第二篇 电磁理论
第十一章 物质的磁性
第十二章 电磁感应
第十三章 麦克斯韦方程
第十章 真空中稳恒电流的磁场
第九章 静电场中的导体和电介质
第八章 真空中的电场
第八章 真空中的静电场
§ 8－ 1 电荷 库仑定律
§ 8－ 2 电场 电场强度
§ 8－ 4 高斯定理
§ 8－ 5 静电场的功 电势
§ 8－ 3 电力线 电通量
§ 8－ 6 等势面 电场强度与电势的关系
§ 8－ 7 带电粒子在外电场中的运动
1.掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度
的叠加原理和电势叠加原理。
2.掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单
问题中的电场强度和电势。
3.理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用
高斯定理计算电场强度的条件和方法。
4.了解电偶极矩的概念，能计算电偶极子在均匀电场
中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀电磁场中
（包括纯电场、纯磁场）中的受力和运动。
教学要求
重要人物
吉尔伯特,Gilbert 1540~1603,英国物理学家, 1600
年, 地磁场；
库仑 (Coulomb 1736~1806),法国物理学家，库仑定律；
伏打 (Volta 1745~1827):意大利物理学家，伏打电池；
欧姆 (Ohm 1787~1854):德国物理学家，
欧姆定律（ 1827）；
高斯,Carl Friedrich Gauss
1777-1855,得国数学家, 物理
学家, 天文学家和发明家 。 电
磁学 —— 高斯定理和高斯单位
制
基 尔 霍 夫,Kirchhoff
1824~1887,德国物理学家,
节点电流定律和回路电压
定律；
奥斯特,Oersted 1777~1851,丹
麦物理学家, 化学家, 电
的磁效应, 旋转力；
安培 (Ampere 1775~1836):法
国物理学家, 电流与电
流相互作用, 分子电流
假说；
法拉第 (Faraday 1791~1867):
英国物理学家, 化学家,
法拉第电磁感应定律,
提出场, 电力线, 磁力
线 …… ;
楞次 （ Lenz 1804~1865):
俄籍德国物理学家,
楞次定律, 电磁现象
也满足能量守恒定律；
麦克斯韦 (Maxwell
1831~1879),英国物理 学
家, 数学家, 提出了位移
电流, 完成了电磁理论大
统一；
赫兹 (Hertz 1857~1894),德国物理学家, 验证了电磁
波的存在；
1.电现象
来电了！
没有电，犹如没有阳光，你的生活会是一片 ……?
§ 8－ 1 电荷 库仑定律
雷电 !
防静电服
摩擦起电！当心！
纸 ~塑料棒相互吸引 !
电的本质?
电
2,对电荷的基本认识
(1) 两种电荷
+ -
(3) 电量是相对论不变量：
(2) 电荷量子化：表示物体所带电荷多少的物理量称
为电量 (q Q),单位：库仑 C。
一个电荷的电量与它的运动状态无关，在不同
的参照系中观察，同一带电粒子的电量不变。
neq ?? C.e 191061 ???
一切物体所带电量 q都是某一基本电量的整数倍。
e
在一个和外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷
的代数和在任何变化过程中保持不变 。
当有一种电荷出现时，必然有等量异号的电荷
同时出现；当有一种电荷消失时，必然有等量
的异号电荷同时消失。
(4) 电荷守恒定律
是物理学中普遍的基本定律：
q
Q
2,库仑定律
点电荷的概念,点电荷是一个理想模型, 当一个带
电体 q 的线度与它和其它带电体的距离相比较, 小
得多,以致于它的形状大小及电荷分布对它们之间的
相互作用力的影响可以忽略不计时, 称其为点电荷 。
库仑定律
真空中, 两个静止的点
电荷之间相互作用力的大小,
与它们的电量的乘积成正比,
与它们之间距离的平方成反
比 。 作用力的方向沿着它们
的联线 。 同号电荷相斥, 异
号电荷相吸 。
r
r
qqf ??
3
21
04
1
??
?
r?
q1
q2
大小：
2
21
04
1
r
|qq|
f
??
?
方向：？？
22120 10858 m.N/C,????其中：
注意：
1,适用于真空中的静止点电荷；
2,是基本实验规律,宏观, 微观均适用；
3,库仑力可以叠加。
4,库仑定律与牛顿万有引力定律定律有相似之处 。
然而, 引力是吸引的, 库仑力却可能是引力或斥
力
r
r
qqf
c
??
