Part two Electromagnetic theory
Chapter 11 Magnetic Properties of Matter
Chapter 12 Electromagnetic Induction
Chapter 13 Maxwell’s Equation
Chapter 10 Magnetic Field of a Steady Current
in Vacuum
Chapter 9 Conductors and Dielectrics in
Electrostatic Field
Chapter 8 Electrostatic Field in Vacuum
第八章 真空中的静电场
Chapter 8 Electrostatic Field in Vacuum
§ 8－ 1 Electric Charges Coulomb’s Law 电荷 库仑定律
§ 8－ 2 The Electric Field 电场 电场强度
§ 8－ 4 Gauss’ Law 高斯定理
§ 8－ 5 Electric Potential 静电场的功 电势
§ 8－ 3 Electric Field Line and Flux 电力线 电通量
§ 8－ 6 Equipotential Surface and Potential Gradient
等势面 电场强度与电势的关系
§ 8－ 7 The Electric Force Exerted on a Moving
Particle 带电粒子在外电场中的运动
1.掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度
的叠加原理和电势叠加原理。
2.掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单
问题中的电场强度和电势。
3.理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用
高斯定理计算电场强度的条件和方法。
4.了解电偶极矩的概念，能计算电偶极子在均匀电场
中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀电磁场中
（包括纯电场、纯磁场）中的受力和运动。
教学要求
重要人物
吉尔伯特,Gilbert 1540~1603,英国物理学家, 1600
年, 地磁场；
库仑 (Coulomb 1736~1806),法国物理学家，库仑定律；
伏打 (Volta 1745~1827):意大利物理学家，伏打电池；
欧姆 (Ohm 1787~1854):德国物理学家，
欧姆定律（ 1827）；
高斯,Carl Friedrich Gauss
1777-1855,得国数学家, 物理
学家, 天文学家和发明家 。 电
磁学 —— 高斯定理和高斯单位
制
基 尔 霍 夫,Kirchhoff
1824~1887,德国物理学家,
节点电流定律和回路电压
定律；
奥斯特,Oersted 1777~1851,丹
麦物理学家, 化学家, 电
的磁效应, 旋转力；
安培 (Ampere 1775~1836):法
国物理学家, 电流与电
流相互作用, 分子电流
假说；
法拉第 (Faraday 1791~1867):
英国物理学家, 化学家,
法拉第电磁感应定律,
提出场, 电力线, 磁力
线 …… ;
楞次 （ Lenz 1804~1865):
俄籍德国物理学家,
楞次定律, 电磁现象
也满足能量守恒定律；
麦克斯韦 (Maxwell
1831~1879),英国物理 学
家, 数学家, 提出了位移
电流, 完成了电磁理论大
统一；
赫兹 (Hertz 1857~1894),德国物理学家, 验证了电磁
波的存在；
1.Electric phenomena(电现象）
来电了！
没有电，犹如没有阳光，你的生活会是一片 ……?
§ 8－ 1 Electric Charges Coulomb Law
电荷 库仑定律
Thunder and lightning!
防静电服
摩擦起电！当心！
Paper~plastic rob attraction!
What? Its Nature?
electricity
2,Electric Charges 对电荷的基本认识
(1) Two kinds of electric charges 两种电荷
+ -
(3) 电量是相对论不变量：
(2) Quantization of charges 电荷量子化：表示物体所
带电荷多少的物理量称为电量 (q Q),单位：库仑 C。
一个电荷的电量与它的运动状态无关，在不同
的参照系中观察，同一带电粒子的电量不变。
neq ?? C.e 191061 ???
一切物体所带电量 q都是某一基本电量的整数倍。
e
在一个和外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷
的代数和在任何变化过程中保持不变 。
当有一种电荷出现时，必然有等量异号的电荷
同时出现；当有一种电荷消失时，必然有等量
的异号电荷同时消失。
(4) The Conservation of Charges 电荷守恒定律
是物理学中普遍的基本定律：
q
Q
2,Coulomb’s Law 库仑定律
Point charge点电荷的概念,点电荷是一个理想模型,
当一个带电体 q 的线度与它和其它带电体的距离相
比较, 小得多,以致于它的形状大小及电荷分布对它
们之间的相互作用力的影响可以忽略不计时, 称其
为点电荷 。
Coulom’s Law 库仑定律
真空中, 两个静止的点
电荷之间相互作用力的大小,
与它们的电量的乘积成正比,
与它们之间距离的平方成反
比 。 作用力的方向沿着它们
的联线 。 同号电荷相斥, 异
号电荷相吸 。
r
r
qqf ??
