《经济数学基础》完整课件（推荐下载）：3

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????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
1,线性方程组
的解取决于
? ?,,,2,1,njia ij ??系数
? ?n,,,ib i ?21?常数项
一、矩阵概念的引入
?
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?
?
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?
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nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
?
?????
?
?
21
222221
111211
对线性方程组的
研究可转化为对
这张表的研究,
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
2,某航空公司在 A,B,C,D四
城市之间开辟了若干航线,
如图所示表示了四城市间的
航班图,如果从 A到 B有航班,
则用带箭头的线连接 A 与 B.
A
B
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示,
发站
到站
A B C D
A
B
C
D
其中 表示有航班,
为了便于计算,把表中的 改成 1,空白地方填上
0,就得到一个数表,
1 1
1 1
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况,
A B C D
A
B
C
D
二、矩阵的定义
由 个数
排成的 行 列的数表
nm?m n ? ?njmia ij,,2,1;,,2,1 ?? ??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
称为 矩阵,简称 矩阵,nm? nm? 记作
?
?
?
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?
?
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?
?
?
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?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
简记为 ? ? ? ?.ijnmijnm aaAA ??? ??
? ?元
的矩阵
nm
A
,
.,简称为元的元素个数称为这 Anm ?
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
主对角线
副对角线
例如 ?
?
??
?
?
? 3469
5301
是一个 实矩阵,42?
?
?
?
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?
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?
?
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?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
?
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?
?
?
?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
? ?9532
是一个 矩阵,41?
?4
是一个 矩阵,11?
例如 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
几种特殊矩阵
(2)只有一行的矩阵
? ?,,,,21 naaaA ??
称为 行矩阵 (或 行向量 ).
(1)行数与列数都等于 的矩阵,称为 阶n nA
.nA方阵,也可记作
,
2
1
??
?
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??
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n
a
a
a
B
?
只有一列的矩阵
称为 列矩阵 (或 列向量 ).
称为 对角
矩阵 (或 对角阵 ）, ?
?
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?
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??
?
?
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?
n
?
?
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?
????
?
?
00
00
00
2
1
（ 3） 形如 的方阵,
O
O
不全为 0
（ 4） 元素全为零的矩阵称为零矩阵,零
矩阵记作 或,
nm?
nmo ? o
注意
? ?,0000
0000
0000
0000
0000
?
??
?
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??
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不同阶数的零矩阵是不相等的,
例如
记作 ? ?.,,,21 nd i a gA ??? ??
(5)方阵
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??
100
010
001
?
????
?
?
n
EE
称为 单位矩阵 （或 单位阵 ）,
同型矩阵与矩阵相等的概念
O
O
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为 同
型矩阵,
全为 1
2.两个矩阵 为 同型矩阵,并且
对应元素相等,即
? ? ? ?ijij bBaA 与?
? ?,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij ?? ???
则称 矩阵 相等,记作BA与,BA ?
例如 ??
?
?
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?
93
48
314
73
65
21
与
为 同型矩阵,
例 1 之个变量与个变量 mn yyymxxxn,,,,,,2121 ??
间的关系式
?
?
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????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
的到变量表示一个从变量 mn yyyxxx,,,,,,2121 ??
线性变换,
.为常数其中 ija
?
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????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
11
22221
11211
??
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
若线性变换为
?
?
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nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
称之为 恒等变换,
?
?
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?
?
nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
对应
??
?
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??
?
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100
010
001
?
????
?
?
单位阵,
线性变换
??
?
??
??
.c oss i n
,s i nc os
1
1
yxy
yxx
??
??对应
?
?
??
?
? ?
??
??
c o ss i n
s i nc o s
X
Y
O ?
? ? ?yxP,
? ?111,yxP
这是一个以原点为中心
旋转 角的 旋转变换,?
例 2 设
,1 31,213 321 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
zy
xBA
.,,,zyxBA 求已知 ?
解,BA ??
.2,3,2 ???? zyx
１、定义
?
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???
???
???
??
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
?
????
?
?