3
21
04
1
??
?r
r
mmGf
G
??
3
21?
吸引和排斥！仅有吸引！
5,实体世界由引力所形成；原子, 分子, 固体晶格
及实物由电场力形成；世界的不同层次中有不同的
力, 它们一起构成了宇宙
宇宙
实物
1,电场
历史上对电荷间的相互作用有两种观点：
(1) 超距作用 （被证明错误） ;
相互作用
§ 8－ 2 静电场 电场强度
(2) 场, 认为电荷间的相互作用通过场来进行
场的观点是巨大进步,
q
field Q
电场的基本性质,
1) 对放在电场内的任何电荷都有作用力；
2) 电场力对移动电荷作功。
El
ect
ric
fi
eld
q
force
q
work
move
电场
)z,y,x(E?
电场强度, 是描述电场中
各点电场强弱的物理量,
2.电场强度 ( )
E?
试验电荷, 0q
(1)电量小；（ 2）线度小；
F?0q
E?
电场强度 定义为E?
其数值和大小与单位正 电荷
在 P 点所受场力相同。
0q
FE
??
?
电场
)z,y,x(E?
F?0q
E?
电场
)z,y,x(E?
F?q
电场中的电荷受到电
场力作用,
EqF ?? ?
负电荷, 如电子, 受到的电场力方向与电场方向相反
点电荷的电场为 E?
rrqE ?? 3
04
1
???
)z,y,x(E?
q
Pr?
如果电荷为负, 反向于 ;如果电荷
为正,同向于,
E?
E?
r?
r?
电场强度满足矢量叠加原理
1r?
2r?
3r?
)z,y,x(E ??
1q
2q
3q
如果有多个点电荷 q1,q2,
q3,……,合电场是单个电
场之合,
.,,,,,EEEE ???? ??? ????
?
??
?
??
?? N
i
i
i r
r
qE ??
??
这就是电场的 叠加原理。
3,电场强度的计算
1)点电荷 Q 所产生电场的电场强度
rrqE ?? 3
04
1
???
)z,y,x(E?
q
P
r?
i
n
i i
i
n rr
QEEEE ?????? ?
?
?????
1
2
0
21 4
1
??
2)点电荷系所产生的电场的电场强度 (场 强叠加原理 ）
3),电荷连续分布的带电体所产生的电场强度
r
r
q
EE
???
?? ?? ?? 3
04
d
d
??
其中 体电荷
电荷连续分布, 在带电体
上取微元电荷 dq,由点电荷
的场强公式写出 dq 产生的元
场强, 根据场强叠加原理
求矢量和 （ 即求矢量积分 ）
Ed?
dVdq ??
dq
r?
Ed?
dV
jEiEE yx ???? ddd ??
?
?
?
?
yy
x
x
EE
EE
d
d
? ds
dsdq ??
面电荷
?
?d
?ddq ??
线电荷
矢量积分如下,
矢量积分 化为标量 积分,
Example 8-1,求电偶极子延长线和中垂线上的电场。
y
xo-q q
?E? ?E?
?E?
?E?
)y,(P 02
),x(P 01
电偶极子,-q and q with a distance of ?
解,（ 1） 延长线 P1(x,0)
的电场强度：
??? qP ?
??, -q指向 q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
220
1
22
4
1
)x(
q
)x(
q
i
EEE
??
?
???
??
（ 2）中垂线 P2(0,) 的电场强度：
23
2
20
2
2
2
20
2
4
1
4
4
2
4
4
2
)y(
i
q
)y()y(
q
i
EEE
?
??
?
?
?
?
???
?
??
??
??
??
??
??
??
当,有,?? ???? yan dx
3
0
3
0
1
2
4
12
4
1
x
Pi
x
qE ????
???? ?? 30302 4
1
4
1
y
Pi
y
qE ????
???? ????
y
xo-q q
?E?
?E?
)y,(P 02
Example 8-2 求均匀带电圆环（电荷线密度为 ?）轴线上任一
点的场强。
由点电荷场强公式：
?
?
?? ?? r dldE ???
r
x
r
dldEdE
x ???? 2
04
1c o s ?
