? 明确冲量是力对时间的积累效应，掌握动量原
理，注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。
? 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的
情况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大
于外力时的情况。
? 会用动量守恒定律、机械能守恒定律（或功能
原理）解决碰撞等质点在平面内运动的力学问
题。
? 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力
对定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。
教学基本要求
§ 4 – 4 质点对定点的角动量
角动量守恒定律
§ 4–1 动量 冲量 动量原理
§ 4 – 2 动量守恒定律
§ 4 – 3 碰撞
笛卡尔,Rone Descartes,1596~1650,法国哲
学家, 物理学家, 数学家和生理学家, 解析几何的创
始人 。 他论述了动量守恒问题, 提出宇宙永远保持着
同量的运动, 对碰撞问题做过深入研究 。 （ 注,在牛
顿力学以前, 碰撞问题的研究和动量守恒定律的发现,
为建立作用与反作用定理准备了一定的条件 ）
是以机械运动来量度机械运动本身, 而
动能是以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的
能力来量度；,在这里是代表简单的机械运动
的转移, 即持续的机械运动的量度, 而动能则是已消
灭的机械运动的量度 。
vmp ?? ?
vmp ?? ?
动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且还适
用于微观物体，是物理学中最重要的定律。
§ 4–1 动量 冲量 动量原理
m
v?
vmp ?? ?
矢量，与速
度方向相同
动量的定义
物体的质量和它的速度的乘积称为物体的动量，即
牛顿第二定律的最初形式
t
vm
t
pF
d
)(d
d
d ??? ??
即物体的动量的改变率等于物体受的合外力。上式中，
质量不变就变成常见的牛顿第二定律形式。
amtvmF ?
??
?? dd
常量?m
将上式写为
tFp dd ?? ?
在两边对时间从 到 积分有?t ?t
??? ?? 21tt d tFpp ???
引入冲量
? ??? tt tFI d??
称为力 在从时刻 到 的时间内的冲量。F? ?t ?t
因此
???? ????? ?
?
?
ppvmvmtFI tt ?????? d
即力在某一时间内的冲量等于物体在这段时间内的动
量的增量, 这一结论称为动量定理 。
xx
t
t xx mvmvtFI ?? ??? ?
?
?
d yytt yy mvmvtFI ?? ??? ? ?
?
d
讨论
?动量定理的分量形式（二维）
? 平均力。常用动量定理研究物体的碰撞、打击
等，两物体碰撞，作用时间短，相互作用力变
化剧烈，常引入平均力来处理这类问题。
两球碰撞 t2o tt1
F
F
F(t)
t2o tt1
F
F
F(t)平均力
? ??
?? ?
?? t
t
tFttF dxx ?
?
??? ?
?? t
t
tFttF dyy
用平均力表示，冲量为
? ????? ?? tt tFttFI d)( xxx ? ????? ?? tt tFttFI d)( yyy
则动量定理可表为
xxxxx )( ???? ????? ?
?
?
mvmvttFtFI tt d
yyyyy )( ???? ????? ?
?
?
mvmvttFtFI tt d
由上式可知, 引起相同的动量改变, 相互作
用时间愈短, 平均力愈大 。
两物体碰撞, 作用时间短, 相互作用力大, 变
化剧烈, 在处理时, 常可忽略外力, 如重力 。
工件
锤
可忽略
重力
例题 4–1
例题,如图, 两质量分别为 mA和 mB木块并排放置在光滑
的水平面上, 一子弹水平地穿过两木块, 设子弹穿过两
木块所用的时间分别为 tA和 tB,木块对子弹的阻力为
恒力 F,求子弹穿出后两木块的速度大小 。
A
B
子弹
解：（ 1）设子弹穿过 A后两物块的速度为 VA，则：
ABAA VmmFt )( ??
（ 2）设子弹穿过 B后物块 B
的速度为 VB，则：
ABBBB VmVmFt ??
BA
A
A mm
FtV
??
B
B
BA
A
B m
Ft
mm
FtV ?
??
例题,一质量为 m的物体, 以初速度 V0从地面抛出, 抛射角
为 ?=30?,不计空气阻力, 则从抛出到接触地面的过程中,
物体动量增量的大小为, 方向为 。
解：因为 |||| VV ?? ?
0
P??
