第一节 线性变换的概念第二节 线性变换和矩阵第三节 特征值与特征向量第四节 线性变换的不变子空间,象与核一、线性变换的概念二、线性变换的性质
*三、线性变换的运算定义 1
一、线性变换的概念设? 是向量空间 V 到 其自身的一个映射，如果? 满足,
1)?(? +? ) =? (? ) +? (? ),
2)? ( k?) = k? (? ),
其中?,? 为 V 中任意向量,k 为任意实数
有上面的性质也说成? 保持向量的线性运算,
则称? 是 V 的一个 线性变换,? (?) 称为? 在? 下的 象,也可记为,
§ 1 线性变换的概念
(1) 向量空间中变换的写法
,( x,y)? ( x + y,x? y ),(x,y)? R2
( x,y) = (x + y,x? y),( x,y)? R2
注：
(2)
).()()( 2121 βαβα kkkk可简写成
(? +?) =? (?) +? (? ),
(k?) = k? (? ),
第六章 线性变换例 1
R3 中? ( x,y,z) = (x,y,0) 是线性变换,
事实上,设? = ( x1,y1,z1),? =( x2,y2,z2)
(? +? ) =? ( x1+ x2,y1 + y2,z1+ z2 )
= ( x1+ x2,y1 + y2,0 )
= ( x1,y1,0) + ( x2,y2,0)
=? (? ) +? (? ).
证
(k? ) =? (k x1,k y1,kz1 )
= ( k x1,k y1,0 )
= k (x1,y1,0 )
= k? (? ).
故? ( x,y,z) = (x,y,0) 是 R3 中线性变换，称之为 R3 中向 xOy 面的 投影变换,
x
y
z
( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章 线性变换上一页例 2
在 R2 中，设 0 ≤? < 2?,令
,(x,y)? (x cos ysin?,xsin? + ycos? )
则? 是 R2 的一个线性变换,
称线性变换? 是绕原点按逆时针方向旋转? 角的 旋转变换,
x
y
( x,y)
0
事实上，由
( (x,y)+(x1,y1))=? (x+x1,y+y1)
)]co s)(s i n)(,s i n)(co s)[( 1111 yyxxyyxx
)c o ss i n,s i nc o s( yxyx
).,(),( 11 yxyx
)co ss i n,s i nco s( 1111 yxyx
证
),()),(( kykxyxk
)c o ss i n,s i nc o s( kykxkykx
)c o ss i n,s i nc o s( yxyxk
).,( yxk
故? 是线性变换,第六章 线性变换上一页例 4
例 3
向量空间 V 中,
,,V
, 0,V
显然?,? 都是线性变换,分别称为 恒等变换 和 零变换,恒等变换记为 I,
零变换记为 0，即
I (?) =?,0(?) = 0.
R2 中? ( x,y) = (x y,0),? 是否是线性变换?
例 5
下列变换：
1:(a1,a2,…,an)? (a1,0,0,…,0);
2:(a1,a2,…,an)? (a1,a2,a3,…,an?1,0);
3:(a1,a2,…,an)? k(a1,a2,a3,…,an);
4:(a1,a2,…,an)? ).,,,(
11 21 1
n
j jnj
n
j jjj
n
j j ababab?
其中 (a1,a2,…,an) 是任一 n 维向量,bij 为取定实数 i,j=1,…,n,则?1,
2,?3,?4 都是 Rn 的线性变换,
第六章 线性变换上一页解答二、线性变换的性质
(1)? ( 0 ) = 0,? ( ) = (? ).
(2) )(
2211 sskkk ααα );()()( 2211 sskkk ααα
(3) 若?1,?2,…,?s 线性相关，则? (?1 ),? (?2),…,? (?s)也线性相关,
§ 1 线性变换的概念第六章 线性变换一、线性变换的矩阵二、象与原象的坐标变换公式三、同一线性变换在不同基下的矩阵
§ 2 线性变换和矩阵一、线性变换的矩阵设 V 是一个 n 维向量空间,?1,?2,…,?n 是 V 的一组基,对于 V 的一个线性变换?,? (?1),? (?2),…,? (?n)是 V 中的 n 个向量,它们能由 V 的基线性表出,
(1)
(?1) = a11?1+ a21?2 + … an1?n,
(?2) = a12?1+ a22?2 + … an2?n,
……………
(?n) = a1n?1+ a2n?2 + … ann?n,
= (? 1,? 2,…,? n )(? (?1),? (?2),…,? (?n))
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211 A
设第六章 线性变换
(? (?1),? (?2),…,? (?n) ) = (?1,?2,…,?n )A.
称矩阵 A 为 线性变换? 在基?1,?2,…,?n 下的矩阵,
记? (?1,?2,…,?n ) = (? (?1),? (?2),…,? (?n) )
则有? (?1,?2,…,?n ) = (?1,?2,…,?n )A
因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性变换? 有唯一确定的 n 阶方阵 A
与它对应,
A
在给定基下一一对应例 2
例 1
Rn 中恒等变换 I (?) =? 在每一组基下的矩阵为 n 阶单位阵,
Rn 中零变换 0(?) = 0 在任意基下的矩阵为零矩阵,
Rn 中线性变换? (?) = k?,k?R,? 在每一组基下的矩阵为数量矩阵 k En,
称线性变换? (?) = k? (k?R )为 位似变换,
第六章 线性变换上一页例 3
求 R2 中旋转变换
(x,y) = (xcosysin?,xsin? + ycos? )
在标准基 e1= (1,0),e2= (0,1)下的矩阵,
(e1) = (cos?,sin? ) = cos e1+ sin e2,,
(e2) = (?sin?,cos? ) =? sin e1+cos e2,,,
.c o ss i n s i nc o s),())(),(( 2121 θθ θθeeee
解若设 (x,y)的象? (x,y)在 e1,e2下的坐标为 (x',y')
则 x' = xcos ysin?
y' = xsin? + ycos?
.c o ss i n s i nc o s'' yxyx
原象的坐标象的坐标第六章 线性变换上一页二、象与原象的坐标变换公式设V,? 在基?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,x2,…,xn ),
设? (? )在基?1,?2,…,?n下的坐标为 (y1,y2,…,yn ),则
nnyyy αααξ2211)(? ),,,( 21
(3).
2
1
ny
y
y
§ 2 线性变换和矩阵得),( ) ( ) ( ) (2 2 1 1n n x x x
n
n
x
x
x
2
1
2 1)) (,),( ),( (α α α (4)),,,(2 1n
由
n n x x x 2 2 1 1
,2
1
n x
x
x
A
将 (3)与 (4)比较得
,2
1
2
1
n nx
x
x
A
y
y
y
的坐标
(?)
的坐标
的矩阵 第六章 线性变换定理 1
设?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组基,线性变换? 在基?1,?2,…,?n
下的矩阵为 A,如果? 与? (? ) 在该基下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn) 和 (y1,
y2,…,yn),则,2
1
2
1
nn x
x
x
A
y
y
y
例 4
设? 是 R4 的一个线性变换,对? (x1,x2,x3,x4)? R4,?(x1,x2,x3,x4)
= (2x1+x2,3x1?x3,x3,x1+x4 ),求? 在标准基?1,?2,?3,?4下的矩阵,
(?1) =? (1,0,0,0) = (2,3,0,1) =2?1+ 3?2+?4,? (?2)=? (0,1,0,0)= (1,0,0,0) =?1,,
(?3) =? (0,0,1,0) = (0,?1,1,0)=2 +?3,
(?4) =? (0,0,0,1) = (0,0,0,1) =?4.
解所以? 在?1,?2,?3,?4下的矩阵为
.