???
由于对称性可知 ? ?
? 0dE
2322
0 )(4
1
ax
qxdEE
x ???? ? ??
电场沿 x 方向,
a
0 x
?
d l
r
?
Px
dEdE⊥
dExdldq ??
解：圆环上微元带的电荷
1）
2
04
1
x
qEax ????
??时，当
讨论,
00 ?? Ex 时，当2）
m a x2
2 EEx ??? 时，当3）
5）试画出 E(x)的曲线。
4） x??,E=0
a
0 x
?
d l
r
?
Px
dEdE⊥
dEx
例 8-3,长为 ?的细棒带有电荷 q,求沿棒长方向距棒中心
xP 远处 P点的电场强度,
解, (1) 如图所示,dq
对整个电场的贡献为 P(xP,0)dx
x
0 dq
2
0
2
0 4
1
4
1
)xx(
dxq
)xx(
dqdE
PP ?
??? ?????
（沿 x轴方向,q>0,正向）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
4
4
2
4
4
2
2
0
2
2
0
??
?
??
?
?
P
P
P
P
xi
)x(
q
xi
)x(
q
E
??
??
总之，电场表示为,
（ 2）因此，电场为
)x(
q
)xx(
dxq
E
P
P
4
4
4
1
2
2
0
2
2
2
0 ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
??
Example 8-4:半径为 R的半圆环均匀带有电量 q,求圆
心处的电场强度 。
?d?=Rd?dq
Ed?
xdE
解：（ 1）如图所示，建立坐标系；
（ 2） dq产生的电场 x 轴分量为：
2
0
2
0
2
0 444 R
dqs i n
R
d
R
qs i n
s i n
R
dqdE
x ??
?
?
?
??
?
?
?
??
???
?
（ 3）积分，有：
iRq)c os(Riqds i nRqiE ?
???
2
0
202
0
2
0
2
0
2 244 ?????????
?? ???? ?
Example 8-5:求半径为 R, 面电荷密度为 ? 的均匀带电
圆盘轴线上任一点的场强,
x
Ed?r
dr解：（ 1）将圆盘分成许多圆环；
（ 2） 半径为 r宽度为 dr的圆
环对总场强的贡献为：
????
? ?
?? ?? )rx( xdqdE ??
（ 3）积分，有：
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
22
00 2
322
0
1
22 xR
x
)rx(
r d rxE R
?
?
?
?
????
? ?
??
?
??
)rx(
r d rx ??
??
?2?rdr
讨论：
(1)x?0,E ?
???
?
(2) x>>R,E ?
?
?? x
Q
??
(3)R??,E ?
???
?
(视为点电荷）
（相当于大板）
x
Ed?r
dr
1,电力线
电力线 是用来形象地描述场强分布的空间曲线簇。
画家来描述电场！！
§ 8－ 3 Electric Field Line & Flux
电场线 电通量
1) 规定
曲线上每一点的切线方向为电场强度方向,
通过垂直于场强方向上单位面积上的电力线数目
等于该点电场强度的大小
EdSdN ?
?
?dS
E
显然，电力线密的空间，
电场强。
2)典型的电 场 线图
3) 电力线性质,
?电力线始于正电荷（或无穷远）终止于负电
荷，不会在没有电荷处中断；
?两条电力线不会相交；
?电力线不会形成闭合曲线。
1 E
?
2 E
?
2,电通量
通过电场中任意面积元 dS 的电场线的数目 dN 叫做通
过该面积的电通量, e?
可证明
S
???? ????
SS
e dsc osEsdE ?
??
其中,
dsnsd ?? ?
n?
E?
n? 为 ds的法线。
?sd
E?
θ
n?
Note
(1) 对于非封闭曲面, 法线的定义有两种选择, 结果
电通量 或 。??
e? ??e?
n?
n?
（ 2）对于封闭曲面，规定法线单位矢量向外,n?
???? ????
ss
e dsc osEsdE ?
??
1.高斯定理
在真空静电场中，通过任一闭合曲面的电通量
等于这闭合曲面所包围的电量的代数和的 1/?0倍：
?
?
?? ?? ??? 内S
i
s
e
q
dsc o sE
§ 8－ 4 高斯定理
?
内S
iq
q1
q4
q3
q2
q5
q6
例如，如图所示有
???
s
e dsc osE ??
