§ 3 条 件 概 率
一 条 件 概 率
二 乘 法 定 理
三 全概率公式和贝叶斯公式
目 录 索 引
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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一 条 件 概 率
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
ABB
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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条 件 概 率
设 A,B是某随机试验中的两个事件,且 ? ? 0?AP
则称事件 B在“事件 A已发生”这一附加条件下的
概率为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率
,简称为 B在 A之下的条件概率,记为 ? ?
ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 1 盒中有 4个外形相同的球,它们的标号分别
为 1,2,3,4,每次从盒中取出一球,有放
回地取两次.
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中 (i,j)表示第一次取 i号球,第二次取 j号球
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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设 A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件 B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件 B的概率为,
? ? 163?BP
? ?ABP
若我们考虑在事件 A发生的条件下,事件 B发生
的概率并记此概率为,
由于已知事件 A已经发生,则该试验的所有
可能结果为
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时,事件 B是在事件 A已经发生的条件下的概率
,因此这时所求的概率为
? ? 41?ABP
注,由例 1可以看出,事件在“条件 A已发生这
附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不
同的.
因此,有必要引入下面的定义:
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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称为在事件 A已发生的条件下事件 B的条件概率,
简称为 B在 A之下的条件概率。
在例 1 中,我们已求得 ? ? ? ?
4
1,
16
3 ?? ABPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
? ? 0?AP
设 A,B是某随机试验中的两个事件,且
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?

还可求得
? ? ? ? 161,164 ?? ABPAP
? ? ? ?? ?AP ABPABP ?
故有 返回主目录
条件概率的性质:
? ? 01 ?ABPB,有非负性:对任意事件
? ? ;规范性,12 ?ASP
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
21
3
n
n
n
n
n
ABPABP
BBB
?
??
则两互不相容,
两,,,,事件可列可加性:如果随机
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 2已知某家庭有 3个小孩,且至少有一个是女
孩,求该家庭至少有一个男孩的概率.
则 ? ? ? ? 878111 ????? APAP
? ? 86?ABP
? ? ? ?
? ? 7
6
8
7
8
6
???
AP
ABP
ABP
所以
解:设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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两个事件的乘法公式
由条件概率的计算公式
? ? ? ?? ?
AP
ABPABP ?
我们得
? ? ? ? ? ?ABPAPABP ?
这就是两个事件的乘法公式.
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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多个事件的乘法公式
个随机事件,且为,,,设 nAAA n?21
? ? 0121 ??nAAAP ?
则有
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?121213
12121
????
?
nn
n
AAAAPAAAP
AAPAPAAAP
?
?
这就是 n个事件的乘法公式.
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 4 袋中有一个白球与一个黑球,现每次从中取
出一球,若取出白球,则除把白球放回外再加
进一个白球,直至取出黑球为止.求取了 n次都
未取出黑球的概率.
解:
? ?次都未取出黑球取了设 nB ?
? ? ? ?niiA i,,,次取出白球第 ?21??

nAAAB ?21?
由乘法公式,我们有
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§ 3条件概率
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? ? ? ?nAAAPBP ?21?
? ? ? ? ? ? ? ?121213121 ????? nn AAAAPAAAPAAPAP ?
14
3
3
2
2
1
?????? n
n?
1
1
?? n
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§ 3条件概率
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例 5 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落
下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破,
第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下
未打破,第三次落下打破的概率为 9/10 。求透
镜落下三次而未打破的概率。
解,以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下
打破”,以 B 表示事件“透镜落下三次而未打
破”,有:
.
200
3
)
2
1
1)(
10
7
1)(
10
9
1(
)()|()|()()( 112213321
?????
?? APAAPAAAPAAAPBP
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§ 3条件概率
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全概率公式和贝叶斯公式
S
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB ???;,,2,1,,,= njijiAA ji ????
.21 SAAA n ?????
定义 设 S 为试验 E 的样本空间,
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为
样本空间 S 的一个 划分 。
nAAA ?,,21
nAAA ?,,21
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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全 概 率 公 式:
设随机事件
BAAA n 以及??,,,21
满足:
? ? 两两互不相容;,?? nAAA,,,1 21
? ? 或,2
1
SA
n
n ?
?
?
?
? ? ? ? ? ??,2,103 ?? nAP n.
? ? ? ? ? ???
?
?
1n
nn ABPAPBP则有
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率;?
?
?
?
1n
nAB
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全概率公式的证明
由条件:
?
?
?
?
1n
nAB

