Chapter 4 Momentum 动量
§ 4-4 Angular Momentum of a Particle and
Conservation of Angular Momentum
质点对定点的角动量 角动量守恒定律
§ 4-1 Momentum Impulse Momentum Theorem
动量 冲量 动量原理
§ 4-2 Conservation of Momentum
动量守恒定律
§ 4-3 Collision 碰撞
? 明确冲量是力对时间的积累效应，掌握动量原
理，注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。
? 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的
情况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大
于外力时的情况。
? 会用动量守恒定律、机械能守恒定律（或功能
原理）解决碰撞等质点在平面内运动的力学问
题。
? 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力
对定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。
教学基本要求
笛卡尔,Rone Descartes,1596~1650,法国哲学家,
物理学家, 数学家和生理学家, 解析几何的创始人 。
他论述了动量守恒问题, 提出宇宙永远保持着同量的
运动, 对碰撞问题做过深入研究 。 （ Note:在牛顿力
学以前, 碰撞问题的研究和动量守恒定律的发现, 为
建立作用与反作用定理准备了一定的条件 ）
动量 is defined as the product of mass and
velocity of the particle,This product is given a special
name,momentum,It is also sometimes called linear
momentum(线动量 ） to distinguish（ 区别 ） it from a
similar quantity called angular momentum（ 角动量 ）,
to be discussed later.
Vm ??
m
V?
VmP ?? ?
矢量
是以机械运动来量度机械运动本身, 而动能是
以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的能力来
量度；,在这里是代表简单的机械运动的转移,
即持续的机械运动的量度, 而动能则是已消灭的机械
运动的量度 。
vmP ?? ?
vmP ?? ?
动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且还适用
于微观物体，是物理学中最重要的定律。
§ 4-1 Momentum(动量 )and Impulse( 冲量 )
Momentum Theorem 动量原理
上一章我们讨论了力对
空间的积累效应, 本章讨
论力对时间的积累效应 。
本节讨论冲量与质点运动
状态的变化, 质点动量增
量之间的关系 。
1,Linear Momentum and linear Impulse Momentum
Theorem 动量 冲量 动量原理
The momentum of a particles is defined as
The momentum is a
state quantity as the energy,
which describes ‘运动量 ’ of the
particle in a certain state.
VmP ?? ?
VmP ?? ?
VmP ?? ?
From the second law of Newton,we have
dt
d P
dt
Vmd
dt
VdmP
????
??? )(
(4-1)
dt
PdF ?? ?
That is
which is the initial(最初的） form(形式） of Newton’s
Second Law when he found it,
1212
2
1
d VmVmPPtFtt ????? ?????
(4-2)
PddtF ?? ?
Rewrite (4-1) as,and taking time integration
（ 积分 ） from t1to t2,we have
tFPd d?? ?
?V
?
?V
?
?t
?t
The quantity at the left side is defined as the impulse（冲
量） of the force from t1 to t2,and labeled as,that is I?
Equation (4-2) becomes
12
2
1
d VmVmtFI tt ???? ??? ? (4-4)
?? 21 dtt tFI ?? (4-3)冲量定义
叫质点的动量原理。
12 PPPI
???? ????or:
(4-2) or (4-4) is called Momentum Theorem of a particle:
The increment in
momentum of a particle
is equal to the impulse
delivered(供给 ） by the
net force.
粒子动量的增量
等于作用于它的
力的冲量 。
12 PPPI
???? ????
Note,Eq.(4-4) is a vector equation.
The components of (4-4) are
xx
t
t xx mVmVtFI 12d
2
1
??? ?
yy
t
t yy mVmVtFI 12
2
1
d ??? ?
(4-5)
常用来研究碰撞问题
2,Average Force 平均力 (useful to collisions)
collision
As shown in the below figure,the collision has
finished（ 完成 ） in a very small time interval so that
the force between two body is usually very great and
varies rapidly（ 快速 ） with time.
Collision between two ball workpiece
hammer
For these cases,it is very useful
to introduce the average force as
discussed as follows.