0P
?
P?
则：
0mVP ?? ||
?,方向竖直向下。
0V
?
V?
例题,图示为一圆锥摆，质量为 m 的小球在水平面内以角
速度 ?匀速转动，在小球转动一周的过程中，小球动量的
增量的大小等于,所受重力的冲量的大小等
于,所受绳子张力的冲量的大小等
于,
解：（ 1） 小球动量的增量的大小等于 0 。
（ 2）所受重力的冲量的大小等于：
?
?
?
? mgmgtmgI
g
22 ?????
（ 2）所受绳子张力的冲量的大小
等于：
?
? mgI
T
2?
方向？
方向？
§ 4-2 动量守恒定律
在质点动量原理的基础上, 本节将讨论两个
或两个以上物体组成的系统的动量原理并由此导出
动量守恒定律 。 以两个物体为例 。
一、系统的动量定理
??F
?
??F
?
1F
? 2F
?
1m
2m
物体 和,如图
?m ?m
外力
?? FF
??
内力 ???? FF ??
时刻，两物体速度?t ???? vv ??
时刻，两物体速度t ?? vv ??
对两个物体应用动量定理
???????? ????
?
vmvmtFFtt ???? d)(
???????? ????
?
vmvmtFFtt ???? d)(
作用与
反作用
利用牛顿第三定律
上面两式相加有
??? ???? FF ??
??F
?
??F
?
1F
? 2F
?
1m
2m
)()()( ???????????? ??????
?
vmvmvmvmtFFtt ?????? d
总动量合外力
合外力的冲量等于系统的总动量的增量，这一结论
称为系统的动量定理。
二、动量守恒定律
??F
?
??F
?
1m
2m
如果作用于系统的合
外力为零或没有受到外力
的作用，由系统动量定理
有
?????????? ??? vmvmvmvm
????
则系统的总动量在运动过程中保持不变，这一结论
称为动量守恒定律。推广到两个以上的物体，即
?? ??
i
ii
i
ii vmvm
??
讨论
?分量形式
? ??xiF ?? ?? i iii ii vmvm xx
? ??yiF ?? ??
i
ii
i
ii vmvm yy
上式表明, 即使系统所受合外力不为零, 但
如果合外力在某一方向上的分量为零, 则系
统在该方向的分量也是守恒的 。
?有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，
但合外力（或它在某方向上的分量）比系统内
物体的相互作用力（或内力在该方向上的分量）
小得多而可忽略时，系统的总动量（或动量在
该方向的分量）仍可认为是守恒的。
?所有物理量必须相对于同一惯性系。
?动量守恒定律是物理学上一个重要而又具有普
适性的定律。
例题 4–2
例题 4–3
例题：空中有一气球, 下连一绳梯, 质量共为 M；在梯
上站一质量为 m的人 。 起始时气球和人均相对于地面静
止, 当人相对于绳梯以速度 V向上爬时, 气球的速度为
多少？
M
m,V
解,（ 1） 受力分析：重力和
浮力相抵消, 竖直方向动量
守恒；
（ 2）设气球相对于地面的速
度为 u,在地球坐标系中应用动
量守恒定理：
)(0 VumMu ??? mM
mVu
?
??
例题：质量为 M的物体 A静止于水平面上，它于平面之
间的滑动摩擦系数为 ?，另一质量为 m的子弹 B沿水平方
向向右以速度 V射入 A，求物体 A在水平面滑过的距离 L。
M
L
m V
解：（ 1）子弹射入过程看成为两物体的碰撞，水平方向
有摩擦力，但相对两物体的冲击力，不计它的影响，则
umMmV )( ??
（ 2）对滑动过程，应用功能原理：
2
22
)()(2
10)(
mM
VmMmLgMm
?????? ?
mM
mVu
??
2
22
)(2 Mmg
VmL
?
?
?
§ 4–3 碰撞
一、碰撞
两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们
的运动状态在极短的时间内发生了显著的变化，物
理学上称这种相互作用为碰撞。碰撞的物体可以直
接接触，也可以不直接接触。
非接触接触
碰撞的共同规律：
在碰撞过程中，碰撞物体间的相互作用力 >>外
力，所以外力可以忽略不计，碰撞物体组成的系统
动量守恒。
常量系统总动量 ?