1001
0100
0103
0012
A
因为 ))(),(),(),(( 4321 εεεε,
1001
0100
0103
0012
),,,( 4321
第六章 线性变换上一页定理 2
设?1,?2,?,?n 和?1,?2,?,?n 是向量空间 V 的两组基,线性变 换
在这两组 基下的矩阵分别为 A 与 B,从基?1,?2,?,?n 到基?1,?2,?,
n 的过渡矩阵是 T,则三、同一线性变换在不同基下的矩阵
B = T?1AT.
§ 2 线性变换和矩阵
,),,()(),(),( 2121 Annσσσ
,),,()(),(),( 2121 Bnnσσσ
.),,,(),,( 2121 Tnn
于是 ),,()(),(),( 2121 nn σσσσ?
TT nn ),,,(),,,( 2121 σσ
Tn )(),(),( 21 σσσ
.),,,( 121 ATTn
即 B=T?1AT.
ATn ),,( 21
证第六章 线性变换定义 1
第六章 线性变换设 A,B为两个 n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 T,使得 B =T?1AT,则称
A 与 B 相似,记作 A? B.
由定理 2知线性变换在不同基下的矩阵是相似的 ; 反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵,
定理 3
设 B =P?1AP,如果线性变换? 在基?1,?2,?,?n下的矩阵为 A,且则? 在基?1,?2,?,?n 下的矩阵为 B,
(?1,?2,?,?n) = (?1,?2,?,?n )P.
基?1,?2,?,?n下
A
基 (?1,?,? n) = (?1,?,?n)P
B
B = P?1AP.
下单击 此处 可查阅进一步内容上一页例 2
设 R2 的线性变换? 为
,(x1,x2)? (2x1+ 4x2,?x1),
求?在基? 1= (1,?1),? 2 = (?1,2) 下的矩阵,
解答第六章 线性变换上一页一、矩阵的特征值与特征向量二、线性变换的特征值与特征向量三、矩阵、线性变换可对角化的条件定义 1
§ 3 特征值与特征向量问：给定 n维 向量空间 V 的一个线性变换?,是否存在 V的一组基,使? 在此基下的矩阵为对角形矩阵？
一个给定的 n 阶方阵,能否相似于一个对角形矩阵？
一、矩阵的特征值与特征向量
1.矩阵的特征值与特征向量的概念设 A 是一个 n 阶实矩阵,如果存在实数?和非零的 n维列向量?,使得
A
那么? 称为 A 的一个 特征值,?称为 A 的 属于特征值? 的一个特征向量,
矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征向量不能属于不同的特征值,
事实上,若 A? =? 1?,A? =? 2?,则? 1? =? 2?,即 (? 1 2)? =0,而0,故? 1=? 2,
注 意：
属于同一特征值的特征向量是不为唯一的,
事实上,由 A X=?0X 得 (A0E ) X = 0.
解空间中除零向量外，都是 A 的属于?0 的特征向量,第六章 线性变换定义 2
若?0 是 A 的特征值，则存在 X?0,使得 A X =?0X,即
(A0E )X = 0,
要上述齐次线性方程组有非零解，则须系数行列式等于 0,即
|A0E | = 0.
称 |AE | = 0 (或 |?E? A |= 0) 为矩阵 A 的 特征方程,
求 A 的特征值就是求 |AE | = 0 的全部实根,对于特征值?0,齐次方程
(A0E) X = 0 的所有非零解，就是 A 的属于?0 的特征向量,
易知,上 (下 )三角矩阵、对角矩阵的特征值就是对角线元素,
2,矩阵的特征值与特征向量的求法第六章 线性变换上一页例 1
122
212
221
A
求矩阵 的特征值与特征向量,
AE 122
212
221
),5()1( 2 λλ
所以 A 的特征值为?1(二重 )和 5.
解将? =?1代入齐次方程组 (?E?A)X = 0 得
,0222 321 xxx
它的基础解 系 为
,
1
0
1
1
X,
1
1
0
2
X
所以属于?1的全部特征向量为,2211 XkXk?,,21 R?kk 21,kk 不全为零,
再把特征值? = 5 代入 (?E?A)X = 0 得,0224 321 xxx
,0242 321 xxx
.0422 321 xxx
它的基础解系为 X =(1,1,1)T.
则属于 5 的全部特征向量为 kX,第六章 线性变换上一页定理 1
3,矩阵特征值与特征向量的性质设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值?1,?2,…,?n,(重根按重数计算 ) 则
.||
1 i
n
i
A
定理 2
若? 是矩阵 A 的特征值,X 是 A 属于? 的特征向量，则
(1) k?是 kA 的特征值 ( k?R );
(2)?m 是 Am 的特征值 ( m 是正整数 );
(3) 当 A 可逆时,1 是 A?1 的特征值,
且 X 仍是矩阵 kA,Am,A?1 分别对应于特征值 k?,?m,
1 的特征向量,
证第六章 线性变换上一页定理 4
定理 3
矩阵 A 和 AT 的特征值相同,
因为 (A E)T = AT E
所以 | (A E)T | = | AT E |
故 A,AT 有完全相同的特征值,
= | A E |,
证相似矩阵有相同的特征 值,
设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得 P?1AP = B,
因为 |?E? B | = |?P?1P?P?1AP |=| P?1 (?E?A)P | = | P?1| · |?E?A | ·| P | =|?E?A |,
所以 A 与 B 有相同的特征多项式，它们的特征值全相同,
证例 2
设
.
122
212
221
A
(1) 试求矩阵 A 的特征值；
(2) 利用 (1)小题的结果，求矩阵 E+A?1 的特征值，其中 E 是三阶单位矩阵,
解答 第六章 线性变换上一页定义 3
二、线性变换的特征值与特征向量设? 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在实数? 和 V 中一非零向量?,使得
)(σ
那么? 称为? 的一个 特征值,? 称为?的 属于特征值? 的一个特征向量,
1,线性变换的特征值与特征向量的概念
§ 3 特征值与特征向量定理 5
2、线性变换的特征值与特征向量的求法设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间 V 上线性变换? 在一组基下的矩阵,
则? 是? 的特征值的充要条件是? 为 A 的特征值,
证第六章 线性变换设 Rn 中线性变换? 在基?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,则
的特征值 = A 的特征值
= (?1,?2,…,?n) X
A 的属于?0
的特征向量
的属于?0
的特征向量求?的特征根与特征向量的步骤如下,
(1) 在线性空间 V 中取一组基?1,?2,n,写出? 在这组基下的矩阵 A;
(2) 求出特征多项式 的全部实根,即求方程 |AE | = 0 的根,它就是? 的全部特征值,
(3) 把所有的特征值逐个地代入方程组 (AE )X = 0,并 解方程组,它的非零解就是属于该特征值的特征向量在所给基下的坐标,
例 3
122
212
221
A
设线性变换? 在 V 的基?1,?2,?3 下的矩阵为求线性变换? 的特征值与特征向量,解答第六章 线性变换上一页定义 4
定义 5
三、矩阵、线性变换可对角化的条件如果 n 阶矩阵 A 相似于一对角阵,称 A 可以对角化,
如果向量空间 V 中存在一组基,使 V 的线性变换? 在这组基下的矩阵为对角形矩阵,则称? 可以对角化,
§ 3 特征值与特征向量定理 6
1,矩阵可对角化的条件
n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量,
证第六章 线性变换
若 A 可对角化,即 A 相似于对角阵?,则? 的主对角元素就是 A 的全部特征值,
若 A 可对角化，则由 A 的 n 个线性无关的特征向量 X1,X2,…,Xn 可构造
P = (X1,X2,…,Xn ),使 P?1AP =?,
若不记特征值? 排列的顺序，则? 是唯一的，称? 为 A 的相似标准形,
显然 P 不唯一,
注意：
定理 7
矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,
证推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可对角化,
第六章 线性变换上一页定理 6‘
2,线性变换可对角化的条件
n 维向量空间 V 的线性变换? 可对角化的充要条件是?有 n 个线性无关的特征向量,
设?可对角化,则存在 V 的一组基?1,?2,n,使? 在此基下的矩阵为对角形矩阵
n
Λ
2
1
即? (?1,?2,…,?n) = (?1,?2,…,?n)?
