第一节 n维向量的基本概念
,
,,,21
个分量称为第个数第
个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为
所组成的数个有次序的数
iai
nnn
aaan
i
n?
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
一,n 维向量
1.定义
例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii ???? ?
n维实向量
n维复向量
第 1个分量
第 n个分量第 2个分量
确定飞机的状态，需
要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20( ??? ??
机身的仰角 )22( ???? ???
机翼的转角 )( ???? ???
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,( ???zyxa ?
维向量的实际意义n
),,,( 21 nT aaaa ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
a
?
2
1
维向量写成一行，称为 行向量,通常用
?? TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,通常用
等表示，如：
??,,,ba
n
等表示，如：
2,n维向量的表示方法
3.向量的相等
4,零向量
分量都是零的向量 0=（ 0,0,…, 0）
注意维数，不能说零向量都相等。
),,( 21 naaa ??? ),,( 21 nbbb ???
?? ? 当且仅当
niba ii,,2,1,??? （要求维数相等）
5,负向量
),,( 21 naaa ???
,称
),,( 21 naaa ????? ?? 为 ? 的负向量，
显然 ?? ??? ）（,所以负向量是相互关系。
如果
二、向量的线性运算
1,加法
),,(),,,2121 nn bbbaaa ?? ?? ?? （
???
???
??
????
记为
的和与为称 ),,,( 2211 nn bababa ?
若
2.减法
减法用加法定义，如果
),,(),,,2121 nn bbbaaa ?? ?? ?? （
),,,2211 nn bababa ?????
?????
?（当然
的差，与），称为（定义
??
???????
3.数乘
设
是一个数。的数乘，其中与为
（定义
???
?????? ),,),,,( 2121 nn aaaaaa ?? ??
注,1,加法与数乘运算称为线性运算
2,线性运算满足 8条
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
???? ???
)()( ?????? ?????
?? ?? 0
0)( ??? ??
?? ?1
)()()( ????????? ??
??????? ??? )(
??????? ??? )(
3,还有一些常用的结论
①
②
③
?? ??? )1(
000 ??? ???? 或，则一定有若
00
)(,0,0
?????
?????????
??????
????????
，当且仅当
4,线性组合
若干个同维数的列向量（或同维数的行向
量）所组成的集合叫做向量组．
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
?
? ???
mmkkk ??? ??? ?2211
称为向量组 A的一个线性组合。
向量
mkkk,21 ?，，
称为这个线性组合的系数。
mm ??????? ???? 2211
使一组数
如果存在和向量给定向量组
，，，
，
m
mA
???
????
,
,,,,
21
21
?
?
有解.
即线性方程组
???? ???? mmxxx ?2211
则向量 ? 是向量组 A 的一个线性组合，这时也
称向量 ? 能由向量组 A 线性表示．
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组
与向若向量组称
线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若
及
设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
?????? ??
向量组 能由向量组 线性表示
向量组等价,
B A
5,向量组的等价
向量组之间的等价关系具有下述性质：
（ 1） 反身性 A与 A等价；
（ 2） 对称性 若 A与 B等价，则 B与 A等价；
（ 3） 传递性 若 A与 B等价,B与 C等价，则 A与 C等价。
这里 A,B,C为三个向量组。
例 1 证明
等价。
)10( )01()32()21( 2121,，，，,???? ???? 与
证明 显然
212
211
32
2
???
???
??
??
所以 可由 线性表示。21 ??, 21 ??，
212
211
2
23
???
???
??
???
所以 也可由 线性表示。因此它们等
价。
21 ??,21 ??,
由上式容易解得
例 2 已知
将 ?用 ?1,?2线性表示。
)531()101()111( 21 ???????,，，，，，，,???
解 设 即
2211 ??? xx ??
)(
)101()111()531(
21121
21
xxxxx
xx
???
??????
，，
，，，，，，
所以
?
?
?
?
?
???
??
???
5
3
1
21
1
21
xx
x
xx 解得
23 21 ??? xx,
所以 ? = -3?1+2?2
第三节 线性相关性的判别定理
,向量组A 也线性无关则线性无关,组B
若向量也线性相关,反言之,向量组
则线性相关,向量组若 定理1
,,,,
,,,
11
21
?mm
m
B
A
???
