一,独立随机试验
是两个随机试验，与设 21 EE
的各个结果相互独立，的各个结果与如果 21 EE
．是相互独立的随机试验与则称 21 EE
§ 5 n重贝努里概型
二,n次相互独立试验
立的随机试验．
为相互独，，，相互独立，则称
的各个结果，，，如果随机试验
n
n
EEE
EEE
?
?
21
21
§ 5 n重贝努里概型
返回主目录
三,n次相互独立试验的例子
? 掷 n次硬币，可看作是 n次独立试验；
? 某射手对同一目标射击 n次，可看作是 n次独立
试验；
? 观察 n个元件的使用寿命，可看作是 n次独立试
验．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 1
三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标
的概率分别为 0.3,0.6,0.8．若有一门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.2；若两门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.6；若三门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求目标被摧毁
的概率．
解：设,B ={ 目标被摧毁 }
? ? ? ?321,，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，门火炮击中目标第 ?? iiC i
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
由全概率公式，得
? ? ? ? ? ??
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1而
? ? ? ? ? ? ? ?3213213211 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 ?????????
332.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? ? ? ? ? ? ? ?3213213212 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 ?????????
468.0?
? ? ? ?3213 CCCPAP ? ? ? ? ? ? ?321 CPCPCP?
8.06.03.0 ??? 144.0?
所以
? ? 9.01 4 4.06.04 6 8.02.03 3 2.0 ??????BP
4768.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
四,Bernoulli 试验
如果随机试验 E 只有两个结果，则称 E为 Bernoulli试验．
与“失败”．
，分别称为“成功”与结果记作一般地，我们将这两个 AA
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，
因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验．
掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也
可以看作是 Bernoulli试验,返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”
与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行
一次射击”是 Bernoulli试验．
? 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若
只考虑“至少通过 100辆车”与“至多通过 99辆车”
这两种情况，这也是 Bernoulli试验．
Bernoulli 试验的例子
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验
? 若独立重复地进行 n次 Bernoulli试验，这里“重复”
是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中
“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重
Bernoulli 试验．
n重 Bernoulli 试验的例子
? 掷 n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验．
? 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰
子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? 对同一目标进行 n次射击，若每次射击只考虑
“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则
“同一目标进行 n次射击”是一 n重 Bernoulli试
验．
? 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若
只考虑“至少通过 100辆车”与“至多通过 99辆
车”这两种情况，这是一次 Bernoulli试验．若独
立重复地做该试验 n 次，则它是一 n重 Bernoulli
试验．
n重 Bernoulli 试验的例子
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中的样本点
? n重 Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
? ?n???,,,21 ?
发生．或者
次试验中，，表示在第或者取其中每一个
A
iAAi?
个．这样的样本点共有 n2
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 2
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一 5重 Bernoulli试验
? ? 次抛掷全出现正面；表示 5,,,,AAAAA
? ?出现正面：令 ?A
? ?
次出现反面；后
，次抛掷前两次出现正面表示
3
5,,,,AAAAA
? ?
次出现反面．、正面，第
次出现、、次抛掷中第表示
53
4215,,,,AAAAA
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中基本事件的概率
? ?n???,,,21 ?
是一个样本点．
事件，则由独立性，得基本取
个，其余取个假设在此样本点中，有
A
knAk ii ?? ?
? ? ? ?,,qpAPpAP ???? 1
? ?? ?n???,,,21 ?
? ?? ?,：的概率为 knknknk qpPqp ?? ????,,,21 ?
设在 n重 Bernoulli 试验中，
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 3
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一 5重 Bernoulli试验
? ?? ? ；则,5,,,,pAAAAAP ?
? ?出现正面：令 ?A
? ?? ? ；32,,,,qpAAAAAP ?
? ?? ? ；23,,,,qpAAAAAP ?
? ? ? ? qAPpAP ??,：且
? ?? ?,23,,,,qpAAAAAP ?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中恰好成功 k次的概率
设在 n重 Bernoulli 试验中,
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
现考虑事件
? ?次恰好发生试验中事件重,kAB e r n o u l l inB kn ?