3
21
04
1
??
?
r?
q1
q2
大小：
2
21
04
1
r
|qq|
f
??
?
方向：？？
22120 10858 m.N/C,????其中：
注意：
1,适用于真空中的静止点电荷；
2,是基本实验规律,宏观, 微观均适用；
That is the Coulomb’s law is correct and
accurate in the 10-15~109m of distance
between point charges
3,库仑力可以叠加。
4,There is some similarity between Coulomb’s law
and Newton’s law of universal gravitation.
However,gravitation is only attractive,and the
force between charges is attractive or repulsive(排
斥 ）
r
r
qqf
c
??
3
21
04
1
??
?r
r
mmGf
G
??
3
21?
吸引和排斥！仅有吸引！
5,The seeing world is held together by gravitation ;
the atom,the molecules,solid crystal lattice（ 固体晶
格 ） and seeing matter are held together by the
electric force;…… There are different forces in the
different levels of World,which hold together the
matter of levels in the universe(宇宙 ）,
Universe
Seeing matter
1,Electric Field 电场
Two viewpoints（ 观点 ） about the interaction
between charges in the history of Physics:
(1) 超距作用 which has been proved to be wrong;
interaction
§ 8－ 2 Electric Field 静电场 电场强度
(2) The field viewpoint which consider the charges
interact each other by the Field(场 ）
The field viewpoint is the great improvement of
Physics and a revolutionary viewpoint.
q
field Q
电场的基本性质,
1) 对放在电场内的任何电荷都有作用力；
2) 电场力对移动电荷作功。
El
ect
ric
fi
eld
q
force
q
work
move
电场
)z,y,x(E?
电场强度, 是描述电场中
各点电场强弱的物理量,
2.Electric Field电场强度 ( )
E?
Test charge:
0q
(1)电量小；（ 2）线度小；
F?0q
E?
The electric field is defined asE?
其数值和大小与单位正 电荷
在 P 点所受场力相同。
0q
FE
??
?
电场
)z,y,x(E?
F?0q
E?
电场
)z,y,x(E?
F?q
When a charge is
located in the electric field,
it will be acted by a force
that is:
EqF ?? ?
The force on a negative charge,such as an electron,is
opposite to the direction of the electric field.
The electric field of the
point charge q is given by
E?
rrqE ?? 3
04
1
???
)z,y,x(E?
q
Pr?
If the charge is negative,is opposite to ; if
the charge is positive,is same as the direction
of,
E?
E?
r?
r?
The superposition(叠加） principle of the electric field:
电场强度满足矢量叠加原理
1r?
2r?
3r?
)z,y,x(E ??
1q
2q
3q
If there are point charges
q1,q2,q3,……,the
resultant( 合 ） electric
field is the vector sum of
the individual （ 单独 ）
electric field:
.,,,,,EEEE ???? ??? ????
?
??
?
??
?? N
i
i
i r
r
qE ??
??
这就是电场的 叠加原理。
3,The Calculation of Electric Field 电场强度的计
算
1)点电荷 Q 所产生电场的电场强度
rrqE ?? 3
04
1
???
)z,y,x(E?
q
P
r?
i
n
i i
i
n rr
QEEEE ?????? ?
?
?????
1
2
0
21 4
1
??
2)点电荷系所产生的电场的电场强度 (场 强叠加原理 ）
3),电荷连续分布的带电体所产生的电场强度
r
r
q
EE
???
?? ?? ?? 3
04
d
d
??