???
?
?：
证 由
maaa ?,,21
线性相关，故存在
mkkk,,,21 ?
不全为 0，使
02211 ???? mm akakak ?
从而
00 12211 ????? ?mmm aakakak ?
其中
0,,,21 mkkk ?
这 1?m 个数不全为 0。故向量组
11,,,?mm aaa ?
线性相关,。
定理 2 若 维向量组r
),,( 21 iriii aaaa ?? ),,2,1( mi ??
线性无关，则每个向量各添上一个分量后，得到的
维向量组1?r
),,( 1,1 ?? riirii aaa ?? ),,2,1( mi ??
也线性无关。
证 用反证法,假设
m??? ?,,21
线性相关，则存在不
全为 0的数
121,,,?mkkk ?
，使
02211 ???? mmkkk ??? ?
,0
,0
,0
,0
1,1,221,11
2211
2222121
1212111
????
????
????
????
??? rmmrr
mrmrr
mm
mm
akakak
akakak
akakak
akakak
?
?
???????????
?
?
即
前 r 个式子写成向量形式，即
.02211 ???? mm akakak ?
于是
maaa ?,,21
线性相关，与已知矛盾。
m??? ?,,21
线性无关 。所以向量组
推论 若 r 维向量组线性无关，则在每个向量后添上
rn? 个分量所得到的 n 维向量组也 线性 无关；反言之，若
n
维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。
例 1 设
321,,aaa 432,,aaa
线性相关,线性无关，
证明向量 1a 能由 32,aa 线性表示。
证 因
432,,aaa 线性无关，由定理 1可知 32,aa
线性无关。又已知
321,,aaa
线性相关，所以根据上节
1a
能由
32,aa
线性表示。定理 2，向量
第四节 向量组的秩
，满足
个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
???,,,
21 ?
定义１
线性无关；）向量组（ rA ???,,,:1 210 ?;
0
）
（简称的一个向量组
是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大
无关组
关，个向量的话）都线性相
中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
?
?
r
ArA
一、最大线性无关向量组
二、向量组秩的重要结论
定理 1 设向量组 A,和向量组
B：,如果向量组 A能由向量 B线性表
示，且向量组 A线性无关，则向量组 A所含向量个
数 r 不大于向量 B所含向量的个数 s,即 r≤ s。
raaa,,,21 ?
s???,,2,1 ?
由等价的传递性，可得
性质 2 向量组的任意两个最大无关组等价。
性质 1 向量组与它的最大无关组等价。
推论 1 等价的线性无关向量组所含向量个数
相等,
证明 设向量组 A与 B等价,A组的向量个数为 r，
B的向量个数为 s，由定理 1，有 r≤ s,且 s ≤ r，
所以 r =s。
例如 向量组 A,?1,?2,向量组 B,?, 即
r=2>1=s 。 如果 A可由 B线性表示，即 ?1 =k1?,
?2 =k2?, 显然 ?1,?2线性相关。所以当 ?1,?2
线性无关时，一定有 r≤ s
定义 2 向量组的最大线性无关组所含向量的
个数，称为向量组的秩。
性质 3 向量组线性无关的充要条件是它所含向
量的个数等于向量组的秩。
若一个向量组是线性无关的，那么它的最大
无关组就是向量组本身，从而有
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
它的秩为 0。
，所以 A1能由 B线性表示。又 B能由 B1
线性表示，因此 A1能由 B1线性表示。由定理 1，
即有
证 设 A1是向量组 A的最大无关组,B1是向量组
B的最大无关组。由于 A组能由 B组线性表示，
AA ?1
1r ? 2r
推论 2 设向量组 A的秩为,向量组 B的秩
1r
为
2r,若 A组能由 B组线性表示，则 1r ? 2r
由定理 1及定义 2可以得到以下推论
,等价的向量组的秩相等推论 3
线性表示，
两个向量组能相互因两个向量组等价，即
,rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证
,同时成立与故 srrs ??,rs ?所以
性质 4 当 m>n 时,m个 n 维向量 ?1,?2,· · ·,
?m必线性相关。
定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
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?
