2004年数学一试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 . 【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为 , 即 . 【评注】 本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即 . 本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到. (2)已知,且f(1)=0, 则f(x)=  . 【分析】 先求出的表达式,再积分即可。 【详解】 令,则,于是有 , 即  积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= . 【评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题. (3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为  . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周在第一象限中的部分,可表示为  于是  = 【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7 . (4)欧拉方程的通解为 . 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令,则 , , 代入原方程,整理得 , 解此方程,得通解为  【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程 , 可化为  完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.,《考研数学大串讲》P75例12. (5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则  . 【分析】 可先用公式进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A,得 , 而,于是有 , 即 , 再两边取行列式,有 , 而 ,故所求行列式为 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9 (6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则=  . 【分析】 已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设,知,于是 = = 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题. 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可. 【详解】 ,可排除(C),(D)选项, 又  =,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题. (8)设函数f(x)连续,且则存在,使得 (A) f(x)在(0,内单调增加. (B)f(x)在内单调减少. (C) 对任意的有f(x)>f(0) . (D) 对任意的有f(x)>f(0) . [ C ] 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义,知 , 根据保号性,知存在,当时,有  即当时,f(x)<f(0); 而当时,有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题. (9)设为正项级数,下列结论中正确的是 (A) 若=0,则级数收敛. (B) 若存在非零常数,使得,则级数发散. (C) 若级数收敛,则. 若级数发散, 则存在非零常数,使得. [ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】 取,则=0,但发散,排除(A),(D); 又取,则级数收敛,但,排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式, ,而级数发散,因此级数也发散,故应选(B). 完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13. (10)设f(x)为连续函数,,则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导,再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t. 【详解】 交换积分次序,得 = 于是,,从而有 ,故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x:  否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12,先交换积分次序再求导. (11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 (A) . (B) . (C) . (D) . [ D ] 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解】由题设,有 , , 于是,  可见,应选(D). 【评注】 涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2 (12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有 A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论. 【详解1】 设A为矩阵,B 为矩阵,则由AB=O知, . 又A,B为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,故应选(A). 【详解2】 由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,而B为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A的列向量组线性相关。 同理,由AB=O知,,于是有的列向量组,从而B的行向量组线性相关,故应选(A). 【评注】 AB=O是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的: AB=O; AB=OB的每列均为Ax=0的解。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11,《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173例8, P184例27。 (13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的,数满足,若,则等于 (A) . (B) . (C)  . (D)  . [ C ] 【分析】 此类问题的求解,可通过的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知,,于是  即有 ,可见根据定义有,故应选(C). 【评注】 本题相当于分位数,直观地有    o   此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过. (14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则 (A) Cov( (B) . (C) . (D) . [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有: 【详解】 Cov( = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到:如  =,  = 完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题(本题是第23题的特殊情况). (15)(本题满分12分) 设, 证明. 【分析】 根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得  设,则, 当t>e时,  所以单调减少,从而,即 , 故 . 【证法2】 设,则 , , 所以当x>e时, 故单调减少,从而当时, , 即当时,单调增加. 因此当时,, 即 , 故 . 【评注】 本题也可设辅助函数为或 ,再用单调性进行证明即可。 完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13. (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h. 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注kg表示千克,km/h表示千米/小时. 【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用,列出关系式后再解微分方程即可。 【详解1】 由题设,飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度. 从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t). 根据牛顿第二定律,得 . 又 , 由以上两式得 , 积分得  由于,故得,从而  当时,  所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律,得 , 所以  两端积分得通解,代入初始条件解得, 故  飞机滑行的最长距离为  或由,知,故最长距离为当时, 【详解3】 根据牛顿第二定律,得 , , 其特征方程为 ,解之得, 故  由 , 得  于是  当时, 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【评注】 本题求飞机滑行的最长距离,可理解为或的极限值,这种条件应引起注意. 完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分  其中是曲面的上侧. 【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面,应用高斯公式求解,而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可. 【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧,记为由与围成的空间闭区域,则   由高斯公式知  = = 而 , 故  【评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧),再就是在上直接投影积分时,应注意符号(取下侧,与z轴正向相反,所以取负号). 完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21,《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17(2), 《数学一临考演习》P38第19题. (18)(本题满分11分) 设有方程,其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛. 【分析】 利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。 【证】 记  由,,及连续函数的介值定理知,方程存在正实数根 当x>0时,,可见在上单调增加, 故方程存在惟一正实数根 由与知 ,故当时,. 而正项级数收敛,所以当时,级数收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性,题型设计比较新颖,但难度并不大,只要基本概念清楚,应该可以轻松求证。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P91例6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比较法很简单. (19)(本题满分12分) 设z=z(x,y)是由确定的函数,求的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【详解】 因为 ,所以 , . 令  得  故  将上式代入,可得  或  由于 ,  , 所以 ,,, 故,又,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3. 类似地,由 ,,, 可知,又,从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点,极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。 完全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31. (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组  试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于n,进而判断是否有非零解;或直接计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,由此对参数a的可能取值进行讨论即可。 【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有  当a=0时, r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为  由此得基础解系为   于是方程组的通解为  其中为任意常数. 当时,对矩阵B作初等行变换,有  可知时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为  由此得基础解系为 , 于是方程组的通解为 ,其中k为任意常数. 【详解2】 方程组的系数行列式为 . 当,即a=0或时,方程组有非零解. 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 , 故方程组的同解方程组为  由此得基础解系为   于是方程组的通解为  其中为任意常数. 当时,对系数矩阵A作初等行变换,有  , 故方程组的同解方程组为  由此得基础解系为 , 于是方程组的通解为 ,其中k为任意常数. 【评注】 矩阵A的行列式也可这样计算: =+,矩阵的特征值为,从而A的特征值为a,a,, 故行列式 类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P228例4.4和P234例4.12. (21)(本题满分9分) 设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. 【分析】 先求出A的特征值,再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A是否可相似对角化即可. 【详解】 A的特征多项式为  = 当是特征方程的二重根,则有 解得a= -2. 当a= -2时,A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化。 若不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而18+3a=16,解得  当时,A的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化。 【评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是:对于A的任意重特征根,恒有 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。 原题见《考研数学大串讲》P224例20.,完全类似的例题还可参见《数学复习指南》P462例5.12及[解题提示]. (22)(本题满分9分) 设A,B为随机事件,且,令   求:(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (II)X和Y的相关系数 【分析】 先确定(X,Y)的可能取值,再求在每一个可能取值点上的概率,而这可利用随机事件的运算性质得到,即得二维随机变量(X,Y)的概率分布;利用联合概率分布可求出边缘概率分布,进而可计算出相关系数。 【详解】 (I) 由于,  所以, , ,   = (或), 故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0   1   (II) X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P   P   则,,DY=, E(XY)=, 故 ,从而  【评注】 本题尽管难度不大,但考察的知识点很多,综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件,可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来,这种命题方式值得注意。 原题见《考研数学大串讲》P274例3. (23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为  其中未知参数为来自总体X的简单随机样本,求: (I) 的矩估计量; (II) 的最大似然估计量. 【分析】 先由分布函数求出概率密度,再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。 【详解】 X的概率密度为  (I) 由于 , 令,解得 ,所以参数的矩估计量为  (II)似然函数为  当时,,取对数得 , 两边对求导,得 , 令,可得 , 故的最大似然估计量为  【评注】 本题是基础题型,难度不大,但计算量比较大,实际做题时应特别注意计算的准确性。 完全类似的例题见《数学复习指南》P596例6.9, 《数学题型集粹与练习题集》P364第十三题,《数学一临考演习》P26第23题.