1.掌握变力作功的计算和动能定理的应用；
2,掌握保守力作功作功特点及与相关势能
的关系；
3,明确功与能（动能、势能）关系与区别；
4,掌握机械能守恒定律的物理意义及应用
条件,
教学基本要求
§ 3—1 功 功率
§ 3 — 2 动能 动能定律
§ 3 — 3 势能
§ 3 — 2 功能原理 机械能守恒定律
§ 3 — 2 能量守恒定律
在物理学中, 能量是一个非常重要的概念,
1807年 托马斯,扬引入 。 现代科学证明, 本章介绍
的能量守恒是一切变化和自然过程必须遵守的定律 。
功来源于机械工作，于能量密切相关，这章将
从功的引入开始，以能量守恒定律结束。
焦耳 （ J,P,Joule,1818~1889),英国物理学家, 发
现能量守恒及转换定理的
主要代表 。
迈尔（ Robert Mayer,1814~1878),德国物理学
家，医生，第一个提出能量守恒的科学家；
亥姆霍兹（ Hermann Von Helmhotz,
1821~1894)，德国物理学家，生理学家，系统地
论述了能量守恒定理；
§ 3—1 功 功率
一,恒力的功
大家已熟悉功的概念，下面先介绍恒力的功，
随后引入变力的功，后者是学习的重点和难点。
恒力,大小和方向不变F?
?
F?
?
F?
s
a b
?? c os)c os( FssFW ??
?力与运动
方向的夹角
如图, 物体在恒力的作用下, 沿直线从 a点运动
到 b,其位移为, 恒力对物体 （ 质点 ） 所作的功定义
为
s?
?
F?
?
F?
s
a b可写成矢量的形式
sFW ?? ??
显然
?
?
?
?
?
?? ? ????????
??????
????????
?
?
?
?
?
当
当
当
co sFsW
功的单位
在国际单位制，功的单位为焦耳
1焦耳（ 1J） = 1N·m = 1kg·m2/s2.
二、变力的功
如图，质点（研究对象）在变力 沿曲线从 a
点运动到 b点，力作的功等于多少？如何计算？
)(rF ??
ir??
iF
?
i?
a
b
?rΔ?
?rΔ?
方法
将曲线分割成许多小段，
每一段很小，可视为直线
段，相应的位移为
...,...,,irrr ??? ??? ??
在每一段上，质点受力近似看成常矢量
...,...,,iFFF ??? ??
ir??
iF
?
i?
a
b
?rΔ?
?rΔ?
对每一小段，用恒力的功的
定义得力在这段位移上的功
iiiiii rFrFW ?c o s
??? ??????
称为力在位移 中的元功。
ir
??
将元功相加，近似得质点从 a运动到 b点力作的功
ii
ii
i
i rFWW ?? ?????
??
当,力作的功等于函数 沿曲线的线积分? ? ????
ir?m a x? )(rF ??
?? ????? ?? ba
i
ii rFrFW
???? d
?
l i m
特殊情形
sFabF
rrFrFW ab
b
a
???
?????
????
????? ? )(d
1,在整个路程中, 作用力
为恒力, 有
where
abs ??
a
b
F?
常矢量
mg
52B
2.质点在直线上运动，取为 x轴，
受力沿 x轴方向，有
?? ??? 21 d d xxba xxFrFW )(??
x1 x2
)(xF
x
ixFF ?? )(?
ixr ?? dd ?
所以
注意
质点在直线上运动，力与 x轴成夹角，将力投影。
合力的功
在运动过程，质点受几
个力的作用，合力
????? ???? ??? FFFF
合力的功为
?
?
??????
??
????
???????
??
???
??? ???
?
WWW
rFrFrF
rFW
b
a
b
a
b
a
b
a
ddd
d
即合力的功等于各个分力的功的代数和。
?F
?
?F
?
?F
?
三,功率
功率的单位
VFt rFtWP ??
??
????? d ddd
（请同学自学）
焦耳每秒
称为瓦特，简称瓦，符号 W;
????? JsW
例题 3—1
例题 3—2
例题 一物体在 x轴上运动, 受到力 F=-5x的作用, 求物体
从 运动到 过程中, F所作的功 。
1?ax 2?bx
解：根据功的定义，有
Jxx d xF d xW b
a
x
x ?
????
?
??????? ?
?
??
???
§ 3—2 动能 动能定理
一、动能
能就是物体作功的能力或作功的本领。
如图，一个运动的物体，能把一个静止的物体
推动一段距离，即运动的物体具有作功的能力。
静止
m
0V
? M
这个运动的物体能做多少功呢？
静止
m
?v
? M 静止
f
s
设两物体之间的相互作用为 f，物体 m推动物体 M，
对其作功，自己作匀减速运动，运动距离 s，最后静
止，不能继续作功，那它作了多少功？
因为
s
mvf
asv
maf
?