从库仑定律可以严格证明高斯定理。
?
?
? ?S
iq
?
????? ?????
?
qqqqq
以点电荷的场为例
(1) q 在曲面内时
q
S
S1
① S为以 q 为中心的球面 S,各面元
的法线 n 均与 E 同向平行
? ?? SEΦ e ?? d
导出：
Sc o srq
S
d ???? ?
??
?
??
??
?
S
Srq d??
?
?
?
?
????? ???? qrrq
② S1 为任一闭合曲面，如图所示，由电场线的性质可
知，穿过 S 的电场线必然都穿过 S1,故
?
?
??
??
??
??
?
q
SE
SEΦ
S
e
??
??
d
d
1
S
q
S
S1
(2) q 在曲面外时：
q
0d?? ???
S
e SEΦ
??
Note：
1） 电通量只与曲面包围的电荷有关, 与外部电荷
及内部电荷分布无关；
q1
q4
q3
q2
q5
q6
2） 通量为零不等于高斯面内无
电荷, 也不说明高斯面上场强
处处为零；
054321 ????? qqqqq
0?E?
q1
q4
q3
q2
q5
q6E?
?不能肯定
?只有
3） 高斯面内场强由内, 外电荷决定 。 通量由面内电
荷决定 。
q1
q4
q3
q2
q5
q6E?
E? 由 q1,q2,q3,q4,q5和 q6决定。
4） 高斯定理是从库仑定律推出来的, 它们是等价
的 （ 静电场 ） ；
5）电场的有源性。
在某些情况下, 利用高斯定理, 可方便地求出
电场强度 。
q1
q4
q3
q2
q5
q6
2.高斯定理的应用
对于电荷分布具有某种对称性的情况下，利用高
斯定理求 E比较方便，即在高斯面上场强处处相等，
方向与曲面正交或平行。
分析静电场问题，求静电场的分布。
特点：
q
S
1) 球对称（球体，球面）；
2) 柱对称（无限长柱体，柱面）；
3) 面对称（无限大平板，平面）。
常见的具有对称性的电荷：
求电场分布的步骤：
1) 对称性分析；
2) 选合适的高斯面；
3) 用高斯定理计算。
Example 8-6 均匀带电球体内外的电场（设半径 R，电荷体密度 ?，
带电量 Q）。
E
?
d
d q 1
d q 2 d E 1
d E 2
P 1
o
解 （ 1） 对称性分析，球内一点 P1，以 oP1为半径的球内电荷
在 P1点的电场沿 oP1向外,oP1球外在 P1点电场互相抵消。
场强沿半径向外,
（ 2）高斯面：过 P1以 oP1为半径的球。
? ?? SdE ??
?
?
?
R
Qr
?
右侧
3
04 R
QrE
????
（ 3）根据高斯定理，等式左侧
E
?
d
d q 1
d q 2 d E 1
d E 2
P 1
o
? ?E d S ? ?dSE ??? rE ?
??
??
?
?
?
?? r
?
?
?
?
内iq
?
? ?
?
?
?
?
r
R
Q
?
?
讨论：均匀带电球壳的场强
1) 球壳内 E=0,可由对称性分
析得来,
2
04 r
QE
???
rR
r?
P
3)球面上
2
08 r
QE
???
rE ?在球内
2
04 r
QE
???
在球外
2) 球壳外
Example 8-7 无限大均匀带电平面产生的场强 。
S
侧
S
底
E
?
E
?
? ?? SdE ??
02?
??? E
解 (1)由对称性分析知,E 的方向垂直板面向外；距板同远处 E大小
相同。
? ??
0?
QSdE ??(3)由
Important!!!
(2)取如图圆柱体为高斯面,
?????? ????? 侧面右底左底 SdESdESdE ??????
???? ???? 右底 底左底 )S(EdSEdSE
?
?
?
?底＝ S
Example 8-8 求无限长均匀带电圆柱的电场分布 Poh
rR
E? ?? SdE ??
0
1 2 ?
? rE ??
解：柱面内一点
(1),对称性分析：圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远
处场强相同
(2),高斯面：选过 P 点半径为 oP，高为 h 的同轴圆柱面
(3),计算，设电荷体密度为 ?
?????? ????? 侧面下底上底 SdESdESdE ??????