其中 体电荷
电荷连续分布, 在带电体
上取微元电荷 dq,由点电荷
的场强公式写出 dq 产生的元
场强, 根据场强叠加原理
求矢量和 （ 即求矢量积分 ）
Ed?
dVdq ??
dq
r?
Ed?
dV
jEiEE yx ???? ddd ??
?
?
?
?
yy
x
x
EE
EE
d
d
? ds
dsdq ??
面电荷
?
?d
?ddq ??
线电荷
The vector integral（积分） is treated in the following way:
矢量积分 化为标量 积分,
Example 8-1,求电偶极子延长线和中垂线上的电场。
y
xo-q q
?E? ?E?
?E?
?E?
)y,(P 02
),x(P 01
电偶极子,-q and q with a distance of ?
解,（ 1） 延长线 P1(x,0)
的电场强度：
??? qP ?
??, -q指向 q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
220
1
22
4
1
)x(
q
)x(
q
i
EEE
??
?
???
??
（ 2）中垂线 P2(0,) 的电场强度：
23
2
20
2
2
2
20
2
4
1
4
4
2
4
4
2
)y(
i
q
)y()y(
q
i
EEE
?
??
?
?
?
?
???
?
??
??
??
??
??
??
??
当,有,?? ???? yan dx
3
0
3
0
1
2
4
12
4
1
x
Pi
x
qE ????
???? ?? 30302 4
1
4
1
y
Pi
y
qE ????
???? ????
y
xo-q q
?E?
?E?
)y,(P 02
Example 8-2 求均匀带电圆环（电荷线密度为 ?）轴线上任一
点的场强。
由点电荷场强公式：
?
?
?? ?? r dldE ???
r
x
r
dldEdE
x ???? 2
04
1c o s ?
???
由于对称性可知 ? ?
? 0dE
2322
0 )(4
1
ax
qxdEE
x ???? ? ??
电场沿 x 方向,
a
0 x
?
d l
r
?
Px
dEdE⊥
dExdldq ??
解：圆环上微元带的电荷
1）
2
04
1
x
qEax ????
??时，当
讨论,
00 ?? Ex 时，当2）
m a x2
2 EEx ??? 时，当3）
5）试画出 E(x)的曲线。
4） x??,E=0
a
0 x
?
d l
r
?
Px
dEdE⊥
dEx
Example 8-3,The slender（ 细的 ） rod of length ?
carries q,Find the electric field at a point P with a
distance xP from the center along the direction of rod.
Solution,(1) As
shown in Fig.**,the
contribution of dq to
the total electric field
is
P(xP,0)dx
x
0 dq
2
0
2
0 4
1
4
1
)xx(
dxq
)xx(
dqdE
PP ?
??? ?????
（沿 x轴方向,q>0,正向）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
4
4
2
4
4
2
2
0
2
2
0
??
?
??
?
?
P
P
P
P
xi
)x(
q
xi
)x(
q
E
??
??
In a word,the electric field is expressed as:
（ 2） Therefore,the electric field is given by
)x(
q
)xx(
dxq
E
P
P
4
4
4
1
2
2
0
2
2
2
0 ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
??
Example 8-4:半径为 R的半圆环均匀带有电量 q,求圆
心处的电场强度 。
?d?=Rd?dq
Ed?
xdE
解：（ 1）如图所示，建立坐标系；
（ 2） dq产生的电场 x 轴分量为：
2
0
2
0
2
0 444 R
dqs i n
R
d
R
qs i n
s i n
R
dqdE
x ??
?
?
?
??
?
?
?
??
???
?
（ 3）积分，有：
iRq)c os(Riqds i nRqiE ?
???
2
0
202
0
2
0
2
0
2 244 ?????????
?? ???? ?
Example 8-5:求半径为 R, 面电荷密度为 ? 的均匀带电
圆盘轴线上任一点的场强,
x
Ed?r
dr解：（ 1）将圆盘分成许多圆环；
（ 2） 半径为 r宽度为 dr的圆
环对总场强的贡献为：
????
? ?
?? ?? )rx( xdqdE ??
（ 3）积分，有：
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
22
00 2
322
0
1
22 xR
x
)rx(
r d rxE R
?
?
?
?
????