??
??
?
?
?
????
? ?
?
?
?
所以物体 m能作的功
?
??
??? mvsfW
运动物体
作功的能力
质量为 m的物体, 以速度 运动, 因运动
具有的作功的能力, 叫动能, 记为, 等于
?
?
?
? mvE k
m v?
kE
v?
二、动能定理
物体在外力作用下，外力对物体作功，速度将发
生变化，即物体的动能也要发生变化，下面研究外力
对物体作功与物体动能的变化的关系。
a
b
?v?
?v?
F?
tF
?
如图，物体 m在合外力 作用下，从 a点运动到 b点F?
a点
?v
? b点
?v
?
合力 作的功F?
?? ??? baba sFrFW dd t??
因为
vmvsF
tvs
t
v
mF
dd
dd
d
d
t
t ??
??
?
?
?
?
?
? ??? vv vmvW d
a
b
?v?
?v?
F?
tF
?完成积分有
?
?
?
? ?
??
?
?? mvmvW
即
??
?
?
?
? ???
??
?
??
kk EEmvmvW
末动能 初动能
结论
合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。
称为动能定理。
动能增量
根据动能定理，当合外力对物体作正功（ W>0)
时，物体的末动能大于初动能，物体的动能增加；
当合外力对物体作负功（ W<0)时，即物体克服外力
作功（物体对外作功），物体的末动能小于初动能，
物体的动能减少。
?v
?
?v
?
动能 状态量
物体作功本领的大小
由物体的状态决定
功 过程量
与物体运动状态的
变化的过程相联系
例题 3–3
例题, 质量 m=1.0kg的物体, 从静止出发在水平面内沿 x
轴运动, 其所受合外力方向与运动方向相同, 合外力大
小为：
求 （ 1） 物体在开始运动的 3m 内, 合力作的功； （ 2）
在 x=3m处, 物体的速度大小 。
xF 23 ??
解,（ 1） 物体在开始运动的 3m 内作的功：
JdxxdxxFW ???????? ? ??? ?? )()(
（ 2）在 x=3m处，物体的速度大小为：
?
?
?? mvW smv /??
例题,质量为 m的质点在外力的作用下，其运动方程为
jtBitAtr ??? ?? s i nco s)( ??,式中 A,B和 ?都是常数，则力
在 到 这段时间内所作的功为（ ）。???t ?? ???t
（ A） )( ??? ?
?
? BAm ? （ B） )( ??? ? BAm ?
（ C） )( ??? ??? ABm ?)( ??? ?
?
? BAm ? （ D）
例题,一个作直线运动的物体, 其速度与时间的变化
曲线如图所示 。 设时刻 t1至 t2间外力作功为 W1； 时刻
t2至 t3间外力作功为 W2； 时刻 t3至 t4间外力作功为 W3，
则：
V
o t1 t2 t3 t4 t
(A) W1>0,W2<0,W3<0; (B)W1>0,W2<0,W3>0;
(C)W1=0,W2<0,W3>0; (D)W1=0,W2<0,W3<0;
§ 3-3 势能
在若干个物体组成的系统，由于系统中各物体间
的相互作用以及相对位置而具有的作功的能力称为势
能。如 The Falls of Niagara
重力
)(
dd
b
a
ba
y
y
yymg
ymgsFW
b
a
??
???? ??
??
一、重力的功及重力的特性 y
x
mg
ay
by
a c
b地球表面质量为 m的物体受
到的地球的吸引力，可看成恒力，
方向向下垂直于地面。如图，物
体在铅直面运动，重力的功
s?
?
h
m g h
m g a bsgmW
?
??? ?co s??
jmgF ?? ??
y
x
mg
ay
by
a c
bd
容易证明
物体沿任意闭合路径 acbda
运动一周重力作的功为零
??
????
??
)()( abba
bdaac bac bd a
yymgyymg
WWW
结论
物体在重力场中沿任意闭合路径运动一
周时, 重力所作的功为零 。
二、重力势能 y
x
ay
by
a
b
在重力场中，物体从 a点
运动到 b点，重力的功为
baab m g ym g yW ??
等于两项之差，每一项仅与位
置有关，而与走过的路径无关。
因此，可以引入势能，将重力的功定义为物体
在 a点和 b点这两个位置的重力势能之差
)( papbpbpaab EEEEW ?????
其中,和 分别表示物体在 a点和 b点时的重力
势能。
paE pbE
重力的功等于势能增量的
负值, 为了确定物体在某一位
置的重力势能, 必须取定势能
的零点；如图, 通常取地面为
势能零点, 则物体在地面以上
高为 h处的势能等于
h
地面
a
地地 appapa WEEE ???