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??
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?
nn
y
y
y
y
x
x
x
x
??
? ? nn yxyxyxyx ???? ?2211,令
? ?,,的与为向量称 yxyx 内积
一、内积的定义及性质
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积
的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
? ?4?nn
? ?,,
:,
,,2
yxyx
yx
T?
为内积可用矩阵记号表示向量
都是列如果内积是向量的一种运算
内积的运算性质
? ?,,,,为实数维向量为其中 ?nzyx
? ? ? ?;,,)1( xyyx ?
? ? ? ?;,,)2( yxyx ?? ?
? ? ? ? ? ?;,,,)3( zyzxzyx ???
.0],[0,0],)[4( ??? xxxxx 时有且当
定义 2
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
? ?,,22221 nxxxxxx ????? ?
令
? ?, 或的维向量为称 xnx长度 范数
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 ???? xxxx 时当时当;xx ?? ?
.yxyx ???
二、向量的长度及性质
维向量间的夹角单位向量及 n
? ? ? ?,1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量 ?? ??例
解 ?? ??? ??co s? 22623 18 ???
.4?? ??
? ?,,11 为称时当 xx ?单位向量
? ? ? ?yx yxyx,a r cc o s,0,02 ??? ?时当
,的与维向量称为 yxn夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0],[ yxyx 与称向量时当 ?正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx ?
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
三、标准正交基
,00 21111 ???? ???? T由,01 ??从而有
.02 ??? r?? ?同理可得,,,,21 线性无关故 r??? ?
使设有 r???,,,21 ?证明
02211 ???? r?????? ?
得左乘上式两端以,1a T 0111 ???? T
３ 正交向量组的性质
线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若定理
r
rn
???
???
?
?
21
21 1
例 1 已知三维向量空间中两个向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
,
1
1
1
21 ??
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交
基,
3? 321 ???,,
４ 向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间
是则称组是两两正交的非零向量
且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
????
?????
??
?
即 ??
?
????
????
02],[
0],[
32132
32131
xxx
xxx
??
??
解之得,0,231 ??? xxx
则有若令,13 ?x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321 ???,,
则有 0],[],[ 3231 ?? ????
解 ? ?,,,0,,213213 正交且分别与设 ??? ?? Txxx
５ 规范正交基
.,,,,
,,,,)
(,,,3
21
21
21
的一个规范正交基是则称向量
两两正交且都是单位如果的一个基
是向量空间维向量设定义
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
?
?
? ?
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
?
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?
?
?
?
?
? eeee
例如
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
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?
?
?
?
? eeee
?
?
?
???
???
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且
且
由于
.,,,44321 的一个规范正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ????同理可知
.4 的一个规范正交基也为 R
（ 1） 正交化,取,11 ab ? ? ?
? ?,,
,
1
11
21
22 bbb
abab ??
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vaaa r?
６ 求规范正交基的方法
称为这样一个问题价
等与使位向量
的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基
要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
???
???
???
?
.
,,,21
范正交化
这个基规把 r??? ?
????
1
11
1
2
22
2
1
11
1
],[
],[
],[
],[
],[
],[
?
??
??????
r
rr
rrrr
rr bbb
abb
bb
abb
bb
abab ?
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr aabbbb ???
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r b
be
b
be
b
be ??? ??
.,,,21 的一个规范正交基为那么 Veee r?
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 ????? aaa
正交规范化,
解 先 正交化,
? ?1,1,1,111 ?? ab ? ?
? ? 111 2122,
,b
bb
abab ??
? ? ? ?1,1,1,11111 4114,0,1,1 ??? ????? ? ?3,1,2,0 ???
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组
构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
bb
aa
?
?
施密特正交化过程
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
? ? ? ? ? ?3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,3 ??????? ? ?0,2,1,1 ??
再 单位化,
? ? ?????? ??????? 143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
? ? ?????? ????? 0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得规范正交向量组如下
? ? ?
?
??
?
????
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1 b
be
例３
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量规范正交化特正交化过程把这组向
试用施密设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? aaa
解 ;11 ab ?取
b
b
baab
12
12
22
1
],[??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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? ?