? ?,现求概率, knBP
? ?
? ? 种．，这种指定的方法共有失败现
次出，其余成功次出现次试验中，指定在
k
nCA
knAkn ?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中恰好成功 k次的概率
而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知
样本点
．因此，的概率都为 knk qp ?
? ?n???,,,21 ?
? ?，取个，其余取个在此样本点中，有 AknAk ii ?? ?
? ? ? ?pqqpCBP knkknkn ??? ? 1，
? ?nk,，，,?210?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
注 意
由二项式定理，我们有
? ? ??
?
?
?
?
n
k
knkk
n
n
k
kn qpCBP
00
，
? ?nqp ??
1?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 4
设在 N件产品中有 M件次品，每次从中任意取出一
件，有放回地取 n次．试求取出的 n件产品中恰有 k
件次品的概率．
解：
B={ 取出的 n件产品中恰有 k件次品 }
每取一次只有两种结果：
? ?,取出次品?A
因此每取一次产品可看作是一次 Bernoulli试验
? ?，取出正品?A
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 4（续）
并且，
? ?,NMAP ? ? ? NMAP ?? 1
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重
Bernoulli试验．由前面的讨论，可知
? ?
knk
k
n N
M
N
MCBP ??
?
??
?
? ??
?
??
?
?? 1
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 5
一大批产品的次品率为 0.05，现从中取出 10
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的 10件产品中恰有 4件次品 }
C={ 取出的 10件产品中至少有 2件次品 }
D={ 取出的 10件产品中没有次品 }
解：
取 10件产品可看作是一 10重 Bernoulli试验．
? ?取出一件产品为次品?A
? ? 05.0?AP则 返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 5（续）
所以，
? ? 4104410 95.005.0 ???? CBP 410648.9 ???
? ? ? ?CPCP ?? 1
91110100010 95.005.095.005.01 ??????? CC
0 8 6 1 4.0?
? ? 1095.0?DP 5987.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 6
对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均
为 0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命
中一次目标的概率不少于 0.95？
解：
设需进行 n次射击，才能使至少命中一次目标的概
率不少于 0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 }
进行 n次射击，可看成是一 n重 Bernoulli试验．
? ?命中目标令,?A ? ? 23.0?AP则，
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 6（续）
则有
? ? ? ?BPBP ?? 1 n77.01 ??
由题意，得 ? ? 95.077.01 ??? nBP
所以，有 05.077.0 ?n
取对数，得 05.0ln77.0ln ?n
所以，有
77.0ln
05.0ln?n 46.11?
即至少需进行 12次射击，才能使至少命中一次目
标的概率不少于 0.95．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7
某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药
是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给
10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有 4 个人痊
愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：
⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试
验却被否定的概率．
⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概
率．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7（续）
解：
给 10个病人服药可看作是一 10重 Bernoulli试验．
? ?某病人痊愈令,?A ? ? 35.0?AP
⑴ 若新药有效，则
此时若否定新药，只有在试验中不到 4人痊愈．因此
? ? ?
?
????
3
0
10
10 65.035.0
i
iiiCP 否定新药
5138.0? 返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7（续）
⑵ 由于新药无效，则 ? ? 25.0?AP
此时若肯定新药，只有在试验中至少有 4人痊
愈．因此
? ? ?
?
????
10
4
10
10 75.025.0
i
iiiCP 肯定新药
?
?
?????