My God!
从能量是否守恒，碰撞可分为
? 完全弹性碰撞 —机械能守恒，如两个刚性小球
在水平面上的碰撞；
? 非弹性碰撞 —机械能（动能）不守恒。如两个
物体碰撞后结合在一起，并以同一速度运动，
能量一定不守恒，这种碰撞称为完全非弹性碰
撞；
二、对心碰撞（一维碰撞）
如图，两球碰撞前后都在同一条直线上运
动，这种碰撞叫对心碰撞。
又可分为 —完全弹性、非弹性和完全非弹性。
两物体 —m1 m2，两心连线为 x轴
碰撞前速度
???? vv
碰撞后速度 ?? vv
由动量守恒，可有
?????????? ??? vmvmvmvm
x
可分几种情况深入讨论，请同学完成。
二、二维完全弹性碰撞）
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
?1
?2
如果两球碰撞后不是沿一条直线运动，这
种碰撞称为非对心碰撞，亦称斜碰撞 或二维碰
撞。
三点说明
?通常，物体 m2碰前静止（ ），又叫靶；
????v
? 物体 m1叫抛射体，碰前，两球球心连线与物体
m1的运动方向不共线；
?常选物体 m1碰前的运动方向为 x轴正向。
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
x
y
?1
?2
如果为完全弹性碰撞, 能量守恒, 有
????????? ?? ?? c o sc o s vmvmvm
x轴
y轴
?????? ??? ?? s i ns i n vmvm
?
??
?
??
?
??? ?
??
?
??
?
? vmvmvm
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
x
y
?1
?2
动量守恒
例题 4–4
例题,如图所示, 质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下
滑, 与放在轨道水平面端点 P处的静止的小球 B发生弹
性碰撞, B的质量为 mB,A,B两球碰后同时落在水平地
面上 。 如果 A,B两球的落地点距 P点正下方 O点的距离
之比 LA/LB=2/5,求它们的质量比 mA/mB.
A
A
B
BO
P
LA
LB
解：（ 1）全过程可分为：
A下降,A与 B碰撞和 A,B
下落。
（ 2） 设 A与 B碰撞前的
速度为 VA0,碰后它们的速
度分别为 VA和 VB,则
BBAAAA VmVmVm ??0
222
0 2
1
2
1
2
1
BBAAAA VmVmVm ??
可解出：
0A
BA
BA
A Vmm
mmV
?
??
BA
AA
B mm
VmV
??
02
（ 3）因两球下落时间相同，即
B
B
A
A
V
L
V
L ?,因此有：
5
2??
B
A
B
A
L
L
V
V
5?
B
A
m
m
A
A
B
BO
P
LA
LB
例题 设两个质量完全相等的粒子在 x-y平面内发生弹
性碰撞, 而且作为靶的粒子原来是静止的, 试证明两
粒子碰撞后的速度互相垂直 。
解：因为 m1=m2,由动
量和能量守恒, 可得：
221211 VmVmVm
??? ??
221211 VVV
??? ??
和
222212211 VVV ??
可见：
2212 VV
?? ?
11V
?
12V
?
22V
?
§ 4-4 质点的角动量和角动量守恒定律
在这小节中，引入角动量概念，介绍角
动量守恒定律。
质点对定点的角动量和角动量守恒定律
对解决有心力场中质点的运动问题十分方便,
同时也是下一章相关概念和定律的基础 。
一、质点对一点的角动量
vmrprL ????? ????
质点对定点的角动量 （ 仅讨论平面运动 ）
o,为平面上一定点 质点 vmpr ??? ?
与质点动量 的矢积 （ 叉乘 ） 定义为质点相
对于 o点的角动量或动量矩, 记为, 即
r? p?
L?
r?
v?
?
L?
o
P
角动量的大小为：
L = p r sin? = m v r sin?
方向：垂直于 与 所决定的平面, 其指向由 到 的
右手螺旋法则确定的方向, 如图所示 。
r? r?p? p?
r?
v?
?
L?
o
P
特例
质点绕 o点作圆周运动，如图，有
o r? v
?
L?
m r vrpL ??
方向与质点绕向构
成右手螺旋法则 。
P
二、力对一点的力矩
r?
?
M?
o
P
F?