证则 niiii?,2,1,)( λσ
反之,如果? 有 n 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则? 在此基下的矩阵就是对角形矩阵,
因此?1,?2,n 就是? 的 n 个线性无关的特征向量,
第六章 线性变换上一页例 4
设 3阶矩阵 A 的特征值为?1= 1,?2= 2,?3= 3,对应的特征向量依次为?1= (1,1,1)T,
2= (1,2,4)T,?2= (1,3,9)T,? = (2,?2,1)T,求 An? ( n为自然数 ).
将? 用?1,?2,?3 线性表出即 x1 + x2 + x3 = 1,
x1 + 2x2 + 3 x3 = 1,
x1 + 4x2 + 9 x3 = 3.
由
3941
1321
1111
,
2200
0210
1111
得唯一 解 (2,?2,1),故,22
321
= x1?1+ x2?2+ x3?3,解一
),22( 321 nn AA
由于 A?i = i,An?i =?in? i,i=1,2,3.
故 An? = 2An? i? An?2+An? 3 = 2?1n? i? 2?2n?2+?1n? 3
9
3
1
3
4
2
1
22
1
1
1
2 nn,
322
322
322
23
12
1
nn
nn
nn
解答二 第六章 线性变换上一页例 5
设矩阵 A 与 B 相似，其中
,
113
22
002
xA,
00
020
001
y
B
求 (1) x 和 y 的值；
(2) 求可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B,
解答例 6
第六章 线性变换上一页一、不变子空间二、线性变换的象与核定义 1
一,不变子空间设 W是 V 的一个子空间,如果对于 V的线性变换? 有? (W)?W,
则称 W 在? 下不变,也称 W 为? 的一个不变子空间,
§ 4,*线性变换的不变子空间,象与核例 2
例 1
V 本身及零空间 {0}显然是一性变换的不变子空间,
V 的任意子空间都是 V 的任一数乘变换的不变子空间,
第六章 线性变换例 3
设? 是 R3 的线性变换
,(x1,x2,x3)? (x1+x2,2x1,5x3),
则 L(?1,?2) 与 L(?3) 都是? 的不变子空间,(其中?1,?2,,?3是 V的标准基 ).
),( 21LRaaaa 212211,.,|,0 ),( 2121 Raaaa
而 ),,()0,2,()0,,(
2112121 Laaaaa
于是 L(?1,?2) 是? 的一个不变子空间,
又RaaL |)(
33,| ),0,0( Raa
而 ),()5,0,0(),0,0(
3 Laa
于是 L(?3) 是? 的一个不变子空间,
证第六章 线性变换上一页现在看一看,不变子空间与线性变换的矩阵有什么关系,
如果 W是?的不变子空间,那么? (W)? W,从而? 可以看成子空间 W上 的线性变换,称为? 在 W上的限制,记为? | W.
设?1,?2,?,?r是 W 的一组基,把它扩充为 V 的一组基?1,?2,?,?r,?,?n,
那么有
,)( 12211111 rraaaσ
,)( 2211 rrrrrr aaaσ
,)( 22111 nrnrrrrrr aaaaσ
.)( 2211 nnnrrnnnn aaaaσ
因此,? 在基?1,?2,?,?n下的矩阵有形状
,0
3
21
A
AAA
其中 A1是?|W 在 W 的基?1,?2,?,?n 下的矩阵,
第六章 线性变换上一页二,线性变换的象与核下面我们介绍两种重要的不变子空间,
Im? =V | )(σ
称为? 的象,集合
0)( k e r σσ V
称为? 的核,
例 4
2,(x1,x2,x3)? (x1+x2,2x1,5x3),
设 R3的线性变换?1为
Im? =2,1,| )0,,(
21 iRxxx i
则
.),0,0(k er 331 R xx |?
例 5
设 R3的线性变换?2为
2,(x1,x2,x3)? (x1?x2,x1?x3,x2?x3),
Im? =Ra,babba |),,(则
2kerRxxxxxxxxxx i,0,0,0| ),,( 323121321
.|),,( R aaaa 第六章 线性变换推论定理 1
Im? 和 ker? 都是? 的不变子空间,设? 在 V 的一组基下的矩阵为 A,
则 dim(Im?)= r(A),且
.d i m)d i m ( k e r)d i m ( I m V
证设?是向量空间 V的线性变换,dimV = n,则
1) 0)d i m ( k er)d i m ( I m n
2)? 是单射 是满射,
第六章 线性变换上一页
,
因此,
,)(,),(),(Im 21 nLσ
即 Im? 的维数等于向量组
)(,),(),( 21 n σσσ?的秩,也就是等于它们的坐标向量组的秩,而以
)(,),(),( 21 n σσσ?的坐标向量为列向量构成的矩阵恰好是? 在基
1,?2,?,?n 下的矩阵 A,所以,坐标向量组的秩就等于 A的秩,于是我们有
).()d i m ( I m Ar?σ
显然,Im?,ker? 关于线性运算封闭,,Imσ所以它是 V的子空间,又对显然有,Im)(σ 对,ker 有,k e r)( 0σ
ker? 是? 的不变子空间,
设?1,?2,?,?n 是 V 的一组基,则对,V 有
,2211 nnxxx
于是 ),()()()(
2211 nnxxxσ
证从而知 Im?,
第六章 线性变换又设
r,,21
是?ker 的一组基,把它扩充为 V的一组基
.,,,,,,121 nrr
因为,)( 0?
i?σ,,,2,1 ri 我们有
)(),(),(),(),(Im 121 nrrL σσσσσ
.)(,),( 1 nrL σσ
下面我们来证明 )(),(),( 21 nrr σσσ 是?Im 的一组基,为此,只须证明它们线性无关,
设,)()()(
21 0 nrnrQrrIr kkk σσσ?
则由? 是线性变换，有 0, )( 2211 nnrrrr kkkσ
,k er2211 σ nnrrrr kkk
即 从而它能由
n,,,21?
线性表出,
nnrrrr kkk2211,2211 rrkkk
则,0
112211 nnrrrr kkkkk
因为
n,,21
线性无关,有,0
21 nkkk?
因此 )(,),(),(
21 nrr σσσ
线性无关,从而有
)dim(Im? rn,k e rd imd im σ V
设第六章 线性变换上一页
(( x,y) + (x1,y1))
=( ( x+x1)( y+y1),0)
= ( xy,0 )+ ( x1y1,0 ) + (x1y,0)+ (xy1,0 )
=? ( x+x1,y+y1)
=? ( x,y) +?( x1,y1) + (x1y,0) + (xy1,0 )
( x,y)+?( x1,y1)
( x,y) = (x y,0)不是线性变换,
解第六章 线性变换
*三、线性变换的运算设向量空间 V 的全体线性变换所成的集合为 L(V),我们定义 L(V) 中的加法，
数量乘法 (简称为数乘 )与乘法：
加法,(?+?)(?)=?(?)+?(?),V。
数乘,(k?) (?)= k?(?),V。
乘法,(k?) (?)= k?(?),V。
易验证，当?,?为 V 的线性变换时,?+?,k?,是 V 的线性变换。
§ 1 线性变换的概念且上面定义的加法，数乘与乘法满足以下算律：
1)? +? =? +? ;
2) (?+?) +? =? + (? +? );
3) 0+?。 =? ;
4) 令, (?) 称为? 的负变换，有性质? + () =0,
5) 1? =? ；
6) ( )? =? () ；
7) k(?+? ) =k? +k?；
8) (k+l )? =k? + k?,
9) (?)? =? ( ),
10) l? =?,(这里的 l 指恒等变换 )
11)? (? +? ) = +,
12) (? +? )? = +,
性质 1)－ 8)说明 L(V) 是实数域上的线性空间,第六章 线性变换例设?,?是 R3 的两个线性变换,其中
,(a1,a2,a3)?(a1,0,a3)
,(a1,a2,a3)?(0,0,a3)
求,.