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1
2
1
6
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1
3
1;
1
1
1
3
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
21
],[],[ ???
?
?
?
?
?
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?
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?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
??
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1 ?
,
1
2
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
be
2
2
2 ?
,
1
1
1
3
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
be
3
3
3 ?
.
1
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,,321 即合所求eee
a1
a3
a2
几 何 解 释
b1;11 ab ?
,
],[
],[
,
12
12
1
1
1
1
22
122
1
b
b
ba
b
b
b
b
ac
bac
??
即上的投影向量在为;222 cab ?? c
2
b2
,
,2133
平面上的投影向量
的在平行于为 bbac
c3
,
],[],[
,
,,
22
23
12
13
32313
3231
213321
21
b
b
ba
b
b
ba
ccc
cc
bbacbb
????
?
即之和及向量
上的投影分别在等于故由于
c31
c32
.333 cab ??
b3
例４
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交
使求一组非零向量已知
a
aaaaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解
.0
,0,
321
132
???
?
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
它的基础解系为
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12 ??a,],[
],[
1
11
21
23 ???
??? ??a
于是得其中,2],[,1],[ 1121 ?? ????
,
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a
证明 EAA T ?
E?
定义 4 ? ?
,
,1
正交矩阵为称
则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT ?? ?
定理
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
?
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??
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nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
四、正交矩阵与正交变换
为正交矩阵的充要条件是 的列向量都
是单位向量且两两正交．
A A
? ? ETnTT
n
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
,,,21
2
1
?
?
E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
?
????
?
?
21
22212
12111
? ?njiji jiijTji,,2,1,,0 ;,1 ??
??
?
?
????
当
当???
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明,为正交变换设 Pxy ?
.xxxPxPxyyy TTTT ????则有
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
? ?,
12131
21121
31211
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,Pxy ?P
解
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12131
21121
31211
1
,02131121211 ?????????? ???????? ??
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001由于
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例６
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵
验证矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?P
解
.
,,
是正交矩阵所以
且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
,
,,,21
个分量称为第个数第
个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为
所组成的数个有次序的数
iai
nnn
aaan
i
n?
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
一,n 维向量
1.定义
例如
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii ???? ?
n维实向量
n维复向量
第 1个分量
第 n个分量第 2个分量
确定飞机的状态，需
要以下 6个参数：
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)
机身的水平转角 )20( ??? ??
机身的仰角 )22( ???? ???
机翼的转角 )( ???? ???
所以，确定飞机的状态，需用 6维向量
),,,,,( ???zyxa ?
维向量的实际意义n
),,,( 21 nT aaaa ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
a
?
2
1
维向量写成一行，称为 行向量,通常用
?? TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,通常用
等表示，如：
??,,,ba
n
等表示，如：
2,n维向量的表示方法
3.向量的相等
4,零向量
分量都是零的向量 0=（ 0,0,…, 0）
注意维数，不能说零向量都相等。
),,( 21 naaa ??? ),,( 21 nbbb ???
?? ? 当且仅当
niba ii,,2,1,??? （要求维数相等）
5,负向量
),,( 21 naaa ???
,称
),,( 21 naaa ????? ?? 为 ? 的负向量，
显然 ?? ??? ）（,所以负向量是相互关系。
如果
二、向量的线性运算
1,加法
),,(),,,2121 nn bbbaaa ?? ?? ?? （
???
???
??
????
记为
的和与为称 ),,,( 2211 nn bababa ?
若
2.减法
减法用加法定义，如果
),,(),,,2121 nn bbbaaa ?? ?? ?? （
),,,2211 nn bababa ?????
?????
?（当然
的差，与），称为（定义
??
???????
3.数乘
设
是一个数。的数乘，其中与为
（定义
???
?????? ),,),,,( 2121 nn aaaaaa ?? ??
注,1,加法与数乘运算称为线性运算
2,线性运算满足 8条
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
???? ???
)()( ?????? ?????
?? ?? 0
0)( ??? ??
?? ?1
)()()( ????????? ??