? ?
??
?
??
)rx(
r d rx ??
??
?2?rdr
讨论：
(1)x?0,E ?
???
?
(2) x>>R,E ?
?
?? x
Q
??
(3)R??,E ?
???
?
(视为点电荷）
（相当于大板）
x
Ed?r
dr
1,Electric Field Line 电力线
电力线 是用来形象地描述场强分布的空间曲线簇。
画家来描述电场！！
§ 8－ 3 Electric Field Line & Flux
电场线 电通量
1) 规定
曲线上每一点的切线方向为电场强度方向,
通过垂直于场强方向上单位面积上的电力线数目
等于该点电场强度的大小
EdSdN ?
?
?dS
E
显然，电力线密的空间，
电场强。
2)典型的电 场 线图
3) 电力线性质,
?电力线始于正电荷（或无穷远）终止于负电
荷，不会在没有电荷处中断；
?两条电力线不会相交；
?电力线不会形成闭合曲线。
1 E
?
2 E
?
2,Electric Flux 电通量
The number of line of electric force through a area A is
called the electric flux of this area,labeled by （ 通过电
场中任意面积元 dS 的电场线的数目 dN）,
e?
It can be proved that
S
???? ????
SS
e dsc osEsdE ?
??
where:
dsnsd ?? ?
n?
E?
n? 为 ds的法线。
?sd
E?
θ
n?
Note
(1) 对于非封闭曲面, 法线的定义有两种选择, 结果
电通量 或 。??
e? ??e?
n?
n?
（ 2）对于封闭曲面，规定法线单位矢量向外,n?
???? ????
ss
e dsc osEsdE ?
??
1.Gauss’s Law
在真空静电场中，通过任一闭合曲面的电通量
等于这闭合曲面所包围的电量的代数和的 1/?0倍：
?
?
?? ?? ??? 内S
i
s
e
q
dsc o sE
§ 8－ 4 Gauss’s Law 高斯定理
?
内S
iq
q1
q4
q3
q2
q5
q6
例如，如图所示有
???
s
e dsc osE ??
从库仑定律可以严格证明高斯定理。
?
?
? ?S
iq
?
????? ?????
?
qqqqq
以点电荷的场为例
(1) q 在曲面内时
q
S
S1
① S为以 q 为中心的球面 S,各面元
的法线 n 均与 E 同向平行
? ?? SEΦ e ?? d
导出：
Sc o srq
S
d ???? ?
??
?
??
??
?
S
Srq d??
?
?
?
?
????? ???? qrrq
② S1 为任一闭合曲面，如图所示，由电场线的性质可
知，穿过 S 的电场线必然都穿过 S1,故
?
?
??
??
??
??
?
q
SE
SEΦ
S
e
??
??
d
d
1
S
q
S
S1
(2) q 在曲面外时：
q
0d?? ???
S
e SEΦ
??
Note：
1） 电通量只与曲面包围的电荷有关, 与外部电荷
及内部电荷分布无关；
q1
q4
q3
q2
q5
q6
2） 通量为零不等于高斯面内无
电荷, 也不说明高斯面上场强
处处为零；
054321 ????? qqqqq
0?E?
q1
q4
q3
q2
q5
q6E?
?不能肯定
?只有
3） 高斯面内场强由内, 外电荷决定 。 通量由面内电
荷决定 。
q1
q4
q3
q2
q5
q6E?
E? 由 q1,q2,q3,q4,q5和 q6决定。
4） 高斯定理是从库仑定律推出来的, 它们是等价
的 （ 静电场 ） ；
5）电场的有源性。
在某些情况下, 利用高斯定理, 可方便地求出
电场强度 。
q1
q4
q3
q2
q5
q6
2.高斯定理的应用
对于电荷分布具有某种对称性的情况下，利用高
斯定理求 E比较方便，即在高斯面上场强处处相等，
方向与曲面正交或平行。
分析静电场问题，求静电场的分布。
特点：
q
S
1) 球对称（球体，球面）；
2) 柱对称（无限长柱体，柱面）；
3) 面对称（无限大平板，平面）。
常见的具有对称性的电荷：
求电场分布的步骤：
1) 对称性分析；
2) 选合适的高斯面；
3) 用高斯定理计算。
Example 8-6 均匀带电球体内外的电场（设半径 R，电荷体密度 ?，
带电量 Q）。
E
?
