第四节 克莱姆法则
用消元法解二元线性方程组
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa ??1
??2
? ?,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa ??
? ?,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa ??
，得两式相减消去 2x;212221121122211 baabxaaaa ??? ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（
时，当 021122211 ?? aaaa 方程组的解为
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
??,
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
2221
1211
222
121
aa
aa
ab
ab
?
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb ?则称此方程组为 非
齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次与齐次线性方程组的概念
一、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.,,,,332211
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???? ?
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
证明
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
2222222121
1111212111
? ? 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj ?
再把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa ??
由代数余子式的性质可知,
? ?.,,2,1 njDDx jj ???
.,,,,332211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
,Dx j的系数等于上式中
? ? ;0的系数均为而其余 jix i ?,jD又等式右端为
于是 ?2
当 时,方程组 有唯一的一个解0?D ??2
由于方程组 与方程组 等价,??2 ??1 故
.,,,,332211
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???? ?
也是方程组的 解,??1
二、重要定理
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1??
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 3 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 4 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克拉默则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
??
,27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
,108??
6041
2520
6931
1812
3
?
??
?D
,27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
,27?
,3278111 ???? DDx,4271 0 822 ????? DDx
,1272733 ????? DDx,1272744 ??? DDx
例 2 用克拉默法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
????
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
??
?D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
??
?D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
?
?D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
?
?D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
??
?D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1 ????,D
Dx 0
67
02
2 ??
,DDx 2167 2
67
3
3 ???,167
674
4 ??? D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? 3121 23 ?????? ???
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
一、线性方程组解的存在条件
如果方程组有解，则称方程组（ 1）是相容的，如果
无解，称方程组（ 1）不相容。
记,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
,
,
,
2211
22222121
11212111
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
(1)
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
mmmm
n
n
baa
baa
baa
1
2221
1111
??
??
??
??
那么,A称为方程组（ 1）的系数矩阵,B称为方程组
的增广矩阵。
若记
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
21
11
1
ma
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
22
12
2
ma
a
a
?
?，, …,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mn
n
n
n
a
a
a
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mb
b
b
b
?
2
1
，
则方程组（ 1）可写成 bxxx
nn ???? ??? ?2211
显然以下四种提法是等价的：
1,方程组（ 1）有解；
2,b能由 线性表示；
3,向量组
n???,,,21 ?
n???,,,21 ?
，与向量组
bn,,,,21 ??? ? 等价；
4,矩阵 A与矩阵 B的秩相等，即 R（ A） =R（ B）。
定理 线性方程组（ 1）有解的充要条件是它的
系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B的秩，即
R（ A） =R（ B）。
由此得到下面的判定定理。
二、齐次线性方程组的有非零解的条件
齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
一定有解,021 ???? nxxx ? 是它的一个解，
称为方程组（ 2）的零解。
（ 2）
方程组（ 2）可写成向量形式
02211 ???? nnxxx ??? ?
对方程组（ 2），以下几种说法是等价的：
1,方程组（ 2）有非零解；
2,向量组
n???,,,21 ?
线性相关；
3,系数矩阵 A=（
n???,,,21 ?
）的秩小于
n,即 R（ A） <n.
定理 齐次线性方程组（ 2）有非零解的充要条件
是它的系数矩阵 A的秩 R（ A） <n,其中 n为（ 2）的未知
量的个数。
若 R（ A） = n,则方程组（ 2）只有零解。
推论 含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有
非零解的充要条件是它的系数行列式 0?A 。
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
x
?
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x ??? ??? ?若 为方程 的0?Ax
解，则
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
1
21
11
1
n
x
?
?
?
?
?
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 ?? ?? x,x 0?Ax
21 ?? ??x
0?Ax也是 的解,
证明
? ? 02121 ????? ???? AAA
00 21 ?? ?? A,A?
.Axx 的解也是故 021 ??? ??
（ 2）若 为 的解,为实数，则
也是 的解．
1??x 0?Ax k
1?kx ? 0?Ax
证明 ? ? ? ?,kkAkA 0011 ??? ??
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量
所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系
的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21 ?Axt??? ?; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是 ?Axt??? ?
