第一节 向量的概念及其线性运算第四节 向量的线性相关性第二节 空间的直角坐标系及向量的坐标第五节 向量空间的基与坐标第三节 向量空间
*第六节 线性空间基本概念介绍一、向 量 的 概 念二、向 量 的 线 性 运 算第三章 向量空间
§ 1.向量的概念及其线性运算向量可用空间的一个有向线段来表示，如 A
B
一、向量的概念例如力，速度，加速度等均为向量,
既有大小，又有方向的量称为 向量 (又称 矢量 ).
定义 1
其中有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的 长度 (模 ),有向线段的指向表示向量的 方向,这样的向量我们均称为 (几何 )向量,
如果 A,B 分别是向量的起点和终点,则向量可用符号 AB 表示，也可用一希腊字如
,?,?,… 等表示,
向量 AB (或? )的模用符号 ||AB|| (或 ||? ||)来表示,模为 1的向量称为 单位向量 ; 模为零的向量称为 零向量,记作 0，零向量的方向不定,
方向相同且模相等的向量称为 相等的向量,也就是说，向量与它的起点无关，而只与它的长度及方向有关,在讨论多个向量时，我们常把它们平移到同一起点,
第三章 向量空间如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们 共线,向量?,? 共线 记为? //?,
我们规定,零向量与任何向量共线,如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们 共面,
显然,任意两个向量一定共面,
与向量? 的长度相等，方向相反的向量称为? 的 负向量,记为，
显然 AB =? BA.
A
B
A
B
上一页第三章 向量空间二、向量的线性运算
1,向量的加法
+?
O A
B
设?,? 为空间中两个向量，在空间中任取一点 O,作 OA =?,
AB =?,则向量 OB 称为? 与? 的 和,记为? +?.
定义 2
2,向量与数的乘法设? 为向量,? 为实数，定义?与? 的 乘积是满足如下两条件的向量：
i) || || = |? | ||? ||,
ii) 当?> 0 时, 的方向与? 相同；当?< 0 时, 的方向与? 相反,
定义 3
§ 1.向量的概念及其线性运算显然，当?= 0 或? = 0 时, = 0.
如,? 22?
第三章 向量空间设?为一非零向量,?0 为与?同向的单位向量，则由向量的数乘可知
= ||?||? 0,
或
. |||| 10?
此时?0 又称为? 的 单位化向量,
向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为向量的 线性运算,
利用向量的数乘，显然有定理 1
向量? 与非零向量? 平行的充要条件是存在非零实数?,使
=.
上一页第三章 向量空间向量的线性运算满足下面的运算法则：
1)? +? =? +? ; (加法交换律 )
2) (? +? ) +? =? + (? +? ); (加法结合律 )
3) 0 +? =?;
4)? + () = 0;
5) 1 =?;
6)?1(?2?) = (?1? 2)? ; (数乘结合律 )
7) (?1 +?2)? =?1? +? 2? ; (第一分配律 )
8)?(? +? ) = +; (第二分配律 )
其中?,?,? 表示空间中任意向量,?1,?2 表示任意实数,
定理 2
以上 8 条法则可直接由定义得出,例如由下图
可得出 1)? +? =? +?,
上一页第三章 向量空间由下图
可得出 2) (? +? ) +? =? + (? +? );
3),4),5)显然,
下面看 8):
如果?,? 有一为零向量,或? = 0,8) 显然成立,设?≠ 0,?≠ 0,?≠ 0,当?> 0 时,由下图
A B
C
A1 B1
C1
因为? //,? //,
且知 △ ABC ∽ △ A1B1C1,故 ( + ) // (? +? ),
且即 + 与? +? 同向,且 | + | =?|? +? |,从而由数与向量相乘的定义可得出
8)?(? +? ) = ( +),当?< 0 时,同样可证明 8) 成立,
6),7) 留给同学们自己证明,
,|| ||||| λλλαα |
λ,λλ || ||αα
上一页例 1
第三章 向量空间根据向量的加法，定义两向量 的减法为：
=? + ( ).
显然,若? =,则? +? =?,
即减法是加法的逆运算,
已知平行六面体三边的向量分别为?,?,? ; A,B,C,D,E,F为各边中点,
求证向量 AB,CD,EF 能 构成三角形,证例 2
已知四边形 ABCD 中,AB =2?,CD = 5? + 6 8?,对角线 AC,
BD 的中点分别为 E,F,试用?,?,? 表示向量 EF,解答例 3
证证明
i) 向量?,? 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = 0.
2) 向量?,? 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = 0.
单击 此处 可查阅进一步内容上一页一、空间直角坐标系二、空间向量的坐标表示
§ 2,空间的直角坐标系及向量的坐标一、空间直角坐标系设 O 为空间中的一点,过 O 作三条两两相互垂直的数轴,分别称为 x
轴,y 轴,z 轴,它们的正向如下图,则称它们为一个空间直角坐标系,
z
x
yO
z
x
y
O'
联接几何向量与代数的纽带是在空间建立坐标系,从而使几何问题代数化,
定义 1
在空间直角坐标系中，任意两条轴确定的平面称为 坐标平面,如
x 轴,y 轴确定的平面为 xy 平面 (xOy面 );
y 轴,z 轴确定的平面为 yz 平面 (yOz面 );
x 轴,z 轴确定的平面为 xz 平面 (xO z面 ).
第三章 向量空间第三章 向量空间在空间直角坐标系中，三个坐标平面将整个空间分成八个部分，每个部分称为一个 封限,分别称为第 I－ VIII卦限,如下图：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
在空间直角坐标系中，有三条轴,x 轴,y 轴,z 轴三个坐标面,xy 平面,yz 平面,xz 平面八个卦限,第 I － VIII 卦限上一页第三章 向量空间二、空间向量的坐标表示
1,空间中点的坐标
,ixOP?
我们称有序数组 (x,y,z )为向量? (点 M)的 坐标,并依次称 x,
y,z 为向量? (点 M) 的 横坐标,纵坐标,竖坐标,记为
(x,y,z ) (M(x,y,z)).其中 xi,y j,z k 又分别称为向量? 在
x 轴,y轴,z 轴上的 分量 (分向量 ).
,jyOQ? k,zOR?
且 HMOHOM HMPHOP OROQOP k,ji zyx
在空间直角坐标系中,设 x 轴,y 轴,z轴上的单位向量分别为 i,j,k,称为基本单位向量,则对空间任一向量?,作? =,如下图可知 存在 x,y,z,使OM
即 OMα k.ji zyx z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
上一页第三章 向量空间在空间直角坐标系中，每个卦限中的点的坐标有如下特点：
第 I 卦限,x>0,y>0,z > 0;
第 II 卦限,x<0,y>0,z > 0;
第 III 卦限,x<0,y<0,z > 0;
第 IV卦限,x>0,y<0,z > 0;
第 V卦限,x>0,y>0,z < 0;
第 VI卦限,x<0,y>0,z < 0;
第 VII卦限,x<0,y<0,z < 0;
第 VIII卦限,x>0,y<0,z < 0;
上一页第三章 向量空间我们把三元有序实数组 (a1,a2,a3)称为一个 实三维向量,或简称为 三维向量,
这样,在空间中取定一个直角坐标系后,空间中全体向量的集合与全体三维向量之间就建立了一一对应,空间的全体点的集合与全体三维向量之间也建立了一一对应,
3.向量的线性运算与坐标
{空间中全体向量 } 1?1 {全体三维向量 }
(x,y,z)
(其中? = ).
{空间中全体点 } 1?1 {全体三维向量 }
M (x,y,z)
(其中 OM= ).kji zyx
kji zyx
上一页第三章 向量空间我们定义三维向量的 加法 以及 数与向量的乘法 如下：
( a1,a2,a3) + (b1,b2,b3) = (a1+b1,a2+b2,a3+ b3 ),
( a1,a2,a3 ) = (? a1,? a2,? a3) (其中?为实数 ).
设向量?,? 的坐标分别为 (x1,y1,z1)及 (x2,y2,z2) 则
(? +? ) = (x1i + y1j + z1k ) + (x2i1+ y2j + z2k )
= (x1+ x2) i + (y2+ y2) j + (x1+ x2) k,
所以? +? 的坐标为
( x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2).
设? 为一实数，则
=? (x1i +y1 j +z1 k ) =? x1i +? y1 j +? z1 k,,
所以的坐标为
(? x1,? y1,? z1) =?( x1,y1,z1).
也就是说：向量和的坐标等于向量坐标的和 ;数?与向量的乘积的坐标等于?与向量坐标的积,
由 =? + ( ),可知 的坐标为
).,,(),,(),,( 212121222111 zzyyxxzyxzyx
上一页第三章 向量空间在直角坐标系中,
{空间中全体向量 } 1?1 {全体三维向量 }
(x1,y1,z1),
(x2,y2,z2),
则? +? (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2),
( x1,y1,z1),
(x1,y1,z1)? (x2,y2,z2).
例 1
设向量?,? 的坐标分别为 (x1,y1,z1) 及 (x2,y2,z2),求 23? 的坐标,
设 23? 的坐标为 (x,y,z),则
(x,y,z ) = 2 (x1,y1,z1)?3 (x2,y2,z2)
= (2x1 – 3x2,2y1 –3 y2,2z1 –3z2).
解设上一页第三章 向量空间
4,空间中向量的长度、方向余弦、方向角如右图,设向量则由右图可知
||||?
kji zyx
z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
OMα
22 |||||||||||| HMOHOM
222 |||||||||||| HMPMOP
222 |||||||||||| OROQOP,222 zyx
即 如果 = xi + yj + zk,
.222 zyx
则?的长度为在空间直角坐标系中，设点 P1 的坐标为 (x1,y1,z1),点 P2 的坐标为 (x2,y2,z2),则故
,1221 OPOPPP
O
P2
P1
kji )()()( 121212 zzyyxx
,)()()(|||| 21221221221 zzyyxxPP
从而知点 P1与点 P2的距离为
,)()()( 212212212 zzyyxx
此称空间两点的 距离公式,
上一页第三章 向量空间
,co s|||| 1x
||||cos 1 α x,222 zyx
x
上图中? 的方向可用它与三条坐标轴的正向的夹角 θ1,θ2,θ3 来表示 (0≤ θ1,θ2,
θ3 ≤? ),θ1,θ2,θ3 称为向量? 的 方向角,
,co s|||| 2?α?y,co s|||| 3?α?z
||||cos 2 α y
||||cos 3 α z
,222 zyx y
.222 zyx z
称为向量? 的 方向余弦,
显然 cos 2θ1+ cos2 θ2 + cos2 θ3 =1.
,cos1? 3cos?,cos2?
而与? 同向的单位向量为
|||| 1 kzjyix ||||||||||||
i1cosj2θcos,cos k3θ
,cos1? 3cos?,cos 2?即 是? 0 的坐标,
上一页第三章 向量空间例 2
在 z 轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2) 等距的点 M.
因为点 M 在 z 轴上，所以设 M 的坐标为 M(0,0,z),依题意知
||MA|| = || MB ||,
即 222 )7()01()04( z
由此解得,
914?z
故所求的点为 ).
914,0,0(M
,)2()05()03( 222 z
解例 3
已知两点 )1,2,4(A 和 B(3,0,2),求向量 AB 的模，方向余弦和方向角及 AB?
),1,2,1()12,20,43(AB
,21)2()1(|||| 222AB
,21cos,22cos,21cos
,32,43,3
故 ABAB
2
1 ).21,22,21(
解上一页一,n 维向量的定义及运算二、向量空间
§ 3,向量空间第三章 向量空间在上一节,我们介绍了三维向量的概念,知道三维向量与一个三元有序数组形成一一对应,实际生活中很多事物也可用多个数构成的有序数组来刻划,
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b
就可用 n+1个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an,b) 来代表,
如一个 n元线性方程组一,n维向量的定义及运算在这一节，我们把三维向量的概念予以推广，讨论 n 维向量,
由 n 个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an) 称为 一个 n 维向量,其中 ai
称为该向量的第 i个分量 ( i =1,2,…,n).
一般用希腊字母?,?,?,… 表示 n 维向量,分量全是实数的向量称为实向量,
以后我们所讨论的向量都是指实向量,
1,n 维向量注意,n > 3 时的向量没有直观的几何意义,
定义 1
规定,对于? = (a1,a2,…,an ),? = (b1,b2,…,bn ),
= ai = bi,i =1,2,…,n.
第三章 向量空间
1) 加减法 设? = (a1,a2,…,an),? = (b1,b2,…,bn ),定义
= (a1? b1,a2? b2,…,an? bn).
2) 数乘 设? = (a1,a2,…,an),k为实数，定义数 k 与向量? 的乘积为
k? = (ka1,ka2,…,kan).
