§ 5–4 绕定轴转动的刚体的角动量和角动
量守恒定律
§ 5–1 刚体的平动、转动和定轴转动
§ 5–2 力矩 转动定律 转动惯量
§ 5–3 转动的动能 力矩的功
1,理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；
2,理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；
3,掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；
4,掌握定轴转动的角动量守恒定律和机械能守恒定律。
§ 5–1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体
前面几章，研究对象抽象为质点，本章考虑物
体有形状和大小；为简单，不计入物体形变。
定义
在外力作用下形状和大小都
不变化的物体称为刚体
刚体是一种理想模型。刚体是在任何外力作用下任
意两点间均不发生位移，形状大小均不发生改变的
物体。
二、刚体的平动和转动
平动
如果刚体运动时, 它里
面任一直线的方位始终
保持不变, 则其运动称
为平动 。
水平飞行
看成质点
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动
轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿
定律。
转动
刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线
作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直
线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和
转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平
动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
平动和转动（转轴位置变）
跳水运动员
三、定轴转动
轴
P
Q
轴
转轴固定的刚体转动叫定轴转动。
如图，定轴转动特点
刚体中任一点都在垂直于
轴的平面内作半径不同的
圆周运动；在同一时间间
隔内, 各质点的角位移相
等；同一时刻, 各质点的
角速度和角加速度 。
因此，用 ??,?和 ?作为描
写刚体绕 定轴转动的物理量，
称为刚体的角位移、角速度和
角加速度。
刚体中各质点的速度和加速
度，因其位置和到转轴的距离
不同而不同。如图，对质点 P，
有
P
轴
r?
?
?
?
ra
ra
rv
t
n
?
?
?
?
对一定的质点
r为常量
例题 5–1
§ 5?2 力矩 转动定理 转动惯量
一、力对转轴的力矩
力可以使刚体转动，经
验表明其效果不仅取决于力
的大小而且还与力的方向和
作用点的位置有关。下面将
证明，力使刚体转动决定于
力对转轴的力矩大小，如图
所示。
F?F
?
哪个力容易
将门关好？
F?
r?
d
转轴
如图，对于力在垂直于
转轴的平面的情况，力对转
轴的力矩定义为
FdM ??? 力大小力臂
其中 d是力的作用线与转轴的距离，称为力臂，等于
?
?s i nrd ?
显然，如果力的作用线通过转轴，力臂为零，力
对转轴的力矩等于零。
?s i nrFM ??
F?
2F?
1F?r?
?
转轴
对于 的作用线不在垂直
于转轴的平面内, 可将 分解
为二个分力 和, 在垂直
于转轴的平面内, 与转轴平
行, 这样 对转轴的力矩为
F?
?F
?
?F
?
?F
?
?F
?
F?
F?
一般规定
如力矩使刚体沿反时针方向转动，力矩为正；
如力矩使刚体沿顺时针方向转动，力矩为负；
这样，几个力 作用在刚体上，刚体所受的
合力矩等于各个力对转轴的力矩的代数和
????? ??? MMMM
???? ??? FFF,、
式中 按一定的规定（如上面的约定）
有正负之分。
???? MMM,、
问题：
?与转轴垂直但通过转轴的力对转
动不产生力矩； (为什么?)
?与转轴平行的力对转轴不产生力
矩； (为什么?)
?刚体内各质点间内力对转轴不产
生力矩。 (为什么?)
二、转动定理
静止刚体在力的作用下, 如果力矩不等于零,
将转动, 角加速度与力矩的有什么关系？
将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕
轴作半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动
（牛顿定律）来找出刚体角加速度与力矩的关系。
如图，研究质点,受力为
iP
iF
?
iF?
?
tiF
tiF?
ir
?
iF
? 外力
?
?
??
ij
iji FF
?? 内力之和
质点 对质点 的作用。
ijF
?
iPjP
iF
?
iF?
?
tiF
tiF?
ir
?
如图，考虑质点 切线方向运动有
iP
?iiiiii rmamFF ?????? ttt
上式对所有质点求和，得
??? ?????
i
ii
i
i
i
i rmFF ?)(tt
两边乘以
ir
?????? iiiiii rmrFrF tt
外力合力矩
可提出求
和号外
可以证明内力产生的力矩和等于零，即
???? ? ??