3
0
10
10 75.025.01
i
iiiC
2 2 4 1.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
说 明
? 在例 7 的第一问中，该医生把有用的药给
否定了，这种错误在统计学中称为第 Ⅰ 类
错误（弃真错误），犯这类错误的概率称
为 Ⅰ 类风险；
? 在例 7 的第二问中，该医生把无用的药给
肯定了，这种错误在统计学中称为第 Ⅱ 类
错误（取伪错误），犯这类错误的概率称
为 Ⅱ 类风险；
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关
系及运算。
2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性
质。
3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
公式和贝叶斯公式。
4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件
独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及 n重贝努里试验的概念，要会
计算与之相关事件的概率。
第一章 小 结
返回主目录
作业：
.35,33,31,29,25,20,17,13,12,10,7,6,4,2,1 313029 PPP
是两个随机试验，与设 21 EE
的各个结果相互独立，的各个结果与如果 21 EE
．是相互独立的随机试验与则称 21 EE
§ 5 n重贝努里概型
二,n次相互独立试验
立的随机试验．
为相互独，，，相互独立，则称
的各个结果，，，如果随机试验
n
n
EEE
EEE
?
?
21
21
§ 5 n重贝努里概型
返回主目录
三,n次相互独立试验的例子
? 掷 n次硬币，可看作是 n次独立试验；
? 某射手对同一目标射击 n次，可看作是 n次独立
试验；
? 观察 n个元件的使用寿命，可看作是 n次独立试
验．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 1
三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标
的概率分别为 0.3,0.6,0.8．若有一门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.2；若两门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.6；若三门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求目标被摧毁
的概率．
解：设,B ={ 目标被摧毁 }
? ? ? ?321,，门火炮击中目标有 ?? iiA i
? ? ? ?321,，门火炮击中目标第 ?? iiC i
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
由全概率公式，得
? ? ? ? ? ??
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1而
? ? ? ? ? ? ? ?3213213211 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 ?????????
332.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? ? ? ? ? ? ? ?3213213212 CCCPCCCPCCCPAP ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP ???
8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 ?????????
468.0?
? ? ? ?3213 CCCPAP ? ? ? ? ? ? ?321 CPCPCP?
8.06.03.0 ??? 144.0?
所以
? ? 9.01 4 4.06.04 6 8.02.03 3 2.0 ??????BP
4768.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
四,Bernoulli 试验
如果随机试验 E 只有两个结果，则称 E为 Bernoulli试验．
与“失败”．
，分别称为“成功”与结果记作一般地，我们将这两个 AA
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，
因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验．
掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也
可以看作是 Bernoulli试验,返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”
与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行
一次射击”是 Bernoulli试验．
? 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若
只考虑“至少通过 100辆车”与“至多通过 99辆车”
这两种情况，这也是 Bernoulli试验．
Bernoulli 试验的例子
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验
? 若独立重复地进行 n次 Bernoulli试验，这里“重复”
是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中
“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重
Bernoulli 试验．
n重 Bernoulli 试验的例子
? 掷 n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验．
? 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰
子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
? 对同一目标进行 n次射击，若每次射击只考虑
“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则
“同一目标进行 n次射击”是一 n重 Bernoulli试
验．
? 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若
只考虑“至少通过 100辆车”与“至多通过 99辆
车”这两种情况，这是一次 Bernoulli试验．若独
立重复地做该试验 n 次，则它是一 n重 Bernoulli
试验．
n重 Bernoulli 试验的例子
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中的样本点
? n重 Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
? ?n???,,,21 ?
发生．或者
次试验中，，表示在第或者取其中每一个
A
iAAi?
个．这样的样本点共有 n2
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 2
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一 5重 Bernoulli试验
? ? 次抛掷全出现正面；表示 5,,,,AAAAA
? ?出现正面：令 ?A
? ?
次出现反面；后
，次抛掷前两次出现正面表示
3
5,,,,AAAAA
? ?
次出现反面．、正面，第
次出现、、次抛掷中第表示
53
4215,,,,AAAAA
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中基本事件的概率
? ?n???,,,21 ?
是一个样本点．
事件，则由独立性，得基本取
个，其余取个假设在此样本点中，有
A
knAk ii ?? ?
? ? ? ?,,qpAPpAP ???? 1
? ?? ?n???,,,21 ?
? ?? ?,：的概率为 knknknk qpPqp ?? ????,,,21 ?