力 作用于质点，位于质点运动所在的平
面，它对定点 o的力矩 定义为
F?
M?
FrM ??? ??
如图，大小为
?s i nFrM ?
方向由右手螺旋法
则确定。
常称为力臂。
r?
?
M?
o F?
d
dFFrM ?? ?s i n
力臂
?s i nrd ?
P
三、质点的角动量定理 和角动量守恒定律
质点在力的作用下，在平面上运动，速度和位
置随时间变化，即对定点的角动量随时间变化；下
面找出角动量随时间变化满足的规律。
r?o
P
F?
v?
由牛顿第二定律
t
pF
d
d?? ?
用 从左侧叉乘上式两边有
t
prFr
d
d ???? ???
r?
FrM ??? ??
prL ??? ??对 两边求时间的导数
M
t
p
r
p
t
r
t
p
r
t
L
?
?
?
?
??
?
?
?
??
????
d
d
d
d
d
d
d
d
????? vvmpv ????
因此，有
t
LM
d
d ?? ?
对点 o的力矩
角动量随时间
的变化率
显然，如果合力 对点 o的力矩,则有F? ??M?
常矢量????? vmrprL ?????
这一结论称为质点的角动量守恒定律。
结论
作用于质点的合力对点 o的力矩等于质点对点 o
的角动量对时间的导数，称为质点的角动量定
理,亦称为牛顿第二定律的角量形式。
特例：如果一个力的方向永远指向空间的一定点,
这种 力就称为有心力, 该定点则称为力心 。 因为有
心力对其力心的力矩为零, 故质点在有心力的作用
下运动时, 对其力心的角动量是守恒的 。
万有引力即为此类力，有角动量守恒可得出有
关行星运动定理 开普勒第二行星运动定律。
L?
r? v?
?
o
F?
例题 4–5
例题 4–6
例题 4– 地球的质量为 m, 太阳的质量为 M,地心与
日心的距离为 R,引力常数为 G。 求地球绕太阳作圆
周运动的轨道角动量 （ 对日心 ） 。 膸
解：如图，对日心，地球作圆周运动，则：
VmRL ??? ??
又因：
2
2
R
mMG
R
Vm ?
R
GMV ?
因此：
G R MmL ?
R
理，注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。
? 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的
情况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大
于外力时的情况。
? 会用动量守恒定律、机械能守恒定律（或功能
原理）解决碰撞等质点在平面内运动的力学问
题。
? 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力
对定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。
教学基本要求
§ 4 – 4 质点对定点的角动量
角动量守恒定律
§ 4–1 动量 冲量 动量原理
§ 4 – 2 动量守恒定律
§ 4 – 3 碰撞
笛卡尔,Rone Descartes,1596~1650,法国哲
学家, 物理学家, 数学家和生理学家, 解析几何的创
始人 。 他论述了动量守恒问题, 提出宇宙永远保持着
同量的运动, 对碰撞问题做过深入研究 。 （ 注,在牛
顿力学以前, 碰撞问题的研究和动量守恒定律的发现,
为建立作用与反作用定理准备了一定的条件 ）
是以机械运动来量度机械运动本身, 而
动能是以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的
能力来量度；,在这里是代表简单的机械运动
的转移, 即持续的机械运动的量度, 而动能则是已消
灭的机械运动的量度 。
vmp ?? ?
vmp ?? ?
动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且还适
用于微观物体，是物理学中最重要的定律。
§ 4–1 动量 冲量 动量原理
m
v?
vmp ?? ?
矢量，与速
度方向相同
动量的定义
物体的质量和它的速度的乘积称为物体的动量，即
牛顿第二定律的最初形式
t
vm
t
pF
d
)(d
d
d ??? ??
即物体的动量的改变率等于物体受的合外力。上式中，
质量不变就变成常见的牛顿第二定律形式。
amtvmF ?
??
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常量?m
将上式写为
tFp dd ?? ?
在两边对时间从 到 积分有?t ?t
??? ?? 21tt d tFpp ???
引入冲量
? ??? tt tFI d??
称为力 在从时刻 到 的时间内的冲量。F? ?t ?t
因此
???? ????? ?
?
?
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即力在某一时间内的冲量等于物体在这段时间内的动
量的增量, 这一结论称为动量定理 。
xx
t
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?