? ii ij ijii i
rFrF tt
（内力成对出现）
ijF
?
jiF
?
i
j
外力合力矩
??
i
ii rFM t
对一定的转轴，量 为恒量，称为刚体对该
转轴的转动惯量，用 J表示
? ??i iirm
? ??? i ii rmJ
归纳有
?JM ?
或
J
M??
转轴
?
M
J
即刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比, 与刚
体的转动惯量成反比, 这一关系称为转动定律 。
转动定律是研究刚体绕定轴转动的基本定律；知
道了刚体的角加速度, 各质点的运动情况也就知道了 。
三、转动惯量
转动惯量与物体的惯性物理意义一致，转动
惯量大，欲改变其转动状态越困难；反之，转动
状态容易改变。
根据转动惯量的定义
? ??? i ii rmJ
刚体的转动惯量取决于
转轴
J
?刚体的总质量 ;
?刚体的质量分布 ;
?转轴的位置,
转轴
转轴
转轴
三个刚体, 质
量相等, 因转轴位
置或质量分布不同,
转动惯量不相等；
例 如图
刚体的转动惯量
可用实验测量，某些
情况也可理论计算。
?质量离散分布的物体,
? ??
i
ii rmJ
1r
3r
2r
1m
2m
3m
转轴
233222211 rmrmrmI ???
转动惯量的计算
例 如图
可视为
质点
?质量连续分布的物体
（ 记住：棒, 圆盘和圆柱体的 I）
? ?? mrJ d
线积分
?
面积分
?
体积分
?
dVdsdd ??? 或或??m
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
例题 求质量为 m，长为 l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：
1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； 2) 转轴通过棒的一端并和
棒垂直 。
O
A
d xx
l
?? mrI d2
12dd
32
2
22
0
lxxmrI l
l
?? ??? ??
?
有
ml ??将 代入上式，得,2
0 12
1 mlI ?
（ 2）当转轴通过棒的一端 A并与棒垂直时
X ’O’
2
3
0
22
3
1
3
'd' d
' ml
lxxmrII l
oA ????? ??
??
解,1) 在棒上离轴 x处，取一长度元 dx（如图所示），如果棒
的质量线密度为 ?，则长度元的质量为 dm=?dx，根据转动惯量
计算公式：
例题 求质量为 m、半径为 R、厚为 h的均质圆盘对通过盘心并与盘
面垂直的轴的转动惯量。
mrI dd 2?
其中,dm为薄圆环的质量 。 以 ?表示圆
盘的质量体密度, 则有
rrhVm d2dd ??? ???
rhrI d2d 3 ???
???? ???? ?? hRdrhrII R 4
0
3
2
12d
hR
m
2?? ?
代入得
2
2
1 mRI ?
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为 r，
宽度为 dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为
转动定律的应用
基本步骤
?隔离法选择研究对象；
?受力分析和运动情况分析；
?对质点用牛顿定理, 对刚体用转动定理；
?建立角量与线量的关系, 求解方程；
?结果分析及讨论 。
例题 一个质量为 M，半径为 R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕
有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m的物体而
下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m由静止下落 h高度时的速度和此时
滑轮的角速度 (定滑轮的转动惯量 ）。
???? MRJ
解,(1)研究对象：滑轮和物体 m;
T
T
mg
o
M
m x
(2)受力分析如图：
滑轮,T,Mg,和轴的支持力,
只有 T产生力矩 （ why?),顺 时
针转动；
物体,mg和 T,向下运动
对物体 m：
?? 221 MRIRT ??
①
maTmg ?? ②
?Ra ? ③
（ 3） 对滑轮：
（ 4） 以上三式联立, 可得物体下落的加速度和速度：
gMm ma 2?? Mm m g hahV ??? 2 42
这时滑轮转动的角速度为
Mm
m g h
RR
V
??? 2
41?
滑轮和物体的运动学关系为,
例题,质量 M=1.1kg,半径 =0.6m的匀质圆盘, 可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动 。 圆盘边缘绕有
轻的柔绳, 下端挂一质量 m=1.0kg的物体, 如图所示, 起
初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 V0=0.6m/s上升, 如
撤去所加的恒力矩, 问经历多少时间圆盘开始作反向转动
（ ） 。 221 MrI ?