2211
2222222121
1112121111
一、矩阵的加法
设有两个 矩阵 那末矩阵
与 的和记作,规定为
nm? ? ? ? ?,bB,aA ijij ??
A B BA?
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进
行加法运算,
例如 ?
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123
456
981
863
091
5312
?
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???
????
????
?
182633
405961
9583112
.
986
447
41113
?
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??
2,矩阵加法的运算规律
? ? ;1 ABBA ???
? ? ? ? ? ?,2 CBACBA ?????? ?
?
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???
???
???
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
3
? ? ? ? ? ?,,04 BABAAA ???????
? ?,ija??
.负矩阵的称为矩阵 A
1、定义
.
11
22221
11211
??
?
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?
?
??
?
?
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?
?
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
???
???
???
??
?
????
?
?
二、数与矩阵相乘
规定为或的乘积记作与矩阵数,??? AAA
? ? ? ? ? ?;1 AA ???? ?
? ? ? ? ;2 AAA ???? ???
? ? ? ?,3 BABA ??? ???
2、数乘矩阵的运算规律
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线
性运算,
（设 为 矩阵,为数）??,nm?BA、
１、定义
??????
?
s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
?
? ?,,,2,1;,2,1 njmi ?? ??
并把此乘积记作,ABC ?
三、矩阵与矩阵相乘
设 是一个 矩阵,是一个
矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积
是一个 矩阵,其中
? ?ijaA ? sm? ? ?ijbB ?
ns?
nm? ? ?ijcC ?
A B
例１
2222 63
42
21
42
??
?
?
??
?
?
????
??
?
?
?
??C
22 ?
?
?
??
?
?? 16? 32?
8 16
设
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4150
0311
2101
A
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?
?
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121
113
121
430
B例 2
故
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??
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??
121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解 ? ?,43 ?? ijaA? ? ?,34?? ijbB
? ?,33 ??? ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
106
861
985
123
321
例如
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
321
? ?132231 ?????? ? ?.10?
不存在,
２、矩阵乘法的运算规律
? ? ? ? ? ?;1 BCACAB ?
? ? ? ?,2 ACABCBA ???? ? ;CABAACB ???
? ? ? ? ? ? ? ?BABAAB ??? ??3 （其中 为数） ;?
? ? ;4 AEAAE ??
若 A是 阶矩阵，则 为 A的 次幂，即
并且
??5 n kA k
????? ?
个k
k AAAA ?
,AAA kmkm ??? ?,mkkm AA ?
? ?为正整数k,m
注意 矩阵不满足交换律，即：
,BAAB ? ? ?,BAAB kkk ?
例 设 ??
??
?
?
??? 11
11A ?
?
??
?
?
?
??
11
11B
则,00 00 ?
?
??
?
??AB,
22
22 ?
?
??
?
?
???BA
.BAAB ?故
但也有例外，比如设
,20 02 ?
?
??
?
??A,
11
11 ?
?
??
?
?
?
??B
则有
,?
?
??
?
??AB 2 2?
2? 2
?
?
??
?
??BA 2 2?
2? 2
.BAAB ??
如果 AB=BA,称 A与 B是可换的。当 A,B可换
时，可得
222 2)( BABABA ????
设 A 为 n阶方阵，由于 A与 E可换，因此
?
?
??
m
k
kk
m
m ACEA
0
)(
kkk BAAB ?)(
))((22 BABABA ????
例 3 计算下列乘积：
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
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?
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?
?
?
解
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
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? 12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
?
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? ? ? ?
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?
?
3
2
1
333231
232221
131211
3212
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
解
332222112 bababa ?? ?
?
?
?
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?
?
?
?
?
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa ??????
? ?
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3
2
1
333231
232221
131211
321
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
331221111 bababa ??=( 333223113 babab ??）
解 ?
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00
10
01
00
10
01
2A
.
00
20
12
2
2
2
?
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??
??
.
00
10
01
kAA 求设
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例 4
?
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??
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??
??
00
10
01
00
20
12
2
2
2
23 AAA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
23
23
00
30
33
?