?
d yytt yy mvmvtFI ?? ??? ? ?
?
d
讨论
?动量定理的分量形式（二维）
? 平均力。常用动量定理研究物体的碰撞、打击
等，两物体碰撞，作用时间短，相互作用力变
化剧烈，常引入平均力来处理这类问题。
两球碰撞 t2o tt1
F
F
F(t)
t2o tt1
F
F
F(t)平均力
? ??
?? ?
?? t
t
tFttF dxx ?
?
??? ?
?? t
t
tFttF dyy
用平均力表示，冲量为
? ????? ?? tt tFttFI d)( xxx ? ????? ?? tt tFttFI d)( yyy
则动量定理可表为
xxxxx )( ???? ????? ?
?
?
mvmvttFtFI tt d
yyyyy )( ???? ????? ?
?
?
mvmvttFtFI tt d
由上式可知, 引起相同的动量改变, 相互作
用时间愈短, 平均力愈大 。
两物体碰撞, 作用时间短, 相互作用力大, 变
化剧烈, 在处理时, 常可忽略外力, 如重力 。
工件
锤
可忽略
重力
例题 4–1
例题,如图, 两质量分别为 mA和 mB木块并排放置在光滑
的水平面上, 一子弹水平地穿过两木块, 设子弹穿过两
木块所用的时间分别为 tA和 tB,木块对子弹的阻力为
恒力 F,求子弹穿出后两木块的速度大小 。
A
B
子弹
解：（ 1）设子弹穿过 A后两物块的速度为 VA，则：
ABAA VmmFt )( ??
（ 2）设子弹穿过 B后物块 B
的速度为 VB，则：
ABBBB VmVmFt ??
BA
A
A mm
FtV
??
B
B
BA
A
B m
Ft
mm
FtV ?
??
例题,一质量为 m的物体, 以初速度 V0从地面抛出, 抛射角
为 ?=30?,不计空气阻力, 则从抛出到接触地面的过程中,
物体动量增量的大小为, 方向为 。
解：因为 |||| VV ?? ?
0
P??
0P
?
P?
则：
0mVP ?? ||
?,方向竖直向下。
0V
?
V?
例题,图示为一圆锥摆，质量为 m 的小球在水平面内以角
速度 ?匀速转动，在小球转动一周的过程中，小球动量的
增量的大小等于,所受重力的冲量的大小等
于,所受绳子张力的冲量的大小等
于,
解：（ 1） 小球动量的增量的大小等于 0 。
（ 2）所受重力的冲量的大小等于：
?
?
?
? mgmgtmgI
g
22 ?????
（ 2）所受绳子张力的冲量的大小
等于：
?
? mgI
T
2?
方向？
方向？
§ 4-2 动量守恒定律
在质点动量原理的基础上, 本节将讨论两个
或两个以上物体组成的系统的动量原理并由此导出
动量守恒定律 。 以两个物体为例 。
一、系统的动量定理
??F
?
??F
?
1F
? 2F
?
1m
2m
物体 和,如图
?m ?m
外力
?? FF
??
内力 ???? FF ??
时刻，两物体速度?t ???? vv ??
时刻，两物体速度t ?? vv ??
对两个物体应用动量定理
???????? ????
?
vmvmtFFtt ???? d)(
???????? ????
?
vmvmtFFtt ???? d)(
作用与
反作用
利用牛顿第三定律
上面两式相加有
??? ???? FF ??
??F
?
??F
?
1F
? 2F
?
1m
2m
)()()( ???????????? ??????
?
vmvmvmvmtFFtt ?????? d
总动量合外力
合外力的冲量等于系统的总动量的增量，这一结论
称为系统的动量定理。
二、动量守恒定律
??F
?
??F
?
1m
2m
如果作用于系统的合
外力为零或没有受到外力
的作用，由系统动量定理
有
?????????? ??? vmvmvmvm
????
则系统的总动量在运动过程中保持不变，这一结论
称为动量守恒定律。推广到两个以上的物体，即
?? ??
i
ii
i
ii vmvm
??