.
,,,0)2( 21
出
线性表的任一解都可由 tAx ??? ??
１．基础解系的定义
二、基础解系及其求法
的通解可表示为那么的一组基础解系
为齐次线性方程组如果
0
?
?
Ax
Axt
,,
0,,,21 ??? ?
ttkkkx ??? ???? ?2211
.,,,21 是任意常数其中 tkkk ?
２．基础解系的求法
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
?
?
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?
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00
00
10
01
~
,1
,111
????
??????
????
??
??????
??
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨
设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
?
?
?
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n
rnrr
rn
x
x
x
bb
bb
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??????
????
??
??????
??
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?
?
?
????
????
?
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
???????????
?
11
11111
0?Ax ?
现对 取下列 组数：nr x,,x ?1? rn?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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?
n
r
r
x
x
x
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2
1
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?
?
?
????
????
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
???????????
?
11
11111
分别代入
.,
??
?
?
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?
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??
?
?
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1
0
0
?
,
??
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0
1
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,
??
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0
0
1
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?
依次得 ?
?
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rx
x
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1
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b
b
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0
1
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2
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rn,
rn
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?
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?
?
1
0
0
1
?
?
?
从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
b
b
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?
?
?
?
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?
?
?
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2
12
?,
b
b
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
?
?
,?
下面证明 是齐次线性方程组解空
间的一个基．
rn,,,???? ?21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
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??
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??
?
?
?
?
?
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
?
?
??
由于 个 维向量rn? rn?
线性无关，
所以 个 维向量 亦线性无关,rn? n rn,,,???? ?21
.,,,)1( 21 线性无关证明 n??? ?
.
,,,2)( 21
线性表示
可由证明解空间的任一解都 rn ???? ?
? ?
.
11
方程组的一个解
为上述设 Tnrrx ????? ?? ???
,,,,rn 的线性组合再作 ???? ?21
rnnrr ??? ???? ??????? ?2211
由于 是 的解 故 也是 的
解,
rn,,,???? ?21 0?Ax ? 0?Ax,
.?? ?下面来证明
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
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11
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0
1
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rn,r
rn,
n
b
b
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rnnrr ??? ???? ??????? ?2211
?
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?
?
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?
n
r
r
r
c
c
?
?
?
?
?
2
1
1
,Ax 的解都是方程与由于 0??? 又等价于而 0?Ax
?
?
?
?
?
????
????
??
??
nrnrrrr
nrnr
xbxbx
xbxbx
,11
,11111
?
???????????
?
,都是此方程组的解与所以 ??
?
?
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?
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n
r
r
r
c
c
?
?
??
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2
1
1
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n
r
r
r
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
由
.c,,c rr ??? ?? ?11
方程组
.?? ?故,rnnrr ??? ???? ??????? ?2211即
所以 是齐次线性方程组解空间的一个基,rn,,??? ?1
说明
１．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的 基础解系,
.kkkx rnrn ?????? ??? ?2211
３．若 是 的基础解系，则
其 通解 为
rn,,,???? ?21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
??
?
?
?
的维数为解空间时
当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合
的全体解所元齐次线性方程组
定理 1
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系
故没有基础解方程组只有零解时当 nAR ?
? ?,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
?????
????
???
???
?
??
?
??
?
?
?
??
???
???
解空间可表示为为任意实数其中
方程组的解可表示为此时基础解系
个向量的方程组必有含时当
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩
阵，有
A
?
?
?
?
?
??
??
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及令
x
x,
74
73
75
72
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
并由此得到通解
例 2 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?????
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
76513
12311
55312
34111
A
对系数矩阵施
行初等行变换
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
00000
00000
13110
34111
~
? ?,rn,n,rAR 352 ?????即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量,
??
?
???
?????
5432
54321
3
34
xxxx
xxxxx代入
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
26220
26220
13110
34111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
4
3
x
x
x
令,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
0
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
所以原方程组的一个基础解系为
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
0
0
1
1
2
1
?
故原方程组的通解为,kkkx 332211 ??? ???
.k,k,k 为任意常数其中 321
,xx ?
?
??
?
? ???
?
??
?
?