d
d q 1
d q 2 d E 1
d E 2
P 1
o
解 （ 1） 对称性分析，球内一点 P1，以 oP1为半径的球内电荷
在 P1点的电场沿 oP1向外,oP1球外在 P1点电场互相抵消。
场强沿半径向外,
（ 2）高斯面：过 P1以 oP1为半径的球。
? ?? SdE ??
?
?
?
R
Qr
?
右侧
3
04 R
QrE
????
（ 3）根据高斯定理，等式左侧
E
?
d
d q 1
d q 2 d E 1
d E 2
P 1
o
? ?E d S ? ?dSE ??? rE ?
??
??
?
?
?
?? r
?
?
?
?
内iq
?
? ?
?
?
?
?
r
R
Q
?
?
讨论：均匀带电球壳的场强
1) 球壳内 E=0,可由对称性分
析得来,
2
04 r
QE
???
rR
r?
P
3)球面上
2
08 r
QE
???
rE ?在球内
2
04 r
QE
???
在球外
2) 球壳外
Example 8-7 无限大均匀带电平面产生的场强 。
S
侧
S
底
E
?
E
?
? ?? SdE ??
02?
??? E
解 (1)由对称性分析知,E 的方向垂直板面向外；距板同远处 E大小
相同。
? ??
0?
QSdE ??(3)由
Important!!!
(2)取如图圆柱体为高斯面,
?????? ????? 侧面右底左底 SdESdESdE ??????
???? ???? 右底 底左底 )S(EdSEdSE
?
?
?
?底＝ S
Example 8-8 求无限长均匀带电圆柱的电场分布 Poh
rR
E? ?? SdE ??
0
1 2 ?
? rE ??
解：柱面内一点
(1),对称性分析：圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远
处场强相同
(2),高斯面：选过 P 点半径为 oP，高为 h 的同轴圆柱面
(3),计算，设电荷体密度为 ?
?????? ????? 侧面下底上底 SdESdESdE ??????
??? ?? 侧面 SdE ?? r hE??
?? rh ??
0
2
22 ?
??? Rhr h E ?
r
RE
0
2
2 2?
??
可得
(4)柱面外一点，根据高斯定理
Poh
rR
E
讨论：
（ 1）设柱体（柱面）单位长带
的电荷为 ?，即：
12 ?? R???
rr
RE
00
2
2 22 ??
?
?
? ??
（ 2）同样可求出线电荷密度为 ?的
无限长直线外一点的场强：
rE 02??
??
?
r
Important!!!
Poh
rR
E
复习：电场强度的两种（还有一种下节讲）求解方法：
⒈叠加（积分）法。
⒉高斯定理（对称场）。
（ 1）点电荷 的电场
2
04
1
r
QE ??
??
)z,y,x(E?
（ 3） 均匀带电球体的电场：
2
04
1
r
QE ??
??外
3
04
1
R
QrE ??
??内
（ 2）均匀带电球面的电场：
2
04
1
r
QE ??
??外
0?内E
Q
R
E
r
r
2
1
r?
o
0
2
1
r?
E
r
r
Q
o
o
0
o
（ 4） 均匀带电园环（ ）的电场：?,R
2322
0 )(4
1
Rx
qxdEE
x ???? ? ??
（ 5） 均匀带电园盘（ ）的电场：?,R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
22
0
1
2 Rx
xdEEE
xx ?
?
0 x
d
Pd r
r
x
E
?
dE
a
0 x
?
d l
r
?
Px
E?
r
E
02??
??
有何对称性？
（ 6） 无限长带电线（ ）的电场：?
rpr E
（ 7） 无限长带电园柱面（ ）的电场：?,R
E内 = 0
r
E
02 ??
??
外
有何对称性？
电场线的方向？ r
E
rR
（ 8） 无限大带电平面（ ）的电场：?