??? ?? 侧面 SdE ?? r hE??
?? rh ??
0
2
22 ?
??? Rhr h E ?
r
RE
0
2
2 2?
??
可得
(4)柱面外一点，根据高斯定理
Poh
rR
E
讨论：
（ 1）设柱体（柱面）单位长带
的电荷为 ?，即：
12 ?? R???
rr
RE
00
2
2 22 ??
?
?
? ??
（ 2）同样可求出线电荷密度为 ?的
无限长直线外一点的场强：
rE 02??
??
?
r
Important!!!
Poh
rR
E
复习：电场强度的两种（还有一种下节讲）求解方法：
⒈叠加（积分）法。
⒉高斯定理（对称场）。
（ 1）点电荷 的电场
2
04
1
r
QE ??
??
)z,y,x(E?
（ 3） 均匀带电球体的电场：
2
04
1
r
QE ??
??外
3
04
1
R
QrE ??
??内
（ 2）均匀带电球面的电场：
2
04
1
r
QE ??
??外
0?内E
Q
R
E
r
r
2
1
r?
o
0
2
1
r?
E
r
r
Q
o
o
0
o
（ 4） 均匀带电园环（ ）的电场：?,R
2322
0 )(4
1
Rx
qxdEE
x ???? ? ??
（ 5） 均匀带电园盘（ ）的电场：?,R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
22
0
1
2 Rx
xdEEE
xx ?
?
0 x
d
Pd r
r
x
E
?
dE
a
0 x
?
d l
r
?
Px
E?
r
E
02??
??
有何对称性？
（ 6） 无限长带电线（ ）的电场：?
rpr E
（ 7） 无限长带电园柱面（ ）的电场：?,R
E内 = 0
r
E
02 ??
??
外
有何对称性？
电场线的方向？ r
E
rR
（ 8） 无限大带电平面（ ）的电场：?
S
侧
S
底
E
?
E
?
??
? ??E
有何对称性？
电场线的方向？
其他情况
-??0???内E
0?外E
正极板指向负极板
??0???外E
0?内E
方向由 ?的正负决定
?2?
1
E ?外
E ?内
1,静电力作功的特点
力做的功为
??
b
a
dsc o sFW ? a
b
我们将看到静电场是 保守力场
§ 8－ 5 电势
? ??? ba r rqq d4
0??
结论：电场力作功只取决于初末位置, 与路径无关
1) 考虑点电荷电场 。 试验电荷 q0 在电场力作用下
由 a 运动到 b 。 电场力做的功为
q
q0
ar?
br?
rd?
? ?? ba rrd.rqq 4
0??
??
????? ?? ?? b
a
b
aba
rEqrFW ???? dd
???
?
???
? ???? ?
ba rr
qq
04 ??
2) 一般地，电场为
?????????? ??? EEEE ????
电场对试验电荷作功为 E?
?????????? ???
b
a
b
a
b
a
rd.Eqrd.Eqrd.EqW ?
?????
20100
由于上面公式中各项只取决于位置 a 和 b,合也只取决于
位置 a 和 b,因此, 电场力是保守力,
2.静电场的环路定理
电场
q0
如果电荷沿闭合路径运行
一周, 电场力作功为零：
??? ? ? ??? d.EqW
即
0?? ??? d.E
?
0?? ??? d.E
这叫做静电场的环路定理, 表达了静电场的第二个
性质 。
静电场中电场强度沿任意闭合路径线积分（环流）为
零。
?
0?? ??? d.E
3,电势能和电势
（ 1） 静电力是保守力，可引入电势能的概念。
（ 2） 定义静电力 由 a 点 ?b 点作的功 为电势能
增量的负值：
PbPaPaPbba EE)EE(W ??????
,q0 在 a 点的电势能,
PaE
,q0 在 b 点的电势能,PbE
q0
PaE
PbE
q0 在 a 点的电势能 是相对的, 如果选无穷
远处为势能零点,, 电势能为
PaE
0??PE
q0
PaE
?
? ??? ??? aapa lEqWE ?? d0
q0在 a点的电势能等于 q0 从 a点
运动到 ? 处时电场力作的功,
它取决于 q0.