??
???
由此归纳出
? ?
? ?2
00
0
2
1
1
21
?
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?
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?
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?
?
? ?
?
?
??
kk
kk
k
A
k
kk
kkk
k
?
??
???
用数学归纳法证明
当 时，显然成立,2?k
假设 时成立，则 时，nk ? 1?? nk
? ?
,
00
10
01
00
0
2
1
1
21
1
?
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??
???
n
nn
nnn
nn
n
nn
n
AAA
所以对于任意的 都有k
? ?
.
00
0
2
1
1
21
?
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?
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k
kk
kkk
k
k
kk
k
A
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???
? ?
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? ?,
00
10
2
1
1
1
1
11
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??
n
nn
nnn
n
nn
n
?
??
???
3、矩阵多项式
设 是一个
m次的多项式,A为 n阶方阵，记
0111)( axaxaxaxP mmmm ????? ?? ?
EaAaAaAaAP mmmm 0111)( ????? ?? ?
其中 E为 n阶单位矩阵，则 P(A)称为矩阵多项式。
例 设,,求 P(A), 62)( 2 ??? xxxP
31
20
??A
解
??
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
???
237
142
10
01
6
31
20
31
20
2
62)(
2
2 EAAAP
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221 ?
?
??
?
??A ;
82
52
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?TA
? ?,618?B,618 ???????TB
四、矩阵的转置
1.转置矩阵
转置矩阵的运算性质
? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
例 5 已知
,
102
324
171
,
231
102
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? BA ? ?
.TAB求
解法 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140 ?
?
??
?
? ??
? ?,
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? TAB
解法 2
? ? TTT ABAB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
定义 设 为 阶方阵，如果满足,即
那末 称为 对称阵,
A n TAA ?
? ?n,,,j,iaa jiij ?21??
A
.A 为对称阵例如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
601
086
1612
.称为反对称的则矩阵如果 AAA T ??
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等,
说明
五、对称与反对称矩阵
例 6 设列矩阵 满足? ?TnxxxX,,,21 ??,1?XX T
.,
,2,
EHH
HXXEHnE
T
T
?
??
且阵
是对称矩证明阶单位矩阵为
证明 ? ?TTT XXEH 2??? ? ?TTT XXE 2??
,2 HXXE T ???
.是对称矩阵H?
2HHH T ? ? ?22 TXXE ??
? ?? ?TTT XXXXXXE 44 ??? ? ? TTT XXXXXXE 44 ???
TT XXXXE 44 ???,E?
例 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵
与反对称阵之和,
n A
证明 TAAC ??设
? ?TTT AAC ??则 AA T ?,C?
所以 C为对称矩阵,
,TAAB ??设 ? ?TTAAB ??则 AA T ??,B??
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A ????,2BC ?? 命题得证,
定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
?
?
??
?
??
86
32A例
86
32?A则
.2??
运算性质 ? ? ;1 AA T ? ? ? ;2 AA n?? ?
? ? ;3 BAAB ?,BAAB ??
六、方阵的行列式
定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
21
22212
12111
性质,EAAAAA ?? ??
证明 ? ?,ijaA ?设 ? ?,ijbAA ??记 则
jninjijiij AaAaAab ???? ?2211,ijA??
称为矩阵
的 伴随矩阵,
A
七,伴随矩阵
定义
当 为复矩阵时，用 表示 的共轭
复数，记, 称为 的共轭矩阵,
? ?ijaA ? ija ija
? ?ijaA ? A A
故 ? ?ijAAA ??? ? ?ij??,EA?
同理可得
?
?
??
?
?? ?
?
?
n
k
kjki aAAA
1
? ?ijA?? ? ?ijA ??,EA?
八、共轭矩阵
? ? ;2 AA ?? ?
? ?,3 BAAB ?
运算性质
? ? ;1 BABA ???
（设 为复矩阵,为复数,且运算都是可行的）,BA,?