2,n 维向量的运算易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：
1) 加法交换律? +? =? +?;
2) 加法结合律 (? +? ) +? = (? +? ) +? ;
3) 向量 0 = (0,0,…,0) 称为 零向量,它有性质
4) (?1)? = (?a1,? a2,…,? an) 称为? 的 负向量,记为.,显然有：
+ ( ) = 0;
+ 0 =? ;
5) 1 =?;
6) 数乘结合律 k ( l?) = ( k l)?;
7) 第一分配律 k (?+? ) = k? + k?;
8) 第二分配律 ( k+l )? = k? + l?,
(其中?,?,? 为任意 n 维向量,k,l 为实数 ).
上一页第三章 向量空间我们也可把 n 维向量的分量排成一列，如
,2
1
na
a
a
α
此时可称? 为 n 维列向量 ；相应地称把分量排成一行的向量称为 n 维行向量,
如? = (a1,a2,…,an).
由上面可看出,n 维向量的概念与运算实际上与 1? n ( 或 n? 1 )矩阵一致,
设 A是一个 m 行 n 列的矩阵，则 A 的每一行是一个 n 维行向量,A 的每一列是一个 m维列向量，分别称它们为 A 的行向量与列向量,并可以表示为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
m?
2
1
).,,,( 21 n
上一页第三章 向量空间例 1
设 V是一些 n 维向量的非空集合,如果 V 关于向量的加法与数乘封闭,即
(1), V,有? + V.
(2)V,k? R,有 kV.
则称 V 是一个 向量空间,
二、向量空间定义 1
全体 n 维向量的集合 {(x1,x2,…,xn)| xi? R,i=1,2,…,n }是一个向量空间，
记为 Rn.
特别的
n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间 ;
n = 3 时 全体三维向量 {(x1,x2,x3) |xi? R,i= 1,2,3 } 是一个向量空间，记为 R3.
n = 2 时全体平面中的向量 {(x1,x2 ) | xi?R,i=1,2} 是一个向量空间，记为 R2.
§ 3,向量空间第三章 向量空间例 3
例 2
而
W = {(a1,a2,…,an)| }0
1
n
i i
a 是一向量空间,
}1|),,,{(
1
21?
n
i
in aaaaS
不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均不封闭,
仅含一个 n 维零向量 0 = (0,0,…,0) 的集合 {0} 构成一个向量空间，
称为 零空间,
设 V 是一个向量空间,W? V,W,如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭,则称 W是 V 的 子空间,
定义 3
例 4
V 本身和 {0} 都是 V 的子空间，称它们为 V 的 平凡子空间,
上一页第三章 向量空间例 5
}1,,2,1,|)0,,,,{( 1211 niaaaaW in R
}|),,,,{(2 R aaaaaW?
n个分量都是 R n 的子空间,及例 6
设 V,则 L (?) = {k? | k? R }为 V 的子空间,称它 为 由? 生成的子空间,
称为这子空间的 生成元,
},,2,1,,|{),,(
121
sikkL is
i iis
R
是 V 的由?1,?2,…,?s 生成的子空间,
更一般地，设?1,?2,…,?s? V.
例 7
设 A 为 m 行 n 列实矩阵,设 A 的列向量为?1,?2,…,?n,则
L(?1,?2,…,?n) 是 Rm 的子空间,称为 A的列空间,记为 N(A)，
设 A 的行向量为?1,?2,…,?n,则 L(?1,?2,…,?n) 也是 Rn 的子空间,
称为 A 的行空间,
上一页一、向量组的线性相关性二、向量组的极大无关组与秩三、向量组线性相关性的矩阵判别法第三章 向量空间
§ 4,向量的线性相关性一、向量组的线性相关性对于 n 维向量组?1,?2,…,?s,如果存在不全为零的实数 k1,k2,…,ks 使得 k
1?1 + k2?2+ …+ ks?s = 0,
否则，称?1,?2,…,?s 线性无关,则称 n 维向量组?1,?2,…,?s 线性相关,
定义 1
所谓?1,?2,…,?s 线性无关，即如果
k1?1 + k2?2+ …+ ks?s = 0,
则必有 k1= k2= …= ks= 0.
例 1
向量组?1 = (1,2,0,1),?2 = (1,1,?1,3),?3= (1,3,1,? 1) 线性相关,因为
2?123 = 0.
例 4
例 3
例 2
第三章 向量空间两个向量?,? 线性相关当且仅当? = k? 或? = l?,k,l?R..
含有零向量的 n 维向量组必定线性相关，因为若向量组?1,?2,…,?s 中有一为零向量，不妨设?1= 0，则 11+02+ …+ 0s = 0,其系数不全为 0.
证明 n 维向量组 e1= (1,0,…,0),e2= (0,1,…,0),…,en= ( 0,0,…,1) 线性无关,
令 k1e1+ k2e2+…+ knen= 0,
即 (k1,k2,…,kn) = (0,0,…,0),
所以 k1= k2= …= kn=0,
即 e 1,e 2,…,e n 线性无关,
证上一页第三章 向量空间例 5
讨论四维向量组?1 = (1,1,1,1),?2 = (1,?1,1,?1),?3 = (1,?1,?1,1),
4 = (1,1,?1,?1) 的线性相关性,
解答设 k1,k2,…,ks?R,?1,?2,…,?s 是 n 维向量，若
= k1? 1+ k2?2 + … + ks?s
则称? 为 向量?1,?2,…,?s 的一个 线性组合,
或称? 可由向量组?1,?2,…,?s 线性表出,
定理 1
当 s ≥2 时,向量组?1,?2,…,?s 线性相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由其余向量线性表出,
定义 2
上一页第三章 向量空间必要性
k1? 1+ k2?2+… + ks? s= 0.
于是,
1111
s
s
s
s
s k
k
k
k ααα?
即?s 可由?1,?2,…,?s?1 线性表出,
设?1,?2,…,?s 线性相关，则有不全为零的实数 k1,k2,…,ks,使若某个向量例如?1 可被其余向量线性表出，即有
1 = k2? 2+ k3?3 +… + ks? s,
于是 1 1+ (? k2)? 2 + … + (? ks )? s = 0,
其系数 不全为零，故?1,?2,…,?s 线性相关,
充分性证不妨设 ks? 0,
上一页第三章 向量空间定理 2
如果向量组?1,?2,…,?s 中有一部分向量线性相关,则这 s个向量也线性相关,
不妨设前 r (r<s) 个向量?1,?2,…,?r 线性相关，即存在不全为零的数 k1,
k2,…,kr 使得
k1? 1+k2?2+… + kr? r= 0
再取 kr+1= kr+2=…= ks= 0,则有
k1? 1+ k2?2+… + kr? r+ kr+1?r+1+…+ ks?s = 0,
而 k1,k2,…,ks 不全为零，所以?1,?2,…,?s 线性相关,
证如果向量组?1,?2,…,?s 线性无关，则其中部分向量也线性无关,
定理 1、定理 2 可总结为：
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关,
推论 1
上一页第三章 向量空间例 6
二、向量组的极大无关组与秩
n 维向量组?1,?2,…,?s 的部分组显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关组就是它自身,
riii ααα,,,21?
如果满足,
2) 向量组?1,?2,…,?s中的向量都可由 线性表出，
1) 线性无关，
是向量组?1,?2,…,?s的一个 极大无关组,则称定义 3
设有三维向量组,?1= (1,0,0),?2= (0,1,0),?3= (0,0,1),?4= (1,1,1),显然?1,?2,?3 线性无关,且?4 =?1+?2 +?3,即?4 能由?1,?2,?3 线性表出,
所以?1,?2,?3 就是向量组?1,?2,?3,?4 的一个 极大无关组,
同样可验证?1,?3,?4 ；?1,?2,?4 及?1,?3,?4 均是向量组的极大无关组,
§ 4,向量的线性相关性
riii ααα,,,21?
riii ααα,,,21?
riii ααα,,,21?
第三章 向量空间定理 3
由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个，但可以证明：
一向量组的极大无关组都含有相同个数的向量,且称极大无关组中向量的个数为 向量组的秩,
定理 3的结论可由下面定理直接得出,
设?1= (a11,a12,…,a1n),?2= (a21,a22,…,a2n),…,?m= (am1,am2,…,amn ) 是
m个 n 维向量,
m
A
α
α
α
2
1
并称 A 为向量组?1,?2,…,?n 所构成的矩阵，则 r(A) = r.
是它的一个极大无关组,令
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
定理 4
证
riii ααα,,,21?
上一页第三章 向量空间推论 2
由定理 4知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，又由于任一矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相等，故由定理 4可得：
矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩,也 等于它的列向量组的秩,
设?1,?2,…,?m 为 m 个 n 维向量,A 是以它们为行向量构成的 m?n 矩阵,则?1,?2,…,?m 线性相关的充要条件是 r(A) < m.
推论 3
特别,当 m = n 时，向量组线性相关的充要条件为 | A | = 0.
推论 4 多于 n个的 n 维向量组一定线性相关,
上一页第三章 向量空间推论 5 设一向量组的秩为 r,则向量组中任意 r 个线性无关的向量可构成一极大无关组,
由推论 5易得推论 6 设向量组的秩为 r,则该向量组中任意多于 r 个向量构成的部分组一定线性相关,
证上一页第三章 向量空间由定理 4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩的问题,
三、向量组线性相关性的矩阵判别法若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；
若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关,
一般分三种情况：
1) 向量的个数大于向量的维数，则必线性相关；
2) 向量的个数等于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的行列式：
若 |A|?0,则线性无关，若 | A |=0,则线性 相关；
3) 向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的秩：若 r(A)
等于向量的个数,则线性无关，若 r(A)小于向量个数,则线性 相关；
§ 4,向量的线性相关性例 7
判断下列向量组的线性相关性,
1)?1= (1,2,0),?2= (3,?1,2),?3= (4,?5,9),?4=(9,7,?1);
2)?1= (?1,5,?9),? 2= (3,0,1),? 3= (5,?5,1)；
3)?1= (1,2,?1,0),? 2= (1,1,?1,?1),? 3= (3,4,?3,?2).
解答第三章 向量空间例 8
求向量组?1 = (1,?2,?1,?2,2),?2 = (4,1,2,1,3),
3 = (1,1,1,1,1/3),?4 = (2,5,4,?1,0)
的秩,并找出它的一个极大无关组,
01452
3/11111
31214
22121
A
43690
3/53230
59690
22121
16000
00000
59690
22121
00000
16000
59690
22121
r3?r4
向量组的秩为 3 且?1,?2,?4 为一极大无关组,
解上一页一、向量空间的基与维数二、向量在给定基下的坐标三、基变换与坐标变换公式第三章 向量空间设 V 是一向量空间,?1,?2,…,?r?V 且满足
(1)?1,?2,…,?r线性无关 ;
(2)V,? 可由?1,?2,…,?r 线性表出,
一,向量空间的基与维数则称向量组?1,?2,…,?r 为向量空间 V 的一组 基底 (基 )，而 r 称为向量空间 V 的 维数,记为 dimV,
§ 5 向量空间的基与坐标定义 1
规定,零空间的维数为 0,它没有基,
由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组,由于向量组的极大无关组是不唯 一的，所以向量空间的基也是不唯一的,
第三章 向量空间例 2
例 1
设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1,0,0,…,0 ),
e2= ( 0,1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn 的基,且 dim Rn =n.
由矩阵判别法知 e1,e2,…,en 线性无关,设? = (x1,x2,…,xr )为任一 n 维向量,
显然有
= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以? 可由 e1,e2,…,en 线性表出,即 e1,e2,…,en 是 Rn 的基,从而 dim Rn = n.
证设 V 为一向量空间，且 dimV = r,而?1,?2,…,?r 为 V 中 r 个线性无关的向量，证明?1,?2,…,?r 必为向量空间 V 的一组基,
证上一页第三章 向量空间例 3
证明向量组
1 = (1,2,1),?2 = (3,0,?1),?3 = (2,?3,5)
为空间 R3 的一组基,
由于 dim R3 = 3,故只要证明?1,?2,?3 线性无关即可,
5317
100
124
532
103
121
,0 3-17 24
1,?2,?3 线性无关，从而?1,?2,?3 可构成空间 R3 的一组基,
证上一页第三章 向量空间二、向量在给定基下的坐标设?1,?2,…,?m 是向量空间 V 的一个基,V,? 可由?1,?2,…,?m
线性表 出,
= x1?1 + x2?2 +… + xm?m,
则组合系数 (x1,x2,…,xm ) 称为向量? 在基?1,?2,…,?m 下的 坐标,
( x1,x2,…,xm?R )
(5.1)
§ 5 向量空间的基与坐标定义 2
注,?在基?1,?2,…,?m 下的坐标是唯一的,
= y1?1 + y2?2 +… + ym?m,(5.2)
由 (5.1)式减去 (5.2)式,得
(x1? y1)?1 + (x2? y2)?2 +… + ( xm? ym)?m = 0,
由于?1,? 2,…,? m 线性无关,故
x1? y1 = x2? y2 =…= xm? ym= 0,
即 xi = yi ( i = 1,2,…,m).
