1．用和号表示
? ?
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
??????
????
?
??
对二次型
,aa ijji ?取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij ??则 于是
nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?
.
1,
xxa jin
ji ij
??
?
nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ?
?? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?
一、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?
nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ?
?? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?
)(
)(
)(
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
?????
????
????
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
???
???
?
nnnnn
nn
nn
n
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
?
?
?
?
?
2211
2222121
1212111
21 ),,,(
.,为对称矩阵其中则二次型可记作 AAxxf T?
,,
2
1
21
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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??
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nnnnn
n
n
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
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记
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nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
?
?
????
?
?
?
2
1
21
22221
11211
21
,,,
二、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，
就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对
称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二
次型与对称矩阵之间存在 一一对应 的关系．; 的矩阵叫做二次型对称矩阵 fA; 的二次型叫做对称矩阵 Af
,的秩的秩叫做二次型对称矩阵 fA
解,a,a,a 321 332211 ????
,aa 22112 ??,aa 03113 ??
.aa 33223 ???
.
330
322
021
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??? A
.
6432
3221
2
3
2
2
2
1
的矩阵
写出二次型
xxxxxxxf ?????例１
一、二次型及其标准形的概念
? ?
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
??????
????
?
??
称为二次型,
的二次齐次函数个变量含有定义 nxxxn,,,1 21 ?;,称为是复数时当 fa ij 复二次型
.,称为是实数时当 fa ij 实二次型
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
?
?????????????
?
?
2211
22221212
12121111
,
,
设
二、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求
可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
),( cC ij?记 记作则上述可逆线性变换可
Cyx ?
Axxf T?
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA ?
? ?TTT ACCB ?
有将其代入,Axxf T?? ?
.yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?
? ? ? ?,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
?
?
且也为对称矩阵则矩阵
为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T ??
,ACCB T?? ? ? ? ? ? ?,ARACRBR ???
? ?,11 ??? BCCA T?又 ? ? ? ? ? ?,1 BRBCRAR ??? ?
? ? ? ?.BRAR ??
即 为对称矩阵,B
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy ???? ?
就是要使
变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n ?
?
?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
?
变为的矩阵由
但其秩不变后二次型经可逆变换
有型
把此结论应用于二次即使
总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 ????? APPAPP
PA
T
? ?
化为标准形使正交变换
总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,
?
???
?
,2222211 nn yyyf ??? ???? ?
? ?,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf ???? ?
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式 ?;,,,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出;,,,.3 21 n??? ?征向量求出对应于特征值的特
? ?;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C ??????
???
??
?
?记
得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
?? ???
?
?
的标准形则得作正交变换
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
1442
4142
2217
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
?
?
?
?
1442
4142
2217
EA
? ? ? ?918 2 ??? ??
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换
将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
?
??????例 2
从而得特征值,18,9 321 ??? ???
? ? 得基础解系代入将,091 ??? xEA ??
2．求特征向量
? ? 得基础解系代入将,01832 ???? xEA ???
,)0,1,2(2 ?? T?,)1,0,2(3 ?? T?
3．将特征向量正交化
,11 ?? ? 取
.)1,1,21(1 T??
,22 ?? ?
? ?
? ?,,
,
2
22
32
33 ???
???? ??
得正交向量组
.)1,54,52(3 ??? T?
,)0,1,2(2 ?? T?,)1,1,21(1 T??
? ?,3,2,1,?? i
i
i
i ?
??令
得
,
0
51
52
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??,
32
32
31
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
455
454
452
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
.
455032
4545132
4525231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf ???且有
解
例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形
把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
??
????
?
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?? EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
?
?
?
??
?
??
??
?
???? EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
??
???
???
?
????
?
?
?
?? EA
12
21)1( 2
???
??????
?
??
.)1()3()32()1( 322 ???????? ?????
.1,3 4321 ????? ????的特征值为于是 A
,0)3(,31 ???? xEA解方程时当 ?
,
1
1
1
1
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?p单位化即得
,0)(,1432 ????? xEA解方程时当 ???
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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? ???
可得正交的基础解系
单位化即得 ??
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
??
?
?
?
?
?
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf ????? 且有
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保
持几何形状不变,
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化
为标准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
效的方法 —— 拉格朗日配方法,
1,若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形 ;
ix
ix
?
?
?
?
?
?
??
??
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
? ?jiknk,,,2,1 ?? 且?
拉格朗日配方法的步骤
2,若二次型中不含有平方项，但是
则先作可逆线性变换
0?ija
),( ji ?
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1中方
法配方,
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf ??????
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形
化二次型
xxxxxxxxxf ??????例 1
312121 22 xxxxx ?? 322322 652 xxxx ????