即物体在 a点的重力势能等于物体从 a点移到地面（势
能零点位置）时重力所作的功。容易证明
m g hWE apa ?? 地
ha
地面
a注意
?物体在两个位置的重力势能
之差有绝对意义，但在某一位
置的重力势能只有相对意义；
?重力势能属于质点与地球所组成的系统。
hb
三、保守力和非保守力 一般势能概念
保守力
在力场中，物体从一点移至
另一点，力所作的功仅与物
体的初末位置有关，与路径
无关；
W
或
一个力对沿任意闭合路径运动一周的物体所作的
功为零，则此力称为保守力。
反之，力的功与路径有关，称为非保守力。
abW
对于保守力场，可引入势能
概念。如图，物体在保守力场中
从 a点运动到 b点，有
a
b
)( papbpbpaab EEEEW ????? paE
pbE
其中,,分别为物体在位
置 a和位置 b的势能。pb
EpaE
选定势能零点，任一点物体的势能等于
? ??? ? 零点零点 aapa sFWE ?? d
将证明弹性力、万有引力、静电力为保守力。
四,弹性力的功 弹性势能
)(
dd
??
?
?
?
?
????? ??
ba
x
x
ab
xxk
xkxsFW
b
a
??
o x
ax bx
kxF ??
如图，物体在弹性力的
作用下，从 a点运动到 b点，弹
性力的功为
仅与初末位置有关, 弹性力为保
守力, 可引入弹性势能 。
o x
x
选 ??
poE选弹簧无形变时物体
的位置 （ 即 x=0)为弹性势能
零点, 物体在任意位置的弹
性势能等于
?
?
???? ? kxxkxE
xp
0 d
这样，弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
)(
)(
?? ?
?
?
?
???
ba
papbab
xxk
EEW
五、万有引力的功 引力势能
)(
dd
ba
r
r
ab
rr
mmG
rr
r
mm
GrFW
b
a
?
?
?
???
?
?
????
?
????
????
m
m?
ar
?
br
?
r?d
如图,与 之间有万有
引力，设 远大于 静止不
动,对 的引力为
m?
m?
m
m
m? m
rr mmGF ?? ?? ???
从 a点运动到 b点，引力的功为m
rrrr
rrr
dd ????
?
?? ?
??
??
m
m?
ar
?
br
?仅与初末位置有关，与路径无
关，万有引力为保守力。
可引入引力势能，即
)( papbpbpaab EEEEW ?????
选无穷远点为势能零点，质点 在任一位置的
引力势能 等于
m
pE
m
m?
r?
pE
r
mm
G
rr
r
mm
GE
r
p
?
??
?
?
??
?
?
???
d
??
???E
注意：
? 势能是状态函数,Ep=Ep(x,y,z)；
? 势能是相对的，但其差值与参考点的选择无关；
? 势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的
相互作用和相对位置。
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
一,物体系动能定理
如图，研究若干物
体组成的系统，每一个物
体受系统外的物体的作用
（外力）和系统内物体的
作用（内力）。
1m
2m
?m
?m
看系统中第 i个物体，在一段时间内，速度由
变为,内外力所作的功分别为 及,则
?iv?
iv? )(iW内)(iW外
?,,,)()( ??????????? ??? ivmvmWW iiiiii 内外
将上式对系统内所有物体求和，得
???? ??? ???????
i
ii
i
ii
i
i
i
i vmvmWW )()(
内外
其中
? ?? ???
i
ii vmE k
? ??? ???
i
ii vmE k
物体系的末动能；
物体系的初动能；
结论：
作用于物体系的一切外力及内力的
功的代数和等于物体系动能的增量。
为物体系的动能定理。
二、功能原理
物体系物体之间的内力可能多种多样，总可分为
保守内力 +非保守内力
相应内力的功等于
非保内保内内 WWWi i ??? )( 1
m
2m
?m
?m
?? ???? kk EEWWW 非保内保内外
因此
?i iW )(外 动能增量
?
物体系的动能定理
考虑到保守内力所作的功等于势能增量的负值，即
)( pp ?? ??? EEW 保内
故有
)()( pkpk ???? ????? EEEEWW 非保内外
这里
pk EE ?
称为物体系的机械能。
结论
外力的功与非保守内力的功之
和等于物体系的机械能的增量。
称为功能原理。
三、机械能守恒定律
1m
2m
?m
?m
??外W ??非保内W
如果物体系没有受外力
及非保守内力作用或外力与
非保守内力所作的功均为零，
则有
???? ??? pkpk EEEE
即初末两态物体系的机械能相等，等于一个常量。故
可得出下面重要结论。
或两者的功
均为零
如果物体系没有受外力及非保守内力
作用或外力与非保守内力所作的功均
为零，则物体系的动能与势能可以互
相转换，但它们的总和保持不变
这一结论称为机械能守恒定律。
常量???? ???? pkpk EEEE
在很多情况下，这一定律对求解问题十分有
用。以后将看到这定律一般化就是能量守恒定律。
例题 3–4
例题 3–5
例题 3–6
例题 3–7
四、一维势能曲线
物体（系）的动能和势能是态函数；物体系的
势能是物体系中各物体相对位置的单值函数，相对
位置改变，势能随之变化。如果势能仅是单一位置
参量的函数，就可以画出势能随这一位置参量变化
的曲线，称为一维势能曲线。
例如：弹簧与物体组成的系统
m
k
o
?