??????? ??? )(
??????? ??? )(
3,还有一些常用的结论
①
②
③
?? ??? )1(
000 ??? ???? 或，则一定有若
00
)(,0,0
?????
?????????
??????
????????
，当且仅当
4,线性组合
若干个同维数的列向量（或同维数的行向
量）所组成的集合叫做向量组．
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
?
? ???
mmkkk ??? ??? ?2211
称为向量组 A的一个线性组合。
向量
mkkk,21 ?，，
称为这个线性组合的系数。
mm ??????? ???? 2211
使一组数
如果存在和向量给定向量组
，，，
，
m
mA
???
????
,
,,,,
21
21
?
?
有解.
即线性方程组
???? ???? mmxxx ?2211
则向量 ? 是向量组 A 的一个线性组合，这时也
称向量 ? 能由向量组 A 线性表示．
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组
与向若向量组称
线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若
及
设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
?????? ??
向量组 能由向量组 线性表示
向量组等价,
B A
5,向量组的等价
向量组之间的等价关系具有下述性质：
（ 1） 反身性 A与 A等价；
（ 2） 对称性 若 A与 B等价，则 B与 A等价；
（ 3） 传递性 若 A与 B等价,B与 C等价，则 A与 C等价。
这里 A,B,C为三个向量组。
例 1 证明
等价。
)10( )01()32()21( 2121,，，，,???? ???? 与
证明 显然
212
211
32
2
???
???
??
??
所以 可由 线性表示。21 ??, 21 ??，
212
211
2
23
???
???
??
???
所以 也可由 线性表示。因此它们等
价。
21 ??,21 ??,
由上式容易解得
例 2 已知
将 ?用 ?1,?2线性表示。
)531()101()111( 21 ???????,，，，，，，,???
解 设 即
2211 ??? xx ??
)(
)101()111()531(
21121
21
xxxxx
xx
???
??????
，，
，，，，，，
所以
?
?
?
?
?
???
??
???
5
3
1
21
1
21
xx
x
xx 解得
23 21 ??? xx,
所以 ? = -3?1+2?2
第三节 线性相关性的判别定理
,向量组A 也线性无关则线性无关,组B
若向量也线性相关,反言之,向量组
则线性相关,向量组若 定理1
,,,,
,,,
11
21
?mm
m
B
A
???
???
?
?：
证 由
maaa ?,,21
线性相关，故存在
mkkk,,,21 ?
不全为 0，使
02211 ???? mm akakak ?
从而
00 12211 ????? ?mmm aakakak ?
其中
0,,,21 mkkk ?
这 1?m 个数不全为 0。故向量组
11,,,?mm aaa ?
线性相关,。
定理 2 若 维向量组r
),,( 21 iriii aaaa ?? ),,2,1( mi ??
线性无关，则每个向量各添上一个分量后，得到的
维向量组1?r
),,( 1,1 ?? riirii aaa ?? ),,2,1( mi ??
也线性无关。
证 用反证法,假设
m??? ?,,21
线性相关，则存在不
全为 0的数
121,,,?mkkk ?
，使
02211 ???? mmkkk ??? ?
,0
,0
,0
,0
1,1,221,11
2211
2222121
1212111
????
????
????
????
??? rmmrr
mrmrr
mm
mm
akakak
akakak
akakak
akakak
?
?
???????????
?
?
即
前 r 个式子写成向量形式，即
.02211 ???? mm akakak ?
于是
maaa ?,,21
线性相关，与已知矛盾。
m??? ?,,21
线性无关 。所以向量组
推论 若 r 维向量组线性无关，则在每个向量后添上
rn? 个分量所得到的 n 维向量组也 线性 无关；反言之，若
n
维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。
例 1 设
321,,aaa 432,,aaa
线性相关,线性无关，
证明向量 1a 能由 32,aa 线性表示。
证 因
432,,aaa 线性无关，由定理 1可知 32,aa
线性无关。又已知
321,,aaa
线性相关，所以根据上节
1a
能由
32,aa
线性表示。定理 2，向量
第四节 向量组的秩
，满足
个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
???,,,
21 ?
定义１
线性无关；）向量组（ rA ???,,,:1 210 ?;
0
）
（简称的一个向量组
是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大
无关组
关，个向量的话）都线性相
中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
?