??? 2
1
12
1 t
t
dt
tt
F F
?? (4-6)
In Fig.4-2,an impact(冲击 ）
force is illustrated（ 图解说明 ）
roughly （ 粗略地 ）, When
dealing with such a variable
force,it is helpful to introduce an
average force,defined byF?
F(t)
t1 t2
F
Fig.4-2
which is represented by a straight(直的） line in Fig.4-2.
Using the average force,Momentum Theorem can be
rewritten as
1212
2
1
d VmVmttFtFI tt ????? ????? ? )(
(4-7)
(4-7) 为用平均力表示的动量原理。
t
VmVm
tt
VmVmF
?
??
?
?? 12
12
12
????? (4-8)
From Eq.(4-7),we have
由（ 4-8）式可知，引起相同的动量改变，相互作用时间
愈短，平均力愈大。张达宋教材例题（ 4-1）便是一例，
常见的实际问题还有射击、打炮的反冲力问题等。
The component forms of equation (4-7) are as follows
xxx
t
t xx mVmVttFtFI 1212d
2
1
????? ? )(
yyy
t
t yy mVmVttFtFI 1212d
2
1
????? ? )(
（ 4-7’）
分量式
Example 4-1:如图, 两质量分别为 mA和 mB木块并排放
置在光滑的水平面上, 一子弹水平地穿过两木块, 设子
弹穿过两木块所用的时间分别为 tA和 tB,木块对子弹的
阻力为恒力 F,求子弹穿出后两木块的速度大小 。
解：（ 1）设子弹穿过 A后两物块的速度为 VA，则：
ABAA VmmFt )( ??
（ 2）设子弹穿过 B后物块 B的
速度为 VB，则：
ABBBB VmVmFt ??
BA
A
A mm
FtV
??
B
B
BA
A
B m
Ft
mm
FtV ?
??
mA mB
Example 4-2:一质量为 m的物体, 以初速度 V0从地面抛出,
抛射角为 ?=30?,不计空气阻力, 则从抛出到接触地面的
过程中, 物体动量增量的大小为, 方向为 。
解：因为 |||| VV ?? ?
0
P??
0P
?
P?
则：
0mVP ?? ||
?,方向竖直向下。
0V
?
V?
Examples 4-3:图示为一圆锥摆，质量为 m 的小球在水
平面内以角速度 ?匀速转动，在小球转动一周的过程
中，小球动量的增量的大小等于,所受重力的冲
量的大小等于,所受绳子张力的冲量的大小等
于,
解：（ 1） 小球动量的增量的大小等于 0 。
（ 2）所受重力的冲量的大小等于：
?
?
?
? mgmgtmgI
g
22 ?????
（ 2）所受绳子张力的冲量的大小
等于：
?
? mgI
T
2?
方向？
方向？
§ 4-2 Conservation of Momentum
动量守恒定律
在质点动量原理
的基础上, 本节将
讨论两个或两个以
上物体组成的系统
的动量原理并由此
导出动量守恒定律 。
12f
?
21f
?
1F
?
2F
?
1m
2m
a system,m1 and m2
1F
?
2F
?
external forces:
12f
?
21f
?
internal forces:
1,Momentum Theorem of a System系统动量原理
Consider
??????? ????
?
?
PPt)fF(tt ???? d
??????? ????
?
?
PPt)fF(tt ???? d
Equation (4-4) to m1 & m2,it
yields（ 带来 ）
12f
?
21f
?
1F
?
2F
?
1m
2m
02112 ?? ff ??
Adding the two equations,and considering
Newton’s third law
we have
)PP()PP(t)FF(t
t ??????????
?????? ?
?
?????? d
12
2111221221 d
2
1
PP
PPPPtFF
t
t
??
??????
??
?????? )()()(
(4-9)
where
22122 PPP
??? ??
????? ?? PPP
???
系统的动量
12f
?
21f
?
1F
?
2F
?