?
?? kxE
p
为抛物线的一部分。分析势能曲线，能够得到物体
运动的一些简明又形象的信息，是一种简便的分析
方法。
例：质量为 m的质点沿光滑表面运动，质点运动到 x
处时与最低点 D之间的高差为 。选 点为重力势
能的零点，则 )(xh
)()(p xm g hxE ?
如图，作势能 ~x曲线。
光滑
表面
x
mgxE /)(p
D
DB
CB
)(xh
A
B? C?
稳定平
衡位置
不稳定平
衡位置
x
mgxE /)(p
D
CB
)(xh
A
B? C?
稳定平
衡位置
不稳定平
衡位置
根据势能曲线，分析
质点运动
mgxE /)(B
?总能量为 的质点的运动；
? 稳定平衡位置与非稳定
平衡位置概念；
?BC段质点运动情况
BE
§ 3-5 能量守恒定律
运动形式：机械运动、发声、发光、发热、电磁等；
能量：机械能、热能、光能、电能、化学能、核能等
现代科学证明
各种形式的能量可以互相转换，在转
换过程中一种形式的能量减少多少，其
他形式的能量就增加多少，而能量的总
和保持不变。
这个结论称为能量守恒定律。
Example 3-8:一个质量为 m的质点, 仅受到力, 式中 k>0
为常数, 为某一定点到质点的矢径, 该质点在 处被释放,
由静止开始运动, 求它到达无穷远时的速度大小 。
3r
rkF ?? ?
r?
0rr ???
解：设质点达无穷远时的速度大小
为 V,根据动能原理, 有
0
3
2 1
2
1
0 r
k
r
rdrkmV
r
??? ? ?
??
即：
0
2
mr
kV ?
0r?
??0r?
o
m
Example 3-9：如图，质量为 0.1kg的木块，在水平面上与一个的
倔强系数为 k=20N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长最大压缩
了 0.4m，假设木块与水平面间的滑动磨擦系数为 0.25,问将要发生
碰撞时木块的速度大小为多少？
m V k
0.4m
解：（ 1）选系统：物体 +弹簧
（ 2）受力分析：重力、支持力、
磨擦力和弹性力（保守内力）。
重力和支持力不作功，磨擦力
作功。
（ 3）根据功能原理，有
22
2
1
2
1 mVkxxf ???
磨
考虑到 ?mgf ??磨,可求得 V：
smgxmkxV /,8152
2
??? ?
Example 3-10:两个质量分别为 m1和 m2的物块, 由绕过滑轮的细
绳连接在一起, 如图所示 。 试求当较重的物块落下一段距离 h时,
每个物体的速度和加速度 。
h
解：（ 1）系统,m1,m2和地球
（ 2） 受力分析：重力和绳子的张力 。
张力对 m1和 m2作的功代数和为零, 则
系统的机械能量守恒 。
（ 3）设下降 h后，两物体的速度为本 V，
并选 m1和 m2初始位置为势能零点，则
2
22
2
11 2
1
2
10 VmghmVmghm ????
即：
gh
mm
mmV
21
12 )(2
?
?? （为什么地球不出现在公式中？）
（ 4）设它们的加速度为本，考虑到物体作匀加速运动和 ahV 22 ?
可有
gmm mma
21
12
?
??
h
Example 3-11：如图，质量为 m的物体，从高出弹簧上端 h处由
静止落到竖立放置的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为 k，求弹簧被
压缩的最大距离。
解：（ 1）选系统：地球 +物体 +弹簧；
（ 2）系统的机械能守恒；
2
2
1
m a xm a x kxm g xm g h ???
可解出：
k
m gk hgmmgx
2
842 22 ???
m a x
maxx
h
（ 3） 设弹簧被压缩的最大距离为,选
初始弹簧上端位置为重力势能和弹性势
能的零点, 则
maxx
Example 3-12：如图，质量为 m的物体，从高出弹簧上端 h处
由静止落到竖立放置的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为 k，求物
体可能获得的最大动能。
解：（ 1）选系统：地球 +物体 +弹簧；
（ 2）系统的机械能守恒；
（ 3）当弹簧被压缩的距离为 x时，物体
的速度为 V,选初始弹簧上端位置为重力
势能和弹性势能的零点，则
2
2
1 kxEm g xm g h
k ????
