b,c 均大于 0,
,1 2202222 czbyax
.0zz?
椭圆以平行于 xy 面的平面 z = z0 截曲面，所得截线方程为以平行于 xz 面的平面 y = y0 截曲面，所得截线方程为
,1 2202222 byczax
.0yy?
双曲线
,1 2202222 axczby
.0xx?
双曲线以平行于 yz 面的平面 x = x 0 截曲面，所得截线方程为上一页
/第五章 欧氏空间
5,双叶双曲面
1222222 czbyax (a,b,c均大于 0)
,1 2202222 czbyax
.0zz?
双曲线以平行于 xy 面的平面 z = z0 截曲面，所得截线方程为以平行于 xz 面的平面 y = y0 截曲面，所得截线方程为以平行于 yz 面的平面 x = x0 截曲面，所得截线方程为
,1 2202222 byczax
.0yy?
双曲线
,12202222 axczby
.0xx?
椭圆
0
x
y
za
上一页第五章 欧氏空间
1) 当? = 0 ( 或? = 0) 时,0),( (5) 式成立,
2) 当 0,且 0 时,对于任意实数 t,有
),( tt 2),(),(2),( tt,0?
记 ),)(,(4)),(2( 2,),)(,(4),(4 2
从而有
,04),(4 222
即
.),(
证所以? 与? 线性相关
),(
综合 (1),(2) 定理证毕,
+ t? = 0
(? + t?,? + t?) = 0
= 0
第五章 欧氏空间证 2 ),(
),(),(2),(
.||||2| 22 || |
故,
(1)
(2) ),(2
),(2),(),(
||||
),(|||2|||| 22
|
,),c o s (||||2|||| 22
故 (8) 式成立,