事实上,若还有另一坐标 (y1,y2,…,ym ),即第三章 向量空间例 4
已知 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn
的基,而对 Rn 中任一向量?,有
= ( x1,x2,…,xn ) = x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以? 在基 e1,e2,…,en 下的坐标就是其自身,
故 e1,e2,…,en 称为空间 Rn 的 标准基,
例 5 设?
1 = ( 1,1,2 ),?2 = ( 1,3,0 ),?3 = ( 1,0,1 ),证明?1,?2,?3 是 R3的一个基,并求? = ( 0,?1,3) 在这个基下的坐标,
Dim R3 =3,而,04
101
031
211
所以?1,?2,?3 线性无关,从而是 R3 的一个基,
解令? = x1?1 + x2?2 + x3?3,,
所以? 在基?1,?2,?3 下的坐标为 (2,?1,?1 ).
即 ( 0,?1,3) = x1 (1,1,2) + x2 (1,3,0) + x3 (1,0,1),
则
x1 + x2 + x3 = 0,
x1 + 3x2 =?1,
3x1 + 2x2 + x3 = 3,
x1 = 2,
x2 =?1,
x3 =?1.
上一页第三章 向量空间三、基变换与坐标变换公式设向量空间 V 的维数为 n,则 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的基,对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的,下面我们来看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系,
§ 5 向量空间的基与坐标设?1,?2,…,?n 及?1,? 2,…,? n 是向量空间 V 的两个基,那么由基的定义,向量?i (i = 1,2,…,n ) 可由?1,?2,…,?n 唯一线性表出,设
,12211111 nncccαβ
,22221122 nnccc αααβ
.2211 nnnnnn ccc αααβ
,
21
22221
112`11
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
矩阵 C 称为由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,?n 的 过渡矩阵,它是可逆的,
令即,),,,(),,,(
21
22221
11211
2121
nnnn
n
n
nn
ccc
ccc
ccc
αααβββ
(5.3)
第三章 向量空间将 (5.3) 式简记为,
(?1,? 2,…,? n) = (?1,?2,…,?n ) C (5.4)
新基 旧基 过渡矩阵公式 (5.4)称为 基变换公式,
上一页第三章 向量空间例 6
求 R3 中由标准基 e1= (1,0,0),e2= (0,1,0),e3= (0,0,1),到基?1= (1,1,2),
2= (1,3,0),?3= (1,0,1)的过渡矩阵,
102
031
111
),,(),,( 321321 eeeααα?
所求过渡矩阵为
102
031
111
C
解上一页第三章 向量空间将上式用矩阵表示为
n
n
x
x
x
2
1
,2 1),,(,),,(
2
1
,2 1
n
n
y
y
y
将基变换公式代入得
n
n
x
x
x
2
1
,21 ),,(,),,(
2
1
,21
n
n
y
y
y
C
ααα
由向量坐标的唯一性,可得
mm y
y
y
C
x
x
x
2
1
2
1
,
2
1
12
1
mm x
x
x
C
y
y
y
或 (5.7)
上 式说明了? 在两个不同基下的坐标之间的关系,称为 坐标变换公式,
新坐标 旧坐标设向量? 在基?1,?2,…,?n 与基?1,? 2,…,? n 下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn)
与 (y1,y2,…,yn ) 即
nnxxx2211 (5.5)
nnyyy2211
上一页第三章 向量空间定理 1
上面的讨论可总结为,
设由向量空间 V 的基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵 C,
而向量? 在基?1,?2,…,?n 与基?1,? 2,…,? n 下的坐标为 (x1,x2,…,xn ) 与
(y1,y2,…,yn ),则
.2
1
12
1
nn x
x
x
C
y
y
y
(?1,? 2,…,? n ) = (?1,?2,…,?n )C,
且上一页第三章 向量空间例 7
设 R3 中一组基为?1= (?3,1,?2),?2= ( 1,? 1,?1),?3 = (2,3,?1),求向量?
= (1,0,0) 在基?1,?2,?3 下的坐标,
设? = ( 1,0,0) 在基?1,?2,?3下的坐标为 (y1,y2,y3),在基 e1,e2,e3 下的坐标为 (x1,x2,x3) = (1,0,0),则由于
(?1,?2,?3) = (e1,e2,e3 )
112
311
213
由基 e1,e2,e3 (旧基 )到基?1,?2,?3 (新基 )的过渡矩阵为解
0
0
1
11
3
2
1
C
y
y
y
0
0
1
211
1175
532
.
1
5
2
1 1 2
3 1 1
2 1 3
C
从而上一页第三章 向量空间命题 1
关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的,
设由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵为 C,则由基?1,? 2,…,
n 到基?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C?1.
基?1,?2,…,?n
C
基?1,? 2,…,? n
C?1
命题 2
设由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,?n 的过渡矩阵为 C1,则由基? 1,? 2,…,
n 到基?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C2,则由基?1,?2,…,?n 到?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C1 C2,
基?1,?2,…,?n
C1
基?1,? 2,…,? n
基?1,?2,…,?n
C2
上一页第三章 向量空间例 8
求 R3中由基?1= (?3,1,?2),?2= (1,?1,?1 ),?3= (2,3,?1 )到基?1= (2,1,1),
2= (1,2,3),? 3= (2,0,1 )的过渡矩阵,
由标准基 e1,e2,e3 到基?1,?2,?3 及基? 1,?2,?3 的过渡矩阵分别为
112
311
213
1
－
C 和
131
021
212
2C
解即 (?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C1,(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故 (e1,e2,e3)=(?1,?2,?3)C1?1
从而 =(?1,?2,?3)C1?1C2(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故由知基?1,?2,?3 到基? 1,?2,?3 的过渡矩阵 C 为
131
021
212
211
1175
532
072
14213
1196
211 CCC
031
021
212
112
311
213 1
例 9
上一页第三章 向量空间例 10
在平面直角坐标系中,设 e1,e2 分别是 x 轴,y 轴上的单位向量,其方向与轴的正向一致,它们是 R2 的一个基,将这坐标系绕原点逆时针旋转?,令相应的单位向量为 e1?,和 e2?,则 e1,e2? 也是 R2 的一个基,于是我们有
e1?= cos? e1+ sin? e2
e2?=? sin? e1+ cos? e2
或 (e1?,e2?) = ( e1,e2)
c o ss in s inc o s
y
e1
e1?e2e2?
x
x?
y?
O
即由 e1,e2 到基 e1?,e2? 的过渡矩阵为?
c o ss i n
s i nc o sC
设向量? 在基 e1,e2 和基 e1?,e2?下的坐标分别为 ( x,y ) 和 ( x?,y? ),由坐标变换公式,得
yx yx c o ss i n s i nc o s
或
yx yx c o ss i n s i nc o s
即 s i nc o s yxx
c o ss i n yxy
这正是大家熟知的平面解析几何里坐标旋转公式,
上一页第三章 向量空间由右图可看出
β,α 2121AB
α,γ 2121CD
γ,β 2121EF
于是,0 EFCDAB
B
A
F
E
D
C
即
.,,能构成三角形 EFCDAB
证第三章 向量空间如图，设 AD的中点为 H,由于 E,F分别为 AC,
BD中点，有
,21 ABHF?,21 CDEH?
而 HFEHEF
A B
D
C
H
E
F),(2
1 CDAB
解故 )(
2
1 CDABHF
)8652(21 γβαγα
γ.βα 533
又,2γαAB γ,βα 865CD
第三章 向量空间证 i) 设? = 0,则?,? 共线，且有 1 + 0? = 0,结论成立,
设 0,则?,? 共线,且有实数?,使? =,即 = 0,取 k =?,
l =?1,则 k,l 不全为零,且 k? + l? = 0,反之如果存在不全为零的实数 k,l 使得
k? + l? = 0,不妨设 k? 0,则
β,α kl 即?,? 共线,
ii) 先证必要性,设?,?,? 共面，如果其中有两个向量共线，不妨设?,? 共线，
则由 i) 知存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = k? + l? + 0? = 0.
如果?,?,? 中任两个向量都不共线，如图：
,,,OCOBOA γβα设过 C 分别作 B‘C 平行 OA 交 OB 所 在直线于 B’,过 C
分别作 A‘C 平行于 OB 交 OA 所 在直线于 A',则
B'
B
A'A
C
O
,' OAOA,OBOB
而 CAOAOC '' OBOA ' OBOA '
即? = +,取 k =?,l =?,m=?1,有 k,l,m 不全为零，且 k? + l? + m? = 0.
再证充分性,设存在不全为零的实数 k,l,m 使得 k? + l? + m? =0,不妨设 k?0,则
, kmkl 显然?,?,? 共面,
第三章 向量空间已知空间中的一点 A 及一轴 u,过 A 作垂直于轴 u 的平面?,交轴 u 于 A',则称 A' 为 A 在轴 u 上的投影,
A
u
A'
如图：
三、向量在轴上的投影定义 4
定义 5 设向量 AB 的起点 A 及终点 B 在轴 u 上的投影分别为 A',B',则有向线段 A'B' 称为向量 AB 在轴 u 上的投影,记为 Prju AB,而向量 A'B'
称为向量 AB 在轴 u 上的投影向量,
A
uA'
B
B'
e
如图,
定理 3
第三章 向量空间注意,Prju AB 是一数量，若与 u 同向的单位向量为 e,则
A'B' = ( PrjuAB ) e
设? 为向量 AB 与轴 u 的夹角 (0≤?≤?),则由上图可看出由定理 3立即可知：若? 为实数，则
Prju (? AB ) =? Prju AB.
关于向量在轴 u 上的投影，还可以证明
Prju AB = || AB ||cos?.
向量 AB 在轴 u 上的投影等于该向量的模乘以轴 u 与该向量夹角的余弦，即上一页第三章 向量空间定理 4
两个向量的和在轴 u 上的投影等于两向量在该轴上的投影之和，
即
Prjiu(?+?) = Prju? +Prju?
定理 4 的结论还可以推广到多个向量的情形,
A
uA'
C
C'?
B
B'
第三章 向量空间令 k1? 1+ k2?2 + k3? 3 + k4? 4 = 0,
即 (k1+k2+k3+k4,k1?k2?k3+k4,k1+k2?k3?k4,k1?k2+k3?k4 ) = 0,
即
k1+ k2+ k3+ k4 = 0,
k1? k2? k3 + k4 = 0,
k1+ k2? k3? k4 = 0,
k1? k2+ k3? k4 = 0.
解因为上方程组的系数行列式不等于零，方程组仅有零解，所以
k1= k2= k3= k4 = 0.
即?1,?2,?3,?4 线性无关,
第三章 向量空间先证? r(A) ≤ r,
r
i
iijj k
1
αα
将 第一行乘以 (?k1j) 第二行乘以 (?k2j) … 第 r 行乘以 (?krj)全部加到第 j 行
(j=r+1,…,m),得不妨设?1,?2,…,?r 即是极大无关组,则? j(r<j≤s)可由?1,?2,…,?s 线性表出，即
),,1( srj rrjjj kkk ααα2211
证
0
0
rB α
α
α
2
1
A?
所以 r(A) = r(B) ≤ r.
.
0000
0000
21
22221
11211
rnrr
n
n
aaa
aaa
aaa
第三章 向量空间反设 r(B) = r(A) = t < r,即 B 有一 t 阶子式不为零，不妨设是 B 的左上角的
t 阶子式 D 不为零，即下面证明? r(A) ≥ r.
,0
21
22221
11211
tttt
t
t
aaa
aaa
aaa
当 n = t 时，则由克莱姆规则知方程组
(1)
a11x1+a21x2+…+ at1xt=ar1,
a12x1+a22x2+…+ at2xt=ar2,
………………
a1tx1+a2tx2+…+ attxt=art,.
有唯一解 (k1,k2,…,kt),即
k1?1+ k2?2 +…+ kt?t =?r,
于是?1,?2,…,?t,?r 线性相关，与?1,?2,…,?t,…,?r 是极大无关矛盾,
上一页第三章 向量空间当 n > t 时，任取 t < l ≤ m,取 A 的前 t 行及第 r 行,A 的前 t 列及第 l 列交叉处元素构成的一 t+1子矩阵 A1：
21
21
222221
111211
1
rlrtrr
tltttt
lt
lt
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
则 | A1|=0,
设 (k1,k2,…,kt) 为 (1) 的解,分别把 A1 的第一行的 (?k1)倍,第二行的 (?k2)
倍,…,第 t 行的 (?kt) 倍加到第 r 行,得
A1?
t
i
ilirl
tltttt
lt
lt
aka
aaaa
aaaa
aaaa
A
1
21
222221
111211
2
000?