= (a1,a2,a3)?R3
(a1,a2,a3)=? (? (a1,a2,a3)) =? (0,0,a3)= (0,0,a2))
(a1,a2,a3)=? (?(a1,a2,a3)) =? (a1,0,a3)= (0,0,0)
由上例可看出,，即线性变换的乘法不满足交换律，而且0,
0，但 = 0,即两个不为零的线性变换的乘积可能为零,
解第六章 线性变换上一页
*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质,
1,反射性,A?A;
2,对称性,如果 A?B,则 B?A;
3,传递性,如果 A?B,B?C,则 A?C.
第六章 线性变换
在标准基?1,?2下的矩阵为
,01 42A
而由?1,?2 到? 1,? 2 的过渡矩阵为
,21 11T
解那么? 在? 1,? 2 下的矩阵为
B = T?1AT
21 1101 1221 11 1
21 1101 1211 12,73 155
第六章 线性变换
(1) 由 AX=?X 有 (kA)X=(k?)X,
(2) 由 AX=?X 可得
A (A X) =A (?X )=?(AX )=?(?X ),
即 A2X=?2X.
重复上述步骤 m?2次,得即 A m X=?mX.
证
(3) 当 A 可逆时,| A |? 0,由定理 1知0,
A?1(AX) = A?1(?X),
因此 A?1X=1 X.
由 AX=?X 可得
X =? A?1X,
第六章 线性变换
1) 矩阵 A 的特征方程为
122
212
221
||
AE,0)5()1( 2 λλ
由此得矩阵 A 的特征值,1,1,?5.
解
2) 由于矩阵 A 的特征值为 1,1,?5,可知 A?1的特征值为 1,1,
,51? ;0|| 1AE;0|)()11(| 1AEE ;0|)(2| 1AEE
可知 2 是 E+A?1 的特征值,
.0|)(54| 1AEE
于是，矩阵 E+A?1 的特征值为,
54,2,2
,0|)51(| 1AE;0|)()151(| 1AEE
又因为 是 A?1的特征值,有
51?
所以 也 是 A?1的特征值,54
因为 1是 A?1的特征值,有第六章 线性变换设?是? 的特征值,? 是? 属于? 的特征向量,则有
(?) =.
设 V 在基?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,即
(?1,?2,…,?n) = (?1,?2,…,?n)A..
(1)
(2)
证
Xn ))(,),(( 1 σσ
设? = x1?1+ x2?2+ …+ xn?n (3)
因 0,故 X? 0.
(? ) = x1? (?1 ) + x2? (?2 ) + …+ xn? (?n )
= (?1,?2,…,?n)AX,(4)
= (?1,?2,…,?n )X,
= (?1,?2,…,?n)? X,
AX =? X,X? 0.由? (? ) = 得则? (? ) =? (?1,?2,…,?n) X = (?1,?2,…,?n) AX
= (?1,?2,…,?n)? X =,( 0).
令? = (?1,?2,…,?n) X,
反之，若 AX =? X,X? 0,
第六章 线性变换
),5()1(|| 2 EA
所以? 的 特征值为?1(二重 )和 5.
解将特征值?1代入齐次方程组 (AE )X = 0,得它的基础解 系 为
,)1,0,1(1 TX TX )1,1,0(2
因此? 的 属于?1的两个线性无关的特征向量为
,311,322
.0222 321 xxx
的 属于?1的全部特征向量为,2211 kk?
其中 k1,k2? R,且 k1,k2不同时为零,
再把特征值 5代入 (AE )X = 0,得
,0224 321 xxx
,0242 321 xxx
.0422 321 xxx
它的基础解系为,)1,1,1( TX?
令,221 则?的属于 5的全部特征向量为,0,, kkk R?
第六章 线性变换先证必要性,
设 A 可对角化,则存在可逆矩阵 P,使
n
APP
2
1
1?.,?
证即 AP = P?.
将矩阵 P 按列分块，记第 i 列为 Xi,
因此有 A(X1,X2,…,Xn) = (X1,X2,…,Xn),2
1
nλ
λ
λ
则 P = (X1,X2,…,Xn).
即 (A X1,A X2,…,A Xn) = (?1X1,?2X2,…,?nXn ).
于是 AXi=?iXi,( i=1,2,…,n ).
所以 X1,X2,…,Xn 是 A 分别对应于特征值? 1,? 2,…,? n 的特征向量,
由于 P 可逆，故 X1,X2,…,Xn 是线性无关的,
上述步骤每步可逆，充分性亦成立,
第六章 线性变换对特征根的个数用数学归纳法,因为特征向量不为零,所以单个特征向量必线性无关,现假设属于 k 个不同特征根的特征向量线性无关,我们证明属于 k+1 个不同的特征根的特征向量也线性无关,
令?1,? 2, k+1 是分别属于 k+1个不同特征根?1,? 2, k+1 的特征向量,设
0. 112211 kkkk aaaa (2)
(2)式两端乘以? k+1,得
.1111212111 0 kkkkkkkk aaaa λλλλ?
证
(2)式两端同施行变换?,得
.111222111 0 kkkkkk aaaa λλλλ?
上两式相减得 0. kkkkkk aaa )()()( 122121111 λλλλλλ?
根据归纳假设,?1,? 2, k 线性无关,于是有)(
111ka )( 212ka,0)( 21 λλ kna
而?1,? 2, k+1 互不相同,所以有,0
21 kaaa?
再代入 (2)式,由? k+1? 0,得 ak+1= 0,这就证明了?1,? 2, k,? k+1线性无关,根据归纳法原理,定理得证,第六章 线性变换
,
300
020
001
1
APP
其中,P = [?1,?2,?3]
1
300
020
001
PPA
1
300
020
001
PPA
n
n,
300
020
001
1?
PP
n
n
解二
1
300
020
001
PPA
n
nn
1
2
2
300
020
001
941
321
111
n,
322
322
322
23
13
1
nn
nn
nn
第六章 线性变换
,
941
321
111
(1) 因为 A~B,故其特征多项式相同，即
|?I?A | = |?I?B |
(?+2) [?2?(x+1)?+(x?2)] =(?+1) (2)(y)
令? =0,得 2(x?2) =2y,即 y = x?2;
令? =1,得 y =?2,从而 x = 0;
解
(2) 由 (1) 知
,
113
202
002
A,
200
020
001
－
B
对应于 A 和 B 共同的特征值?1,2,?2的特征向量为
1 = ( 0,2,?1)T,
2 = ( 0,1,1)T,
3 = ( 1,0,?1)T,
则可逆矩阵,
111
012
100
P
第六章 线性变换例 6
已知? =(1,1,?1)'是矩阵
21
35
312
b
aA 的一个特征向量,
(1) 试确定参数 a,b及特征向量? 所对应的特征值；
(2) A 能否相似于对角阵？说明理由,
(1) 由
1
1
1
21
35
212
)(
b
aAI = 0
得
+ 1 = 0，
a?2 = 0，
b1 = 0，
解得 a=?3,b=0,?=?1.
解
(2) 由,
201
335
212
A
201
335
212
||
AI 3)1(
知? =? 1是 A 的三重特征值,
因?I?A
101
325
213
.