1
2
2
1依次得,?
?
??
?
?
1
2,?
?
??
?
?
?
?
3
1
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
0
3
1
2
?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
1
2
3
?
例 3 ).()( ARAAR T ?证明
证,,维列向量为矩阵为设 nxnmA ?;0)(
,0)(,0
?
??
xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(
??
??
AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知
即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 ?? xAAAx T
).()( ARAAR T ? 因此
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程
则的解都是及设
?
?????
Ax
xbAxxx
?
???
证明
? ?,021 ????? bbA ??
.021 ??? Axx 满足方程即 ??
bAbA ?? 21,???
１．非齐次线性方程组解的性质
证明 ? ? ???? AAA ???,0 bb ???
.的解是方程所以 bAxx ??? ??
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解
是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
????
???
??
??
.11 ??? ???? ??? rnrnkkx ?
其中 为对应齐次线性方程
组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特
解,
rnrnkk ???? ?? ?11
??
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
定理 1 若非齐次方程组（ 1）有解，即 R(A)=r，
则当 r=n时，方程组（ 1）有唯一解；当 r<n时，
方程组（ 1）有无穷多解。
证明 R(A)=n时，（ 1）对应的齐次方程组只有
零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有
唯一解。 R<n时（ 1）对应的齐次方程组有无穷
多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有无
穷多解。
例 1 求解方程组 ?
?
?
?
?
?????
????
????
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
并有故方程组有解可见,,2)()( ?? BRAR
??
?
??
???
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 ?? xx取,2131 ?? xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
??
?
?
??
xx
xxx
,1001
4
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及
x
x,
2
1
0
1
3
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
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?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
??????
?????
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
例 2 求下述方程组的解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
? ? ? ?,,知方程组有解由 BRAR ? ? ?,3,2 ??? rnAR又
所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
令
依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1 ?
?
??
?
?
???
??
?
?
???
??
?
?
?
???
?
??
?
?
x
x
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
求特解
.223,29,0 21543 ?????? xxxxx 得令
所以方程组的通解为
故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法 ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
?
?
?
?
?
?????
????
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
用消元法解二元线性方程组
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa ??1
??2
? ?,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa ??
? ?,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa ??
，得两式相减消去 2x;212221121122211 baabxaaaa ??? ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（
时，当 021122211 ?? aaaa 方程组的解为
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
??,
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
2221
1211
222
121
aa
aa
ab
ab
?
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb ?则称此方程组为 非
齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次与齐次线性方程组的概念
一、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.,,,,332211
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???? ?
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
证明
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
2222222121
1111212111
? ? 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj ?
再把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa ??
由代数余子式的性质可知,
? ?.,,2,1 njDDx jj ???
.,,,,332211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
,Dx j的系数等于上式中
? ? ;0的系数均为而其余 jix i ?,jD又等式右端为
于是 ?2
当 时,方程组 有唯一的一个解0?D ??2
由于方程组 与方程组 等价,??2 ??1 故
.,,,,332211
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???? ?
也是方程组的 解,??1
二、重要定理
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1??
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 3 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 4 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克拉默则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
??
,27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
,108??
6041
2520
6931
1812
3
?
??
?D
,27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
,27?
,3278111 ???? DDx,4271 0 822 ????? DDx
,1272733 ????? DDx,1272744 ??? DDx
例 2 用克拉默法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
????
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
??
?D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
??
?D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
?
?D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
?
?D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
??
?D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1 ????,D
Dx 0
67
02
2 ??
,DDx 2167 2
67
3
3 ???,167
674
4 ??? D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? 3121 23 ?????? ???
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
一、线性方程组解的存在条件
如果方程组有解，则称方程组（ 1）是相容的，如果
无解，称方程组（ 1）不相容。
记,
?
?
?
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?
?
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????
????
????
,
,
,
2211
22222121
11212111
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
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(1)
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
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?
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??
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21
22221
11211
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mmmm
n
n
baa
baa
baa
1
2221
1111
??
??
??
??
那么,A称为方程组（ 1）的系数矩阵,B称为方程组
的增广矩阵。
若记
?
?
?
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1
21
11
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a
a
?