分别令 l = t = 1,…,m 再考虑到 (k1,k2,…,kt) 为 (1)的解，可得
r = k1?1+ k2?2 +…+ kt?t,与? 1,?2,…,?t,…,?r 是极大无关组矛盾,
综合 ①,② 有 r(A) = r.
而 |A2| = |A1| = 0,即,0)(
1
Daka t
i ilirl
因为 D? 0,所以,
1
t
i itirl
aka
上一页第三章 向量空间先设向量组仅含有限个向量?1,?2,…,?s,并设是其?i1,…,?ir 中任意 r 个线性无关的向量,不妨设就是?1,?2,…,?r,分别令证因为?1,?2,…,?r 线性无关,所以 r(A1) = r,于是 A1 有一个 r 阶子式 D 不为零,
而 D 也是 A 的子式,且 r(A) = r,故由推论 5 知?1,?2,…,?r 是 A 的行向量组即原向量组的一个极大无关组,
,
s
r
2
1
α
α
α
α
A
,1
r
2
1
α
α
α
A
如果向量组含有无限多个向量,设?1,?2,…,?r是向量组的极大无关组,
而? 1,? 2,…,?r 是向量组中 r 个线性无关的向量,则向量组
S ={?1,?2,…,?r }?{?1,? 2,…,?r} 是一个有限向量组,所以?1,? 2,…,?r是 S 的一个极大无关组,从而每个?r (k=1,…,r) 能由?1,? 2,…,?r 线性表出,而原向量组中每一个向量都能由?1,?2,…,?r线性表了同,显然它们也能由?1,? 2,…,?r线性表出,即?1,? 2,…,?r 是原向量组的一个极大无关组,
对于要判断一个向量组是否线性相关或求向量组的秩的问题都可转化为求矩阵的秩,
第三章 向量空间
1) 由于 4 >3,所以?1,?2,?3,?4 线性相关；
2) 由于
155
103
951
||
A = 140? 0,
所以?1,? 2,? 3 线性无关；
解
2343
1111
0121
A,
0000
1010
0121
所以 r(A) = 2 < 3,从而可知? 1,? 2,? 3 线性相关,
3)?
2020
1010
0121
第三章 向量空间显然?1,?2,…,?r 线性无关，任取V,由于 dimV=r,则?1,?2,…,?r,? 线性相关，于是存在不全为零的实数 k1,k2,…,kr,k,使
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r+ k? = 0,
若 k = 0,则 k1,k2,…,kr 不全为零，且
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r = 0.
从而?1,?2,…,?r 线性无 关，与题设矛盾,
证故 k? 0,,从而由
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r+ k? = 0.
得
rrk
k
k
k
k
k αααβ
2211
即? 可由?1,?2,…,?r 线性表示,由定义 1知?1,?2,…,?r 为 V 的一组基,
注意,若向量空间 V 为 r 维的，则 V 中任意 r 个线性无关的向量均可作为 V 的基,
第三章 向量空间例 9
在 Rn 中求基 {?I |(I =1,2,…,n)}到基 {? I |(I =1,2,…,n)} 的过渡矩阵,
由例 5.6知由标准基?1,?2,…,?n 到?1,?2,…,?n的过渡矩阵为 (?1T,?2T,…,
nT ); 由?1,?2,…,?n到?1,?2,…,? n的过渡矩阵为 (? 1T,? 2T,…,? nT ); 再由命题 1,2知由?1,?2,…,?n到?1,?2,…,? n的过渡矩阵为
C = (?1T,?2T,…,?nT )?1 (? 1T,? 2T,…,? nT )
解一、线性空间的定义及简单性质二、向量的线性相关性，空间的维数，
基与向量的坐标三、线性空间的同构第三章 向量空间线性空间是线性代数最基本的概念之一,是我们已熟悉的由 n 维向量构成的向量空间的推广 。 有限维线性空间与向量空间关于线性运算的性质完全相同,而且推导的过程也几乎一样,所以,本节仅对于线性空间的基本概念及基本性质作一介绍,也不再一一重新证明,
一、线性空间的定义及简单性质
*§ 6 线性空间基本概念介绍3.10
第三章 向量空间设 V 是一个非空集合,P 是一个数域,在集合 V 的元素之间定义一种代数运算,
叫做 加法,即对于 V 中任意两个元素?,?,V 中有一个唯一确定的元素与它们对应,这个元素称为?,? 的 和,并记作?+?,在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义一种运算,叫做 数量乘法,即对于 P中每一个数 k和 V 中每一个元素?,有 V 中唯一确定的元素与它们对应,这个元素为 k与? 的 积,并记作 k?,如果加法与数量乘法满足下列算律：
定义 1
α,ββα )1
,)2 γβαγβα ＋＋＋＋?
3) 在 V 中有一个元素 0,对于 V 中任一元素?，都有?+ 0 =?,
(具有这种性质的元素 0称为 V的 零元素 ),
4) 对于 V 中每一个元素?，都有 V中一元素?，使得?+? = 0,
(?称为?的 负元素 ),
5) 1? ＝?,
6) k(l?)＝ (kl)?,
7) (k+l)?＝ k? + l?,
8) k(?+?) ＝ k? +k?,
(其中 k,l 是 P 中任意数,?,? 是 V 中任意元素 ),
则称为 V为数域 P上的 线性空间,V 中的元素称为 向量,
第三章 向量空间例 3
例 1
上节讨论的向量空间都是实数域上的线性空间,
一切实 m?n 矩阵所成的集合对于矩阵的加法与数与矩阵的乘法构成实数域上的线性空间,用 C m?n 表示,
例 2
实数域 R上一元多项式的全体按通常的多项式加法及数与多项式的乘法构成一个 R 上的线性空间,用 R[X] 表示,如果只考虑其中次数小于 n 的多项式,再添上零多项式也构成实数域上线性空间,用 R [X]n 表示,
上一页第三章 向量空间例 4
全体实数函数的加法和数与函数的乘法构成一个 R上线性空间,
实数域 R 按照本身的加法与乘法构成一个 R 上的线性空间,
例 5
由线性空间的定义可得到下列线性空间的简单性质：
1,零向量是唯一的，每个向量的负向量 (即负无素 )是唯一的,利用负向量，我们定义 减法 如下, ＝? ＋ ( ).
2,0? = 0; k0 = 0; (?1)? =..
3,如果 k? = 0,则 k = 0,或? = 0.
上一页第三章 向量空间
*§ 6 线性空间基本概念介绍二、向量的线性相关性，空间的维数，基与向量的坐标。
线性空间 V 中向量?1,?2,…,?r 称为 线性相关,如果存在 P 中 r 个不全为零的数 k1,k2,…,kr,使
k1?1+ k2?2+…+ kr?r = 0,
否则，称它们 线性无关,
定义 2
设?1,?2,…,?r 是 V 中一组向量,k1,k2,…,kr,是 P 中数，
则向量
= k1?1+ k2?2+…+ kr?r
称为?1,?2,…,?r 的一个 线性组合,也称为? 可由向量组?1,?2,…,?r
线性表出,
定义 3
第三章 向量空间向量空间中关于向量组线性相关性的结论完全可以搬到抽象的线性空间上来。
我们把几个基本的结论叙述如下：
1,单个向量? 线性相关的充要条件? ＝ 0，两个以上向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合,
2,如果向量组?1,?2,…,?r 线性无关，但向量组?1,?2,…,?r,? 线性相关，
那么? 可以由?1,?2,…,?r 线性表出，且表法唯一,
3,如果向量组中的一个线性无关部分组有性质：向量组的每一个向量都可由这个部 分组线性表出,则称这个部分组为向量组的一个 极大无关组,一向量组的任两个极大无关组所含的向量个数相等,称这 个个数为该向量组的 秩,向量组?1，
2,…,?r 的秩记为 r(?1,?2,…,?r ).
4,如果向量组?1,?2,…,?r 能由向量组?1,? 2,…,? t 线性表出,则 r (?1,
2,…,?r)? r (?1,? 2,…,? t ),特别,如果?1,?2,…,?r 线性无关,且能由?1,?
2,…,?it 线性表出,则 r? t.
5,如果 r(?1,?2,…,?n) = r,则?1,?2,…,?n 中任意 r 个线性无关向量是一个极大无关组,
上一页第三章 向量空间线性空间 V 的一组向量?1,?2,…,?n 如果满足
1)?1,?2,…,?n,线性无关；
2)V,? 可由?1,?2,…,?n 线性表出,则称?1,?2,…,?n 为 V 的一组 基,
并称 V 为 n 维线性空间,记为 dimV = n,设V,? 可唯一地由?1,?2,…,?n
线性表出为
= a1?1+ a2?2+…+ an?n,
则称 a1,a2,…,an为? 在基?1,?2,…,?n下的 坐标,
定义 4
例 6
例 6
在线性空间 R[ X ]n 中,1,x,x2,…,xn?1 是 n 个线性无关的向量,而且每一个数小于 n 的实系数多项式都可由它们线性表出,所以 1,x,x2,…,xn?1 是 R[X]n 的一组基,
对? f (x) = a0+a1x+… + an-1xn?1? R [ X ]n,显然 f (x) 在基 1,x,x2,…,xn?1下的坐标为 (a0,a1,…,an－ 1).
R 看作自身上的线性空间是一维的,数 1 就是它的一个基,
上一页第三章 向量空间定理 5
数域 P上任一 n 维线性空间都与向量空间 Pn 同构,
证 设 V 是数域 P 上线性空间,?1,?2,…,?n是 V 的一组基,则对V,? 在这组基下有唯一确定的坐标,它是一个 n 维向量,作映射
,V? Pn
在基?1,?2,…,?n下的坐标显然? 是 V 到 Pn 的一一对应,设?,V,?,? 在基? 1,? 2,…,?n下的坐标分别为 (a1,a2,…,an ) 与 (b1,b2,…,bn ),即
= a1? 1+?2? 2+ … +an? n,? = b1? 1+ b2?2+ …+ bn? n.,
那么? +?=(a1+ b1)? 1+ (?2+ b2 )?2 +…+ (an + b n)? n.,
对于?k? P,k? ＝ k a1? 1+ k?2? 2+…+ k an? n,.
即?＋? 的坐标为
k?的坐标为 (k a1,k?2,…,k an ) = k(a1,?2,…,an ).
所以? 是同构映射，即 V? Pn,
(a1 +b1,?2+ b2,…,an +bn ) = (a1,?2,…,an )＋ (b1,b2,…,bn ),
于是,我们知道任一有限维线性空间与前面我们讨论的 n 维向量构成的向量空间有相同的结构与代数性质,那么前一节关于向量空间的所有结论在有限维线性空间中也成立,
上一页线性空间 V 的一个非空子集 W 称为 V 的一个 子空间,如果 W 关于 V 的两种线性运算也构成线性空间 。
关于空间我们同样有设 W? V,则 W 是 V 的子空间的充分必要条件是 W 关于 V 的两种线性运算封闭,即对,W,和? k? p,有?+W,kW.
定义 4
例 8 R [ X ]
n 是 R [ X ] 的子空间,
所有 n 阶实对称矩阵构成的集合构成 Rn?n 的一个子空间,同样全体 n
阶实对角阵,实上 (下 )三角矩阵都构成 Rn? n 的子空间,
例 9
例 10
设 W1,W2,是线性空间 V 的子空间,令称它为 W1,W2 的 交,它是 V 的一个子空间，又令
121 w{ww αα?
且 },w 2?α
},w,w{ww 2212221 αααα 1
称它为 W1与 W2的 和,它是 V 的一个子空间,
第三章 向量空间上一页第三章 向量空间
*§ 6线性空间基本概念介绍三、线性空间的同构数域 P 上两个线性空间 V 与 V ' 称 为 同构的,如果由 V 到 V ' 有一个一一对应?,具有以下性质：
1) β),αα ()( β
2) ).(αα kk?
定义 5
其中?,V,K? P,则称? 为 同构映射,并称线性空间 V与 V' 同构,记为 V? V ',
同构映射保持两线性空间的运算性质，如：
1)? (0)=0,? () = (?)
2)
rrkkk ααα2211 ＋rrkkk ααα2211
3) V 中向量?1,?2,…,?n是线性相关当且仅当 V 中向量? (?1),? (?2),…,? (?n)
线性相关,
4) 如果 V? V' 则 dimV = dim V‘,且?1,?2,…,?n 是 V 的一组基当且仅当
(?1),? (?2),…,? (?n)是 V 的一组基,
总的来说,如果 V 与 V' 同构,则它有完全相同的结构与代数性质,所以抽象地看来,它们没有区别 。
*第六节 线性空间基本概念介绍一、向 量 的 概 念二、向 量 的 线 性 运 算第三章 向量空间
§ 1.向量的概念及其线性运算向量可用空间的一个有向线段来表示，如 A
B
一、向量的概念例如力，速度，加速度等均为向量,
既有大小，又有方向的量称为 向量 (又称 矢量 ).