000
110
101
所以 r (?I?A) =2。
从而? =?1 对应的线性无关的特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵,
第六章 线性变换
*三、线性变换的运算定义 1
一、线性变换的概念设? 是向量空间 V 到 其自身的一个映射，如果? 满足,
1)?(? +? ) =? (? ) +? (? ),
2)? ( k?) = k? (? ),
其中?,? 为 V 中任意向量,k 为任意实数
有上面的性质也说成? 保持向量的线性运算,
则称? 是 V 的一个 线性变换,? (?) 称为? 在? 下的 象,也可记为,
§ 1 线性变换的概念
(1) 向量空间中变换的写法
,( x,y)? ( x + y,x? y ),(x,y)? R2
( x,y) = (x + y,x? y),( x,y)? R2
注：
(2)
).()()( 2121 βαβα kkkk可简写成
(? +?) =? (?) +? (? ),
(k?) = k? (? ),
第六章 线性变换例 1
R3 中? ( x,y,z) = (x,y,0) 是线性变换,
事实上,设? = ( x1,y1,z1),? =( x2,y2,z2)
(? +? ) =? ( x1+ x2,y1 + y2,z1+ z2 )
= ( x1+ x2,y1 + y2,0 )
= ( x1,y1,0) + ( x2,y2,0)
=? (? ) +? (? ).
证
(k? ) =? (k x1,k y1,kz1 )
= ( k x1,k y1,0 )
= k (x1,y1,0 )
= k? (? ).
故? ( x,y,z) = (x,y,0) 是 R3 中线性变换，称之为 R3 中向 xOy 面的 投影变换,
x
y
z
( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章 线性变换上一页例 2
在 R2 中，设 0 ≤? < 2?,令
,(x,y)? (x cos ysin?,xsin? + ycos? )
则? 是 R2 的一个线性变换,
称线性变换? 是绕原点按逆时针方向旋转? 角的 旋转变换,
x
y
( x,y)
0
事实上，由
( (x,y)+(x1,y1))=? (x+x1,y+y1)
)]co s)(s i n)(,s i n)(co s)[( 1111 yyxxyyxx
)c o ss i n,s i nc o s( yxyx
).,(),( 11 yxyx
)co ss i n,s i nco s( 1111 yxyx
证
),()),(( kykxyxk
)c o ss i n,s i nc o s( kykxkykx
)c o ss i n,s i nc o s( yxyxk
).,( yxk
故? 是线性变换,第六章 线性变换上一页例 4
例 3
向量空间 V 中,
,,V
, 0,V
显然?,? 都是线性变换,分别称为 恒等变换 和 零变换,恒等变换记为 I,
零变换记为 0，即
I (?) =?,0(?) = 0.
R2 中? ( x,y) = (x y,0),? 是否是线性变换?
例 5
下列变换：
1:(a1,a2,…,an)? (a1,0,0,…,0);
2:(a1,a2,…,an)? (a1,a2,a3,…,an?1,0);
3:(a1,a2,…,an)? k(a1,a2,a3,…,an);
4:(a1,a2,…,an)? ).,,,(
11 21 1
n
j jnj
n
j jjj
n
j j ababab?
其中 (a1,a2,…,an) 是任一 n 维向量,bij 为取定实数 i,j=1,…,n,则?1,
2,?3,?4 都是 Rn 的线性变换,
第六章 线性变换上一页解答二、线性变换的性质
(1)? ( 0 ) = 0,? ( ) = (? ).
(2) )(
2211 sskkk ααα );()()( 2211 sskkk ααα
(3) 若?1,?2,…,?s 线性相关，则? (?1 ),? (?2),…,? (?s)也线性相关,
§ 1 线性变换的概念第六章 线性变换一、线性变换的矩阵二、象与原象的坐标变换公式三、同一线性变换在不同基下的矩阵
§ 2 线性变换和矩阵一、线性变换的矩阵设 V 是一个 n 维向量空间,?1,?2,…,?n 是 V 的一组基,对于 V 的一个线性变换?,? (?1),? (?2),…,? (?n)是 V 中的 n 个向量,它们能由 V 的基线性表出,
(1)
(?1) = a11?1+ a21?2 + … an1?n,
(?2) = a12?1+ a22?2 + … an2?n,
……………
(?n) = a1n?1+ a2n?2 + … ann?n,
= (? 1,? 2,…,? n )(? (?1),? (?2),…,? (?n))
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211 A
设第六章 线性变换
(? (?1),? (?2),…,? (?n) ) = (?1,?2,…,?n )A.
称矩阵 A 为 线性变换? 在基?1,?2,…,?n 下的矩阵,
记? (?1,?2,…,?n ) = (? (?1),? (?2),…,? (?n) )
则有? (?1,?2,…,?n ) = (?1,?2,…,?n )A
因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性变换? 有唯一确定的 n 阶方阵 A
与它对应,
A
在给定基下一一对应例 2
例 1
Rn 中恒等变换 I (?) =? 在每一组基下的矩阵为 n 阶单位阵,
Rn 中零变换 0(?) = 0 在任意基下的矩阵为零矩阵,
Rn 中线性变换? (?) = k?,k?R,? 在每一组基下的矩阵为数量矩阵 k En,
称线性变换? (?) = k? (k?R )为 位似变换,
第六章 线性变换上一页例 3
求 R2 中旋转变换
(x,y) = (xcosysin?,xsin? + ycos? )
在标准基 e1= (1,0),e2= (0,1)下的矩阵,
(e1) = (cos?,sin? ) = cos e1+ sin e2,,
(e2) = (?sin?,cos? ) =? sin e1+cos e2,,,
.c o ss i n s i nc o s),())(),(( 2121 θθ θθeeee
解若设 (x,y)的象? (x,y)在 e1,e2下的坐标为 (x',y')
则 x' = xcos ysin?
y' = xsin? + ycos?
.c o ss i n s i nc o s'' yxyx
原象的坐标象的坐标第六章 线性变换上一页二、象与原象的坐标变换公式设V,? 在基?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,x2,…,xn ),
设? (? )在基?1,?2,…,?n下的坐标为 (y1,y2,…,yn ),则
nnyyy αααξ2211)(? ),,,( 21
(3).
2
1
ny
y
y
§ 2 线性变换和矩阵得),( ) ( ) ( ) (2 2 1 1n n x x x
n
n
x
x
x
2
1
2 1)) (,),( ),( (α α α (4)),,,(2 1n
由
n n x x x 2 2 1 1
,2
1
n x
x
x
A
将 (3)与 (4)比较得
,2
1
2
1
n nx
x
x
A
y
y
y
的坐标
(?)
的坐标
的矩阵 第六章 线性变换定理 1
设?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组基,线性变换? 在基?1,?2,…,?n
下的矩阵为 A,如果? 与? (? ) 在该基下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn) 和 (y1,
y2,…,yn),则,2
1
2
1
nn x
x
x
A
y
y
y
例 4
设? 是 R4 的一个线性变换,对? (x1,x2,x3,x4)? R4,?(x1,x2,x3,x4)
= (2x1+x2,3x1?x3,x3,x1+x4 ),求? 在标准基?1,?2,?3,?4下的矩阵,
(?1) =? (1,0,0,0) = (2,3,0,1) =2?1+ 3?2+?4,? (?2)=? (0,1,0,0)= (1,0,0,0) =?1,,
(?3) =? (0,0,1,0) = (0,?1,1,0)=2 +?3,
(?4) =? (0,0,0,1) = (0,0,0,1) =?4.
解所以? 在?1,?2,?3,?4下的矩阵为
.