,111 ?? ?? aaaa
一、概念的引入
在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 ?? a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中
的 1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩
阵的概念。
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于 阶矩阵,如果存在 阶矩阵
则说矩阵 A是 可逆 的，并把矩阵 B称为 A的一个
逆矩阵,
B
,EBAAB ??
n
使得
n A
例 设,2121
2121,
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
? ?? BA
,EBAAB ???,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
事实上若设 和 是 的逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB ????
可得 EBB ? ? ?BCA? ? ?ABC?,CCE ??
所以 的逆矩阵是唯一的。A
A的逆记为,即 AA-1=A-1A=E。1?A
例 设,01
12 ?
?
??
?
?
??A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,??
??
?
??
dc
baB
A
则 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?? dc
baAB
01
12 ?
?
??
?
??
0
01
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
???
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
?
?
??
?
?
? 01
12 ?
?
??
?
? ?
21
10 ?
?
??
?
?
? 01
12
? ??????
?
21
10
,10 01 ?
?
??
?
??
所以,21 101 ?
?
??
?
? ???A
AB AB
定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 ?? ? AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA ??? 11 使即有
,11 ??? ? EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA ?
,0时当 ?A
,0时当 ?A
??
?
?
?
?
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??
?
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??
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??
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nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?
AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211
,
?
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?
?
?
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?
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?
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?
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A
A
A
A
O
O
?
EAAAAA ?? ??,EAA
A
A
AA ??? ??
.1 AAA
?
? ?
按逆矩阵的定义得
证毕
.
,0,,0
非奇异矩阵
称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA ??
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1??? EBA,0?A故
,1 存在因而 ?A 于是
EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??
EA 1??,1?? A 证毕
? ?,,1???? ABEBAEAB 则或若推论
证明
? ? ? ?,,,1 111 AAAA ???? 且亦可逆则可逆若
逆矩阵的运算性质
? ?
且可逆则数可逆若,,0,2 AA ?? ?
? ? 且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB
1?? AEA,1 EAA ?? ?
? ?,111 ??? ?? ABAB
证明
? ? ??1AB B 1? 1?A
? ?,1 11 ?? ? AA ??
? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE?,E?
? ? ? ?,11 TT AA ?? ??
? ?,,
,0,
10 kk AAEA
A
?? ??
? 定义时当另外
证明
? ?为正整数k
? ?,1212 ?? ? AA ??推广 1A mA 1?mA 1?1A
? ? ? ? ? ?,,,4 AAAA T ?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
? ?,AA,A 115 ?? ?则有可逆若
证明 EAA ?? 1?
11 ?? ?AA
.AA 11 ?? ?因此
有为整数时当,,,0 ???A
,???? ?? AAA ? ?,???? A?
例 1 求方阵 的逆矩阵, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A
解
343
122
321
?A?
,0?,1 存在?? A
,234 1211 ??A,333 1212 ????A
三、逆矩阵的求法
同理可得,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA
,2,5,4 333231 ????? AAA
,
222
563
462
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
??A得
故
?? ? A
AA
11
?
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??
?
?
222
563
462
2
1,
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
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?
?
??
?
?
,
331
212
321
?
?
?
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?
?
?A,
1151
531
132
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
解
331
212
321
?A
010
430
321
???
.
,?,
矩阵
求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 2
010
430
321
???
01
43 ???
4?,0?,A 可逆所以
,333 2111 ???A?,431 2212 ????A
,531 1213 ??A
.A,A
,A,A,A,A
34
1103
3332
31232221
???
?????同理可求得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
332313
322212
312111
1 1
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
315
404
133
4
1
1151
531
132
?
?
?
?B由于
,0?,B 不可逆故
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
?
?
?
?
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??
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? CBA
例 3 设
.CAXBX ?使满足求矩阵
解
,02
343
122
321
???A?
,0135 12 ???B
.,11 都存在??? BA
,
111
25323
231
1
?
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??
?
??A且
,25 131 ?
?
??
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???B
CAX B ?又由 1111 ???? ?? CBAAXBBA
.11 ???? CBAX
于是 11 ??? CBAX
?