? ???
?
?
1n
n BAB
而且由
两两互不相容,?? nAAA,,,21
也两两互不相容;得 ?? BABABA n,,,21
A1 A2 An…...
BA1 BA2 …..,BAn
= 21 nBABABAB ???
S
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§ 3条件概率
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全概率公式的证明(续)
所以由概率的可列可加性,得
? ? ? ??
?
?
?
1n
n BAPBP
代入公式( 1),得
? ? ? ? 得,再由条件 ?,2,10 ?? nAP n
? ? ? ? ? ?nnn ABPAPBAP ?
? ? ? ? ? ? ? ??? ?
?
?
?
??
11 n
nn
n
n ABPAPBAPBP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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全概率公式的使用
我们把事件 B看作某一过程的结果,
因,看作该过程的若干个原把 ?? nAAA,,,21
根据历史资料,每一原因发生的概率已知,
? ?? ?已知即 nAP
? ?? ?已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知,
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率.
? ?? ?BP即求
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 6 某小组有 20名射手,其中一、二、三、四级
射手分别为 2,6,9,3名.又若选一、二、三、
四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概
率分别为 0.85,0.64,0.45,0.32,今随机选一
人参加比赛,试求该小组在比赛中射中目标的
概率.
解:
? ?标该小组在比赛中射中目设 ?B
? ? ? ?4321,,级射手参加比赛选 ?? iiiA
由全概率公式,有
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§ 3条件概率
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? ? ? ? ? ??
?
?
4
1n n
ABPnAPBP
32.020345.020964.020685.0202 ????????
5 2 7 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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Bayes 公 式
设随机事件 BAAA
n 以及??,,,21
? ? 两两互不相容;,?? nAAA,,,1 21
? ? ? ? ? ??,2,103 ?? nAP n.
满足
??
?
?
?
??,,2,1,
1
)()|(
)()|(
)(
)(
)|( ?n
j
j
AP
j
ABP
n
AP
n
ABP
BP
B
n
AP
B
n
AP

第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
? ? 或,2
1
SA
n
n ?
?
?
? ;?
?
?
?
1n
nAB
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Bayes公式的使用
我们把事件 B看作某一过程的结果,
因,看作该过程的若干个原把 ?? nAAA,,,21
根据历史资料,每一原因发生的概率已知,
? ?? ?已知即 nAP
? ?? ?已知即 nABP
而且每一原因对结果的影响程度已知,
如果已知事件 B已经发生,要求此时是由第 i 个原
因引起的概率,则用 Bayes公式
? ?? ?BAP i即求
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§ 3条件概率
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例 8 用某种方法普查肝癌,设:
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 },
D={ 被检查者确实患有肝癌 },
已知
? ? ? ? 90.0,95.0 ?? DAPDAP
? ? 0004.0?DP而且已知:
现有一人用此法检验患有肝癌,求此人真正患有
肝癌的概率.
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§ 3条件概率
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例 8(续)
解:
由已知,得
? ? ? ? 9 9 9 6.0,90.0 ?? DPDAP
所以,由 Bayes公式,得
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
DAPDPDAPDP
DAPDP
ADP
?
?
10.09996.095.00004.0
95.00004.0
???
??
0038.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 9
袋中有 10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,
掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球
全是白球,求掷出 3点的概率.
解:
设,B={ 取出的球全是白球 }
? ? ? ?621,,,点掷出 ??? iiA i
则由 Bayes公式,得
? ? ? ? ? ?
? ? ? ??
?
?
6
1
33
3
i
ii ABPAP
ABPAP
BAP
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§ 3条件概率
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例 9(续)
0
6
1
6
1
6
1
5
1 15
5
3
15
3
5
???
?
?
?
?i
i
i
C
C
C
C
0 4 8 3 5.0?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家
元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05 S
B1 B2 B3
A
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,
且无区别的标志。
( 1)在仓库中随机的取一只晶体管,求它 是次
品 的概率。
( 2)在仓库中随机的取一只晶体管,若已知取
到的是次品试分析此 次品出自那家工厂 的可能
性最大。
解, 设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi ( i=
1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10(续)
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元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
P A( ),? 0 0125
.)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP ???? ?
)(AP
P B A P B AP Ai i( | ) ( )( )?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10(续)
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元件制造厂
1 0.02 × 0.15
2 0.01 × 0.80
3 0.03 × 0.05
P A B i( | ) P B i( )
B1 B2 B3
A
P B A P A B P BP A( | ) ( | ) ( )( ),,.,1 1 1 0 02 0 150 0125 0 24? ? ? ?
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10(续)
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,%245.12 3)|( 1 ??ABP
,%645.12 8)|( 2 ??ABP
.%125.12 5.1)|( 3 ??ABP
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率例 10(续)
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例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调
整得 良好时,产品的 合格率 为 90%,而当机器发
生某一 故障时,其 合格率 为 30% 。每天早上机
器开动时,机器调整 良好 的概率为 75% 。已知
某天早上第一件产品是合格品,试求机器调整得
良好的概率是多少?
机器调整得 良好
产品合格
机器发生某一 故障
B
B
A
P A B( | ) ? 90%
P A B( | ) ? 30%
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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解, P B A P A B P B
P A B P B P A B P B
( | )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )
.,
.,,,
.,
?
?
?
?
? ? ?
?
0 9 0 75
0 9 0 75 0 3 0 25
0 9
第一章 概率论的基本概念
§ 3条件概率
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