的项配方含有 x 1含有平方项
? ? ?2321 xxx ??
322322 652 xxxx ??? 322322 2 xxxx ???
去掉配方后多出来的项
? ? 3223222321 44 xxxxxxx ??????
? ? ? ?,2 2322321 xxxxx ?????
?
?
?
?
?
?
??
???
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
?
?
?
?
?
?
??
???
?
33
322
3211
2
yx
yyx
yyyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf ???????
.2221 yy ??
所用变换矩阵为
? ?,01,
100
210
111
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? CC
,
33
212
211
?
?
?
?
?
?
??
??
yx
yyx
yyx
令
解
,622 323121 xxxxxxf ???代入
.8422 32312221 yyyyyyf ???? 得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形
化二次型
xxxxxxf ???例 2
由于所给二次型中无平方项，所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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??
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
y
y
y
x
x
x
3
2
1
3
2
1
100
011
011
即
再配方，得
? ? ? ?,6222 23232231 yyyyyf ?????
?
?
?
?
?
?
??
??
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
?
?
?
?
?
?
??
??
?
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf ??? 得
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
z
z
y
y
y
3
2
1
3
2
1
100
210
101
即
所用变换矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
100
210
101
100
011
011
C
.
100
111
311
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? ?.02 ???C
,
2
3
2
2
2
1 zzzf ???
得标准形
?
?
?
?
?
?
???
???
.
,
,
33
3212
3211
zx
zzzx
zzzx
所用可逆线性变换为
一,惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的
秩,下面我们限定所用的变换为 实变换,来研究
二次型的标准形所具有的性质．
? ?
? ?
.
,,,,
,0
,0
,
,)(1
11
22
22
2
11
22
22
2
11
相等
中正数的个数中正数的个数与则
及
使
及
有两个实的可逆变换为
它的秩设有实二次型惯性定理定理
??
????
rr
irr
irr
T
kk
zzzf
kykykykf
PzxCyx
r
Axxf
??
?
?
?????
?????
??
?
222 164 zyxf ??? 为 正定二次型
2221 3 xxf ??? 为 负定二次型
二、正 (负 )定二次型的概念
? ? ? ?? ?
.
,,0)(
0;,
,00 0,0
,)( 1
是负定的
并称对称矩阵为负定二次型则称都有
如果对任何是正定的并称对称矩阵次型
为正定二则称显然都有
如果对任何设有实二次型定义
A
fxf
xA
ffxfx
Axxxf
T
?
?
???
?
例如
证明 使设可逆变换 Cyx ?
? ? ? ?,2
1
i
n
i
i ykCyfxf ?
?
??
充分性
? ?.,,10 nik i ???设,0?x任给
,0?? xCy 1-则
故 ? ?,02
1
???
? i
n
i i
ykxf
三、正 (负 )定二次型的判别
.:
2
个系数全为正它的标准形的件是
为正定的充分必要条实二次型定理
n
Axxf T?
必要性
,0?sk假设有,)( 时单位坐标向量则当 sey ?
? ?,0?? ss kCef
,0?sCe显然,为正定相矛盾这与 f
故 ? ?.,,10 nik i ???
推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
,011 ?a,0
2221
1211 ?
aa
aa
,?;0
1
111
?
nnn
n
aa
aa
?
??
?
? ? ? ?,,,2,1,01
1
111
nr
aa
aa
rrr
r
r ?
?
??
?
???
这个定理称为霍尔维茨定理．
定理 3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的各阶主子式为正，即
A A
对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主
子式为负，而偶数阶主子式为正，即
A
正定矩阵具有以下一些简单性质;
,,A,.1 1T
定矩阵
均为正则为正定实对称阵设 ?? AAA
.
,,.2
矩阵
也是正定则阶正定矩阵均为若 BAnBA ?
例 1 判别二次型
? ? 323121232221321 48455,,xxxxxxxxxxxxf ??????
是否正定,
解 ? ?的矩阵为321,,xxxf
,
524
212
425
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
它的顺序主子式
,05?,0112
25 ???
?
??
?
?,01
524
212
425
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
故上述二次型是正定的,
例 2 判别二次型
? ? 31232221321 4542,,xxxxxxxxf ????
是否正定,
解
二次型的矩阵为
,
502
040
202
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
用 特征值判别法,
0?? AE?令,6,4,1 321 ???? ???
故此二次型为正定二次型,即知 是正定矩阵，A
例 3 判别二次型
xzxyzyxf 44465 222 ??????
的正定性,
解 的矩阵为f
,0511 ???a,02662 25
2221
1211 ??
?
??
aa
aa
,080 ???A,13 为负定知根据定理 f
,
402
062
225
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A