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?
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
证明,022 ??? EAA由
? ? EEAA 2??得
,0?? A
EEAA ??? 2
12 ??? EAA
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆
证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
?
???例 4
?
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25
13
20
20
11
.
410
410
12
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
.可逆故 A
1?A
022 ??? EAA又由
? ?? ? 0432 ????? EEAEA
? ? ? ? EEAEA ??????? ???? 3412
.EA 可逆故 2?
? ? ? ?EAEA 3412 1 ???? ?且,43 AE ??
? ?.211 EAA ??? ?
? ? 12 ?? EA
? ?,13412 ????? EAEA
? ? ;
510
402
321
112
011
111
2
?
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? ?
X
? ?,
112
510
324
123
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111
112
011
111
3
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X
? ? ;41 2341 511 ?
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? X解矩阵方程例 5
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??
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23
41
51
41
51
41
51 11 X得
?
?
??
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??
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???
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23
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54,
64
2817 ?
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???
解 ? ? ?
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??
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???
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41
23
41
511 X
给方程两端左乘矩阵,41
51 1??
?
??
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?
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??
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??
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??
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? ??? ?
41
23
41
51 1X
E
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510
402
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112
011
111
2 X
1
112
011
111
510
402
321
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?X
给方程两端右乘矩阵
,
112
011
111
1?
?
?
?
?
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?
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? ?
得
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112
510
324
123
011
111
112
011
111
3 X
.
9144
682
592
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
给方程两端左乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
?
?
?
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?
?
?
?
? ?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
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??
??
?
?
251
121
131
112
510
324
251
121
131
.
4712021
21529
307513
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
11
123
011
111
112
510
324
123
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111
??
?
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?
?
?
?
?
?
?
? ?
?X
得
给方程两端右乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
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?
?
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?
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? ?
?
?
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????
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61 ???
? ? ABAEA 61 ??? ? ? ? EBEA 61 ??? ?
? ?,6 11 ?? ??? EAB
解
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 6
1
100
010
001
700
040
002
6
?
?
?
?
?
?
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?
?
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1
600
030
001
6
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
1
600
030
001
6
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?
?
?
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?
?
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?
?
6100
0310
001
6,
100
020
006
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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? ? 116 ?? ?? EAB
,0!5 ??A因
由伴随矩阵法得,1 AAA ?? ?
解,1存在故 ?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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? AA 求已知
例 7
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???
???
???
???
???
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05321000
00542100
00054310
00005432
5
1
!
.
510000
041000
003100
000210
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A,为了简化
运算，经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成
小矩阵的运算。
具体做法,将矩阵 A用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的 子块,
以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 。
,
3
2
1
?
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?
?
?
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B
B
B
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110
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000
001
例
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001a
b
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CC
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1
1
00
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000
001
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000
001
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0
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1
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10
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1
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1
2
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A
0
0
3
b
b
1
4
??
? ?
有相同的分块法
采用列数相同的行数相同与设矩阵
,
,,1 BA
那末列数相同的行数相同与其中,,ijij BA
.
11
111111
?
?
?
?
?
?
?
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srsrss
rr
BABA
BABA
BA
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二、分块矩阵的运算规则
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srs
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BB
BB
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AA
AA
A
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1
111
1
111
,
? ? 那末为数设,,2
1
111
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srs
r
AA
AA
A
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.
1
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srs
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AA
AA
A
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??
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例 ??
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654
123
321
A
,2??
222
222
222
???
???
???
?
?
?
?
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?
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654
123
321
A
2
.
12108
246
644
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 分块成矩阵为矩阵为设,,3 nlBlmA ??
,,
1
111
1
111
?
?
?
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trt
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sts
t
BB
BB
B
AA
AA
A
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??
?
?
??
?
那末的行数
的列数分别等于其中
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且非零子块都其余子块都为零矩阵上有非零子块
角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设
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为分块那末称都是方阵其中 AsiA i ??
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分块对角矩阵的行列式具有下述性质,
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1
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aaaa
aaaa
aaaa
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nj
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21
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111211
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.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
矩阵的秩
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,??