1001
0100
0103
0012
A
因为 ))(),(),(),(( 4321 εεεε,
1001
0100
0103
0012
),,,( 4321
第六章 线性变换上一页定理 2
设?1,?2,?,?n 和?1,?2,?,?n 是向量空间 V 的两组基,线性变 换
在这两组 基下的矩阵分别为 A 与 B,从基?1,?2,?,?n 到基?1,?2,?,
n 的过渡矩阵是 T,则三、同一线性变换在不同基下的矩阵
B = T?1AT.
§ 2 线性变换和矩阵
,),,()(),(),( 2121 Annσσσ
,),,()(),(),( 2121 Bnnσσσ
.),,,(),,( 2121 Tnn
于是 ),,()(),(),( 2121 nn σσσσ?
TT nn ),,,(),,,( 2121 σσ
Tn )(),(),( 21 σσσ
.),,,( 121 ATTn
即 B=T?1AT.
ATn ),,( 21
证第六章 线性变换定义 1
第六章 线性变换设 A,B为两个 n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 T,使得 B =T?1AT,则称
A 与 B 相似,记作 A? B.
由定理 2知线性变换在不同基下的矩阵是相似的 ; 反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵,
定理 3
设 B =P?1AP,如果线性变换? 在基?1,?2,?,?n下的矩阵为 A,且则? 在基?1,?2,?,?n 下的矩阵为 B,
(?1,?2,?,?n) = (?1,?2,?,?n )P.
基?1,?2,?,?n下
A
基 (?1,?,? n) = (?1,?,?n)P
B
B = P?1AP.
下单击 此处 可查阅进一步内容上一页例 2
设 R2 的线性变换? 为
,(x1,x2)? (2x1+ 4x2,?x1),
求?在基? 1= (1,?1),? 2 = (?1,2) 下的矩阵,
解答第六章 线性变换上一页一、矩阵的特征值与特征向量二、线性变换的特征值与特征向量三、矩阵、线性变换可对角化的条件定义 1
§ 3 特征值与特征向量问：给定 n维 向量空间 V 的一个线性变换?,是否存在 V的一组基,使? 在此基下的矩阵为对角形矩阵？
一个给定的 n 阶方阵,能否相似于一个对角形矩阵？
一、矩阵的特征值与特征向量
1.矩阵的特征值与特征向量的概念设 A 是一个 n 阶实矩阵,如果存在实数?和非零的 n维列向量?,使得
A
那么? 称为 A 的一个 特征值,?称为 A 的 属于特征值? 的一个特征向量,
矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征向量不能属于不同的特征值,
事实上,若 A? =? 1?,A? =? 2?,则? 1? =? 2?,即 (? 1 2)? =0,而0,故? 1=? 2,
注 意：
属于同一特征值的特征向量是不为唯一的,
事实上,由 A X=?0X 得 (A0E ) X = 0.
解空间中除零向量外，都是 A 的属于?0 的特征向量,第六章 线性变换定义 2
若?0 是 A 的特征值，则存在 X?0,使得 A X =?0X,即
(A0E )X = 0,
要上述齐次线性方程组有非零解，则须系数行列式等于 0,即
|A0E | = 0.
称 |AE | = 0 (或 |?E? A |= 0) 为矩阵 A 的 特征方程,
求 A 的特征值就是求 |AE | = 0 的全部实根,对于特征值?0,齐次方程
(A0E) X = 0 的所有非零解，就是 A 的属于?0 的特征向量,
易知,上 (下 )三角矩阵、对角矩阵的特征值就是对角线元素,
2,矩阵的特征值与特征向量的求法第六章 线性变换上一页例 1
122
212
221
A
求矩阵 的特征值与特征向量,
AE 122
212
221
),5()1( 2 λλ
所以 A 的特征值为?1(二重 )和 5.
解将? =?1代入齐次方程组 (?E?A)X = 0 得
,0222 321 xxx
它的基础解 系 为
,
1
0
1
1
X,
1
1
0
2
X
所以属于?1的全部特征向量为,2211 XkXk?,,21 R?kk 21,kk 不全为零,
再把特征值? = 5 代入 (?E?A)X = 0 得,0224 321 xxx
,0242 321 xxx
.0422 321 xxx
它的基础解系为 X =(1,1,1)T.
则属于 5 的全部特征向量为 kX,第六章 线性变换上一页定理 1
3,矩阵特征值与特征向量的性质设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值?1,?2,…,?n,(重根按重数计算 ) 则
.||
1 i
n
i
A
定理 2
若? 是矩阵 A 的特征值,X 是 A 属于? 的特征向量，则
(1) k?是 kA 的特征值 ( k?R );
(2)?m 是 Am 的特征值 ( m 是正整数 );
(3) 当 A 可逆时,1 是 A?1 的特征值,
且 X 仍是矩阵 kA,Am,A?1 分别对应于特征值 k?,?m,
1 的特征向量,
证第六章 线性变换上一页定理 4
定理 3
矩阵 A 和 AT 的特征值相同,
因为 (A E)T = AT E
所以 | (A E)T | = | AT E |
故 A,AT 有完全相同的特征值,
= | A E |,
证相似矩阵有相同的特征 值,
设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得 P?1AP = B,
因为 |?E? B | = |?P?1P?P?1AP |=| P?1 (?E?A)P | = | P?1| · |?E?A | ·| P | =|?E?A |,
所以 A 与 B 有相同的特征多项式，它们的特征值全相同,
证例 2
设
.
122
212
221
A
(1) 试求矩阵 A 的特征值；
(2) 利用 (1)小题的结果，求矩阵 E+A?1 的特征值，其中 E 是三阶单位矩阵,
解答 第六章 线性变换上一页定义 3
二、线性变换的特征值与特征向量设? 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在实数? 和 V 中一非零向量?,使得
)(σ
那么? 称为? 的一个 特征值,? 称为?的 属于特征值? 的一个特征向量,
1,线性变换的特征值与特征向量的概念
§ 3 特征值与特征向量定理 5
2、线性变换的特征值与特征向量的求法设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间 V 上线性变换? 在一组基下的矩阵,
则? 是? 的特征值的充要条件是? 为 A 的特征值,
证第六章 线性变换设 Rn 中线性变换? 在基?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,则
的特征值 = A 的特征值
= (?1,?2,…,?n) X
A 的属于?0
的特征向量
的属于?0
的特征向量求?的特征根与特征向量的步骤如下,
(1) 在线性空间 V 中取一组基?1,?2,n,写出? 在这组基下的矩阵 A;
(2) 求出特征多项式 的全部实根,即求方程 |AE | = 0 的根,它就是? 的全部特征值,
(3) 把所有的特征值逐个地代入方程组 (AE )X = 0,并 解方程组,它的非零解就是属于该特征值的特征向量在所给基下的坐标,
例 3
122
212
221
A
设线性变换? 在 V 的基?1,?2,?3 下的矩阵为求线性变换? 的特征值与特征向量,解答第六章 线性变换上一页定义 4
定义 5
三、矩阵、线性变换可对角化的条件如果 n 阶矩阵 A 相似于一对角阵,称 A 可以对角化,
如果向量空间 V 中存在一组基,使 V 的线性变换? 在这组基下的矩阵为对角形矩阵,则称? 可以对角化,
§ 3 特征值与特征向量定理 6
1,矩阵可对角化的条件
n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量,
证第六章 线性变换
若 A 可对角化,即 A 相似于对角阵?,则? 的主对角元素就是 A 的全部特征值,
若 A 可对角化，则由 A 的 n 个线性无关的特征向量 X1,X2,…,Xn 可构造
P = (X1,X2,…,Xn ),使 P?1AP =?,
若不记特征值? 排列的顺序，则? 是唯一的，称? 为 A 的相似标准形,
显然 P 不唯一,
注意：
定理 7
矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,
证推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可对角化,
第六章 线性变换上一页定理 6‘
2,线性变换可对角化的条件
n 维向量空间 V 的线性变换? 可对角化的充要条件是?有 n 个线性无关的特征向量,
设?可对角化,则存在 V 的一组基?1,?2,n,使? 在此基下的矩阵为对角形矩阵
n
Λ
2
1
即? (?1,?2,…,?n) = (?1,?2,…,?n)?