?
r
ArA
一、最大线性无关向量组
二、向量组秩的重要结论
定理 1 设向量组 A,和向量组
B：,如果向量组 A能由向量 B线性表
示，且向量组 A线性无关，则向量组 A所含向量个
数 r 不大于向量 B所含向量的个数 s,即 r≤ s。
raaa,,,21 ?
s???,,2,1 ?
由等价的传递性，可得
性质 2 向量组的任意两个最大无关组等价。
性质 1 向量组与它的最大无关组等价。
推论 1 等价的线性无关向量组所含向量个数
相等,
证明 设向量组 A与 B等价,A组的向量个数为 r，
B的向量个数为 s，由定理 1，有 r≤ s,且 s ≤ r，
所以 r =s。
例如 向量组 A,?1,?2,向量组 B,?, 即
r=2>1=s 。 如果 A可由 B线性表示，即 ?1 =k1?,
?2 =k2?, 显然 ?1,?2线性相关。所以当 ?1,?2
线性无关时，一定有 r≤ s
定义 2 向量组的最大线性无关组所含向量的
个数，称为向量组的秩。
性质 3 向量组线性无关的充要条件是它所含向
量的个数等于向量组的秩。
若一个向量组是线性无关的，那么它的最大
无关组就是向量组本身，从而有
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
它的秩为 0。
，所以 A1能由 B线性表示。又 B能由 B1
线性表示，因此 A1能由 B1线性表示。由定理 1，
即有
证 设 A1是向量组 A的最大无关组,B1是向量组
B的最大无关组。由于 A组能由 B组线性表示，
AA ?1
1r ? 2r
推论 2 设向量组 A的秩为,向量组 B的秩
1r
为
2r,若 A组能由 B组线性表示，则 1r ? 2r
由定理 1及定义 2可以得到以下推论
,等价的向量组的秩相等推论 3
线性表示，
两个向量组能相互因两个向量组等价，即
,rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证
,同时成立与故 srrs ??,rs ?所以
性质 4 当 m>n 时,m个 n 维向量 ?1,?2,· · ·,
?m必线性相关。
定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
nn
y
y
y
y
x
x
x
x
??
? ? nn yxyxyxyx ???? ?2211,令
? ?,,的与为向量称 yxyx 内积
一、内积的定义及性质
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积
的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
? ?4?nn
? ?,,
:,
,,2
yxyx
yx
T?
为内积可用矩阵记号表示向量
都是列如果内积是向量的一种运算
内积的运算性质
? ?,,,,为实数维向量为其中 ?nzyx
? ? ? ?;,,)1( xyyx ?
? ? ? ?;,,)2( yxyx ?? ?
? ? ? ? ? ?;,,,)3( zyzxzyx ???
.0],[0,0],)[4( ??? xxxxx 时有且当
定义 2
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
? ?,,22221 nxxxxxx ????? ?
令
? ?, 或的维向量为称 xnx长度 范数
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 ???? xxxx 时当时当;xx ?? ?
.yxyx ???
二、向量的长度及性质
维向量间的夹角单位向量及 n
? ? ? ?,1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量 ?? ??例
解 ?? ??? ??co s? 22623 18 ???
.4?? ??
? ?,,11 为称时当 xx ?单位向量
? ? ? ?yx yxyx,a r cc o s,0,02 ??? ?时当
,的与维向量称为 yxn夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0],[ yxyx 与称向量时当 ?正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx ?
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
三、标准正交基
,00 21111 ???? ???? T由,01 ??从而有
.02 ??? r?? ?同理可得,,,,21 线性无关故 r??? ?
使设有 r???,,,21 ?证明
02211 ???? r?????? ?
得左乘上式两端以,1a T 0111 ???? T
３ 正交向量组的性质
线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若定理
r
rn
???
???
?
?
21
21 1
例 1 已知三维向量空间中两个向量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
,
1
1
1
21 ??
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交
基,
3? 321 ???,,
４ 向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间
是则称组是两两正交的非零向量
且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
????
?????
??
?
即 ??
?
????
????