S
侧
S
底
E
?
E
?
??
? ??E
有何对称性？
电场线的方向？
其他情况
-??0???内E
0?外E
正极板指向负极板
??0???外E
0?内E
方向由 ?的正负决定
?2?
1
E ?外
E ?内
1,Work done by Electric Force 静电力作功的特点
The work done by the force is given by
??
b
a
dsc o sFW ? a
b
We will show that the force on a charged particle in a
electric field produced by any combination of charges
at rest is always a conservative force field(保守力场 ）
§ 8－ 5 Electric Potential 电势
? ??? ba r rqq d4
0??
Conclusion,work done by electric field depends only on
the initial & final positions,but not on the path.
1) Consider the electric field of a point charge,A
test charge q0 moves from a to b in the electric field by
the electric force,The work done by the electric force
is given by
q
q0
ar?
br?
rd?
? ?? ba rrd.rqq 4
0??
??
????? ?? ?? b
a
b
aba
rEqrFW ???? dd
???
?
???
? ???? ?
ba rr
04 ??
2) In general,the electric field equals to
?????????? ??? EEEE ????
The work done on test charge by the electric field is
given by E
?
?????????? ???
b
a
b
a
b
a
rd.Eqrd.Eqrd.EqW ?
?????
20100
Since the every term in the above formula（ 公式 ）
depends only on the positions a and b,the sum depends
only on the positions a and b,Therefore,the electrostatic
force is conservative.
2.Circular theorem of the electrostatic field 静电场
的环路定理
Electric field
q0
If the test charge moves
around a closed path,the
work by the electric field is
zero:
??? ? ? ??? d.EqW
That is
0?? ??? d.E
?
0?? ??? d.E
It is called as circular theorem of the electrostatic
field,which expresses a second property of the
electrostatic field.
静电场中电场强度沿任意闭合路径线积分（环流）为
零。
?
0?? ??? d.E
3,Electric potential energy and electrical
potential 电势能和电势
（ 1） 静电力是保守力，可引入电势能的概念。
（ 2） 定义静电力 由 a 点 ?b 点作的功 为电势能
增量的负值：
PbPaPaPbba EE)EE(W ??????
,the electric potential energy of
q0 at point a.
PaE
,the electric potential energy of
q0 at point b.
PbE
q0
PaE
PbE
The electric potential energy of q0 at point a is relative.
If we take ( reference level of electrical potential
energy),the electrical potential energy is given by
PaE
0??PE
q0
PaE
?
? ??? ??? aapa lEqWE ?? d0
The electrical potential energy
of q0 at point a is equal to the
work done by the electrical
field when q0moves from a to
the point ?,which depends on
q0.
The electrical potential is defined as
? ? ??? aPaa lEqEU
??
d
0
在数值上等于单位正电荷从 a
点移到无穷远处时静电力所作的
功，亦等于在 a点的单位正电荷所
具有的电势能 (选无限处电势为
零）。
q0=1
aU
?
0??U
电场中一点的电势其数值与参考电的选取有关。
The potential difference （电势差） between point a
and point b is
?
??
??
?
??
???
?
?
??
b
a
b
a
ba
ba
d.E
d.Ed.E
d.Ed.EUU
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
aU
bU
a
b
等于单位正电荷从 a点到 b电场
力所作的功 。 是绝对的 。
In summary:
aPa qUE ?
Uq)UU(q
EE)EE(W
ba
PbPaPaPbba
????
??????
? 指向电势低的方向；而电势 是标量；E? U
? 电势是描述电场性质的物理量（能量）；
aU
bU
a
b
? 正电荷的运动：电势高 ?低；
? 负电荷的运动：电势低 ?高；
? 电势的零参考点的选取是任意
的 。 有限带电体一般选无穷远
为电势零点 。 对无限带电体的
电场, 通常选特殊点或线或面
上的电势为零；
q0=1
aU
?
0??U
4,The calculation of the electrical potential
1) The electrical potential of field produced by a
point charge q
r?
U
0??U
q
r
qrd.EU
r ?
?
??? ? ??
??