电势定义为
? ? ??? aPaa lEqEU
??
d
0
在数值上等于单位正电荷从 a
点移到无穷远处时静电力所作的
功，亦等于在 a点的单位正电荷所
具有的电势能 (选无限处电势为
零）。
q0=1
aU
?
0??U
电场中一点的电势其数值与参考电的选取有关。
a点和 b点的 电势差为
?
??
??
?
??
???
?
?
??
b
a
b
a
ba
ba
d.E
d.Ed.E
d.Ed.EUU
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
aU
bU
a
b
等于单位正电荷从 a点到 b电场
力所作的功 。 是绝对的 。
总之
aPa qUE ?
Uq)UU(q
EE)EE(W
ba
PbPaPaPbba
????
??????
? 指向电势低的方向；而电势 是标量；E? U
? 电势是描述电场性质的物理量（能量）；
aU
bU
a
b
? 正电荷的运动：电势高 ?低；
? 负电荷的运动：电势低 ?高；
? 电势的零参考点的选取是任意
的 。 有限带电体一般选无穷远
为电势零点 。 对无限带电体的
电场, 通常选特殊点或线或面
上的电势为零；
q0=1
aU
?
0??U
4,电势的计算
1) 点电荷 q的电场的电势为
r?
U
0??U
q
r
qrd.EU
r ?
?
??? ? ??
??
2) 任何带电系统电场的电势
?????????? ??? EEEE ????
U ?
dq
??????????
??????????? ????
????
aaa
aaaa
UUU
d.Ed.Ed.Ed.EU
321
321 ?
??
?
??
?
??
?
??
这叫做电势的叠加原理
详细地,
?? ??
i i
i
i
i r
qUU
04 ??
或
?
??
?
?
?
r
d
??
?
线电荷
特点：标量积分！！！
体电荷
?
??
?
V r
dV
??
?
面电荷
?
??
?
S r
dS
??
?
?
??
?
? ?? r
dqU
U
计算电势的两种方法,
(1) 用电势的叠加原理 ） ；
（ 2）用定义式：
??
参考点
a
d.EU ?
??
注意,U的测量比电荷要容易得多
例 8-9,点电荷 Q 的电场中距 Q 为 r 远处的电势
r
Q
r
r
Q
rd.r
r
Q
rElEU
r
r
ra
p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
??
??
??
d
dd
??
????
r?
U
0??U
q
Example 8-10 求均匀带电圆环轴线上一点的电势 （ 电量 q, 半
径 R）
lq dd ??
r
l
r
qU d
4
1d
4
1d
00
?
???? ????
（ 1）在圆环上取弧长为 dl 的电荷元（视为点电荷）
其带电量为
(2)根据点电荷的电势公式,dq 在 P
点产生的电势为
R
0 x
d q
P
Q
x
r
解：叠加法
R
q
2 ?? ?
其中 电荷线密度为
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Rx
q
r
l
U
R
??
??
? ? d
(3)将圆环上所有电荷元对 P点电势的贡献叠加起来（积分），
即得到 P点的电势
R
0 x
d q
P
Q
x
r
例 8-11,半径Ｒ的球表面均匀分布着电荷 Q。 求球内外
的电势,
解, (1) 电场为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Rr
R
Qr
Rr
r
Q
E
3
0
2
0
4
4
??
??
(2) 令,球外的电势为0??U
r
Q
r
Qd rU
r 0
2
0 44 ????
?? ?
?
o
U
(3) 球内，电势为
?
?
?
r
E d rU
o
R
Q
R
Qr
?
?
?
?
?
??
??? ????
?
?
?
??
?
R r
Qd r
??? ????
R
r R
Q r dr
??
R
U
r
r1?
R
Q
08
3
??
o
（ 4）变化曲线
例 8-12,电荷均匀分布的细线外的电势？ (?是线密度 ）
解, (1)电场为
rE ??? ??
?
(2) 取,电势为,01 ?)(U
? ??? 1
00 22
r
rln
r
drU
??
?
??
?
R=1
0?U
r
Example 8-13:长为 L的带电细杆, 电荷线密度为, 求其
中垂线上距 X轴 h 远处的电势 。
h dx
x dqo x
y解,(1)选无限远处电势为零；
（ 2）用电势叠加原理，有
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
h
L
h
L
ln
hx
dx
r
dq
U
L
L
??
?
??
?
??
?