讨论
?分量形式
? ??xiF ?? ?? i iii ii vmvm xx
? ??yiF ?? ??
i
ii
i
ii vmvm yy
上式表明, 即使系统所受合外力不为零, 但
如果合外力在某一方向上的分量为零, 则系
统在该方向的分量也是守恒的 。
?有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，
但合外力（或它在某方向上的分量）比系统内
物体的相互作用力（或内力在该方向上的分量）
小得多而可忽略时，系统的总动量（或动量在
该方向的分量）仍可认为是守恒的。
?所有物理量必须相对于同一惯性系。
?动量守恒定律是物理学上一个重要而又具有普
适性的定律。
例题 4–2
例题 4–3
例题：空中有一气球, 下连一绳梯, 质量共为 M；在梯
上站一质量为 m的人 。 起始时气球和人均相对于地面静
止, 当人相对于绳梯以速度 V向上爬时, 气球的速度为
多少？
M
m,V
解,（ 1） 受力分析：重力和
浮力相抵消, 竖直方向动量
守恒；
（ 2）设气球相对于地面的速
度为 u,在地球坐标系中应用动
量守恒定理：
)(0 VumMu ??? mM
mVu
?
??
例题：质量为 M的物体 A静止于水平面上，它于平面之
间的滑动摩擦系数为 ?，另一质量为 m的子弹 B沿水平方
向向右以速度 V射入 A，求物体 A在水平面滑过的距离 L。
M
L
m V
解：（ 1）子弹射入过程看成为两物体的碰撞，水平方向
有摩擦力，但相对两物体的冲击力，不计它的影响，则
umMmV )( ??
（ 2）对滑动过程，应用功能原理：
2
22
)()(2
10)(
mM
VmMmLgMm
?????? ?
mM
mVu
??
2
22
)(2 Mmg
VmL
?
?
?
§ 4–3 碰撞
一、碰撞
两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们
的运动状态在极短的时间内发生了显著的变化，物
理学上称这种相互作用为碰撞。碰撞的物体可以直
接接触，也可以不直接接触。
非接触接触
碰撞的共同规律：
在碰撞过程中，碰撞物体间的相互作用力 >>外
力，所以外力可以忽略不计，碰撞物体组成的系统
动量守恒。
常量系统总动量 ?
My God!
从能量是否守恒，碰撞可分为
? 完全弹性碰撞 —机械能守恒，如两个刚性小球
在水平面上的碰撞；
? 非弹性碰撞 —机械能（动能）不守恒。如两个
物体碰撞后结合在一起，并以同一速度运动，
能量一定不守恒，这种碰撞称为完全非弹性碰
撞；
二、对心碰撞（一维碰撞）
如图，两球碰撞前后都在同一条直线上运
动，这种碰撞叫对心碰撞。
又可分为 —完全弹性、非弹性和完全非弹性。
两物体 —m1 m2，两心连线为 x轴
碰撞前速度
???? vv
碰撞后速度 ?? vv
由动量守恒，可有
?????????? ??? vmvmvmvm
x
可分几种情况深入讨论，请同学完成。
二、二维完全弹性碰撞）
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
?1
?2
如果两球碰撞后不是沿一条直线运动，这
种碰撞称为非对心碰撞，亦称斜碰撞 或二维碰
撞。
三点说明
?通常，物体 m2碰前静止（ ），又叫靶；
????v
? 物体 m1叫抛射体，碰前，两球球心连线与物体
m1的运动方向不共线；
?常选物体 m1碰前的运动方向为 x轴正向。
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
x
y
?1
?2
如果为完全弹性碰撞, 能量守恒, 有
????????? ?? ?? c o sc o s vmvmvm
x轴
y轴
?????? ??? ?? s i ns i n vmvm
?
??
?
??
?
??? ?
??
?
??
?
? vmvmvm
??v
?
m1
????v m
2
?v
?
?v
?
x
y
?1
?2
动量守恒
例题 4–4
例题,如图所示, 质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下
滑, 与放在轨道水平面端点 P处的静止的小球 B发生弹
性碰撞, B的质量为 mB,A,B两球碰后同时落在水平地
面上 。 如果 A,B两球的落地点距 P点正下方 O点的距离
之比 LA/LB=2/5,求它们的质量比 mA/mB.
A
A
B
BO
P
LA
LB
解：（ 1）全过程可分为：
A下降,A与 B碰撞和 A,B
下落。
（ 2） 设 A与 B碰撞前的
速度为 VA0,碰后它们的速
度分别为 VA和 VB,则
BBAAAA VmVmVm ??0
222
0 2
1
2
1
2
1
BBAAAA VmVmVm ??