定义 1
其中有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的 长度 (模 ),有向线段的指向表示向量的 方向,这样的向量我们均称为 (几何 )向量,
如果 A,B 分别是向量的起点和终点,则向量可用符号 AB 表示，也可用一希腊字如
,?,?,… 等表示,
向量 AB (或? )的模用符号 ||AB|| (或 ||? ||)来表示,模为 1的向量称为 单位向量 ; 模为零的向量称为 零向量,记作 0，零向量的方向不定,
方向相同且模相等的向量称为 相等的向量,也就是说，向量与它的起点无关，而只与它的长度及方向有关,在讨论多个向量时，我们常把它们平移到同一起点,
第三章 向量空间如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们 共线,向量?,? 共线 记为? //?,
我们规定,零向量与任何向量共线,如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们 共面,
显然,任意两个向量一定共面,
与向量? 的长度相等，方向相反的向量称为? 的 负向量,记为，
显然 AB =? BA.
A
B
A
B
上一页第三章 向量空间二、向量的线性运算
1,向量的加法
+?
O A
B
设?,? 为空间中两个向量，在空间中任取一点 O,作 OA =?,
AB =?,则向量 OB 称为? 与? 的 和,记为? +?.
定义 2
2,向量与数的乘法设? 为向量,? 为实数，定义?与? 的 乘积是满足如下两条件的向量：
i) || || = |? | ||? ||,
ii) 当?> 0 时, 的方向与? 相同；当?< 0 时, 的方向与? 相反,
定义 3
§ 1.向量的概念及其线性运算显然，当?= 0 或? = 0 时, = 0.
如,? 22?
第三章 向量空间设?为一非零向量,?0 为与?同向的单位向量，则由向量的数乘可知
= ||?||? 0,
或
. |||| 10?
此时?0 又称为? 的 单位化向量,
向量的加法及数与向量的乘法这两种运算称为向量的 线性运算,
利用向量的数乘，显然有定理 1
向量? 与非零向量? 平行的充要条件是存在非零实数?,使
=.
上一页第三章 向量空间向量的线性运算满足下面的运算法则：
1)? +? =? +? ; (加法交换律 )
2) (? +? ) +? =? + (? +? ); (加法结合律 )
3) 0 +? =?;
4)? + () = 0;
5) 1 =?;
6)?1(?2?) = (?1? 2)? ; (数乘结合律 )
7) (?1 +?2)? =?1? +? 2? ; (第一分配律 )
8)?(? +? ) = +; (第二分配律 )
其中?,?,? 表示空间中任意向量,?1,?2 表示任意实数,
定理 2
以上 8 条法则可直接由定义得出,例如由下图
可得出 1)? +? =? +?,
上一页第三章 向量空间由下图
可得出 2) (? +? ) +? =? + (? +? );
3),4),5)显然,
下面看 8):
如果?,? 有一为零向量,或? = 0,8) 显然成立,设?≠ 0,?≠ 0,?≠ 0,当?> 0 时,由下图
A B
C
A1 B1
C1
因为? //,? //,
且知 △ ABC ∽ △ A1B1C1,故 ( + ) // (? +? ),
且即 + 与? +? 同向,且 | + | =?|? +? |,从而由数与向量相乘的定义可得出
8)?(? +? ) = ( +),当?< 0 时,同样可证明 8) 成立,
6),7) 留给同学们自己证明,
,|| ||||| λλλαα |
λ,λλ || ||αα
上一页例 1
第三章 向量空间根据向量的加法，定义两向量 的减法为：
=? + ( ).
显然,若? =,则? +? =?,
即减法是加法的逆运算,
已知平行六面体三边的向量分别为?,?,? ; A,B,C,D,E,F为各边中点,
求证向量 AB,CD,EF 能 构成三角形,证例 2
已知四边形 ABCD 中,AB =2?,CD = 5? + 6 8?,对角线 AC,
BD 的中点分别为 E,F,试用?,?,? 表示向量 EF,解答例 3
证证明
i) 向量?,? 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = 0.
2) 向量?,? 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = 0.
单击 此处 可查阅进一步内容上一页一、空间直角坐标系二、空间向量的坐标表示
§ 2,空间的直角坐标系及向量的坐标一、空间直角坐标系设 O 为空间中的一点,过 O 作三条两两相互垂直的数轴,分别称为 x
轴,y 轴,z 轴,它们的正向如下图,则称它们为一个空间直角坐标系,
z
x
yO
z
x
y
O'
联接几何向量与代数的纽带是在空间建立坐标系,从而使几何问题代数化,
定义 1
在空间直角坐标系中，任意两条轴确定的平面称为 坐标平面,如
x 轴,y 轴确定的平面为 xy 平面 (xOy面 );
y 轴,z 轴确定的平面为 yz 平面 (yOz面 );
x 轴,z 轴确定的平面为 xz 平面 (xO z面 ).
第三章 向量空间第三章 向量空间在空间直角坐标系中，三个坐标平面将整个空间分成八个部分，每个部分称为一个 封限,分别称为第 I－ VIII卦限,如下图：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
在空间直角坐标系中，有三条轴,x 轴,y 轴,z 轴三个坐标面,xy 平面,yz 平面,xz 平面八个卦限,第 I － VIII 卦限上一页第三章 向量空间二、空间向量的坐标表示
1,空间中点的坐标
,ixOP?
我们称有序数组 (x,y,z )为向量? (点 M)的 坐标,并依次称 x,
y,z 为向量? (点 M) 的 横坐标,纵坐标,竖坐标,记为
(x,y,z ) (M(x,y,z)).其中 xi,y j,z k 又分别称为向量? 在
x 轴,y轴,z 轴上的 分量 (分向量 ).
,jyOQ? k,zOR?
且 HMOHOM HMPHOP OROQOP k,ji zyx
在空间直角坐标系中,设 x 轴,y 轴,z轴上的单位向量分别为 i,j,k,称为基本单位向量,则对空间任一向量?,作? =,如下图可知 存在 x,y,z,使OM
即 OMα k.ji zyx z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
上一页第三章 向量空间在空间直角坐标系中，每个卦限中的点的坐标有如下特点：
第 I 卦限,x>0,y>0,z > 0;
第 II 卦限,x<0,y>0,z > 0;
第 III 卦限,x<0,y<0,z > 0;
第 IV卦限,x>0,y<0,z > 0;
第 V卦限,x>0,y>0,z < 0;
第 VI卦限,x<0,y>0,z < 0;
第 VII卦限,x<0,y<0,z < 0;
第 VIII卦限,x>0,y<0,z < 0;
上一页第三章 向量空间我们把三元有序实数组 (a1,a2,a3)称为一个 实三维向量,或简称为 三维向量,
这样,在空间中取定一个直角坐标系后,空间中全体向量的集合与全体三维向量之间就建立了一一对应,空间的全体点的集合与全体三维向量之间也建立了一一对应,
3.向量的线性运算与坐标
{空间中全体向量 } 1?1 {全体三维向量 }
(x,y,z)
(其中? = ).
{空间中全体点 } 1?1 {全体三维向量 }
M (x,y,z)
(其中 OM= ).kji zyx
kji zyx
上一页第三章 向量空间我们定义三维向量的 加法 以及 数与向量的乘法 如下：
( a1,a2,a3) + (b1,b2,b3) = (a1+b1,a2+b2,a3+ b3 ),
( a1,a2,a3 ) = (? a1,? a2,? a3) (其中?为实数 ).
设向量?,? 的坐标分别为 (x1,y1,z1)及 (x2,y2,z2) 则
(? +? ) = (x1i + y1j + z1k ) + (x2i1+ y2j + z2k )
= (x1+ x2) i + (y2+ y2) j + (x1+ x2) k,
所以? +? 的坐标为
( x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2).
设? 为一实数，则
=? (x1i +y1 j +z1 k ) =? x1i +? y1 j +? z1 k,,
所以的坐标为
(? x1,? y1,? z1) =?( x1,y1,z1).
也就是说：向量和的坐标等于向量坐标的和 ;数?与向量的乘积的坐标等于?与向量坐标的积,
由 =? + ( ),可知 的坐标为
).,,(),,(),,( 212121222111 zzyyxxzyxzyx
上一页第三章 向量空间在直角坐标系中,
{空间中全体向量 } 1?1 {全体三维向量 }
(x1,y1,z1),
(x2,y2,z2),
则? +? (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2),
( x1,y1,z1),
(x1,y1,z1)? (x2,y2,z2).
例 1
设向量?,? 的坐标分别为 (x1,y1,z1) 及 (x2,y2,z2),求 23? 的坐标,
设 23? 的坐标为 (x,y,z),则
(x,y,z ) = 2 (x1,y1,z1)?3 (x2,y2,z2)
= (2x1 – 3x2,2y1 –3 y2,2z1 –3z2).
解设上一页第三章 向量空间
4,空间中向量的长度、方向余弦、方向角如右图,设向量则由右图可知
||||?
kji zyx
z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
OMα
22 |||||||||||| HMOHOM
222 |||||||||||| HMPMOP
222 |||||||||||| OROQOP,222 zyx
即 如果 = xi + yj + zk,
.222 zyx
则?的长度为在空间直角坐标系中，设点 P1 的坐标为 (x1,y1,z1),点 P2 的坐标为 (x2,y2,z2),则故
,1221 OPOPPP
O
P2
P1
kji )()()( 121212 zzyyxx
,)()()(|||| 21221221221 zzyyxxPP
从而知点 P1与点 P2的距离为
,)()()( 212212212 zzyyxx
此称空间两点的 距离公式,
上一页第三章 向量空间
,co s|||| 1x
||||cos 1 α x,222 zyx
x
上图中? 的方向可用它与三条坐标轴的正向的夹角 θ1,θ2,θ3 来表示 (0≤ θ1,θ2,
θ3 ≤? ),θ1,θ2,θ3 称为向量? 的 方向角,
,co s|||| 2?α?y,co s|||| 3?α?z
||||cos 2 α y
||||cos 3 α z
,222 zyx y
.222 zyx z
称为向量? 的 方向余弦,
显然 cos 2θ1+ cos2 θ2 + cos2 θ3 =1.
,cos1? 3cos?,cos2?
而与? 同向的单位向量为
|||| 1 kzjyix ||||||||||||
i1cosj2θcos,cos k3θ
,cos1? 3cos?,cos 2?即 是? 0 的坐标,
上一页第三章 向量空间例 2
在 z 轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2) 等距的点 M.
因为点 M 在 z 轴上，所以设 M 的坐标为 M(0,0,z),依题意知
||MA|| = || MB ||,
即 222 )7()01()04( z
由此解得,
914?z
故所求的点为 ).
914,0,0(M
,)2()05()03( 222 z
解例 3
已知两点 )1,2,4(A 和 B(3,0,2),求向量 AB 的模，方向余弦和方向角及 AB?
),1,2,1()12,20,43(AB
,21)2()1(|||| 222AB
,21cos,22cos,21cos
,32,43,3
故 ABAB
2
1 ).21,22,21(
解上一页一,n 维向量的定义及运算二、向量空间
§ 3,向量空间第三章 向量空间在上一节,我们介绍了三维向量的概念,知道三维向量与一个三元有序数组形成一一对应,实际生活中很多事物也可用多个数构成的有序数组来刻划,
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b
就可用 n+1个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an,b) 来代表,
如一个 n元线性方程组一,n维向量的定义及运算在这一节，我们把三维向量的概念予以推广，讨论 n 维向量,
由 n 个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an) 称为 一个 n 维向量,其中 ai
称为该向量的第 i个分量 ( i =1,2,…,n).
一般用希腊字母?,?,?,… 表示 n 维向量,分量全是实数的向量称为实向量,
以后我们所讨论的向量都是指实向量,
1,n 维向量注意,n > 3 时的向量没有直观的几何意义,
定义 1
规定,对于? = (a1,a2,…,an ),? = (b1,b2,…,bn ),
= ai = bi,i =1,2,…,n.
第三章 向量空间
1) 加减法 设? = (a1,a2,…,an),? = (b1,b2,…,bn ),定义
= (a1? b1,a2? b2,…,an? bn).
2) 数乘 设? = (a1,a2,…,an),k为实数，定义数 k 与向量? 的乘积为
k? = (ka1,ka2,…,kan).