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2
22
12
2
ma
a
a
?
?，, …,
?
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mn
n
n
n
a
a
a
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mb
b
b
b
?
2
1
，
则方程组（ 1）可写成 bxxx
nn ???? ??? ?2211
显然以下四种提法是等价的：
1,方程组（ 1）有解；
2,b能由 线性表示；
3,向量组
n???,,,21 ?
n???,,,21 ?
，与向量组
bn,,,,21 ??? ? 等价；
4,矩阵 A与矩阵 B的秩相等，即 R（ A） =R（ B）。
定理 线性方程组（ 1）有解的充要条件是它的
系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B的秩，即
R（ A） =R（ B）。
由此得到下面的判定定理。
二、齐次线性方程组的有非零解的条件
齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
一定有解,021 ???? nxxx ? 是它的一个解，
称为方程组（ 2）的零解。
（ 2）
方程组（ 2）可写成向量形式
02211 ???? nnxxx ??? ?
对方程组（ 2），以下几种说法是等价的：
1,方程组（ 2）有非零解；
2,向量组
n???,,,21 ?
线性相关；
3,系数矩阵 A=（
n???,,,21 ?
）的秩小于
n,即 R（ A） <n.
定理 齐次线性方程组（ 2）有非零解的充要条件
是它的系数矩阵 A的秩 R（ A） <n,其中 n为（ 2）的未知
量的个数。
若 R（ A） = n,则方程组（ 2）只有零解。
推论 含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有
非零解的充要条件是它的系数行列式 0?A 。
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
?
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????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
??
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??
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????
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21
22221
11211
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??
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n
x
x
x
x
?
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x ??? ??? ?若 为方程 的0?Ax
解，则
??
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
??
1
21
11
1
n
x
?
?
?
?
?
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 ?? ?? x,x 0?Ax
21 ?? ??x
0?Ax也是 的解,
证明
? ? 02121 ????? ???? AAA
00 21 ?? ?? A,A?
.Axx 的解也是故 021 ??? ??
（ 2）若 为 的解,为实数，则
也是 的解．
1??x 0?Ax k
1?kx ? 0?Ax
证明 ? ? ? ?,kkAkA 0011 ??? ??
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量
所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系
的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21 ?Axt??? ?; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是 ?Axt??? ?
.
,,,0)2( 21
出
线性表的任一解都可由 tAx ??? ??
１．基础解系的定义
二、基础解系及其求法
的通解可表示为那么的一组基础解系
为齐次线性方程组如果
0
?
?
Ax
Axt
,,
0,,,21 ??? ?
ttkkkx ??? ???? ?2211
.,,,21 是任意常数其中 tkkk ?
２．基础解系的求法
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00
10
01
~
,1
,111
????
??????
????
??
??????
??
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨
设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
?
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x
x
x
bb
bb
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??????
????
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????
????
?
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
???????????
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11
11111
0?Ax ?
现对 取下列 组数：nr x,,x ?1? rn?
??
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n
r
r
x
x
x
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2
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????
????
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
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11
11111
分别代入
.,
??
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1
0
0
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,
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0
1
0
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,
??
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??
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0
0
1
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?
依次得 ?
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rx
x
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1
,
b
b
r
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1
0
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1
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从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
?
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1
,
b
b
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2
12
?,
b
b
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1
11
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,?
下面证明 是齐次线性方程组解空
间的一个基．
rn,,,???? ?21
??
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1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
?
?
??
由于 个 维向量rn? rn?
线性无关，
所以 个 维向量 亦线性无关,rn? n rn,,,???? ?21
.,,,)1( 21 线性无关证明 n??? ?
.
,,,2)( 21
线性表示
可由证明解空间的任一解都 rn ???? ?
? ?
.
11
方程组的一个解
为上述设 Tnrrx ????? ?? ???
,,,,rn 的线性组合再作 ???? ?21
rnnrr ??? ???? ??????? ?2211
由于 是 的解 故 也是 的
解,
rn,,,???? ?21 0?Ax ? 0?Ax,
.?? ?下面来证明
?