1m
2m
结论：系统总动量的增
量等于合外力的冲量。
? ?? ? ?? 122
1
d iit
t i
PPtF ???
（ 4-10）
Generalizing（ 推广 ） above equation to the system
including several particles,we have
Eq.(4-10) means that the increment in total momentum
of the system is equal to the impulse delivered by the
resultant external force,This is called as the momentum
theorem of a system.
(4-10）式表明系统所受合外力的冲量等于系
统总动量的增量，称为系统动量原理。
动量守恒定律2,Conservation of linear Momentum
? ? 0iF?
If
?? ? 12 iiii VmVm ?? （ 4-11）
or
Eq.(4-11) is called the conservation law of momentum,
which indicates(表明 ） that if no external forces act on
the system,the total linear momentum of the system
remains constant.
?? ? 12 ii PP ??
so
上式称为动量守恒定律，它表明：当系统不受外力或合外力为零
时，系统总动量在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在
各物体之间的分配。这一结论叫动量守恒定律。
? ? 0ixF ?? ? xiixii VmVm 12
? ? 0iyF ?? ? yiiyii VmVm 12
If
If
（ 4-12）
In the form of component equations,
上式表明，即使系统所受合外力不为零，但如果合外
力在某一方向上的分量为零，则系统在该方向的分量
也是守恒的。
水平方向
注意：
有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但
合外力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互
作用力（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，
系统的总动量（或动量在该方向的分量）仍可认为是守
恒的，（ 4-11） 或（ 4-12）式仍然适用。
地面摩擦力较小
It should be noted that the following conditions are
checked( 检查 ） when the conservative law of
momentum is used to solve the practical problems:
(1)所有物理量必须相对于同一惯性系； important!!!
(2)分清内外力，检查合外力是否为零；
（ 3）必要时建立坐标系，在某方向上应用动量守恒；
（ 4）牛顿第二定理、能量守恒和动量守恒配合使用。
Examples 4-4,As shown in below figure,a ballistic(弹道的, 衡量
冲量强度的 ） pendulum（ 摆 ) is used to measure the speeds of
rifle bullets（ 步枪 ）, Find the relation between the speed of
bullets V0 and the vertical（ 垂直 ） distance h.
Solution,The whole process can be
divided into two successive (相继的 ）
processes:
(1) The bullet collides with
the block and we have:
VmMmV )( ??0
(2) To apply the conservative law to the swinging （ 摆
动 ） process of the system(m+M) leads to:
ghMmVMm )()( ??? 221 ghm mMV 20 ??
hM
m V0
（斜入射？）
combining
Examples 4-5：空中有一气球, 下连一绳梯, 质量共为
M；在梯上站一质量为 m的人 。 起始时气球和人均相对
于地面静止, 当人相对于绳梯以速度 V向上爬时, 气球
的速度为多少？
M
m,V
解,（ 1） 受力分析：重力和
浮力相抵消, 竖直方向动量
守恒；
（ 2）设气球相对于地面的速
度为 u,在地球坐标系中应用动
量守恒定理：
)(0 VumMu ??? mM
mVu
?
??
Examples 4-6：质量为 M的物体 A静止于水平面上，它
于平面之间的滑动摩擦系数为 ?，另一质量为 m的子弹
B沿水平方向向右以速度 V射入 A，求物体 A在水平面
滑过的距离 L。
M
L
m V
解：（ 1）子弹射入过程看成为两物体的碰撞，水平方向
有摩擦力，但相对两物体的冲击力，不计它的影响，则
u)mM(mV ??
（ 2）对滑动过程，应用功能原理：
?
??
???
??????
)mM(
Vm)Mm(Lg)Mm( ?
mM
mVu
??
2
22
)(2 Mmg
VmL
?
?
?
§ 4-3 Collision 碰撞
1,The types of collision:
As shown in below figure,collisions can be divided
into two kinds,macroscopic and microscopic(宏观的和
微观的 ）,
Microscopic 非接触Macroscopic or 接触
My God!