2,n 维向量的运算易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：
1) 加法交换律? +? =? +?;
2) 加法结合律 (? +? ) +? = (? +? ) +? ;
3) 向量 0 = (0,0,…,0) 称为 零向量,它有性质
4) (?1)? = (?a1,? a2,…,? an) 称为? 的 负向量,记为.,显然有：
+ ( ) = 0;
+ 0 =? ;
5) 1 =?;
6) 数乘结合律 k ( l?) = ( k l)?;
7) 第一分配律 k (?+? ) = k? + k?;
8) 第二分配律 ( k+l )? = k? + l?,
(其中?,?,? 为任意 n 维向量,k,l 为实数 ).
上一页第三章 向量空间我们也可把 n 维向量的分量排成一列，如
,2
1
na
a
a
α
此时可称? 为 n 维列向量 ；相应地称把分量排成一行的向量称为 n 维行向量,
如? = (a1,a2,…,an).
由上面可看出,n 维向量的概念与运算实际上与 1? n ( 或 n? 1 )矩阵一致,
设 A是一个 m 行 n 列的矩阵，则 A 的每一行是一个 n 维行向量,A 的每一列是一个 m维列向量，分别称它们为 A 的行向量与列向量,并可以表示为
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
m?
2
1
).,,,( 21 n
上一页第三章 向量空间例 1
设 V是一些 n 维向量的非空集合,如果 V 关于向量的加法与数乘封闭,即
(1), V,有? + V.
(2)V,k? R,有 kV.
则称 V 是一个 向量空间,
二、向量空间定义 1
全体 n 维向量的集合 {(x1,x2,…,xn)| xi? R,i=1,2,…,n }是一个向量空间，
记为 Rn.
特别的
n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间 ;
n = 3 时 全体三维向量 {(x1,x2,x3) |xi? R,i= 1,2,3 } 是一个向量空间，记为 R3.
n = 2 时全体平面中的向量 {(x1,x2 ) | xi?R,i=1,2} 是一个向量空间，记为 R2.
§ 3,向量空间第三章 向量空间例 3
例 2
而
W = {(a1,a2,…,an)| }0
1
n
i i
a 是一向量空间,
}1|),,,{(
1
21?
n
i
in aaaaS
不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均不封闭,
仅含一个 n 维零向量 0 = (0,0,…,0) 的集合 {0} 构成一个向量空间，
称为 零空间,
设 V 是一个向量空间,W? V,W,如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭,则称 W是 V 的 子空间,
定义 3
例 4
V 本身和 {0} 都是 V 的子空间，称它们为 V 的 平凡子空间,
上一页第三章 向量空间例 5
}1,,2,1,|)0,,,,{( 1211 niaaaaW in R
}|),,,,{(2 R aaaaaW?
n个分量都是 R n 的子空间,及例 6
设 V,则 L (?) = {k? | k? R }为 V 的子空间,称它 为 由? 生成的子空间,
称为这子空间的 生成元,
},,2,1,,|{),,(
121
sikkL is
i iis
R
是 V 的由?1,?2,…,?s 生成的子空间,
更一般地，设?1,?2,…,?s? V.
例 7
设 A 为 m 行 n 列实矩阵,设 A 的列向量为?1,?2,…,?n,则
L(?1,?2,…,?n) 是 Rm 的子空间,称为 A的列空间,记为 N(A)，
设 A 的行向量为?1,?2,…,?n,则 L(?1,?2,…,?n) 也是 Rn 的子空间,
称为 A 的行空间,
上一页一、向量组的线性相关性二、向量组的极大无关组与秩三、向量组线性相关性的矩阵判别法第三章 向量空间
§ 4,向量的线性相关性一、向量组的线性相关性对于 n 维向量组?1,?2,…,?s,如果存在不全为零的实数 k1,k2,…,ks 使得 k
1?1 + k2?2+ …+ ks?s = 0,
否则，称?1,?2,…,?s 线性无关,则称 n 维向量组?1,?2,…,?s 线性相关,
定义 1
所谓?1,?2,…,?s 线性无关，即如果
k1?1 + k2?2+ …+ ks?s = 0,
则必有 k1= k2= …= ks= 0.
例 1
向量组?1 = (1,2,0,1),?2 = (1,1,?1,3),?3= (1,3,1,? 1) 线性相关,因为
2?123 = 0.
例 4
例 3
例 2
第三章 向量空间两个向量?,? 线性相关当且仅当? = k? 或? = l?,k,l?R..
含有零向量的 n 维向量组必定线性相关，因为若向量组?1,?2,…,?s 中有一为零向量，不妨设?1= 0，则 11+02+ …+ 0s = 0,其系数不全为 0.
证明 n 维向量组 e1= (1,0,…,0),e2= (0,1,…,0),…,en= ( 0,0,…,1) 线性无关,
令 k1e1+ k2e2+…+ knen= 0,
即 (k1,k2,…,kn) = (0,0,…,0),
所以 k1= k2= …= kn=0,
即 e 1,e 2,…,e n 线性无关,
证上一页第三章 向量空间例 5
讨论四维向量组?1 = (1,1,1,1),?2 = (1,?1,1,?1),?3 = (1,?1,?1,1),
4 = (1,1,?1,?1) 的线性相关性,
解答设 k1,k2,…,ks?R,?1,?2,…,?s 是 n 维向量，若
= k1? 1+ k2?2 + … + ks?s
则称? 为 向量?1,?2,…,?s 的一个 线性组合,
或称? 可由向量组?1,?2,…,?s 线性表出,
定理 1
当 s ≥2 时,向量组?1,?2,…,?s 线性相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由其余向量线性表出,
定义 2
上一页第三章 向量空间必要性
k1? 1+ k2?2+… + ks? s= 0.
于是,
1111
s
s
s
s
s k
k
k
k ααα?
即?s 可由?1,?2,…,?s?1 线性表出,
设?1,?2,…,?s 线性相关，则有不全为零的实数 k1,k2,…,ks,使若某个向量例如?1 可被其余向量线性表出，即有
1 = k2? 2+ k3?3 +… + ks? s,
于是 1 1+ (? k2)? 2 + … + (? ks )? s = 0,
其系数 不全为零，故?1,?2,…,?s 线性相关,
充分性证不妨设 ks? 0,
上一页第三章 向量空间定理 2
如果向量组?1,?2,…,?s 中有一部分向量线性相关,则这 s个向量也线性相关,
不妨设前 r (r<s) 个向量?1,?2,…,?r 线性相关，即存在不全为零的数 k1,
k2,…,kr 使得
k1? 1+k2?2+… + kr? r= 0
再取 kr+1= kr+2=…= ks= 0,则有
k1? 1+ k2?2+… + kr? r+ kr+1?r+1+…+ ks?s = 0,
而 k1,k2,…,ks 不全为零，所以?1,?2,…,?s 线性相关,
证如果向量组?1,?2,…,?s 线性无关，则其中部分向量也线性无关,
定理 1、定理 2 可总结为：
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关,
推论 1
上一页第三章 向量空间例 6
二、向量组的极大无关组与秩
n 维向量组?1,?2,…,?s 的部分组显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关组就是它自身,
riii ααα,,,21?
如果满足,
2) 向量组?1,?2,…,?s中的向量都可由 线性表出，
1) 线性无关，
是向量组?1,?2,…,?s的一个 极大无关组,则称定义 3
设有三维向量组,?1= (1,0,0),?2= (0,1,0),?3= (0,0,1),?4= (1,1,1),显然?1,?2,?3 线性无关,且?4 =?1+?2 +?3,即?4 能由?1,?2,?3 线性表出,
所以?1,?2,?3 就是向量组?1,?2,?3,?4 的一个 极大无关组,
同样可验证?1,?3,?4 ；?1,?2,?4 及?1,?3,?4 均是向量组的极大无关组,
§ 4,向量的线性相关性
riii ααα,,,21?
riii ααα,,,21?
riii ααα,,,21?
第三章 向量空间定理 3
由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个，但可以证明：
一向量组的极大无关组都含有相同个数的向量,且称极大无关组中向量的个数为 向量组的秩,
定理 3的结论可由下面定理直接得出,
设?1= (a11,a12,…,a1n),?2= (a21,a22,…,a2n),…,?m= (am1,am2,…,amn ) 是
m个 n 维向量,
m
A
α
α
α
2
1
并称 A 为向量组?1,?2,…,?n 所构成的矩阵，则 r(A) = r.
是它的一个极大无关组,令
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
定理 4
证
riii ααα,,,21?
上一页第三章 向量空间推论 2
由定理 4知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，又由于任一矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相等，故由定理 4可得：
矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩,也 等于它的列向量组的秩,
设?1,?2,…,?m 为 m 个 n 维向量,A 是以它们为行向量构成的 m?n 矩阵,则?1,?2,…,?m 线性相关的充要条件是 r(A) < m.
推论 3
特别,当 m = n 时，向量组线性相关的充要条件为 | A | = 0.
推论 4 多于 n个的 n 维向量组一定线性相关,
上一页第三章 向量空间推论 5 设一向量组的秩为 r,则向量组中任意 r 个线性无关的向量可构成一极大无关组,
由推论 5易得推论 6 设向量组的秩为 r,则该向量组中任意多于 r 个向量构成的部分组一定线性相关,
证上一页第三章 向量空间由定理 4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩的问题,
三、向量组线性相关性的矩阵判别法若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；
若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关,
一般分三种情况：
1) 向量的个数大于向量的维数，则必线性相关；
2) 向量的个数等于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的行列式：
若 |A|?0,则线性无关，若 | A |=0,则线性 相关；
3) 向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵 A 的秩：若 r(A)
等于向量的个数,则线性无关，若 r(A)小于向量个数,则线性 相关；
§ 4,向量的线性相关性例 7
判断下列向量组的线性相关性,
1)?1= (1,2,0),?2= (3,?1,2),?3= (4,?5,9),?4=(9,7,?1);
2)?1= (?1,5,?9),? 2= (3,0,1),? 3= (5,?5,1)；
3)?1= (1,2,?1,0),? 2= (1,1,?1,?1),? 3= (3,4,?3,?2).
解答第三章 向量空间例 8
求向量组?1 = (1,?2,?1,?2,2),?2 = (4,1,2,1,3),
3 = (1,1,1,1,1/3),?4 = (2,5,4,?1,0)
的秩,并找出它的一个极大无关组,
01452
3/11111
31214
22121
A
43690
3/53230
59690
22121
16000
00000
59690
22121
00000
16000
59690
22121
r3?r4
向量组的秩为 3 且?1,?2,?4 为一极大无关组,
解上一页一、向量空间的基与维数二、向量在给定基下的坐标三、基变换与坐标变换公式第三章 向量空间设 V 是一向量空间,?1,?2,…,?r?V 且满足
(1)?1,?2,…,?r线性无关 ;
(2)V,? 可由?1,?2,…,?r 线性表出,
一,向量空间的基与维数则称向量组?1,?2,…,?r 为向量空间 V 的一组 基底 (基 )，而 r 称为向量空间 V 的 维数,记为 dimV,
§ 5 向量空间的基与坐标定义 1
规定,零空间的维数为 0,它没有基,
由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组,由于向量组的极大无关组是不唯 一的，所以向量空间的基也是不唯一的,
第三章 向量空间例 2
例 1
设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1,0,0,…,0 ),
e2= ( 0,1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn 的基,且 dim Rn =n.
由矩阵判别法知 e1,e2,…,en 线性无关,设? = (x1,x2,…,xr )为任一 n 维向量,
显然有
= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以? 可由 e1,e2,…,en 线性表出,即 e1,e2,…,en 是 Rn 的基,从而 dim Rn = n.
证设 V 为一向量空间，且 dimV = r,而?1,?2,…,?r 为 V 中 r 个线性无关的向量，证明?1,?2,…,?r 必为向量空间 V 的一组基,
证上一页第三章 向量空间例 3
证明向量组
1 = (1,2,1),?2 = (3,0,?1),?3 = (2,?3,5)
为空间 R3 的一组基,
由于 dim R3 = 3,故只要证明?1,?2,?3 线性无关即可,
5317
100
124
532
103
121
,0 3-17 24
1,?2,?3 线性无关，从而?1,?2,?3 可构成空间 R3 的一组基,
证上一页第三章 向量空间二、向量在给定基下的坐标设?1,?2,…,?m 是向量空间 V 的一个基,V,? 可由?1,?2,…,?m
线性表 出,
= x1?1 + x2?2 +… + xm?m,
则组合系数 (x1,x2,…,xm ) 称为向量? 在基?1,?2,…,?m 下的 坐标,
( x1,x2,…,xm?R )
(5.1)
§ 5 向量空间的基与坐标定义 2
注,?在基?1,?2,…,?m 下的坐标是唯一的,
= y1?1 + y2?2 +… + ym?m,(5.2)
由 (5.1)式减去 (5.2)式,得
(x1? y1)?1 + (x2? y2)?2 +… + ( xm? ym)?m = 0,
由于?1,? 2,…,? m 线性无关,故
x1? y1 = x2? y2 =…= xm? ym= 0,
即 xi = yi ( i = 1,2,…,m).