整理有：
m g hm g xkxxEE kk ????? 221)(
显然，有极大值：
k
gmm g hE
k 2
22
??m a x
h
x V
2,掌握保守力作功作功特点及与相关势能
的关系；
3,明确功与能（动能、势能）关系与区别；
4,掌握机械能守恒定律的物理意义及应用
条件,
教学基本要求
§ 3—1 功 功率
§ 3 — 2 动能 动能定律
§ 3 — 3 势能
§ 3 — 2 功能原理 机械能守恒定律
§ 3 — 2 能量守恒定律
在物理学中, 能量是一个非常重要的概念,
1807年 托马斯,扬引入 。 现代科学证明, 本章介绍
的能量守恒是一切变化和自然过程必须遵守的定律 。
功来源于机械工作，于能量密切相关，这章将
从功的引入开始，以能量守恒定律结束。
焦耳 （ J,P,Joule,1818~1889),英国物理学家, 发
现能量守恒及转换定理的
主要代表 。
迈尔（ Robert Mayer,1814~1878),德国物理学
家，医生，第一个提出能量守恒的科学家；
亥姆霍兹（ Hermann Von Helmhotz,
1821~1894)，德国物理学家，生理学家，系统地
论述了能量守恒定理；
§ 3—1 功 功率
一,恒力的功
大家已熟悉功的概念，下面先介绍恒力的功，
随后引入变力的功，后者是学习的重点和难点。
恒力,大小和方向不变F?
?
F?
?
F?
s
a b
?? c os)c os( FssFW ??
?力与运动
方向的夹角
如图, 物体在恒力的作用下, 沿直线从 a点运动
到 b,其位移为, 恒力对物体 （ 质点 ） 所作的功定义
为
s?
?
F?
?
F?
s
a b可写成矢量的形式
sFW ?? ??
显然
?
?
?
?
?
?? ? ????????
??????
????????
?
?
?
?
?
当
当
当
co sFsW
功的单位
在国际单位制，功的单位为焦耳
1焦耳（ 1J） = 1N·m = 1kg·m2/s2.
二、变力的功
如图，质点（研究对象）在变力 沿曲线从 a
点运动到 b点，力作的功等于多少？如何计算？
)(rF ??
ir??
iF
?
i?
a
b
?rΔ?
?rΔ?
方法
将曲线分割成许多小段，
每一段很小，可视为直线
段，相应的位移为
...,...,,irrr ??? ??? ??
在每一段上，质点受力近似看成常矢量
...,...,,iFFF ??? ??
ir??
iF
?
i?
a
b
?rΔ?
?rΔ?
对每一小段，用恒力的功的
定义得力在这段位移上的功
iiiiii rFrFW ?c o s
??? ??????
称为力在位移 中的元功。
ir
??
将元功相加，近似得质点从 a运动到 b点力作的功
ii
ii
i
i rFWW ?? ?????
??
当,力作的功等于函数 沿曲线的线积分? ? ????
ir?m a x? )(rF ??
?? ????? ?? ba
i
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l i m
特殊情形
sFabF
rrFrFW ab
b
a
???
?????
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????? ? )(d
1,在整个路程中, 作用力
为恒力, 有
where
abs ??
a
b
F?
常矢量
mg
52B
2.质点在直线上运动，取为 x轴，
受力沿 x轴方向，有
?? ??? 21 d d xxba xxFrFW )(??
x1 x2
)(xF
x
ixFF ?? )(?
ixr ?? dd ?
所以
注意
质点在直线上运动，力与 x轴成夹角，将力投影。
合力的功
在运动过程，质点受几
个力的作用，合力
????? ???? ??? FFFF
合力的功为
?
?
??????
??
????
???????
??
???
??? ???
?
WWW
rFrFrF
rFW
b
a
b
a
b
a
b
a
ddd
d
即合力的功等于各个分力的功的代数和。
?F
?
?F
?
?F
?
三,功率
功率的单位
VFt rFtWP ??
??
????? d ddd
（请同学自学）
焦耳每秒
称为瓦特，简称瓦，符号 W;
????? JsW
例题 3—1
例题 3—2
例题 一物体在 x轴上运动, 受到力 F=-5x的作用, 求物体
从 运动到 过程中, F所作的功 。
1?ax 2?bx
解：根据功的定义，有
Jxx d xF d xW b
a
x
x ?
????
?
??????? ?
?
??
???
§ 3—2 动能 动能定理
一、动能
能就是物体作功的能力或作功的本领。
如图，一个运动的物体，能把一个静止的物体
推动一段距离，即运动的物体具有作功的能力。
静止
m
0V
? M
这个运动的物体能做多少功呢？
静止
m
?v
? M 静止
f
s
设两物体之间的相互作用为 f，物体 m推动物体 M，
对其作功，自己作匀减速运动，运动距离 s，最后静
止，不能继续作功，那它作了多少功？
因为
s
mvf
asv
maf
?
??
??
?