证则 niiii?,2,1,)( λσ
反之,如果? 有 n 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则? 在此基下的矩阵就是对角形矩阵,
因此?1,?2,n 就是? 的 n 个线性无关的特征向量,
第六章 线性变换上一页例 4
设 3阶矩阵 A 的特征值为?1= 1,?2= 2,?3= 3,对应的特征向量依次为?1= (1,1,1)T,
2= (1,2,4)T,?2= (1,3,9)T,? = (2,?2,1)T,求 An? ( n为自然数 ).
将? 用?1,?2,?3 线性表出即 x1 + x2 + x3 = 1,
x1 + 2x2 + 3 x3 = 1,
x1 + 4x2 + 9 x3 = 3.
由
3941
1321
1111
,
2200
0210
1111
得唯一 解 (2,?2,1),故,22
321
= x1?1+ x2?2+ x3?3,解一
),22( 321 nn AA
由于 A?i = i,An?i =?in? i,i=1,2,3.
故 An? = 2An? i? An?2+An? 3 = 2?1n? i? 2?2n?2+?1n? 3
9
3
1
3
4
2
1
22
1
1
1
2 nn,
322
322
322
23
12
1
nn
nn
nn
解答二 第六章 线性变换上一页例 5
设矩阵 A 与 B 相似，其中
,
113
22
002
xA,
00
020
001
y
B
求 (1) x 和 y 的值；
(2) 求可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B,
解答例 6
第六章 线性变换上一页一、不变子空间二、线性变换的象与核定义 1
一,不变子空间设 W是 V 的一个子空间,如果对于 V的线性变换? 有? (W)?W,
则称 W 在? 下不变,也称 W 为? 的一个不变子空间,
§ 4,*线性变换的不变子空间,象与核例 2
例 1
V 本身及零空间 {0}显然是一性变换的不变子空间,
V 的任意子空间都是 V 的任一数乘变换的不变子空间,
第六章 线性变换例 3
设? 是 R3 的线性变换
,(x1,x2,x3)? (x1+x2,2x1,5x3),
则 L(?1,?2) 与 L(?3) 都是? 的不变子空间,(其中?1,?2,,?3是 V的标准基 ).
),( 21LRaaaa 212211,.,|,0 ),( 2121 Raaaa
而 ),,()0,2,()0,,(
2112121 Laaaaa
于是 L(?1,?2) 是? 的一个不变子空间,
又RaaL |)(
33,| ),0,0( Raa
而 ),()5,0,0(),0,0(
3 Laa
于是 L(?3) 是? 的一个不变子空间,
证第六章 线性变换上一页现在看一看,不变子空间与线性变换的矩阵有什么关系,
如果 W是?的不变子空间,那么? (W)? W,从而? 可以看成子空间 W上 的线性变换,称为? 在 W上的限制,记为? | W.
设?1,?2,?,?r是 W 的一组基,把它扩充为 V 的一组基?1,?2,?,?r,?,?n,
那么有
,)( 12211111 rraaaσ
,)( 2211 rrrrrr aaaσ
,)( 22111 nrnrrrrrr aaaaσ
.)( 2211 nnnrrnnnn aaaaσ
因此,? 在基?1,?2,?,?n下的矩阵有形状
,0
3
21
A
AAA
其中 A1是?|W 在 W 的基?1,?2,?,?n 下的矩阵,
第六章 线性变换上一页二,线性变换的象与核下面我们介绍两种重要的不变子空间,
Im? =V | )(σ
称为? 的象,集合
0)( k e r σσ V
称为? 的核,
例 4
2,(x1,x2,x3)? (x1+x2,2x1,5x3),
设 R3的线性变换?1为
Im? =2,1,| )0,,(
21 iRxxx i
则
.),0,0(k er 331 R xx |?
例 5
设 R3的线性变换?2为
2,(x1,x2,x3)? (x1?x2,x1?x3,x2?x3),
Im? =Ra,babba |),,(则
2kerRxxxxxxxxxx i,0,0,0| ),,( 323121321
.|),,( R aaaa 第六章 线性变换推论定理 1
Im? 和 ker? 都是? 的不变子空间,设? 在 V 的一组基下的矩阵为 A,
则 dim(Im?)= r(A),且
.d i m)d i m ( k e r)d i m ( I m V
证设?是向量空间 V的线性变换,dimV = n,则
1) 0)d i m ( k er)d i m ( I m n
2)? 是单射 是满射,
第六章 线性变换上一页
,
因此,
,)(,),(),(Im 21 nLσ
即 Im? 的维数等于向量组
)(,),(),( 21 n σσσ?的秩,也就是等于它们的坐标向量组的秩,而以
)(,),(),( 21 n σσσ?的坐标向量为列向量构成的矩阵恰好是? 在基
1,?2,?,?n 下的矩阵 A,所以,坐标向量组的秩就等于 A的秩,于是我们有
).()d i m ( I m Ar?σ
显然,Im?,ker? 关于线性运算封闭,,Imσ所以它是 V的子空间,又对显然有,Im)(σ 对,ker 有,k e r)( 0σ
ker? 是? 的不变子空间,
设?1,?2,?,?n 是 V 的一组基,则对,V 有
,2211 nnxxx
于是 ),()()()(
2211 nnxxxσ
证从而知 Im?,
第六章 线性变换又设
r,,21
是?ker 的一组基,把它扩充为 V的一组基
.,,,,,,121 nrr
因为,)( 0?
i?σ,,,2,1 ri 我们有
)(),(),(),(),(Im 121 nrrL σσσσσ
.)(,),( 1 nrL σσ
下面我们来证明 )(),(),( 21 nrr σσσ 是?Im 的一组基,为此,只须证明它们线性无关,
设,)()()(
21 0 nrnrQrrIr kkk σσσ?
则由? 是线性变换，有 0, )( 2211 nnrrrr kkkσ
,k er2211 σ nnrrrr kkk
即 从而它能由
n,,,21?
线性表出,
nnrrrr kkk2211,2211 rrkkk
则,0
112211 nnrrrr kkkkk
因为
n,,21
线性无关,有,0
21 nkkk?
因此 )(,),(),(
21 nrr σσσ
线性无关,从而有
)dim(Im? rn,k e rd imd im σ V
设第六章 线性变换上一页
(( x,y) + (x1,y1))
=( ( x+x1)( y+y1),0)
= ( xy,0 )+ ( x1y1,0 ) + (x1y,0)+ (xy1,0 )
=? ( x+x1,y+y1)
=? ( x,y) +?( x1,y1) + (x1y,0) + (xy1,0 )
( x,y)+?( x1,y1)
( x,y) = (x y,0)不是线性变换,
解第六章 线性变换
*三、线性变换的运算设向量空间 V 的全体线性变换所成的集合为 L(V),我们定义 L(V) 中的加法，
数量乘法 (简称为数乘 )与乘法：
加法,(?+?)(?)=?(?)+?(?),V。
数乘,(k?) (?)= k?(?),V。
乘法,(k?) (?)= k?(?),V。
易验证，当?,?为 V 的线性变换时,?+?,k?,是 V 的线性变换。
§ 1 线性变换的概念且上面定义的加法，数乘与乘法满足以下算律：
1)? +? =? +? ;
2) (?+?) +? =? + (? +? );
3) 0+?。 =? ;
4) 令, (?) 称为? 的负变换，有性质? + () =0,
5) 1? =? ；
6) ( )? =? () ；
7) k(?+? ) =k? +k?；
8) (k+l )? =k? + k?,
9) (?)? =? ( ),
10) l? =?,(这里的 l 指恒等变换 )
11)? (? +? ) = +,
12) (? +? )? = +,
性质 1)－ 8)说明 L(V) 是实数域上的线性空间,第六章 线性变换例设?,?是 R3 的两个线性变换,其中
,(a1,a2,a3)?(a1,0,a3)
,(a1,a2,a3)?(0,0,a3)
求,.