解,（ 1） 研究对象：物体和圆盘；
（ 2） 受力分析如图, 设逆时针
方向为转动的正向, 角加速度为
?,物体向下的加速度为 a。
mg
T
T(3)列方程：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
ra
maTmg
ITr
（ 4） 解上面的方程组：
Imr
rm g
?? 2?
（ 5） 圆盘作匀加速转动, 故有：
t??? ?? 0
其中
r
V 0
0 ???
,代如数据, 令 ?=0可求得反转时间 。
请同学求出反转所需时间 ！！
§ 5-4 转动动能 力矩的功
一、转动动能
运动的物体有动能，转
动的刚体同样有动能。例如
风车发电，水轮机等。
一各以角速度 转动，
转动惯量为 的刚体，动
能等于多少？
?
J
转轴
ir
im?
iv
?
刚体中各质点的动能之和即为刚体的转动动能。
因此，将刚体分割成很多质点，写出每个质点的动
能，相加得刚体得动能。
?如图，质点 的动能为
??
?
???
iiki vmE
?所有质点动能相加，刚体转动动能等于
? ?
?
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
J
rmvmE
i
ii
i
iik
?ii rv ? 转动惯量
所以，刚体的转动动能为
2
k J ω2
1E ?
对比质点平动动能
2
k mv2
1E ?
转轴
?
J
v?
m
二、力矩的功
2,Work done by torque Kinetic theorem of rotation
(1) Work done by torque
When a torque acts on a rigid body,the rigid body
starts to rotate with an angular acceleration so that
it store the kinetic energy,This fact shows that the
torque have done work on the rigid body.
In the following,for
simplicity,we consider only a
force applied at point P
of a rigid body rotating about
a fixed axis through o as
shown in Figure.
F?
axis
ir?
F?
In Fig,5-14,suppose that the rigid body acted by a
force F rotates through a element angular displacement,
the work done by the force is
??? d dd c o sdd MrFsFsFW t ????? ??
The total work done during a finite angular displacement,
is then
?? ? ?0 d MW
(5-18)
In the special case of M is a constant
??? ?? MMMW ??? ?? d d 00
(5-19) Fig,5-14
axis i
r?
F?
?d
Instantaneously power
?? MtMWP ??? dddd t
(5-20)
(2) Kinetic energy theorem of rotation 转动动能定理
Rewrite the element work
???
?
?
?
?
dIt
t
I
t
IMW
??
??
d
d
d
d
d
d
dd
Fig,5-14
axis i
r?
F?
?d
tIIM d
d ?? ??
When the angular speed changes from to,the
work done by the torque is
fi ??
kikfif EEIIIW
i
????? ? 22 21 21 d f ?????
?
(5-21)
Equation (5-21) indicates that the work done by torque
equals to the increment of kinetic energy of rotation.
This is kinetic theorem of rotation.
末动能 初动能
3.potential energy of weight 刚体的重力势能
?? ???? iiiiP hmgghmE
Mhmmhmh iiiiiC ??? ?????
设势能零点在 x-axis,hc
为质心到势能零点的距
离,
y
?mi
C
hi
hC
o x
M
CP M g hE ?
如刚体在重力矩作用下转动, 计入 刚
体的重力势能 后, 如满足守恒条件, 即
其它力矩作功为零或无其它力矩, 机械
能守恒定律：
tc o n sI t a n?? 势能2
2
1 ?
Example 5-7 质量为 m,长为 L的均质细杆可绕水平光滑轴 O在竖直
平面内转动 。 若使杆从水平位置开始由静止释放, 试求杆转至铅垂
位置时的角速度 。
?
mg
L解：可利用动能定理来求解。
当杆的位置由 ? 转到 ? +d? 时,
重力矩所做元功为：
??? d21dd ??? c o sm g LMW
m g Lm g LM 21d21dW 2
0
2
0
???? ??
??
??? c o s
两边积分得：
22
2
10
2
1
2
1 ?? IIm g L ???
L
g3??