可解出：
0A
BA
BA
A Vmm
mmV
?
??
BA
AA
B mm
VmV
??
02
（ 3）因两球下落时间相同，即
B
B
A
A
V
L
V
L ?,因此有：
5
2??
B
A
B
A
L
L
V
V
5?
B
A
m
m
A
A
B
BO
P
LA
LB
例题 设两个质量完全相等的粒子在 x-y平面内发生弹
性碰撞, 而且作为靶的粒子原来是静止的, 试证明两
粒子碰撞后的速度互相垂直 。
解：因为 m1=m2,由动
量和能量守恒, 可得：
221211 VmVmVm
??? ??
221211 VVV
??? ??
和
222212211 VVV ??
可见：
2212 VV
?? ?
11V
?
12V
?
22V
?
§ 4-4 质点的角动量和角动量守恒定律
在这小节中，引入角动量概念，介绍角
动量守恒定律。
质点对定点的角动量和角动量守恒定律
对解决有心力场中质点的运动问题十分方便,
同时也是下一章相关概念和定律的基础 。
一、质点对一点的角动量
vmrprL ????? ????
质点对定点的角动量 （ 仅讨论平面运动 ）
o,为平面上一定点 质点 vmpr ??? ?
与质点动量 的矢积 （ 叉乘 ） 定义为质点相
对于 o点的角动量或动量矩, 记为, 即
r? p?
L?
r?
v?
?
L?
o
P
角动量的大小为：
L = p r sin? = m v r sin?
方向：垂直于 与 所决定的平面, 其指向由 到 的
右手螺旋法则确定的方向, 如图所示 。
r? r?p? p?
r?
v?
?
L?
o
P
特例
质点绕 o点作圆周运动，如图，有
o r? v
?
L?
m r vrpL ??
方向与质点绕向构
成右手螺旋法则 。
P
二、力对一点的力矩
r?
?
M?
o
P
F?
力 作用于质点，位于质点运动所在的平
面，它对定点 o的力矩 定义为
F?
M?
FrM ??? ??
如图，大小为
?s i nFrM ?
方向由右手螺旋法
则确定。
常称为力臂。
r?
?
M?
o F?
d
dFFrM ?? ?s i n
力臂
?s i nrd ?
P
三、质点的角动量定理 和角动量守恒定律
质点在力的作用下，在平面上运动，速度和位
置随时间变化，即对定点的角动量随时间变化；下
面找出角动量随时间变化满足的规律。
r?o
P
F?
v?
由牛顿第二定律
t
pF
d
d?? ?
用 从左侧叉乘上式两边有
t
prFr
d
d ???? ???
r?
FrM ??? ??
prL ??? ??对 两边求时间的导数
M
t
p
r
p
t
r
t
p
r
t
L
?
?
?
?
??
?
?
?
??
????
d
d
d
d
d
d
d
d
????? vvmpv ????
因此，有
t
LM
d
d ?? ?
对点 o的力矩
角动量随时间
的变化率
显然，如果合力 对点 o的力矩,则有F? ??M?
常矢量????? vmrprL ?????
这一结论称为质点的角动量守恒定律。
结论
作用于质点的合力对点 o的力矩等于质点对点 o
的角动量对时间的导数，称为质点的角动量定
理,亦称为牛顿第二定律的角量形式。
特例：如果一个力的方向永远指向空间的一定点,
这种 力就称为有心力, 该定点则称为力心 。 因为有
心力对其力心的力矩为零, 故质点在有心力的作用
下运动时, 对其力心的角动量是守恒的 。
万有引力即为此类力，有角动量守恒可得出有
关行星运动定理 开普勒第二行星运动定律。
L?
r? v?
?
o
F?
例题 4–5
例题 4–6
例题 4– 地球的质量为 m, 太阳的质量为 M,地心与
日心的距离为 R,引力常数为 G。 求地球绕太阳作圆
周运动的轨道角动量 （ 对日心 ） 。 膸
解：如图，对日心，地球作圆周运动，则：
VmRL ??? ??
又因：
2
2
R
mMG
R
Vm ?
R
GMV ?
因此：
G R MmL ?
R