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0
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b
b
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b
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0
0
1
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rn,r
rn,
n
b
b
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rnnrr ??? ???? ??????? ?2211
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n
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r
r
c
c
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2
1
1
,Ax 的解都是方程与由于 0??? 又等价于而 0?Ax
?
?
?
?
?
????
????
??
??
nrnrrrr
nrnr
xbxbx
xbxbx
,11
,11111
?
???????????
?
,都是此方程组的解与所以 ??
?
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c
c
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2
1
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n
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r
r
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2
1
1
由
.c,,c rr ??? ?? ?11
方程组
.?? ?故,rnnrr ??? ???? ??????? ?2211即
所以 是齐次线性方程组解空间的一个基,rn,,??? ?1
说明
１．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的 基础解系,
.kkkx rnrn ?????? ??? ?2211
３．若 是 的基础解系，则
其 通解 为
rn,,,???? ?21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
??
?
?
?
的维数为解空间时
当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合
的全体解所元齐次线性方程组
定理 1
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系
故没有基础解方程组只有零解时当 nAR ?
? ?,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
?????
????
???
???
?
??
?
??
?
?
?
??
???
???
解空间可表示为为任意实数其中
方程组的解可表示为此时基础解系
个向量的方程组必有含时当
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
?
?
?
?
?
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??
??
?
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?A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩
阵，有
A
?
?
?
?
?
??
??
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及令
x
x,
74
73
75
72
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
??
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? ??即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
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?
?
?
?
?
?
并由此得到通解
例 2 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?????
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
76513
12311
55312
34111
A
对系数矩阵施
行初等行变换
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
00000
00000
13110
34111
~
? ?,rn,n,rAR 352 ?????即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量,
??
?
???
?????
5432
54321
3
34
xxxx
xxxxx代入
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
26220
26220
13110
34111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
4
3
x
x
x
令,
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0
1
0
,
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0
0
1
.
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1
0
0
所以原方程组的一个基础解系为
,
?
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?
?
? ?
?
0
0
1
1
2
1
?
故原方程组的通解为,kkkx 332211 ??? ???
.k,k,k 为任意常数其中 321
,xx ?
?
??
?
? ???
?
??
?
?
1
2
2
1依次得,?
?
??
?
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1
2,?
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??
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3
1
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?,
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1
0
0
1
2
3
?
例 3 ).()( ARAAR T ?证明
证,,维列向量为矩阵为设 nxnmA ?;0)(
,0)(,0
?
??
xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(
??
??
AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知
即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 ?? xAAAx T
).()( ARAAR T ? 因此
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程
则的解都是及设
?
?????
Ax
xbAxxx
?
???
证明
? ?,021 ????? bbA ??
.021 ??? Axx 满足方程即 ??
bAbA ?? 21,???
１．非齐次线性方程组解的性质
证明 ? ? ???? AAA ???,0 bb ???
.的解是方程所以 bAxx ??? ??
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解
是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
????
???
??
??
.11 ??? ???? ??? rnrnkkx ?
其中 为对应齐次线性方程
组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特
解,
rnrnkk ???? ?? ?11
??
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
定理 1 若非齐次方程组（ 1）有解，即 R(A)=r，
则当 r=n时，方程组（ 1）有唯一解；当 r<n时，
方程组（ 1）有无穷多解。
证明 R(A)=n时，（ 1）对应的齐次方程组只有
零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有
唯一解。 R<n时（ 1）对应的齐次方程组有无穷
多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有无
穷多解。
例 1 求解方程组 ?
?
?
?
?
?????
????
????
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
并有故方程组有解可见,,2)()( ?? BRAR
??
?
??
???
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 ?? xx取,2131 ?? xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
??
?
?
??
xx
xxx
,1001
4
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及
x
x,
2
1
0
1
3
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
??????
?????
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
例 2 求下述方程组的解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
? ? ? ?,,知方程组有解由 BRAR ? ? ?,3,2 ??? rnAR又
所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
令
依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1 ?
?
??
?
?
???
??
?
?
???
??
?
?
?
???
?
??
?
?
x
x
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
求特解
.223,29,0 21543 ?????? xxxxx 得令
所以方程组的通解为
故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法 ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
?
?
?
?
?
?????
????
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