A collision,a relatively strong force (variable) acts on
each colliding particle for a relatively short time,and a
observable sudden or abrupt(突然的 ） change in the
motion of the colliding particles occurs.
两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们的运动
状态在极短的时间内发生了显著的变化，物理学上称这
种相互作用为碰撞。碰撞的物体可以直接接触，也可以
不直接接触。
No matter what is the nature of the objects that
collide,the common rule of collisions is that the
momentum of the system is always conserved.
碰撞的共同规律：
在碰撞过程中，碰撞物体间的相互作用力 >>外力，
所以外力可以忽略不计，碰撞物体组成的系统动量守
恒。
tc on s t a n?动量
碰撞的分类：
动能守恒的碰撞称为弹性碰撞。
动能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞，如果两物体碰
撞后合二为一，以共同的速度运动，则称为完全非弹性
碰撞。
The category（分类） of collision（从能量的角度）,
(1)Completely elastic collision (briefly elastic弹性 ):
The total kinetic energy of two colliding particles is
conserved.
(2) Inelastic（非弹性） collision:
The total kinetic energy of two colliding particles is
not conserved,If two colliding particles stick（ 粘连 ）
together after collision,this type of collision is termed as
completely inelastic or briefly inelastic collision.
2.Elastic collision in one dimension 一维弹性碰撞
自学！
3.Elastic collision in two dimension 二维弹性碰撞
As shown in figure,if two bodies(balls球 ) do not
move along one same straight line after collision,this
collision without lost of energy is elastic collision in two
dimension.
11V
?
m1
021 ?V?
m2
12V
?
22V
?
x
y
?1
?2
Example:台球，弹子球（ billiard)
There are following specific properties:
(1) Their centers are not on the same line before collision;
(2) The ball m2,called as target（ 靶 ）,is at rest
usually before collision.
(3)The initial direction of motion of body m1,called
as projectile(抛射的 ） particle,is chosen as the x-
axis.
11V
?
m1
021 ?V?
m2
12V
?
22V
?
x
y
?1
?2
If the collision is elastic,the kinetic energy is conserved
so that
22221121111 ?? c o sc o s VmVmVm ??
x-axis
y-axis
222211210 ?? s i ns i n VmVm ??
（ 4-17）
2
222
2
121
2
111 2
1
2
1
2
1 VmVmVm ?? （ 4-18）
11V
?
m1
021 ?V?
m2
12V
?
22V
?
x
y
?1
?2
11V
?
m1
021 ?V?
m2
12V
?
22V
?
x
y
?1
?2
Three equations
Seven variables:
?????????? ??,,V,V,V,m,m
Known quantities(often):
?????? ?? or,V,m,m
Examples 4-7:如图所示, 质量为 mA的小球沿光滑的弧
形轨道下滑, 与放在轨道水平面端点 P处的静止的小球
B发生弹性碰撞, B的质量为 mB,A,B两球碰后同时落
在水平地面上 。 如果 A,B两球的落地点距 P点正下方 O
点的距离之比 LA/LB=2/5,求它们的质量比 mA/mB.
A
A
B
BO
P
LA
LB
解：（ 1）全过程可分为：
A下降,A与 B碰撞和 A、
B下落。
（ 2） 设 A与 B碰撞前的
速度为 VA0,碰后它们的速
度分别为 VA和 VB,则
BBAAAA VmVmVm ??0
222
0 2
1
2
1
2
1
BBAAAA VmVmVm ??
可解出：
0A
BA
BA
A Vmm
mmV
?
??
BA
AA
B mm
VmV
??
02
（ 3）因两球下落时间相同，即
B
B
A
A
V
L
V
L ?,因此有：
5
2??
B
A
B
A
L
L
V
V
5?
B
A
m
m
A
A
B
BO
P
LA
LB
Example 4-8,设两个质量完全相等的粒子在 x-y平面内
发生弹性碰撞, 而且作为靶的粒子原来是静止的, 试
证明两粒子碰撞后的速度互相垂直 。
解：因为 m1=m2,由动
量和能量守恒, 可得：
221211 VmVmVm
??? ??