2) The electrical potential of field produced by
the any charged system
?????????? ??? EEEE ????
U ?
dq
??????????
??????????? ????
????
aaa
aaaa
UUU
d.Ed.Ed.Ed.EU
321
321 ?
??
?
??
?
??
?
??
called the superposition principle of electrical potential.
电势的叠加原理
In detail:
?? ??
i i
i
i
i r
qUU
04 ??
or
?
??
?
?
?
r
d
??
?
线电荷
特点：标量积分！！！
体电荷
?
??
?
V r
dV
??
?
面电荷
?
??
?
S r
dS
??
?
?
??
?
? ?? r
dqU
U
The two methods calculating the electrical potential:
(1) by using the superposition principle of electrical
potential（ 用电势的叠加原理 ） ；
（ 2） by using the definition(定义） of U：
??
参考点
a
d.EU ?
??
Note that the measurement of U is more easy than
that of the charge.
Example 8-9,点电荷 Q 的电场中距 Q 为 r 远处的电势
r
Q
r
r
Q
rd.r
r
Q
rElEU
r
r
ra
p
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
??
??
??
d
dd
??
????
r?
U
0??U
q
Example 8-10 求均匀带电圆环轴线上一点的电势 （ 电量 q, 半
径 R）
lq dd ??
r
l
r
qU d
4
1d
4
1d
00
?
???? ????
（ 1）在圆环上取弧长为 dl 的电荷元（视为点电荷）
其带电量为
(2)根据点电荷的电势公式,dq 在 P
点产生的电势为
R
0 x
d q
P
Q
x
r
解：叠加法
R
q
2 ?? ?
其中 电荷线密度为
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Rx
q
r
l
U
R
??
??
? ? d
(3)将圆环上所有电荷元对 P点电势的贡献叠加起来（积分），
即得到 P点的电势
R
0 x
d q
P
Q
x
r
Example 8-11,A sphere of radius R carries a total
charge Q uniformly（ 均匀地 ） distributed over its
volume,Find the electrical potential inside and outside
the sphere.
Solution,(1) The electric field is
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Rr
R
Qr
Rr
r
Q
E
3
0
2
0
4
4
??
??
(2) letting,the electrical potential outside
the sphere is
0??U
r
Q
r
Qd rU
r 0
2
0 44 ????
?? ?
?
o
U
(3) Inside the sphere,the electric potential is given by
?
?
?
r
E d rU
o
R
Q
R
Qr
?
?
?
?
?
??
??? ????
?
?
?
??
?
R r
Qd r
??? ????
R
r R
Q r dr
??
R
U
r
r1?
R
Q
08
3
??
o
（ 4）变化曲线
Example 8-12,What is the electric potential outside a
very long thin line along which charge is distributed
uniformly (? Coulomb per meter).
Solution,(1) The electric field is
given by
rE ??? ??
?
(2) Choosing,the electric
potential is:
01 ?)(U
? ??? 1
00 22
r
rln
r
drU
??
?
??
?
R=1
0?U
r
Example 8-13:长为 L的带电细杆, 电荷线密度为, 求其
中垂线上距 X轴 h 远处的电势 。
h dx
x dqo x
y解,(1)选无限远处电势为零；
（ 2）用电势叠加原理，有
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
h
L
h
L
ln
hx
dx
r
dq
U
L
L
??
?
??
?
??
?
Example 8-14:一均匀电场, 电场强度,
求 XY平面内点 a（ 3,2） 和点 b（ 1,0） 间的电势差
（ 单位均取国际单位制 ）
jiE ??? 64 ??
解：
)V(
)()(
.E
yExE.EU
b
a
yx
b
a
????
????????????
?
??? ??
?
??
?
??
)dd(d?
1,Equipotential Surface 等势面
由电势相等的点组成的面叫等
势面,,当常量 C取等间隔
数值时可以得到一系列的等势面 。
C)z,y,x(U ? 5V
10V
15V
§ 8－ 6 Equipotential Surface & Potential
Gradient 等势面 电场强度与电势梯度的关系
(1) No work is needed to move a charged body over a
equipotential surface;
Note
E?