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aaa
aaa
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n
n
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21
21
22221
11211
?T1
?T2
?Ti
?Tm
向量组,,…, 称为矩阵 A的行向量组．?T1 ?T2 ?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵,
矩阵构成一个
组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
?
,,,,21 ??? ?
矩阵构成一个
的向量组
维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
?
,,,
21 ??? ?
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T
m
T
T
B
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2
1
),,,( 21 mA ??? ??
定义 1 矩阵 A的行向量组的秩叫做矩阵 A的秩，
记作 R(A)
阶子式.一个k的A式，称为矩阵
到的k 阶行列中所处的位置次序而得A变它们在
不改元素,个k叉处的n ），位于这些行列交k
m,列（kk行k中任取A矩阵nm在 定义2
2
?
??
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm ??
.，即的秩为矩阵0,那么话）全等于
阶子式（如果存在的的，且所有包含式
阶子的0中有一个不等于设在矩阵定理1
rR ( A )rA
rDD
rA
?
? 1
证明 不失一般性。可设 D位于 A的左上角（否
则可以经过对调达到这一目的，而经过对调含有
D的 r+1阶子式只是改变若干次符号，仍等于零）
即
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nrrrrrr
rnrrrrr
nrr
aaaa
aaaa
aaaa
D
aaaa
A
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??
??
?????
??
11
111111
11
111111
下面证明 A的前 r 行向量 ?1,?2,···,?r是行向量
组 ?1,?2,···,?m的一个最大无关组。
首先 ?1,?2,···,?r线性无关，否则其中某个向
量可由其余 r-1个向量线性表示，从而 D=0,与
假设矛盾。
其次证明 ?r+1,?r+2,···,?m可由 ?1,?2,···,?r
线性表示，为此作 r+1 阶行列式
lklrl
rkrrr
kr
k
aaa
aaa
aaa
D
?
?
????
?
1
1
1111
?
l=r+1,··,m.
若 k≤r,Dk中有两列相同因而 Dk=0,若 k>r,则 Dk
为包含 D的 r+1阶子式，有假设 Dk=0,因此总有
Dk=0。
将 Dk按最后一列展开，有
02211 ????? DaAaAaAa lkrrkkk ?
其中 Ai 与 k无关，是由 l 确定的一组常数，由于
D≠0,于是
nk
AaAaAa
D
a rrkkklk
，，,?
?
2 1
)(
1
2211
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?????
mrl
AAA
D rrl
，，,?
?
2r 1
)(
1
2211
???
????? ????
即
所以 ?r+1,?r+2,···,?m可由 ?1,?2,···,?r线性
表示。从而 ?1,?2,···,?r是 A的行向量组的一个
最大无关组，所以 R(A)=r.
从以上的证明可以看出,D≠0的 r阶子式所在的
行的 r 个行向量是 A的行向量组的一个最大无关
组。
推论 1 若 中有一个 阶子式不等于 0，则A r,)( rAR ?
推论2,阶子式全为0,则中所有的若 rR ( A )rA ?
例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
?
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?
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??A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21 ?
，且 0?A
.2)( ?? AR
。
，，，，，，，
，，，，，，，，
和它的一个最大无关组
的秩)3 6 2 0()1 3 0 1(
)3 1 1 2( )0 1 4 1(
43
21
??????
????
??
??
例 2 求向量组
解 将 ?1,?2,? 3,?4作为行向量组，构成矩阵
3620
1301
3112
0141
?
??
??
?A
容易看出,A的 2阶子式
0
12
41
2 ??D
A中包含 D2的 3 阶子式有 4个，其中
016
301
112
141
3
??
?
??D
A中包含 D3的 4阶子式只有 1个，即,经计算知A
0?A
所以 R(A)=3,即向量组 ?1,?2,?3,?4的组等
于 3。且由 D3位于前三行，知 ?1,?2,? 3是该向
量组的一个最大无关组。
定理 2 矩阵 A的秩等于其列向量组的秩
证 AT中的每个子式都是 A的某个子式的转置，它
们有相同的值，因此定理 1的假设对 AT与 A同时成
立。从而 。而 AT的行向量组就是的 A
列向量组，所以 A的秩等于它的列向量组的秩。
)()( TARAR ?