02],[
0],[
32132
32131
xxx
xxx
??
??
解之得,0,231 ??? xxx
则有若令,13 ?x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321 ???,,
则有 0],[],[ 3231 ?? ????
解 ? ?,,,0,,213213 正交且分别与设 ??? ?? Txxx
５ 规范正交基
.,,,,
,,,,)
(,,,3
21
21
21
的一个规范正交基是则称向量
两两正交且都是单位如果的一个基
是向量空间维向量设定义
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
?
?
? ?
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
? eeee
例如
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
? eeee
?
?
?
???
???
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且
且
由于
.,,,44321 的一个规范正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ????同理可知
.4 的一个规范正交基也为 R
（ 1） 正交化,取,11 ab ? ? ?
? ?,,
,
1
11
21
22 bbb
abab ??
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vaaa r?
６ 求规范正交基的方法
称为这样一个问题价
等与使位向量
的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基
要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
???
???
???
?
.
,,,21
范正交化
这个基规把 r??? ?
????
1
11
1
2
22
2
1
11
1
],[
],[
],[
],[
],[
],[
?
??
??????
r
rr
rrrr
rr bbb
abb
bb
abb
bb
abab ?
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr aabbbb ???
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r b
be
b
be
b
be ??? ??
.,,,21 的一个规范正交基为那么 Veee r?
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 ????? aaa
正交规范化,
解 先 正交化,
? ?1,1,1,111 ?? ab ? ?
? ? 111 2122,
,b
bb
abab ??
? ? ? ?1,1,1,11111 4114,0,1,1 ??? ????? ? ?3,1,2,0 ???
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组
构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
bb
aa
?
?
施密特正交化过程
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
? ? ? ? ? ?3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,3 ??????? ? ?0,2,1,1 ??
再 单位化,
? ? ?????? ??????? 143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
? ? ?????? ????? 0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得规范正交向量组如下
? ? ?
?
??
?
????
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1 b
be
例３
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量规范正交化特正交化过程把这组向
试用施密设
?
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??
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? aaa
解 ;11 ab ?取
b
b
baab
12
12
22
1
],[??
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?
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?
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1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
21
],[],[ ???
?
?
?
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?
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??
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1 ?
,
1
2
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
be
2
2
2 ?
,
1
1
1
3
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
be
3
3
3 ?
.
1
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,,321 即合所求eee
a1
a3
a2
几 何 解 释
b1;11 ab ?
,
],[
],[
,
12
12
1
1
1
1
22
122
1
b
b
ba
b
b
b
b
ac
bac
??
即上的投影向量在为;222 cab ?? c
2
b2
,
,2133
平面上的投影向量
的在平行于为 bbac
c3
,
],[],[
,
,,
22
23
12
13
32313
3231
213321
21
b
b
ba
b
b
ba
ccc
cc
bbacbb
????
?
即之和及向量
上的投影分别在等于故由于
c31
c32
.333 cab ??
b3
例４
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交
使求一组非零向量已知
a
aaaaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解
.0
,0,
321
132
???
?
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
?
?
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?
?
?
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?
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? ??
它的基础解系为
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12 ??a,],[
],[
1
11
21
23 ???
??? ??a
于是得其中,2],[,1],[ 1121 ?? ????
,
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
?
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?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a
证明 EAA T ?
E?
定义 4 ? ?
,
,1
正交矩阵为称
则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT ?? ?
定理
??
?
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?
??
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nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
四、正交矩阵与正交变换
为正交矩阵的充要条件是 的列向量都
是单位向量且两两正交．
A A
? ? ETnTT
n
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
?
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?
,,,21
2
1
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E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
?
????
?
?
21
22212
12111
? ?njiji jiijTji,,2,1,,0 ;,1 ??
??
?
?
????
当
当???
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明,为正交变换设 Pxy ?
.xxxPxPxyyy TTTT ????则有
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
? ?,
12131
21121
31211
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,Pxy ?P
解
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12131
21121
31211
1
,02131121211 ?????????? ???????? ??
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001由于
? ?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
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??
??
9
7
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4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例６
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵
验证矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?P
解
.
,,
是正交矩阵所以
且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