?
?
????
? ?
?
?
?
所以物体 m能作的功
?
??
??? mvsfW
运动物体
作功的能力
质量为 m的物体, 以速度 运动, 因运动
具有的作功的能力, 叫动能, 记为, 等于
?
?
?
? mvE k
m v?
kE
v?
二、动能定理
物体在外力作用下，外力对物体作功，速度将发
生变化，即物体的动能也要发生变化，下面研究外力
对物体作功与物体动能的变化的关系。
a
b
?v?
?v?
F?
tF
?
如图，物体 m在合外力 作用下，从 a点运动到 b点F?
a点
?v
? b点
?v
?
合力 作的功F?
?? ??? baba sFrFW dd t??
因为
vmvsF
tvs
t
v
mF
dd
dd
d
d
t
t ??
??
?
?
?
?
?
? ??? vv vmvW d
a
b
?v?
?v?
F?
tF
?完成积分有
?
?
?
? ?
??
?
?? mvmvW
即
??
?
?
?
? ???
??
?
??
kk EEmvmvW
末动能 初动能
结论
合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。
称为动能定理。
动能增量
根据动能定理，当合外力对物体作正功（ W>0)
时，物体的末动能大于初动能，物体的动能增加；
当合外力对物体作负功（ W<0)时，即物体克服外力
作功（物体对外作功），物体的末动能小于初动能，
物体的动能减少。
?v
?
?v
?
动能 状态量
物体作功本领的大小
由物体的状态决定
功 过程量
与物体运动状态的
变化的过程相联系
例题 3–3
例题, 质量 m=1.0kg的物体, 从静止出发在水平面内沿 x
轴运动, 其所受合外力方向与运动方向相同, 合外力大
小为：
求 （ 1） 物体在开始运动的 3m 内, 合力作的功； （ 2）
在 x=3m处, 物体的速度大小 。
xF 23 ??
解,（ 1） 物体在开始运动的 3m 内作的功：
JdxxdxxFW ???????? ? ??? ?? )()(
（ 2）在 x=3m处，物体的速度大小为：
?
?
?? mvW smv /??
例题,质量为 m的质点在外力的作用下，其运动方程为
jtBitAtr ??? ?? s i nco s)( ??,式中 A,B和 ?都是常数，则力
在 到 这段时间内所作的功为（ ）。???t ?? ???t
（ A） )( ??? ?
?
? BAm ? （ B） )( ??? ? BAm ?
（ C） )( ??? ??? ABm ?)( ??? ?
?
? BAm ? （ D）
例题,一个作直线运动的物体, 其速度与时间的变化
曲线如图所示 。 设时刻 t1至 t2间外力作功为 W1； 时刻
t2至 t3间外力作功为 W2； 时刻 t3至 t4间外力作功为 W3，
则：
V
o t1 t2 t3 t4 t
(A) W1>0,W2<0,W3<0; (B)W1>0,W2<0,W3>0;
(C)W1=0,W2<0,W3>0; (D)W1=0,W2<0,W3<0;
§ 3-3 势能
在若干个物体组成的系统，由于系统中各物体间
的相互作用以及相对位置而具有的作功的能力称为势
能。如 The Falls of Niagara
重力
)(
dd
b
a
ba
y
y
yymg
ymgsFW
b
a
??
???? ??
??
一、重力的功及重力的特性 y
x
mg
ay
by
a c
b地球表面质量为 m的物体受
到的地球的吸引力，可看成恒力，
方向向下垂直于地面。如图，物
体在铅直面运动，重力的功
s?
?
h
m g h
m g a bsgmW
?
??? ?co s??
jmgF ?? ??
y
x
mg
ay
by
a c
bd
容易证明
物体沿任意闭合路径 acbda
运动一周重力作的功为零
??
????
??
)()( abba
bdaac bac bd a
yymgyymg
WWW
结论
物体在重力场中沿任意闭合路径运动一
周时, 重力所作的功为零 。
二、重力势能 y
x
ay
by
a
b
在重力场中，物体从 a点
运动到 b点，重力的功为
baab m g ym g yW ??
等于两项之差，每一项仅与位
置有关，而与走过的路径无关。
因此，可以引入势能，将重力的功定义为物体
在 a点和 b点这两个位置的重力势能之差
)( papbpbpaab EEEEW ?????
其中,和 分别表示物体在 a点和 b点时的重力
势能。
paE pbE
重力的功等于势能增量的
负值, 为了确定物体在某一位
置的重力势能, 必须取定势能
的零点；如图, 通常取地面为
势能零点, 则物体在地面以上
高为 h处的势能等于
h
地面
a
地地 appapa WEEE ???