由定义 1及定理 2可知
的秩的列秩的行秩 AAA ??
矩阵的初等变换
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
? ? ）；记作两行对调两行（对调 ji rrji ?,,1
? ? ;02 乘以某一行的所有元素以数 ?k? ?
.
3
）记作
行上倍加到第行的对应的元素上去（第
倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
?
）记作行乘（第 krki i ?,
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为
矩阵的 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型
相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是
把,r”换成,c”)．
ji rr ?
kri ?
逆变换 ;ji rr ?
逆变换 ;)1( krkr ii ?? 或
ji krr ? 逆变换,)( jiji krrrkr ??? 或
等价关系的性质：；反身性）（ A A 1 ?
A;B,B A 2 ?? 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 ??? 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
定理 1 若矩阵 A经过有限次初等行变换变成矩阵
B,则 A的行（列）向量组与 B的行（列）向量组
等价。
（ 1）如果矩阵 A经过某一种初等行变换变为 B，
那么对第一、二种变换，结论是显然的。下面考
虑第三种变换,因为,其余
行不变，所以 可由
线性表示。
ji krr ? jii k ??? ??
m???,，,? 21 m???,，,? 21
证明 设 A的行向量组为, B的
行向量组为
m???,，,? 21
m???,，,? 21
又 其余行不变。所以
可由 线性表示。
于是 A 的行向量组与 B的行向量组等价。
jijii kk ????? ????
m???,，,? 21 m???,，,? 21
（ 2）如果 A 经过有限次初等行变换变为 B,由（ 1）
即向量组等价的传递性，可知 A 的行向量组与 B的
行向量组等价。
对列变换情形，可以同样证明。
.~ ）（）（,BRARBA ?则若推论
定理 2 在初等行（列）变换下，矩阵的列
（行）向量间的线性关系不变。
证明 以初等行变换为例，设 A经过某种行变换
化为 B,记
? ? ? ? BA mm ??? ?????? ?? 2121
那么方程组
0
0
2211
2211
????
????
mm
mm
xxx
xxx
???
???
?
?与方程组 同解
从而 线性相关当且仅当
线性相关。
m???,，,? 21
m???,，,? 21
并且当某个 可由其余
线性表示时,也可由
线性表示，且表示系数相同。所以 A的行向量组
与 B的行向量组具有相同的线性性。
i? mii
?????,，，，，,?? 1121 ??
i? mii ?????,，，，，,?? 1121 ??
推论 在初等行（列）变换下，矩阵的任意个
向量的线性关系不变，从而它们有相同的线性相
关性。
例 1 求下列矩阵 A的秩。
?
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??
??
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43333
32012
66242
20121
A
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13 2rr ?
14 3rr ?
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24 3rr ?
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00000
13000
12230
20121
上式最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵，它具有下
述特性：每个阶梯只有一行。由此看出 R(A)=3.
从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩，还可
看出这个矩阵的第 1,2,4三列线性无关，因而矩
阵的第 1,2,4三个列向量是 A 的列向量组的一个
最大无关组。
继续实行行变换，还可化为最简单的形式：
3
1
2 ?r
3
1
3 ?r ?
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20121
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3
1
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9
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0
3
2
10
9
16
0
3
1
01
32 3
2 rr ?
21 2rr ?
这个行阶梯形矩阵具有这样的特性：非零行向量
的第一的非零元素为 1，且含这些元素的列的其他
元素都为零，这个矩阵称为矩阵 A的行最简形。
m ⅹ n矩阵 A经过初等行变换可化为行最简形，若
再经过初等列变换，即可化为下面的最简形式：
nm
rE
?
??
?
?
??
?
?
