1,概 念
定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数，函数
}{)( xXPxF ??
称为 X 的分布函数．
对于任意的实数 x1,x2 (x1< x2),有,
).()(
}{}{}{
12
1221
xFxF
xXPxXPxXxP
??
??????
x1 x2 x
X
o
}{)( xXPxF ??
0 x x
X
§ 3 随机变量的分布函数
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例 1 设随机变量 X 的分布律
为,求 X 的分布函数,
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
解,当 x <-1 时，满足,的集合为的 ?? XxX
0 ２ x
X
３-1x
.0}{}{)( ????? PxXPxF
2,例 子
§ 3 随机变量的分布函数
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当,21 时??? x 满足 X ? x 的 X 取值为 X = -1,
.41}1{}{)( ?????? XPxXPxF
２ x
X
３-1 x
当
,32 时?? x 满足 X? x 的 X 取值为 X = -1,或 2
.2141}21{}{)( ???????? XXPxXPxF 或
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
§ 3 随机变量的分布函数
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同理当,3 时x?
.1}321{}{)( ???????? XXXPxXPxF 或或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
.3,1
,32,
4
3
,21,
4
1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数
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,41)21(}21{ ??? FXP
,214143)23()25(}2523{ ??????? FFXP
,
4
3
2
1
4
3
1
}2{)2()3(
}32{
????
????
??
XPFF
XP
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数
-1 0 1 2 3 x
1
2
1
4
1
4
1
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1,2,…) 处有跳跃，
其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
§ 3 随机变量的分布函数
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例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上
任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，
并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,
试求随机变量 X的分布函数,
解,（ 1） 若 x < 0,则 是不可能事件，于是}{ xX ?
.0)(}{)( ????? PxXPxF
（ 2）
,}0{
,20
2xkxXP
x
???
?? 由题意，若 X
§ 3 随机变量的分布函数
时于是,20 ?? x
.
4
}0{}0{}{)(
2x
xXPXPxXPXF
?
???????
（ 3） 若,则 是必然事件，于是}{ xX ?2?x
.1}{)( ??? xXPxF
.
4
}20{,4/1
2x
xPk ???? 即得
与上式对比由已知得取,1}20{,2 ???? xPx
§ 3 随机变量的分布函数
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.2,1
,20,
4
,0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
0 1 2 3
1
F(x)
x
§ 3 随机变量的分布函数
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3,分 布 函 数 的 性 质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象,可以
看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
).()( 12
12
xFxF
xx
?
? 时，即当
10 F (x) 是一个不减的函数．
0 1 2 3
1
F(x)
x
§ 3 随机变量的分布函数
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20
.1)(lim)(;0)(lim)(
,1)(0
???????
??
?????
xFFxFF
xF
xx
且
30,)(),()0( 是右连续的即 xFxFxF ??
-1 0 1 2 3 x
1
§ 3 随机变量的分布函数
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用分布函数计算某些事件的概率
? ? ? ? 的分布函数，则是随机变量设 XxXPxF ??
? ? ? ?0??? aFaXP
? ? ? ? ? ?aXPaXPaXP ?????
? ? ? ?0??? aFaF
? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????
? ? ? ?aFbF ??
§ 3 随机变量的分布函数
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用分布函数计算某些事件的概率
? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????
? ? ? ?0??? aFbF
? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????
? ? ? ?aFbF ??? 0
? ? ? ? ? ?aXPbXPbXaP ??????
? ? ? ?00 ???? aFbF
§ 3 随机变量的分布函数
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用分布函数计算某些事件的概率
? ? ? ?bXPbXP ???? 1 ? ?bF?? 1
? ? ? ?bXPbXP ???? 1 ? ?01 ??? bF
§ 3 随机变量的分布函数
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例 3 的分布函数为设随机变量 X
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
x
x
x
x
x
x
xF
31
32
12
11
21
3
2
10
2
00
? ?3?XP试求：⑴．
? ?3?XP⑵．
? ?1?XP⑶．
??
?
??
? ?
2
1XP⑷．
? ?42 ?? XP⑸．
? ?31 ?? XP⑹．
§ 3 随机变量的分布函数
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例 3（续）解：
? ? ? ?33 FXP ??⑴．
? ? ? ?033 ??? FXP⑵．
? ? ? ? ? ?0111 ???? FFXP⑶．
?????????????? ? 21121 FXP⑷．
? ? ? ? ? ?20442 FFXP ?????⑸．
? ? ? ? ? ?010331 ?????? FFXP⑹．
1?
12
11?
6
1
2
1
3
2 ???
4
3
4
11 ???
12
1
12
111 ???
12
5
2
1
12
11 ???
§ 3 随机变量的分布函数
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例 4设随机变量 X 的分布函数为
? ? ? ????????? xB ar c t gxAxF
．、试求常数 BA
解：
由分布函数的性质，我们有
? ? ? ?B a r c t g xAxF xx ??? ?????? limlim0 BA
2
???
? ? ? ?B a r c t g xAxF xx ??? ?????? limlim1
BA 2???
§ 3 随机变量的分布函数
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例 4（续）
解方程组
?
?
?
?
?
??
??
1
2
0
2
BA
BA
?
?
得解
．,?121 ?? BA
§ 3 随机变量的分布函数
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