（ 事实上, 这就是机械能量守恒 ）
L
?
由定轴转动动能定理有：
Example 5-8:一长为 L,质量为 m的匀质细杆竖直放
置,其下端与一固定铰链 o相连,并可绕其转动,当其
受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始
绕铰链 o转动,试计算细杆转到与铅直线呈 角时的
角加速度和角速度,
?
解,受力分析如图
取任一状态,由转动定律
?? Im g LM ?? s i n21外
2
3
1 mLI ?
?? s i nLg23?
（ 2） 利用机械能守恒求角速度：
取 o点的重力势能为零, 则
?? c o sm gLIm gL 212121 2 ??
)co s( ?? ?? 1
2
3
L
g
o
§ 5-5 Angular Momentum（ 角动量 ） of a Rigid
body Conservation of Angular momentum角动量守
恒定律
1,Angular Momentum of a Rigid body
As shown in the figure,the
angular momentum of the rigid
body about the fixed axis with
an angular speed ? is defined as
Note,based on the concept of angular momentum of a
particle with respect to a fixed point we learned in § 4-4,a
rigid body is treated as a collection of particles to lead to
(see the text)
IωL ?
IωL ?
(5-22) 刚体对定轴的角动量
轴 ?
ωndIL,a对刚体,are about the same axis,This implies that
IωL ?
may be negative or positive depending on the choice of
direction of rotation:
Counterclockwise,positive
Clockwise, negative
Take time derivative of equation (5-22),we have
??? ItItItL ??? ddd ) (ddd
Hence:
t
LM
d
d?
(5-23) 转动定理的另一种形式
It means that the net torque acting on a rigid body
equals the time rate of change of the body’s angular
momentum.
M
2,Conservation of Angular
momentum角动量守恒定律
If no external torque acts on the body or the system,that is
0M ?
0dd ?tL
We have:
constant ? ?? I L 角动量守恒定理
For a system,(here i represents ith rigid body)
which means that if no external torque acting on a rigid
body or a system,the angular momentum will remains
constant,如果系统不受外力矩的作用, 系统的角动量将
保持不变 。
c o n s t a n t ?? ?? iii IL ?
(5-24)
动画 -1 动画 -2
Examples ① the spin of the earth; ② the example in
Fig.5-16; ③ the example in Fig.5-17 and Fig 5-19.
（机械能守恒吗？）
(2) For a system 对系统
Example 4-9 一个 质量为 M,半径为 R的水平均匀圆盘可绕过中心
的光滑竖直轴转动, 在盘缘上站着一个质量为 m的人 。 初时, 他们
以角速度 ?0作匀速转动, 后人从 盘缘走到圆盘的中心处, 求人在中
心时圆盘的角速度 。
解：选人 +盘为系统, 重力和压力对
转轴的力矩为零, 故系统角动量守恒 。
设人到达圆盘中心时圆盘的角速度为
?,则
?? 2022 2121 MRmRMR ?? )(
0
2 ??
M
mM ??
O R
Example 4-10：如图所示, 一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直
的水平光滑轴 o转动, 初始为静止悬挂, 现有一个小球自左方
水平打击细杆, 设小球与细杆之间为非弹性碰撞, 则在碰撞过
程中, 对细杆和小球这一系统：
（ A） 只有机械能守恒；
（ B） 只有动量守恒；
（ C） 只有对转轴 o的角动量守恒；
（ D） 机械能, 动量和角动量守恒；
小球
细杆
Example 4-11：光滑的水平桌面上, 有一长为 2L的, 质量为 m
的匀质细杆, 可绕其中点且垂直于杆竖直轴自由转动, 起初杆
静止, 有两个质量均为 m的小球, 各自沿桌面正对着杆的一端,
在垂直于杆长的方向上, 以相同的速率 V相向运动, 如图所示 。
当两小球同时与杆的两端点发生完全非弹性碰撞后, 就与杆粘
在一起转动, 求这一系统碰撞后的转动角速度 （ 杆的转动惯量
为 。
231 mLI ?
解：显然, 这一系统的角
动量守恒, 则：
?)( 22 231 mLmLm L Vm L V ???
L
V
7
6??
m L VmVr ??