即物体在 a点的重力势能等于物体从 a点移到地面（势
能零点位置）时重力所作的功。容易证明
m g hWE apa ?? 地
ha
地面
a注意
?物体在两个位置的重力势能
之差有绝对意义，但在某一位
置的重力势能只有相对意义；
?重力势能属于质点与地球所组成的系统。
hb
三、保守力和非保守力 一般势能概念
保守力
在力场中，物体从一点移至
另一点，力所作的功仅与物
体的初末位置有关，与路径
无关；
W
或
一个力对沿任意闭合路径运动一周的物体所作的
功为零，则此力称为保守力。
反之，力的功与路径有关，称为非保守力。
abW
对于保守力场，可引入势能
概念。如图，物体在保守力场中
从 a点运动到 b点，有
a
b
)( papbpbpaab EEEEW ????? paE
pbE
其中,,分别为物体在位
置 a和位置 b的势能。pb
EpaE
选定势能零点，任一点物体的势能等于
? ??? ? 零点零点 aapa sFWE ?? d
将证明弹性力、万有引力、静电力为保守力。
四,弹性力的功 弹性势能
)(
dd
??
?
?
?
?
????? ??
ba
x
x
ab
xxk
xkxsFW
b
a
??
o x
ax bx
kxF ??
如图，物体在弹性力的
作用下，从 a点运动到 b点，弹
性力的功为
仅与初末位置有关, 弹性力为保
守力, 可引入弹性势能 。
o x
x
选 ??
poE选弹簧无形变时物体
的位置 （ 即 x=0)为弹性势能
零点, 物体在任意位置的弹
性势能等于
?
?
???? ? kxxkxE
xp
0 d
这样，弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
)(
)(
?? ?
?
?
?
???
ba
papbab
xxk
EEW
五、万有引力的功 引力势能
)(
dd
ba
r
r
ab
rr
mmG
rr
r
mm
GrFW
b
a
?
?
?
???
?
?
????
?
????
????
m
m?
ar
?
br
?
r?d
如图,与 之间有万有
引力，设 远大于 静止不
动,对 的引力为
m?
m?
m
m
m? m
rr mmGF ?? ?? ???
从 a点运动到 b点，引力的功为m
rrrr
rrr
dd ????
?
?? ?
??
??
m
m?
ar
?
br
?仅与初末位置有关，与路径无
关，万有引力为保守力。
可引入引力势能，即
)( papbpbpaab EEEEW ?????
选无穷远点为势能零点，质点 在任一位置的
引力势能 等于
m
pE
m
m?
r?
pE
r
mm
G
rr
r
mm
GE
r
p
?
??
?
?
??
?
?
???
d
??
???E
注意：
? 势能是状态函数,Ep=Ep(x,y,z)；
? 势能是相对的，但其差值与参考点的选择无关；
? 势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的
相互作用和相对位置。
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
一,物体系动能定理
如图，研究若干物
体组成的系统，每一个物
体受系统外的物体的作用
（外力）和系统内物体的
作用（内力）。
1m
2m
?m
?m
看系统中第 i个物体，在一段时间内，速度由
变为,内外力所作的功分别为 及,则
?iv?
iv? )(iW内)(iW外
?,,,)()( ??????????? ??? ivmvmWW iiiiii 内外
将上式对系统内所有物体求和，得
???? ??? ???????
i
ii
i
ii
i
i
i
i vmvmWW )()(
内外
其中
? ?? ???
i
ii vmE k
? ??? ???
i
ii vmE k
物体系的末动能；
物体系的初动能；
结论：
作用于物体系的一切外力及内力的
功的代数和等于物体系动能的增量。
为物体系的动能定理。
二、功能原理
物体系物体之间的内力可能多种多样，总可分为
保守内力 +非保守内力
相应内力的功等于
非保内保内内 WWWi i ??? )( 1
m
2m
?m
?m
?? ???? kk EEWWW 非保内保内外
因此
?i iW )(外 动能增量
?
物体系的动能定理
考虑到保守内力所作的功等于势能增量的负值，即
)( pp ?? ??? EEW 保内
故有
)()( pkpk ???? ????? EEEEWW 非保内外
这里
pk EE ?
称为物体系的机械能。
结论
外力的功与非保守内力的功之
和等于物体系的机械能的增量。
称为功能原理。
三、机械能守恒定律
1m
2m
?m
?m
??外W ??非保内W
如果物体系没有受外力
及非保守内力作用或外力与
非保守内力所作的功均为零，
则有
???? ??? pkpk EEEE
即初末两态物体系的机械能相等，等于一个常量。故
可得出下面重要结论。
或两者的功
均为零
如果物体系没有受外力及非保守内力
作用或外力与非保守内力所作的功均
为零，则物体系的动能与势能可以互
相转换，但它们的总和保持不变
这一结论称为机械能守恒定律。
常量???? ???? pkpk EEEE
在很多情况下，这一定律对求解问题十分有
用。以后将看到这定律一般化就是能量守恒定律。
例题 3–4
例题 3–5
例题 3–6
例题 3–7
四、一维势能曲线
物体（系）的动能和势能是态函数；物体系的
势能是物体系中各物体相对位置的单值函数，相对
位置改变，势能随之变化。如果势能仅是单一位置
参量的函数，就可以画出势能随这一位置参量变化
的曲线，称为一维势能曲线。
例如：弹簧与物体组成的系统
m
k
o
?