事实上,若还有另一坐标 (y1,y2,…,ym ),即第三章 向量空间例 4
已知 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn
的基,而对 Rn 中任一向量?,有
= ( x1,x2,…,xn ) = x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以? 在基 e1,e2,…,en 下的坐标就是其自身,
故 e1,e2,…,en 称为空间 Rn 的 标准基,
例 5 设?
1 = ( 1,1,2 ),?2 = ( 1,3,0 ),?3 = ( 1,0,1 ),证明?1,?2,?3 是 R3的一个基,并求? = ( 0,?1,3) 在这个基下的坐标,
Dim R3 =3,而,04
101
031
211
所以?1,?2,?3 线性无关,从而是 R3 的一个基,
解令? = x1?1 + x2?2 + x3?3,,
所以? 在基?1,?2,?3 下的坐标为 (2,?1,?1 ).
即 ( 0,?1,3) = x1 (1,1,2) + x2 (1,3,0) + x3 (1,0,1),
则
x1 + x2 + x3 = 0,
x1 + 3x2 =?1,
3x1 + 2x2 + x3 = 3,
x1 = 2,
x2 =?1,
x3 =?1.
上一页第三章 向量空间三、基变换与坐标变换公式设向量空间 V 的维数为 n,则 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的基,对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的,下面我们来看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系,
§ 5 向量空间的基与坐标设?1,?2,…,?n 及?1,? 2,…,? n 是向量空间 V 的两个基,那么由基的定义,向量?i (i = 1,2,…,n ) 可由?1,?2,…,?n 唯一线性表出,设
,12211111 nncccαβ
,22221122 nnccc αααβ
.2211 nnnnnn ccc αααβ
,
21
22221
112`11
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
矩阵 C 称为由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,?n 的 过渡矩阵,它是可逆的,
令即,),,,(),,,(
21
22221
11211
2121
nnnn
n
n
nn
ccc
ccc
ccc
αααβββ
(5.3)
第三章 向量空间将 (5.3) 式简记为,
(?1,? 2,…,? n) = (?1,?2,…,?n ) C (5.4)
新基 旧基 过渡矩阵公式 (5.4)称为 基变换公式,
上一页第三章 向量空间例 6
求 R3 中由标准基 e1= (1,0,0),e2= (0,1,0),e3= (0,0,1),到基?1= (1,1,2),
2= (1,3,0),?3= (1,0,1)的过渡矩阵,
102
031
111
),,(),,( 321321 eeeααα?
所求过渡矩阵为
102
031
111
C
解上一页第三章 向量空间将上式用矩阵表示为
n
n
x
x
x
2
1
,2 1),,(,),,(
2
1
,2 1
n
n
y
y
y
将基变换公式代入得
n
n
x
x
x
2
1
,21 ),,(,),,(
2
1
,21
n
n
y
y
y
C
ααα
由向量坐标的唯一性,可得
mm y
y
y
C
x
x
x
2
1
2
1
,
2
1
12
1
mm x
x
x
C
y
y
y
或 (5.7)
上 式说明了? 在两个不同基下的坐标之间的关系,称为 坐标变换公式,
新坐标 旧坐标设向量? 在基?1,?2,…,?n 与基?1,? 2,…,? n 下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn)
与 (y1,y2,…,yn ) 即
nnxxx2211 (5.5)
nnyyy2211
上一页第三章 向量空间定理 1
上面的讨论可总结为,
设由向量空间 V 的基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵 C,
而向量? 在基?1,?2,…,?n 与基?1,? 2,…,? n 下的坐标为 (x1,x2,…,xn ) 与
(y1,y2,…,yn ),则
.2
1
12
1
nn x
x
x
C
y
y
y
(?1,? 2,…,? n ) = (?1,?2,…,?n )C,
且上一页第三章 向量空间例 7
设 R3 中一组基为?1= (?3,1,?2),?2= ( 1,? 1,?1),?3 = (2,3,?1),求向量?
= (1,0,0) 在基?1,?2,?3 下的坐标,
设? = ( 1,0,0) 在基?1,?2,?3下的坐标为 (y1,y2,y3),在基 e1,e2,e3 下的坐标为 (x1,x2,x3) = (1,0,0),则由于
(?1,?2,?3) = (e1,e2,e3 )
112
311
213
由基 e1,e2,e3 (旧基 )到基?1,?2,?3 (新基 )的过渡矩阵为解
0
0
1
11
3
2
1
C
y
y
y
0
0
1
211
1175
532
.
1
5
2
1 1 2
3 1 1
2 1 3
C
从而上一页第三章 向量空间命题 1
关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的,
设由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵为 C,则由基?1,? 2,…,
n 到基?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C?1.
基?1,?2,…,?n
C
基?1,? 2,…,? n
C?1
命题 2
设由基?1,?2,…,?n 到基?1,? 2,…,?n 的过渡矩阵为 C1,则由基? 1,? 2,…,
n 到基?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C2,则由基?1,?2,…,?n 到?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C1 C2,
基?1,?2,…,?n
C1
基?1,? 2,…,? n
基?1,?2,…,?n
C2
上一页第三章 向量空间例 8
求 R3中由基?1= (?3,1,?2),?2= (1,?1,?1 ),?3= (2,3,?1 )到基?1= (2,1,1),
2= (1,2,3),? 3= (2,0,1 )的过渡矩阵,
由标准基 e1,e2,e3 到基?1,?2,?3 及基? 1,?2,?3 的过渡矩阵分别为
112
311
213
1
－
C 和
131
021
212
2C
解即 (?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C1,(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故 (e1,e2,e3)=(?1,?2,?3)C1?1
从而 =(?1,?2,?3)C1?1C2(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故由知基?1,?2,?3 到基? 1,?2,?3 的过渡矩阵 C 为
131
021
212
211
1175
532
072
14213
1196
211 CCC
031
021
212
112
311
213 1
例 9
上一页第三章 向量空间例 10
在平面直角坐标系中,设 e1,e2 分别是 x 轴,y 轴上的单位向量,其方向与轴的正向一致,它们是 R2 的一个基,将这坐标系绕原点逆时针旋转?,令相应的单位向量为 e1?,和 e2?,则 e1,e2? 也是 R2 的一个基,于是我们有
e1?= cos? e1+ sin? e2
e2?=? sin? e1+ cos? e2
或 (e1?,e2?) = ( e1,e2)
c o ss in s inc o s
y
e1
e1?e2e2?
x
x?
y?
O
即由 e1,e2 到基 e1?,e2? 的过渡矩阵为?
c o ss i n
s i nc o sC
设向量? 在基 e1,e2 和基 e1?,e2?下的坐标分别为 ( x,y ) 和 ( x?,y? ),由坐标变换公式,得
yx yx c o ss i n s i nc o s
或
yx yx c o ss i n s i nc o s
即 s i nc o s yxx
c o ss i n yxy
这正是大家熟知的平面解析几何里坐标旋转公式,
上一页第三章 向量空间由右图可看出
β,α 2121AB
α,γ 2121CD
γ,β 2121EF
于是,0 EFCDAB
B
A
F
E
D
C
即
.,,能构成三角形 EFCDAB
证第三章 向量空间如图，设 AD的中点为 H,由于 E,F分别为 AC,
BD中点，有
,21 ABHF?,21 CDEH?
而 HFEHEF
A B
D
C
H
E
F),(2
1 CDAB
解故 )(
2
1 CDABHF
)8652(21 γβαγα
γ.βα 533
又,2γαAB γ,βα 865CD
第三章 向量空间证 i) 设? = 0,则?,? 共线，且有 1 + 0? = 0,结论成立,
设 0,则?,? 共线,且有实数?,使? =,即 = 0,取 k =?,
l =?1,则 k,l 不全为零,且 k? + l? = 0,反之如果存在不全为零的实数 k,l 使得
k? + l? = 0,不妨设 k? 0,则
β,α kl 即?,? 共线,
ii) 先证必要性,设?,?,? 共面，如果其中有两个向量共线，不妨设?,? 共线，
则由 i) 知存在不全为零的实数 k,l 使得 k? + l? = k? + l? + 0? = 0.
如果?,?,? 中任两个向量都不共线，如图：
,,,OCOBOA γβα设过 C 分别作 B‘C 平行 OA 交 OB 所 在直线于 B’,过 C
分别作 A‘C 平行于 OB 交 OA 所 在直线于 A',则
B'
B
A'A
C
O
,' OAOA,OBOB
而 CAOAOC '' OBOA ' OBOA '
即? = +,取 k =?,l =?,m=?1,有 k,l,m 不全为零，且 k? + l? + m? = 0.
再证充分性,设存在不全为零的实数 k,l,m 使得 k? + l? + m? =0,不妨设 k?0,则
, kmkl 显然?,?,? 共面,
第三章 向量空间已知空间中的一点 A 及一轴 u,过 A 作垂直于轴 u 的平面?,交轴 u 于 A',则称 A' 为 A 在轴 u 上的投影,
A
u
A'
如图：
三、向量在轴上的投影定义 4
定义 5 设向量 AB 的起点 A 及终点 B 在轴 u 上的投影分别为 A',B',则有向线段 A'B' 称为向量 AB 在轴 u 上的投影,记为 Prju AB,而向量 A'B'
称为向量 AB 在轴 u 上的投影向量,
A
uA'
B
B'
e
如图,
定理 3
第三章 向量空间注意,Prju AB 是一数量，若与 u 同向的单位向量为 e,则
A'B' = ( PrjuAB ) e
设? 为向量 AB 与轴 u 的夹角 (0≤?≤?),则由上图可看出由定理 3立即可知：若? 为实数，则
Prju (? AB ) =? Prju AB.
关于向量在轴 u 上的投影，还可以证明
Prju AB = || AB ||cos?.
向量 AB 在轴 u 上的投影等于该向量的模乘以轴 u 与该向量夹角的余弦，即上一页第三章 向量空间定理 4
两个向量的和在轴 u 上的投影等于两向量在该轴上的投影之和，
即
Prjiu(?+?) = Prju? +Prju?
定理 4 的结论还可以推广到多个向量的情形,
A
uA'
C
C'?
B
B'
第三章 向量空间令 k1? 1+ k2?2 + k3? 3 + k4? 4 = 0,
即 (k1+k2+k3+k4,k1?k2?k3+k4,k1+k2?k3?k4,k1?k2+k3?k4 ) = 0,
即
k1+ k2+ k3+ k4 = 0,
k1? k2? k3 + k4 = 0,
k1+ k2? k3? k4 = 0,
k1? k2+ k3? k4 = 0.
解因为上方程组的系数行列式不等于零，方程组仅有零解，所以
k1= k2= k3= k4 = 0.
即?1,?2,?3,?4 线性无关,
第三章 向量空间先证? r(A) ≤ r,
r
i
iijj k
1
αα
将 第一行乘以 (?k1j) 第二行乘以 (?k2j) … 第 r 行乘以 (?krj)全部加到第 j 行
(j=r+1,…,m),得不妨设?1,?2,…,?r 即是极大无关组,则? j(r<j≤s)可由?1,?2,…,?s 线性表出，即
),,1( srj rrjjj kkk ααα2211
证
0
0
rB α
α
α
2
1
A?
所以 r(A) = r(B) ≤ r.
.
0000
0000
21
22221
11211
rnrr
n
n
aaa
aaa
aaa
第三章 向量空间反设 r(B) = r(A) = t < r,即 B 有一 t 阶子式不为零，不妨设是 B 的左上角的
t 阶子式 D 不为零，即下面证明? r(A) ≥ r.
,0
21
22221
11211
tttt
t
t
aaa
aaa
aaa
当 n = t 时，则由克莱姆规则知方程组
(1)
a11x1+a21x2+…+ at1xt=ar1,
a12x1+a22x2+…+ at2xt=ar2,
………………
a1tx1+a2tx2+…+ attxt=art,.
有唯一解 (k1,k2,…,kt),即
k1?1+ k2?2 +…+ kt?t =?r,
于是?1,?2,…,?t,?r 线性相关，与?1,?2,…,?t,…,?r 是极大无关矛盾,
上一页第三章 向量空间当 n > t 时，任取 t < l ≤ m,取 A 的前 t 行及第 r 行,A 的前 t 列及第 l 列交叉处元素构成的一 t+1子矩阵 A1：
21
21
222221
111211
1
rlrtrr
tltttt
lt
lt
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
则 | A1|=0,
设 (k1,k2,…,kt) 为 (1) 的解,分别把 A1 的第一行的 (?k1)倍,第二行的 (?k2)
倍,…,第 t 行的 (?kt) 倍加到第 r 行,得
A1?
t
i
ilirl
tltttt
lt
lt
aka
aaaa
aaaa
aaaa
A
1
21
222221
111211
2
000?