量守恒定律
§ 5–1 刚体的平动、转动和定轴转动
§ 5–2 力矩 转动定律 转动惯量
§ 5–3 转动的动能 力矩的功
1,理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；
2,理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；
3,掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；
4,掌握定轴转动的角动量守恒定律和机械能守恒定律。
§ 5–1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体
前面几章，研究对象抽象为质点，本章考虑物
体有形状和大小；为简单，不计入物体形变。
定义
在外力作用下形状和大小都
不变化的物体称为刚体
刚体是一种理想模型。刚体是在任何外力作用下任
意两点间均不发生位移，形状大小均不发生改变的
物体。
二、刚体的平动和转动
平动
如果刚体运动时, 它里
面任一直线的方位始终
保持不变, 则其运动称
为平动 。
水平飞行
看成质点
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动
轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿
定律。
转动
刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线
作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直
线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和
转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平
动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
平动和转动（转轴位置变）
跳水运动员
三、定轴转动
轴
P
Q
轴
转轴固定的刚体转动叫定轴转动。
如图，定轴转动特点
刚体中任一点都在垂直于
轴的平面内作半径不同的
圆周运动；在同一时间间
隔内, 各质点的角位移相
等；同一时刻, 各质点的
角速度和角加速度 。
因此，用 ??,?和 ?作为描
写刚体绕 定轴转动的物理量，
称为刚体的角位移、角速度和
角加速度。
刚体中各质点的速度和加速
度，因其位置和到转轴的距离
不同而不同。如图，对质点 P，
有
P
轴
r?
?
?
?
ra
ra
rv
t
n
?
?
?
?
对一定的质点
r为常量
例题 5–1
§ 5?2 力矩 转动定理 转动惯量
一、力对转轴的力矩
力可以使刚体转动，经
验表明其效果不仅取决于力
的大小而且还与力的方向和
作用点的位置有关。下面将
证明，力使刚体转动决定于
力对转轴的力矩大小，如图
所示。
F?F
?
哪个力容易
将门关好？
F?
r?
d
转轴
如图，对于力在垂直于
转轴的平面的情况，力对转
轴的力矩定义为
FdM ??? 力大小力臂
其中 d是力的作用线与转轴的距离，称为力臂，等于
?
?s i nrd ?
显然，如果力的作用线通过转轴，力臂为零，力
对转轴的力矩等于零。
?s i nrFM ??
F?
2F?
1F?r?
?
转轴
对于 的作用线不在垂直
于转轴的平面内, 可将 分解
为二个分力 和, 在垂直
于转轴的平面内, 与转轴平
行, 这样 对转轴的力矩为
F?
?F
?
?F
?
?F
?
?F
?
F?
F?
一般规定
如力矩使刚体沿反时针方向转动，力矩为正；
如力矩使刚体沿顺时针方向转动，力矩为负；
这样，几个力 作用在刚体上，刚体所受的
合力矩等于各个力对转轴的力矩的代数和
????? ??? MMMM
???? ??? FFF,、
式中 按一定的规定（如上面的约定）
有正负之分。
???? MMM,、
问题：
?与转轴垂直但通过转轴的力对转
动不产生力矩； (为什么?)
?与转轴平行的力对转轴不产生力
矩； (为什么?)
?刚体内各质点间内力对转轴不产
生力矩。 (为什么?)
二、转动定理
静止刚体在力的作用下, 如果力矩不等于零,
将转动, 角加速度与力矩的有什么关系？
将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕
轴作半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动
（牛顿定律）来找出刚体角加速度与力矩的关系。
如图，研究质点,受力为
iP
iF
?
iF?
?
tiF
tiF?
ir
?
iF
? 外力
?
?
??
ij
iji FF
?? 内力之和
质点 对质点 的作用。
ijF
?
iPjP
iF
?
iF?
?
tiF
tiF?
ir
?
如图，考虑质点 切线方向运动有
iP
?iiiiii rmamFF ?????? ttt
上式对所有质点求和，得
??? ?????
i
ii
i
i
i
i rmFF ?)(tt
两边乘以
ir
?????? iiiiii rmrFrF tt
外力合力矩
可提出求
和号外
可以证明内力产生的力矩和等于零，即
???? ? ??