?
?? kxE
p
为抛物线的一部分。分析势能曲线，能够得到物体
运动的一些简明又形象的信息，是一种简便的分析
方法。
例：质量为 m的质点沿光滑表面运动，质点运动到 x
处时与最低点 D之间的高差为 。选 点为重力势
能的零点，则 )(xh
)()(p xm g hxE ?
如图，作势能 ~x曲线。
光滑
表面
x
mgxE /)(p
D
DB
CB
)(xh
A
B? C?
稳定平
衡位置
不稳定平
衡位置
x
mgxE /)(p
D
CB
)(xh
A
B? C?
稳定平
衡位置
不稳定平
衡位置
根据势能曲线，分析
质点运动
mgxE /)(B
?总能量为 的质点的运动；
? 稳定平衡位置与非稳定
平衡位置概念；
?BC段质点运动情况
BE
§ 3-5 能量守恒定律
运动形式：机械运动、发声、发光、发热、电磁等；
能量：机械能、热能、光能、电能、化学能、核能等
现代科学证明
各种形式的能量可以互相转换，在转
换过程中一种形式的能量减少多少，其
他形式的能量就增加多少，而能量的总
和保持不变。
这个结论称为能量守恒定律。
Example 3-8:一个质量为 m的质点, 仅受到力, 式中 k>0
为常数, 为某一定点到质点的矢径, 该质点在 处被释放,
由静止开始运动, 求它到达无穷远时的速度大小 。
3r
rkF ?? ?
r?
0rr ???
解：设质点达无穷远时的速度大小
为 V,根据动能原理, 有
0
3
2 1
2
1
0 r
k
r
rdrkmV
r
??? ? ?
??
即：
0
2
mr
kV ?
0r?
??0r?
o
m
Example 3-9：如图，质量为 0.1kg的木块，在水平面上与一个的
倔强系数为 k=20N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长最大压缩
了 0.4m，假设木块与水平面间的滑动磨擦系数为 0.25,问将要发生
碰撞时木块的速度大小为多少？
m V k
0.4m
解：（ 1）选系统：物体 +弹簧
（ 2）受力分析：重力、支持力、
磨擦力和弹性力（保守内力）。
重力和支持力不作功，磨擦力
作功。
（ 3）根据功能原理，有
22
2
1
2
1 mVkxxf ???
磨
考虑到 ?mgf ??磨,可求得 V：
smgxmkxV /,8152
2
??? ?
Example 3-10:两个质量分别为 m1和 m2的物块, 由绕过滑轮的细
绳连接在一起, 如图所示 。 试求当较重的物块落下一段距离 h时,
每个物体的速度和加速度 。
h
解：（ 1）系统,m1,m2和地球
（ 2） 受力分析：重力和绳子的张力 。
张力对 m1和 m2作的功代数和为零, 则
系统的机械能量守恒 。
（ 3）设下降 h后，两物体的速度为本 V，
并选 m1和 m2初始位置为势能零点，则
2
22
2
11 2
1
2
10 VmghmVmghm ????
即：
gh
mm
mmV
21
12 )(2
?
?? （为什么地球不出现在公式中？）
（ 4）设它们的加速度为本，考虑到物体作匀加速运动和 ahV 22 ?
可有
gmm mma
21
12
?
??
h
Example 3-11：如图，质量为 m的物体，从高出弹簧上端 h处由
静止落到竖立放置的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为 k，求弹簧被
压缩的最大距离。
解：（ 1）选系统：地球 +物体 +弹簧；
（ 2）系统的机械能守恒；
2
2
1
m a xm a x kxm g xm g h ???
可解出：
k
m gk hgmmgx
2
842 22 ???
m a x
maxx
h
（ 3） 设弹簧被压缩的最大距离为,选
初始弹簧上端位置为重力势能和弹性势
能的零点, 则
maxx
Example 3-12：如图，质量为 m的物体，从高出弹簧上端 h处
由静止落到竖立放置的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为 k，求物
体可能获得的最大动能。
解：（ 1）选系统：地球 +物体 +弹簧；
（ 2）系统的机械能守恒；
（ 3）当弹簧被压缩的距离为 x时，物体
的速度为 V,选初始弹簧上端位置为重力
势能和弹性势能的零点，则
2
2
1 kxEm g xm g h
k ????
整理有：
m g hm g xkxxEE kk ????? 221)(
显然，有极大值：
k
gmm g hE
k 2
22
??m a x
h
x V