00
0
这个矩阵称为 A的标准形，其中 Er是一个 r 阶的单
位矩阵,r 等于 A的秩。因此 A与 B等价当且仅当 A
与 B有相同的标准形。由此可知方阵 A 可逆的充分
必要条件是 A与 E等价。
例 2 设,，，,
7
1
3
1
9
8
2
5
3
1
1
1
1
3
1
1
4321
?
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? ????
（ 1）求此向量组的秩；
（ 2）判断此向量组的线性相关性；
（ 3）求此向量组的一个最大线性无关组。
（ 4）将其余向量用这个最大线性无关组线
性表示。
解 构成矩阵
4321 ????,，，
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7931
1813
3211
1511
)(
4321
????,，，A
12 rr ?
14 rr ?
13 3rr ?
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81440
4720
4720
1511
23 rr ?
24 2rr ?
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0000
0000
4720
1511
22 ?r
21 rr ?
? ?
4321
0000
0000
2
2
7
10
1
2
3
01
????,，，??
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? B
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应
用广泛,
一、初等矩阵的概念
?
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?
?
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数
乘某行或某列；以数
对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE ?
对调两行或两列、1
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1
1
01
1
1
10
1
1
),(
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???
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jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm ?? )(),(
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mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
?
???
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???
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???
?
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
?行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以
类似地，
AjiEn n ),(
?
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mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
???
????
???
???
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
?列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数 ?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数 ??
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1
1
1
1
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kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i ?
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mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
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???
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???
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21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
?列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以
上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03 ?k
，列上列加到第的第乘或以
行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
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1
1
1
1
))((
?
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k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
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mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
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???
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???
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???
?
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA ?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
?列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
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mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
???
????
???
???
1
222221
111111
))((
所以（ 1） A的秩等于 2.
（ 2） ?1,?2,?3,?4线性相关,
（ 3） ?1,?2是它的一个最大线性无关组,
（ 4） 因为,
314213 2 2
7
2
3 ?????? ????,
314213 2 2
7
2
3 ?????? ????,所以
定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一
次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的
阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于
在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
二、初等矩阵的应用
),(),( 1 ；则
的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
?
?
?
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
?
??
?则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
??
???
?则
，的逆变换为变换
定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等
方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP ?? ?使
证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP ?
APEPPPP lrr ?? ?? 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
?
?
使阶可逆方阵及阶可逆方阵
存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故
利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA ?21 0 ??
,11111 EAPPP ll ????? ?,111111 ????? ? AEPPP ll ?及
? ?EPPPAPPP llll 1111111111 ????????? ??
? ?1?? AE
? ?EAPPP ll 11111 ????? ?
,
)(2
1?
?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把
施行初等行变换，矩阵即对
.
100
010
001
4
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?P
由初等方阵的性质得
4213 PEPPPA ?,4213 PPPP?
.,
343
122
321
1?
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? AA 求设
解
例１
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???
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103620
012520
001321
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1034
010122
001321
EA
12 2rr ?
13 3rr ?
21 rr ?
23 rr ?
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???
???
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111100
012520
011201
21 rr ?
23 rr ?
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???
??
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111100
563020
231001
31 2rr ?
32 5rr ?
31 2rr ?
32 5rr ?
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
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111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
,
1 BA ?矩阵
的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA ?? ??
)( BA
BA 1?
即
初等行变换
例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
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BA
BAXX,其中使求矩阵
解,1 BAXA ??可逆，则若
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34343
13122
52321
)( BA
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????
????
122620
91520
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31
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32 5rr ?
.1?? CAY即可得
作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求 ?
?
??
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?? ?
C
ACAY
,CA 1 ?
?
??
?
??
?
??
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?CA
E列变换
),)(,(),1 TTTT CAECA ?（ 列变换
TT1 C)( ?? AY T即可得,C)( T1?? TA
.Y即可求得
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
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n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求
方阵已知
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????
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解
例 3
,02 ??A?,可逆A?
.1* ?? AAA且
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??
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,
1000
1100
0110
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2
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1
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A
,2 1* ?? AA?
??
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ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 ????? nn