? ii ij ijii i
rFrF tt
（内力成对出现）
ijF
?
jiF
?
i
j
外力合力矩
??
i
ii rFM t
对一定的转轴，量 为恒量，称为刚体对该
转轴的转动惯量，用 J表示
? ??i iirm
? ??? i ii rmJ
归纳有
?JM ?
或
J
M??
转轴
?
M
J
即刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比, 与刚
体的转动惯量成反比, 这一关系称为转动定律 。
转动定律是研究刚体绕定轴转动的基本定律；知
道了刚体的角加速度, 各质点的运动情况也就知道了 。
三、转动惯量
转动惯量与物体的惯性物理意义一致，转动
惯量大，欲改变其转动状态越困难；反之，转动
状态容易改变。
根据转动惯量的定义
? ??? i ii rmJ
刚体的转动惯量取决于
转轴
J
?刚体的总质量 ;
?刚体的质量分布 ;
?转轴的位置,
转轴
转轴
转轴
三个刚体, 质
量相等, 因转轴位
置或质量分布不同,
转动惯量不相等；
例 如图
刚体的转动惯量
可用实验测量，某些
情况也可理论计算。
?质量离散分布的物体,
? ??
i
ii rmJ
1r
3r
2r
1m
2m
3m
转轴
233222211 rmrmrmI ???
转动惯量的计算
例 如图
可视为
质点
?质量连续分布的物体
（ 记住：棒, 圆盘和圆柱体的 I）
? ?? mrJ d
线积分
?
面积分
?
体积分
?
dVdsdd ??? 或或??m
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
例题 求质量为 m，长为 l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：
1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； 2) 转轴通过棒的一端并和
棒垂直 。
O
A
d xx
l
?? mrI d2
12dd
32
2
22
0
lxxmrI l
l
?? ??? ??
?
有
ml ??将 代入上式，得,2
0 12
1 mlI ?
（ 2）当转轴通过棒的一端 A并与棒垂直时
X ’O’
2
3
0
22
3
1
3
'd' d
' ml
lxxmrII l
oA ????? ??
??
解,1) 在棒上离轴 x处，取一长度元 dx（如图所示），如果棒
的质量线密度为 ?，则长度元的质量为 dm=?dx，根据转动惯量
计算公式：
例题 求质量为 m、半径为 R、厚为 h的均质圆盘对通过盘心并与盘
面垂直的轴的转动惯量。
mrI dd 2?
其中,dm为薄圆环的质量 。 以 ?表示圆
盘的质量体密度, 则有
rrhVm d2dd ??? ???
rhrI d2d 3 ???
???? ???? ?? hRdrhrII R 4
0
3
2
12d
hR
m
2?? ?
代入得
2
2
1 mRI ?
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为 r，
宽度为 dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为
转动定律的应用
基本步骤
?隔离法选择研究对象；
?受力分析和运动情况分析；
?对质点用牛顿定理, 对刚体用转动定理；
?建立角量与线量的关系, 求解方程；
?结果分析及讨论 。
例题 一个质量为 M，半径为 R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕
有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m的物体而
下垂。忽略轴处摩擦，求物体 m由静止下落 h高度时的速度和此时
滑轮的角速度 (定滑轮的转动惯量 ）。
???? MRJ
解,(1)研究对象：滑轮和物体 m;
T
T
mg
o
M
m x
(2)受力分析如图：
滑轮,T,Mg,和轴的支持力,
只有 T产生力矩 （ why?),顺 时
针转动；
物体,mg和 T,向下运动
对物体 m：
?? 221 MRIRT ??
①
maTmg ?? ②
?Ra ? ③
（ 3） 对滑轮：
（ 4） 以上三式联立, 可得物体下落的加速度和速度：
gMm ma 2?? Mm m g hahV ??? 2 42
这时滑轮转动的角速度为
Mm
m g h
RR
V
??? 2
41?
滑轮和物体的运动学关系为,
例题,质量 M=1.1kg,半径 =0.6m的匀质圆盘, 可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动 。 圆盘边缘绕有
轻的柔绳, 下端挂一质量 m=1.0kg的物体, 如图所示, 起
初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 V0=0.6m/s上升, 如
撤去所加的恒力矩, 问经历多少时间圆盘开始作反向转动
（ ） 。 221 MrI ?