(2) The equipotential surface through
any point must be at right angle to
the direction of field at that point(正
交, 垂直 ）,
（ 3） Two equipotential surfaces never intersect（相交）,
In general,the lines of electric force are curves and the
equipotential surfaces are curved surfaces（ 曲面 ）,
a
b
E?
aU
UUU ab ???
??d
?
2,The relation between electrical field and potential
Consider two nearby points
separately by an infinitesimal (极
微小的 ） displacement in the field：
???? dc o sEd.EUUU ba ???????
Hence
?c o sEddU ???
This shows that the derivation(导数 ) equals to
the negative of the component of in the direction
of,
?ddU
E?
??d
If the displacement is in the x direction,and??d dxd ??
xEc o sEx
U ????
?
? ?
x
UE
x ?
???
Likewise(同样地）,
y
UE
y ?
???
z
UE
z ?
???
In vector notation(记号）,we have
Ugr a dUkzUjyUixUE ????????????? ?????????? ????
The quantity （ 量 ） on the right side of above
equation is called the gradient （ 梯度 ） of the
potential,
Ugr a dUkzUjyUixUE ????????????? ?????????? ????
The quantity （ 量 ） on the right side of above
equation is called the gradient （ 梯度 ） of the
potential,
上式表明 电场 强度等于 电势梯度的负值 。
为我们提供了一种计算场强的方法,已知 U=U(x,y,z)
时，用微分法求 E。
Note
1) 电势不变的空间，电场等于零；
2), ?” 号表示场强指向电势降落的方向；
3）等势面处电场强，等势面疏处电场弱；
CU ?
0?E?
5V
10V
15V
1E?
2E?
21 EE ?
Example 8-15,In some region of space,the electric
potential is the following function of x,y and z:
xyxU 22 ??
where the potential is measured in volts and the distance
in meter,Find the electric field at the point x=2,y=2.
Solution:
jxi)yx(UE ??? 22 ???????
?
ji),(E ??? 4822 ???
Example 8-16 求均匀带电圆环轴线上一点的电场（电量 q,
半径 R）
22
0
2
0
0 4
1d
4 Rx
q
r
lU R
?
???? ? ????? ?
① 已知 P点的电势为
x
UE
x ?
???② 由,有
?
???
? ??
?
?
???
)xR(
qx
x
UE
x
??
R
0 x
d q
P
Q
x
r
E
E=Ex,沿 x轴正向。
解：已知 U，用 U 和 E 的微分关系求 E。
§ 8－ 7 Electric Force Exerted on a Moving
Charge 带电粒子在静电场中的运动
1,带电粒子在静电场中受力
电偶极子在均匀电场中受力矩,
EqF ?? ?
EPM e ??? ??
??? s i ns i n s i n EPlqElFM e???
F2
F1
?q
+q
?
M
Pe 将转向 的方向，直到 与 方向一
致（ ? =0）成为稳定平衡 。
E?E? eP?
l
（ 8-66）
（自学成才）
2,带电粒子在电场中的运动
t
vmamEqF
d
d ???? ???
m
qEa ? s
m
qEasvv 222
0
2 ???
qUmvmv ?? 202 2121
例：电子枪加速电子
eUmvE k ?? 2021
0
2
m
eUv ? eUcmmcE
k ??? 202
)(
)2(
2
0
2
0
cmeU
eUcmeUcv
?
??
(在均匀场中）
（相对论动能）
22
2
1
2
1 t
m
qEaty ??
2
0
2
2
1
v
xE
m
qy ??
又例：以 垂直进入电场，偏转
0v?
tvx 0??
F2
F1
?q
+q
?M
电偶极子在非均匀电场中
??
?
?
??
?
? ?
???
?
?
??
?
? ?
?
??????
e
e
e
e r
EE
P
r
EE
qr
EEqEqEqFFF
2121
212121 )(
????
??????
??
????
s i ns i n
s i n
2
s i n
2
s i n
2
s i n
2 2121
EPEqr
r
qE
r
qE
r
F
r
FM
ee
eeee
??
????
EPM e ?? ??