Example 8-14:一均匀电场, 电场强度,
求 XY平面内点 a（ 3,2） 和点 b（ 1,0） 间的电势差
（ 单位均取国际单位制 ）
jiE ??? 64 ??
解：
)V(
)()(
.E
yExE.EU
b
a
yx
b
a
????
????????????
?
??? ??
?
??
?
??
)dd(d?
1,等势面
由电势相等的点组成的面叫等
势面,,当常量 C取等间隔
数值时可以得到一系列的等势面 。
C)z,y,x(U ? 5V
10V
15V
§ 8－ 6 等势面 电场强度与电势梯度的关系
(1) 在等势面上移动带电体不作功 ;
注意
E?
(2) 过任何点的等势面与该点的电场方
向 正交, 垂直,
（ 3）两条等势面不相交,
总之, 电场线势曲线, 等势面是曲面,
a
b
E?
aU
UUU ab ???
??d
?
2,电场与电势的关系
考虑电场中有极微小位移的邻
近两点
???? dc o sEd.EUUU ba ???????
因此
?c o sEddU ???
EE
如果位移 是在 x 方向,且??d dxd ??
xEc o sEx
U ????
?
? ?
x
UE
x ?
???
同样地,
y
UE
y ?
???
z
UE
z ?
???
用矢量记号,我们有
Ugr a dUkzUjyUixUE ????????????? ?????????? ????
上式右边的量叫做电势梯度,
Ugr a dUkzUjyUixUE ????????????? ?????????? ????
上式表明 电场 强度等于 电势梯度的负值 。
为我们提供了一种计算场强的方法,已知 U=U(x,y,z)
时，用微分法求 E。
上式右边的量叫做电势梯度,
Note
1) 电势不变的空间，电场等于零；
2), ?” 号表示场强指向电势降落的方向；
3）等势面处电场强，等势面疏处电场弱；
CU ?
0?E?
5V
10V
15V
1E?
2E?
21 EE ?
例 8-15,在空间的某些区域, 电势为如下 x,y 和 z的函数,
xyxU 22 ??
其中电势的单位是伏特, 距离的单位是米 。 求点
x=2,y=2的电场强度
解,
jxi)yx(UE ??? 22 ???????
?
ji),(E ??? 4822 ???
Example 8-16 求均匀带电圆环轴线上一点的电场（电量 q,
半径 R）
22
0
2
0
0 4
1d
4 Rx
q
r
lU R
?
???? ? ????? ?
① 已知 P点的电势为
x
UE
x ?
???② 由,有
?
???
? ??
?
?
???
)xR(
qx
x
UE
x
??
R
0 x
d q
P
Q
x
r
E
E=Ex,沿 x轴正向。
解：已知 U，用 U 和 E 的微分关系求 E。
§ 8－ 7 带电粒子在静电场中的运动
1,带电粒子在静电场中受力
电偶极子在均匀电场中受力矩,
EqF ?? ?
EPM e ??? ??
??? s i ns i n s i n EPlqElFM e???
F2
F1
?q
+q
?
M
Pe 将转向 的方向，直到 与 方向一
致（ ? =0）成为稳定平衡 。
E?E? eP?
l
（ 8-66）
（自学成才）
2,带电粒子在电场中的运动
t
vmamEqF
d
d ???? ???
m
qEa ? s
m
qEasvv 222
0
2 ???
qUmvmv ?? 202 2121
例：电子枪加速电子
eUmvE k ?? 2021
0
2
m
eUv ? eUcmmcE
k ??? 202
)(
)2(
2
0
2
0
cmeU
eUcmeUcv
?
??
(在均匀场中）
（相对论动能）
22
2
1
2
1 t
m
qEaty ??
2
0
2
2
1
v
xE
m
qy ??
又例：以 垂直进入电场，偏转
0v?
tvx 0??
F2
F1
?q
+q
?M
电偶极子在非均匀电场中
??
?
?
??
?
? ?
???
?
?
??
?
? ?
?
??????
e
e
e
e r
EE
P
r
EE
qr
EEqEqEqFFF
2121
212121 )(
????
??????
??
????
s i ns i n
s i n
2
s i n
2
s i n
2
s i n
2 2121
EPEqr
r
qE
r
qE
r
F
r
FM
ee
eeee
??
????
EPM e ?? ??