解,（ 1） 研究对象：物体和圆盘；
（ 2） 受力分析如图, 设逆时针
方向为转动的正向, 角加速度为
?,物体向下的加速度为 a。
mg
T
T(3)列方程：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
ra
maTmg
ITr
（ 4） 解上面的方程组：
Imr
rm g
?? 2?
（ 5） 圆盘作匀加速转动, 故有：
t??? ?? 0
其中
r
V 0
0 ???
,代如数据, 令 ?=0可求得反转时间 。
请同学求出反转所需时间 ！！
§ 5-4 转动动能 力矩的功
一、转动动能
运动的物体有动能，转
动的刚体同样有动能。例如
风车发电，水轮机等。
一各以角速度 转动，
转动惯量为 的刚体，动
能等于多少？
?
J
转轴
ir
im?
iv
?
刚体中各质点的动能之和即为刚体的转动动能。
因此，将刚体分割成很多质点，写出每个质点的动
能，相加得刚体得动能。
?如图，质点 的动能为
??
?
???
iiki vmE
?所有质点动能相加，刚体转动动能等于
? ?
?
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
J
rmvmE
i
ii
i
iik
?ii rv ? 转动惯量
所以，刚体的转动动能为
2
k J ω2
1E ?
对比质点平动动能
2
k mv2
1E ?
转轴
?
J
v?
m
二、力矩的功
2,Work done by torque Kinetic theorem of rotation
(1) Work done by torque
When a torque acts on a rigid body,the rigid body
starts to rotate with an angular acceleration so that
it store the kinetic energy,This fact shows that the
torque have done work on the rigid body.
In the following,for
simplicity,we consider only a
force applied at point P
of a rigid body rotating about
a fixed axis through o as
shown in Figure.
F?
axis
ir?
F?
In Fig,5-14,suppose that the rigid body acted by a
force F rotates through a element angular displacement,
the work done by the force is
??? d dd c o sdd MrFsFsFW t ????? ??
The total work done during a finite angular displacement,
is then
?? ? ?0 d MW
(5-18)
In the special case of M is a constant
??? ?? MMMW ??? ?? d d 00
(5-19) Fig,5-14
axis i
r?
F?
?d
Instantaneously power
?? MtMWP ??? dddd t
(5-20)
(2) Kinetic energy theorem of rotation 转动动能定理
Rewrite the element work
???
?
?
?
?
dIt
t
I
t
IMW
??
??
d
d
d
d
d
d
dd
Fig,5-14
axis i
r?
F?
?d
tIIM d
d ?? ??
When the angular speed changes from to,the
work done by the torque is
fi ??
kikfif EEIIIW
i
????? ? 22 21 21 d f ?????
?
(5-21)
Equation (5-21) indicates that the work done by torque
equals to the increment of kinetic energy of rotation.
This is kinetic theorem of rotation.
末动能 初动能
3.potential energy of weight 刚体的重力势能
?? ???? iiiiP hmgghmE
Mhmmhmh iiiiiC ??? ?????
设势能零点在 x-axis,hc
为质心到势能零点的距
离,
y
?mi
C
hi
hC
o x
M
CP M g hE ?
如刚体在重力矩作用下转动, 计入 刚
体的重力势能 后, 如满足守恒条件, 即
其它力矩作功为零或无其它力矩, 机械
能守恒定律：
tc o n sI t a n?? 势能2
2
1 ?
Example 5-7 质量为 m,长为 L的均质细杆可绕水平光滑轴 O在竖直
平面内转动 。 若使杆从水平位置开始由静止释放, 试求杆转至铅垂
位置时的角速度 。
?
mg
L解：可利用动能定理来求解。
当杆的位置由 ? 转到 ? +d? 时,
重力矩所做元功为：
??? d21dd ??? c o sm g LMW
m g Lm g LM 21d21dW 2
0
2
0
???? ??
??
??? c o s
两边积分得：
22
2
10
2
1
2
1 ?? IIm g L ???
L
g3??