221211 VVV
??? ??
和
222212211 VVV ??
可见：
2212 VV
?? ?
11V
?
12V
?
22V
?
§ 4-4 Angular Momentum of a particle
Conservation of Angular Momentum
质点对定点的角动量 角动量守恒定律
质点对定点的角动量和角动量守恒定律
对解决有心力场中质点的运动问题十分方
便, 同时也是下一章相关概念和定律的基
础 。
r?
V?
矢量的叉乘,和A? B?
BAC ??? ??定义：
为一个矢量，大小和方向为：
方向：由右 螺旋 手法则确定, 垂直于 和 决定的平
面, 即 A
? B?
A?
B?
C?
?
?s i n|||||| BAC ??? ??
大小：
BCa n dAC ???? ??
1.Angular Momentum of a particle with respect to a
fixed（固定） point
VmrPrL ????? ????
(4-19)
质点对定点的角动量,
o,为空间一定点 质点 Particle,VmPa n dr ??? ?
与质点动量 的矢量积 （ 叉乘 ）
定义为质点相对于 o点的角动量或动量
矩, 记为, 即
r? P?
L?
r?
V?
?
L?
o
角动量的大小为：
L = P r sinθ = m V r sin? (4-20)
方向：垂直于 与 所决定的平面, 其指向由 到 的
右螺旋法则确定, 如图所示 。
r? r?P? P?
r?
V?
?
L?
o
2,New ton’s Second Law in Angular form and Torque
Taking time derivation（对时间求导） of (4-19),we
have
Pdt rddt Pdrdt Ld
?????
????
Vdtrd ?
?
? 0
d
d ???? VmVP
t
r ????
dt
Pdr
dt
Ld
?
?
?
??
质点的角动量定理 和力矩
t
PF
d
d ?? ?
FrtPrdt Ld
?????
???? dd
(4-21)
Using Newton’s second law,the equation above becomes
(4-22)
FrM ??? ??
The right side is defined as the torque(力矩 ） of the
force exerted on the particle with respect to the origin
point o,labeled as,that isM?
r?
?
M?
o F?
The magnitude of torque is
M = F r sin?= F r⊥ = F d (4-23)
d=r sinφ 常称为力臂
The direction of torque,
r?
?
M?
o F?
d
将（ 4-22）式代入（ 4-21）式，得
dt
LdM
??
? （ 4-24）
Equation (4-24) indicates that the net torque acting on
a particle equals to the time rate of change of the
particle’s angular momentum,This is indeed the
angular form of Newton’s second Law.
上式表明质点所受的合外力对定点 o的力矩等于质点
相对于同一点的角动量对时间的变化率, 这一结论称
为质点的角动量定理, 亦称为牛顿第二定律的角量形
式 。
3,Conservation of angular momentum
质点的角动量守恒定律
In（ 4-24）, if the net torque with respect to o
equals zero:
这一结论称为质点的角动量守恒定律。
（ 4-25）vect o rtco n sL t a n??
the angular momentum of the particle with respect to
the same point remains constant,This conclusion is
called as Conservation law of angular momentum:
0?M? dt
LdM
??
?
特例,如果一个力的方向永远指向空间的一定点,
这种力就称为有心力, 该定点则称为力心 。 因为有
心力对其力心的力矩为零, 故质点在有心力的作用
下运动时, 对其力心的角动量是守恒的 。
r?
V?
?
L?
o
F?
万有引力即为此类力，有角动量守恒可得出有关
行星运动定理 开普勒第二行星运动定律
tc o n srV t a n?
Example 4-9:地球的质量为 m, 太阳的质量为 M,地
心与日心的距离为 R,引力常数为 G。 求地球绕太阳
作圆周运动的轨道角动量 （ 对日心 ） 。 膸
解：如图，对日心，地球作圆周运动，则：
VmRL ??? ??
又因：
2
2
R
mMG
R
Vm ? RGMV ?
因此,G R MmL ?
R