= (a1,a2,a3)?R3
(a1,a2,a3)=? (? (a1,a2,a3)) =? (0,0,a3)= (0,0,a2))
(a1,a2,a3)=? (?(a1,a2,a3)) =? (a1,0,a3)= (0,0,0)
由上例可看出,，即线性变换的乘法不满足交换律，而且0,
0，但 = 0,即两个不为零的线性变换的乘积可能为零,
解第六章 线性变换上一页
*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质,
1,反射性,A?A;
2,对称性,如果 A?B,则 B?A;
3,传递性,如果 A?B,B?C,则 A?C.
第六章 线性变换
在标准基?1,?2下的矩阵为
,01 42A
而由?1,?2 到? 1,? 2 的过渡矩阵为
,21 11T
解那么? 在? 1,? 2 下的矩阵为
B = T?1AT
21 1101 1221 11 1
21 1101 1211 12,73 155
第六章 线性变换
(1) 由 AX=?X 有 (kA)X=(k?)X,
(2) 由 AX=?X 可得
A (A X) =A (?X )=?(AX )=?(?X ),
即 A2X=?2X.
重复上述步骤 m?2次,得即 A m X=?mX.
证
(3) 当 A 可逆时,| A |? 0,由定理 1知0,
A?1(AX) = A?1(?X),
因此 A?1X=1 X.
由 AX=?X 可得
X =? A?1X,
第六章 线性变换
1) 矩阵 A 的特征方程为
122
212
221
||
AE,0)5()1( 2 λλ
由此得矩阵 A 的特征值,1,1,?5.
解
2) 由于矩阵 A 的特征值为 1,1,?5,可知 A?1的特征值为 1,1,
,51? ;0|| 1AE;0|)()11(| 1AEE ;0|)(2| 1AEE
可知 2 是 E+A?1 的特征值,
.0|)(54| 1AEE
于是，矩阵 E+A?1 的特征值为,
54,2,2
,0|)51(| 1AE;0|)()151(| 1AEE
又因为 是 A?1的特征值,有
51?
所以 也 是 A?1的特征值,54
因为 1是 A?1的特征值,有第六章 线性变换设?是? 的特征值,? 是? 属于? 的特征向量,则有
(?) =.
设 V 在基?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,即
(?1,?2,…,?n) = (?1,?2,…,?n)A..
(1)
(2)
证
Xn ))(,),(( 1 σσ
设? = x1?1+ x2?2+ …+ xn?n (3)
因 0,故 X? 0.
(? ) = x1? (?1 ) + x2? (?2 ) + …+ xn? (?n )
= (?1,?2,…,?n)AX,(4)
= (?1,?2,…,?n )X,
= (?1,?2,…,?n)? X,
AX =? X,X? 0.由? (? ) = 得则? (? ) =? (?1,?2,…,?n) X = (?1,?2,…,?n) AX
= (?1,?2,…,?n)? X =,( 0).
令? = (?1,?2,…,?n) X,
反之，若 AX =? X,X? 0,
第六章 线性变换
),5()1(|| 2 EA
所以? 的 特征值为?1(二重 )和 5.
解将特征值?1代入齐次方程组 (AE )X = 0,得它的基础解 系 为
,)1,0,1(1 TX TX )1,1,0(2
因此? 的 属于?1的两个线性无关的特征向量为
,311,322
.0222 321 xxx
的 属于?1的全部特征向量为,2211 kk?
其中 k1,k2? R,且 k1,k2不同时为零,
再把特征值 5代入 (AE )X = 0,得
,0224 321 xxx
,0242 321 xxx
.0422 321 xxx
它的基础解系为,)1,1,1( TX?
令,221 则?的属于 5的全部特征向量为,0,, kkk R?
第六章 线性变换先证必要性,
设 A 可对角化,则存在可逆矩阵 P,使
n
APP
2
1
1?.,?
证即 AP = P?.
将矩阵 P 按列分块，记第 i 列为 Xi,
因此有 A(X1,X2,…,Xn) = (X1,X2,…,Xn),2
1
nλ
λ
λ
则 P = (X1,X2,…,Xn).
即 (A X1,A X2,…,A Xn) = (?1X1,?2X2,…,?nXn ).
于是 AXi=?iXi,( i=1,2,…,n ).
所以 X1,X2,…,Xn 是 A 分别对应于特征值? 1,? 2,…,? n 的特征向量,
由于 P 可逆，故 X1,X2,…,Xn 是线性无关的,
上述步骤每步可逆，充分性亦成立,
第六章 线性变换对特征根的个数用数学归纳法,因为特征向量不为零,所以单个特征向量必线性无关,现假设属于 k 个不同特征根的特征向量线性无关,我们证明属于 k+1 个不同的特征根的特征向量也线性无关,
令?1,? 2, k+1 是分别属于 k+1个不同特征根?1,? 2, k+1 的特征向量,设
0. 112211 kkkk aaaa (2)
(2)式两端乘以? k+1,得
.1111212111 0 kkkkkkkk aaaa λλλλ?
证
(2)式两端同施行变换?,得
.111222111 0 kkkkkk aaaa λλλλ?
上两式相减得 0. kkkkkk aaa )()()( 122121111 λλλλλλ?
根据归纳假设,?1,? 2, k 线性无关,于是有)(
111ka )( 212ka,0)( 21 λλ kna
而?1,? 2, k+1 互不相同,所以有,0
21 kaaa?
再代入 (2)式,由? k+1? 0,得 ak+1= 0,这就证明了?1,? 2, k,? k+1线性无关,根据归纳法原理,定理得证,第六章 线性变换
,
300
020
001
1
APP
其中,P = [?1,?2,?3]
1
300
020
001
PPA
1
300
020
001
PPA
n
n,
300
020
001
1?
PP
n
n
解二
1
300
020
001
PPA
n
nn
1
2
2
300
020
001
941
321
111
n,
322
322
322
23
13
1
nn
nn
nn
第六章 线性变换
,
941
321
111
(1) 因为 A~B,故其特征多项式相同，即
|?I?A | = |?I?B |
(?+2) [?2?(x+1)?+(x?2)] =(?+1) (2)(y)
令? =0,得 2(x?2) =2y,即 y = x?2;
令? =1,得 y =?2,从而 x = 0;
解
(2) 由 (1) 知
,
113
202
002
A,
200
020
001
－
B
对应于 A 和 B 共同的特征值?1,2,?2的特征向量为
1 = ( 0,2,?1)T,
2 = ( 0,1,1)T,
3 = ( 1,0,?1)T,
则可逆矩阵,
111
012
100
P
第六章 线性变换例 6
已知? =(1,1,?1)'是矩阵
21
35
312
b
aA 的一个特征向量,
(1) 试确定参数 a,b及特征向量? 所对应的特征值；
(2) A 能否相似于对角阵？说明理由,
(1) 由
1
1
1
21
35
212
)(
b
aAI = 0
得
+ 1 = 0，
a?2 = 0，
b1 = 0，
解得 a=?3,b=0,?=?1.
解
(2) 由,
201
335
212
A
201
335
212
||
AI 3)1(
知? =? 1是 A 的三重特征值,
因?I?A
101
325
213
.
000
110
101
所以 r (?I?A) =2。
从而? =?1 对应的线性无关的特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵,
第六章 线性变换