（ 事实上, 这就是机械能量守恒 ）
L
?
由定轴转动动能定理有：
Example 5-8:一长为 L,质量为 m的匀质细杆竖直放
置,其下端与一固定铰链 o相连,并可绕其转动,当其
受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始
绕铰链 o转动,试计算细杆转到与铅直线呈 角时的
角加速度和角速度,
?
解,受力分析如图
取任一状态,由转动定律
?? Im g LM ?? s i n21外
2
3
1 mLI ?
?? s i nLg23?
（ 2） 利用机械能守恒求角速度：
取 o点的重力势能为零, 则
?? c o sm gLIm gL 212121 2 ??
)co s( ?? ?? 1
2
3
L
g
o
§ 5-5 Angular Momentum（ 角动量 ） of a Rigid
body Conservation of Angular momentum角动量守
恒定律
1,Angular Momentum of a Rigid body
As shown in the figure,the
angular momentum of the rigid
body about the fixed axis with
an angular speed ? is defined as
Note,based on the concept of angular momentum of a
particle with respect to a fixed point we learned in § 4-4,a
rigid body is treated as a collection of particles to lead to
(see the text)
IωL ?
IωL ?
(5-22) 刚体对定轴的角动量
轴 ?
ωndIL,a对刚体,are about the same axis,This implies that
IωL ?
may be negative or positive depending on the choice of
direction of rotation:
Counterclockwise,positive
Clockwise, negative
Take time derivative of equation (5-22),we have
??? ItItItL ??? ddd ) (ddd
Hence:
t
LM
d
d?
(5-23) 转动定理的另一种形式
It means that the net torque acting on a rigid body
equals the time rate of change of the body’s angular
momentum.
M
2,Conservation of Angular
momentum角动量守恒定律
If no external torque acts on the body or the system,that is
0M ?
0dd ?tL
We have:
constant ? ?? I L 角动量守恒定理
For a system,(here i represents ith rigid body)
which means that if no external torque acting on a rigid
body or a system,the angular momentum will remains
constant,如果系统不受外力矩的作用, 系统的角动量将
保持不变 。
c o n s t a n t ?? ?? iii IL ?
(5-24)
动画 -1 动画 -2
Examples ① the spin of the earth; ② the example in
Fig.5-16; ③ the example in Fig.5-17 and Fig 5-19.
（机械能守恒吗？）
(2) For a system 对系统
Example 4-9 一个 质量为 M,半径为 R的水平均匀圆盘可绕过中心
的光滑竖直轴转动, 在盘缘上站着一个质量为 m的人 。 初时, 他们
以角速度 ?0作匀速转动, 后人从 盘缘走到圆盘的中心处, 求人在中
心时圆盘的角速度 。
解：选人 +盘为系统, 重力和压力对
转轴的力矩为零, 故系统角动量守恒 。
设人到达圆盘中心时圆盘的角速度为
?,则
?? 2022 2121 MRmRMR ?? )(
0
2 ??
M
mM ??
O R
Example 4-10：如图所示, 一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直
的水平光滑轴 o转动, 初始为静止悬挂, 现有一个小球自左方
水平打击细杆, 设小球与细杆之间为非弹性碰撞, 则在碰撞过
程中, 对细杆和小球这一系统：
（ A） 只有机械能守恒；
（ B） 只有动量守恒；
（ C） 只有对转轴 o的角动量守恒；
（ D） 机械能, 动量和角动量守恒；
小球
细杆
Example 4-11：光滑的水平桌面上, 有一长为 2L的, 质量为 m
的匀质细杆, 可绕其中点且垂直于杆竖直轴自由转动, 起初杆
静止, 有两个质量均为 m的小球, 各自沿桌面正对着杆的一端,
在垂直于杆长的方向上, 以相同的速率 V相向运动, 如图所示 。
当两小球同时与杆的两端点发生完全非弹性碰撞后, 就与杆粘
在一起转动, 求这一系统碰撞后的转动角速度 （ 杆的转动惯量
为 。
231 mLI ?
解：显然, 这一系统的角
动量守恒, 则：
?)( 22 231 mLmLm L Vm L V ???
L
V
7
6??
m L VmVr ??
