§ 2 方差
1,定义
在实际问题中常关心随机变量与均值的
偏离程度，可用 E | X - E X |，但不方便；所以
通常用 2)( EXXE ? 来度量随机变量 X 与其均
值 EX 的偏离程度。
设 X 是随机变量，若 2)( EXXE ? 存在，称其
为随机变量 X 的方差，记作 DX, V a r ( X ),即：
D X = V a r ( X ) = 2)( EXXE ? 。 DX 称为标准差。
§ 2 方差
??
?
?????
1
22 )()(
i
ii pEXxEXXEDX, 离散型。
?
?
??
?? dxxfEXxDX )()( 2, 连续型。
第四章 随机变量的数字特征
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
? ? 22 EXEXDX ??
证明：
? ? 2EXXEDX ??
? ? ? ?? ?22 2 EXXEXXE ????
? ? ? ? 22 2 EXEXEXEX ????
? ? ? ? 222 2 EXEXEX ???
? ? 22 EXEX ??
方差也可由下面公式求得：
注,方差描述了随机变量的取值与其
均值的偏离程度。
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们
：甲击中的环数；X
：乙击中的环数；Y
平较高？试问哪一个人的射击水
例 13
X 8 9 10
P 0,3 0,2 0,5Y 8 9 10
P 0,2 0,4 0,4
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
解：
．比较两个人的平均环数
甲的平均环数为
5.0102.093.08 ??????EX ? ?环2.9?
乙的平均环数为
4.0104.092.08 ??????EY ? ?环2.9?
的方差分别为的，但两个人射击环数
是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看
例 13（续）
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
? ? ? ? ? ? 5.02.9102.02.993.02.98 222 ?????????DX
76.0?
? ? ? ? ? ? 4.02.9104.02.992.02.98 222 ?????????DY
624.0?
，由于 DXDY ?
甲稳定．这表明乙的射击水平比
例 13（续）
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2、方差的性质
1 ) D X ? 0,若 C 是常数，则 D C = 0
2 ) DXCCXD 2)( ?
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
3 ) ))((2)( 22 EYYEXXa b EDYbDXabYaXD ??????,
a, b 是常数。若 X, Y 独立，
则 DYbDXabYaXD 22)( ???
)])(([2
])([])([ 2222
EYYEXXabE
EYYbEEXXaE
???
????
2
2
)]()([
)]([)(
EYYbEXXaE
bYaXEbYaXEbYaXD
????
?????
证：
)()(222 EYYEXXabEDYbDXa ?????
2)( EXXEDX ??
4 ) D X = 0 ? P{ X = c } = 1, c = E X
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
DYbDXa 22 ??
若 X,Y独立，则
E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0
故：
))((2)( 22 EYYEXXa b EDYbDXabYaXD ??????,
注：
令, 则 EY=0,DY=1。
称 Y是随机变量 X的 标准化 了的随机变量 。DXEXXY /)( ??
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
例 14
|||,|]1,0[~,YXDYXEUYX ??，且相互独立。求：设
解：
x
y
0
1
1
.10,101),(
,101)(,101)(
?????
??????
yxyxf
yyfxxf YX
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
例 14续
? ? ??
1
0 0
)(2
x
dyyxdx ? ??
1
0
2
2 )
2
(2 dxxx
3
1?
22 )( YXEYXEYXD ?????
先求：
?? 2YXE
? ?? ? ?????
?
??
?
??
1
0
1
0
||),(|||| d x d yyxd x d yyxfyxYXE
? ? ?? ????
1
0
1
0 00
)()(
yx
dxxydydyyxdx
x
y
0
xy?
1
1
??? ?
?
??
?
??
d x d yyxfyx ),(|| 2 ?? ?
1
0
1
0
2|| d x d yyx 返回主目录
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
例 14（续）
6
1)2(
1
0
1
0
22 ???? ? ? d x d yyxyx
22 )( YXEYXEYXD ?????
则：
18
1)
3
1(
6
1 2 ???
思考题,若 且它们独立，),,(~),,(~ 22 ???? NYNX
|||,| YXDYXE ??求：
? ? ??
1
0
1
0
2)( d x d yyx
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3,定理
证明,（只证 X 是连续型）
2
2
2
2
2 )()(
1
?
?
?
?
?
???? ?
?
??
DXdxxfx 。
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
)C h e b y s h e v( 不等式定理,（ 切比晓夫不等式 ）
设随机变量 X有数学期望,对任意
>0,不等式 成立,
或
2,?? ?? DXEX 方差
?
22 /}|{| ???? ???XP
22 /1}|{| ???? ????XP
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?
??
??
?? ?
?
||
2
2
)(||
x
dxxfx?
??
???
??
??
||
)(}|{|
x
dxxfXP
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情
况下，事件 }|{| ?? ??X 的概率的一种估计方法。
例如：在上面不等式中，取 ??? 4,3?,有：
8889.0}3|{| ??? ??XP
9375.0}4|{| ??? ??XP
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
例 15
).61,600(~,600 BXX 则粒种子中的良种数表示设解：
}02.0
6 0 0
1 0 0-X
P {}02.0
6
1
6 0 0
X
P {
.
6
5
6
1
6 0 0DX,
6
1
6 0 0 E X
????
?????
由切比晓夫不等式有
4 2 1 3.0
1 4 4
6
5
6
1
6 0 0
1
12
1}121 0 0-XP{ 2 ?
??
?????? DX
假设一批种子的良种率为, 从中任意选出 600粒, 试用
切比晓夫 （ Chebyshev） 不等式估计：这 600粒种子中良
种所占比例与 之差的绝对值不超过 0.02的概率 。
6
1
6
1
§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
不等式证明：利用 C h e b y s h e v ? ?,，则若 10 ??? EXXPDX
证明：
? ? ? ?0???? EXXPEXXP ? ?0??? EXXP
? ?01 ???? EXXP
? ? ??
?
?
???
?
??
?
??
? ????? ?
?
?
1
10
n n
EXXPEXXP而
??
? ?
????? ???
1
1
n n
EXXP ? ?概率的次可列可加性
不等式，得由概率的非负性及 C he bys he v
例 16
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§ 2 方差
第四章 随机变量的数字特征
2
1
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
n
DX
n
EXXP
0?
01 ?
??
?
??
? ??
nEXXP所以，
? ??，,21?n
? ? 0000
1
????? ?
?
?n
EXXP所以，
? ? 00 ??? EXXP所以,? ?,因此,1?? EXXP
例 16（续）
我们有：由此例及方差的性质，
? ? ? ?为常数CCXP 1??
的充分必要条件为,0?DX
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