分别令 l = t = 1,…,m 再考虑到 (k1,k2,…,kt) 为 (1)的解，可得
r = k1?1+ k2?2 +…+ kt?t,与? 1,?2,…,?t,…,?r 是极大无关组矛盾,
综合 ①,② 有 r(A) = r.
而 |A2| = |A1| = 0,即,0)(
1
Daka t
i ilirl
因为 D? 0,所以,
1
t
i itirl
aka
上一页第三章 向量空间先设向量组仅含有限个向量?1,?2,…,?s,并设是其?i1,…,?ir 中任意 r 个线性无关的向量,不妨设就是?1,?2,…,?r,分别令证因为?1,?2,…,?r 线性无关,所以 r(A1) = r,于是 A1 有一个 r 阶子式 D 不为零,
而 D 也是 A 的子式,且 r(A) = r,故由推论 5 知?1,?2,…,?r 是 A 的行向量组即原向量组的一个极大无关组,
,
s
r
2
1
α
α
α
α
A
,1
r
2
1
α
α
α
A
如果向量组含有无限多个向量,设?1,?2,…,?r是向量组的极大无关组,
而? 1,? 2,…,?r 是向量组中 r 个线性无关的向量,则向量组
S ={?1,?2,…,?r }?{?1,? 2,…,?r} 是一个有限向量组,所以?1,? 2,…,?r是 S 的一个极大无关组,从而每个?r (k=1,…,r) 能由?1,? 2,…,?r 线性表出,而原向量组中每一个向量都能由?1,?2,…,?r线性表了同,显然它们也能由?1,? 2,…,?r线性表出,即?1,? 2,…,?r 是原向量组的一个极大无关组,
对于要判断一个向量组是否线性相关或求向量组的秩的问题都可转化为求矩阵的秩,
第三章 向量空间
1) 由于 4 >3,所以?1,?2,?3,?4 线性相关；
2) 由于
155
103
951
||
A = 140? 0,
所以?1,? 2,? 3 线性无关；
解
2343
1111
0121
A,
0000
1010
0121
所以 r(A) = 2 < 3,从而可知? 1,? 2,? 3 线性相关,
3)?
2020
1010
0121
第三章 向量空间显然?1,?2,…,?r 线性无关，任取V,由于 dimV=r,则?1,?2,…,?r,? 线性相关，于是存在不全为零的实数 k1,k2,…,kr,k,使
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r+ k? = 0,
若 k = 0,则 k1,k2,…,kr 不全为零，且
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r = 0.
从而?1,?2,…,?r 线性无 关，与题设矛盾,
证故 k? 0,,从而由
k1?1+ k2?2+ …+ kr?r+ k? = 0.
得
rrk
k
k
k
k
k αααβ
2211
即? 可由?1,?2,…,?r 线性表示,由定义 1知?1,?2,…,?r 为 V 的一组基,
注意,若向量空间 V 为 r 维的，则 V 中任意 r 个线性无关的向量均可作为 V 的基,
第三章 向量空间例 9
在 Rn 中求基 {?I |(I =1,2,…,n)}到基 {? I |(I =1,2,…,n)} 的过渡矩阵,
由例 5.6知由标准基?1,?2,…,?n 到?1,?2,…,?n的过渡矩阵为 (?1T,?2T,…,
nT ); 由?1,?2,…,?n到?1,?2,…,? n的过渡矩阵为 (? 1T,? 2T,…,? nT ); 再由命题 1,2知由?1,?2,…,?n到?1,?2,…,? n的过渡矩阵为
C = (?1T,?2T,…,?nT )?1 (? 1T,? 2T,…,? nT )
解一、线性空间的定义及简单性质二、向量的线性相关性，空间的维数，
基与向量的坐标三、线性空间的同构第三章 向量空间线性空间是线性代数最基本的概念之一,是我们已熟悉的由 n 维向量构成的向量空间的推广 。 有限维线性空间与向量空间关于线性运算的性质完全相同,而且推导的过程也几乎一样,所以,本节仅对于线性空间的基本概念及基本性质作一介绍,也不再一一重新证明,
一、线性空间的定义及简单性质
*§ 6 线性空间基本概念介绍3.10
第三章 向量空间设 V 是一个非空集合,P 是一个数域,在集合 V 的元素之间定义一种代数运算,
叫做 加法,即对于 V 中任意两个元素?,?,V 中有一个唯一确定的元素与它们对应,这个元素称为?,? 的 和,并记作?+?,在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义一种运算,叫做 数量乘法,即对于 P中每一个数 k和 V 中每一个元素?,有 V 中唯一确定的元素与它们对应,这个元素为 k与? 的 积,并记作 k?,如果加法与数量乘法满足下列算律：
定义 1
α,ββα )1
,)2 γβαγβα ＋＋＋＋?
3) 在 V 中有一个元素 0,对于 V 中任一元素?，都有?+ 0 =?,
(具有这种性质的元素 0称为 V的 零元素 ),
4) 对于 V 中每一个元素?，都有 V中一元素?，使得?+? = 0,
(?称为?的 负元素 ),
5) 1? ＝?,
6) k(l?)＝ (kl)?,
7) (k+l)?＝ k? + l?,
8) k(?+?) ＝ k? +k?,
(其中 k,l 是 P 中任意数,?,? 是 V 中任意元素 ),
则称为 V为数域 P上的 线性空间,V 中的元素称为 向量,
第三章 向量空间例 3
例 1
上节讨论的向量空间都是实数域上的线性空间,
一切实 m?n 矩阵所成的集合对于矩阵的加法与数与矩阵的乘法构成实数域上的线性空间,用 C m?n 表示,
例 2
实数域 R上一元多项式的全体按通常的多项式加法及数与多项式的乘法构成一个 R 上的线性空间,用 R[X] 表示,如果只考虑其中次数小于 n 的多项式,再添上零多项式也构成实数域上线性空间,用 R [X]n 表示,
上一页第三章 向量空间例 4
全体实数函数的加法和数与函数的乘法构成一个 R上线性空间,
实数域 R 按照本身的加法与乘法构成一个 R 上的线性空间,
例 5
由线性空间的定义可得到下列线性空间的简单性质：
1,零向量是唯一的，每个向量的负向量 (即负无素 )是唯一的,利用负向量，我们定义 减法 如下, ＝? ＋ ( ).
2,0? = 0; k0 = 0; (?1)? =..
3,如果 k? = 0,则 k = 0,或? = 0.
上一页第三章 向量空间
*§ 6 线性空间基本概念介绍二、向量的线性相关性，空间的维数，基与向量的坐标。
线性空间 V 中向量?1,?2,…,?r 称为 线性相关,如果存在 P 中 r 个不全为零的数 k1,k2,…,kr,使
k1?1+ k2?2+…+ kr?r = 0,
否则，称它们 线性无关,
定义 2
设?1,?2,…,?r 是 V 中一组向量,k1,k2,…,kr,是 P 中数，
则向量
= k1?1+ k2?2+…+ kr?r
称为?1,?2,…,?r 的一个 线性组合,也称为? 可由向量组?1,?2,…,?r
线性表出,
定义 3
第三章 向量空间向量空间中关于向量组线性相关性的结论完全可以搬到抽象的线性空间上来。
我们把几个基本的结论叙述如下：
1,单个向量? 线性相关的充要条件? ＝ 0，两个以上向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合,
2,如果向量组?1,?2,…,?r 线性无关，但向量组?1,?2,…,?r,? 线性相关，
那么? 可以由?1,?2,…,?r 线性表出，且表法唯一,
3,如果向量组中的一个线性无关部分组有性质：向量组的每一个向量都可由这个部 分组线性表出,则称这个部分组为向量组的一个 极大无关组,一向量组的任两个极大无关组所含的向量个数相等,称这 个个数为该向量组的 秩,向量组?1，
2,…,?r 的秩记为 r(?1,?2,…,?r ).
4,如果向量组?1,?2,…,?r 能由向量组?1,? 2,…,? t 线性表出,则 r (?1,
2,…,?r)? r (?1,? 2,…,? t ),特别,如果?1,?2,…,?r 线性无关,且能由?1,?
2,…,?it 线性表出,则 r? t.
5,如果 r(?1,?2,…,?n) = r,则?1,?2,…,?n 中任意 r 个线性无关向量是一个极大无关组,
上一页第三章 向量空间线性空间 V 的一组向量?1,?2,…,?n 如果满足
1)?1,?2,…,?n,线性无关；
2)V,? 可由?1,?2,…,?n 线性表出,则称?1,?2,…,?n 为 V 的一组 基,
并称 V 为 n 维线性空间,记为 dimV = n,设V,? 可唯一地由?1,?2,…,?n
线性表出为
= a1?1+ a2?2+…+ an?n,
则称 a1,a2,…,an为? 在基?1,?2,…,?n下的 坐标,
定义 4
例 6
例 6
在线性空间 R[ X ]n 中,1,x,x2,…,xn?1 是 n 个线性无关的向量,而且每一个数小于 n 的实系数多项式都可由它们线性表出,所以 1,x,x2,…,xn?1 是 R[X]n 的一组基,
对? f (x) = a0+a1x+… + an-1xn?1? R [ X ]n,显然 f (x) 在基 1,x,x2,…,xn?1下的坐标为 (a0,a1,…,an－ 1).
R 看作自身上的线性空间是一维的,数 1 就是它的一个基,
上一页第三章 向量空间定理 5
数域 P上任一 n 维线性空间都与向量空间 Pn 同构,
证 设 V 是数域 P 上线性空间,?1,?2,…,?n是 V 的一组基,则对V,? 在这组基下有唯一确定的坐标,它是一个 n 维向量,作映射
,V? Pn
在基?1,?2,…,?n下的坐标显然? 是 V 到 Pn 的一一对应,设?,V,?,? 在基? 1,? 2,…,?n下的坐标分别为 (a1,a2,…,an ) 与 (b1,b2,…,bn ),即
= a1? 1+?2? 2+ … +an? n,? = b1? 1+ b2?2+ …+ bn? n.,
那么? +?=(a1+ b1)? 1+ (?2+ b2 )?2 +…+ (an + b n)? n.,
对于?k? P,k? ＝ k a1? 1+ k?2? 2+…+ k an? n,.
即?＋? 的坐标为
k?的坐标为 (k a1,k?2,…,k an ) = k(a1,?2,…,an ).
所以? 是同构映射，即 V? Pn,
(a1 +b1,?2+ b2,…,an +bn ) = (a1,?2,…,an )＋ (b1,b2,…,bn ),
于是,我们知道任一有限维线性空间与前面我们讨论的 n 维向量构成的向量空间有相同的结构与代数性质,那么前一节关于向量空间的所有结论在有限维线性空间中也成立,
上一页线性空间 V 的一个非空子集 W 称为 V 的一个 子空间,如果 W 关于 V 的两种线性运算也构成线性空间 。
关于空间我们同样有设 W? V,则 W 是 V 的子空间的充分必要条件是 W 关于 V 的两种线性运算封闭,即对,W,和? k? p,有?+W,kW.
定义 4
例 8 R [ X ]
n 是 R [ X ] 的子空间,
所有 n 阶实对称矩阵构成的集合构成 Rn?n 的一个子空间,同样全体 n
阶实对角阵,实上 (下 )三角矩阵都构成 Rn? n 的子空间,
例 9
例 10
设 W1,W2,是线性空间 V 的子空间,令称它为 W1,W2 的 交,它是 V 的一个子空间，又令
121 w{ww αα?
且 },w 2?α
},w,w{ww 2212221 αααα 1
称它为 W1与 W2的 和,它是 V 的一个子空间,
第三章 向量空间上一页第三章 向量空间
*§ 6线性空间基本概念介绍三、线性空间的同构数域 P 上两个线性空间 V 与 V ' 称 为 同构的,如果由 V 到 V ' 有一个一一对应?,具有以下性质：
1) β),αα ()( β
2) ).(αα kk?
定义 5
其中?,V,K? P,则称? 为 同构映射,并称线性空间 V与 V' 同构,记为 V? V ',
同构映射保持两线性空间的运算性质，如：
1)? (0)=0,? () = (?)
2)
rrkkk ααα2211 ＋rrkkk ααα2211
3) V 中向量?1,?2,…,?n是线性相关当且仅当 V 中向量? (?1),? (?2),…,? (?n)
线性相关,
4) 如果 V? V' 则 dimV = dim V‘,且?1,?2,…,?n 是 V 的一组基当且仅当
(?1),? (?2),…,? (?n)是 V 的一组基,
总的来说,如果 V 与 V' 同构,则它有完全相同的结构与代数性质,所以抽象地看来,它们没有区别 。