设在 n重 Bernoulli 试验中，
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 3
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一 5重 Bernoulli试验
? ?? ? ；则,5,,,,pAAAAAP ?
? ?出现正面：令 ?A
? ?? ? ；32,,,,qpAAAAAP ?
? ?? ? ；23,,,,qpAAAAAP ?
? ? ? ? qAPpAP ??,：且
? ?? ?,23,,,,qpAAAAAP ?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中恰好成功 k次的概率
设在 n重 Bernoulli 试验中,
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
现考虑事件
? ?次恰好发生试验中事件重,kAB e r n o u l l inB kn ?
? ?,现求概率, knBP
? ?
? ? 种．，这种指定的方法共有失败现
次出，其余成功次出现次试验中，指定在
k
nCA
knAkn ?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
n重 Bernoulli 试验中恰好成功 k次的概率
而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知
样本点
．因此，的概率都为 knk qp ?
? ?n???,,,21 ?
? ?，取个，其余取个在此样本点中，有 AknAk ii ?? ?
? ? ? ?pqqpCBP knkknkn ??? ? 1，
? ?nk,，，,?210?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
注 意
由二项式定理，我们有
? ? ??
?
?
?
?
n
k
knkk
n
n
k
kn qpCBP
00
，
? ?nqp ??
1?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 4
设在 N件产品中有 M件次品，每次从中任意取出一
件，有放回地取 n次．试求取出的 n件产品中恰有 k
件次品的概率．
解：
B={ 取出的 n件产品中恰有 k件次品 }
每取一次只有两种结果：
? ?,取出次品?A
因此每取一次产品可看作是一次 Bernoulli试验
? ?，取出正品?A
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 4（续）
并且，
? ?,NMAP ? ? ? NMAP ?? 1
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重
Bernoulli试验．由前面的讨论，可知
? ?
knk
k
n N
M
N
MCBP ??
?
??
?
? ??
?
??
?
?? 1
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 5
一大批产品的次品率为 0.05，现从中取出 10
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的 10件产品中恰有 4件次品 }
C={ 取出的 10件产品中至少有 2件次品 }
D={ 取出的 10件产品中没有次品 }
解：
取 10件产品可看作是一 10重 Bernoulli试验．
? ?取出一件产品为次品?A
? ? 05.0?AP则 返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 5（续）
所以，
? ? 4104410 95.005.0 ???? CBP 410648.9 ???
? ? ? ?CPCP ?? 1
91110100010 95.005.095.005.01 ??????? CC
0 8 6 1 4.0?
? ? 1095.0?DP 5987.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 6
对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均
为 0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命
中一次目标的概率不少于 0.95？
解：
设需进行 n次射击，才能使至少命中一次目标的概
率不少于 0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 }
进行 n次射击，可看成是一 n重 Bernoulli试验．
? ?命中目标令,?A ? ? 23.0?AP则，
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 6（续）
则有
? ? ? ?BPBP ?? 1 n77.01 ??
由题意，得 ? ? 95.077.01 ??? nBP
所以，有 05.077.0 ?n
取对数，得 05.0ln77.0ln ?n
所以，有
77.0ln
05.0ln?n 46.11?
即至少需进行 12次射击，才能使至少命中一次目
标的概率不少于 0.95．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7
某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药
是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给
10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有 4 个人痊
愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：
⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试
验却被否定的概率．
⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概
率．
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7（续）
解：
给 10个病人服药可看作是一 10重 Bernoulli试验．
? ?某病人痊愈令,?A ? ? 35.0?AP
⑴ 若新药有效，则
此时若否定新药，只有在试验中不到 4人痊愈．因此
? ? ?
?
????
3
0
10
10 65.035.0
i
iiiCP 否定新药
5138.0? 返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
例 7（续）
⑵ 由于新药无效，则 ? ? 25.0?AP
此时若肯定新药，只有在试验中至少有 4人痊
愈．因此
? ? ?
?
????
10
4
10
10 75.025.0
i
iiiCP 肯定新药
?
?
?????
3
0
10
10 75.025.01
i
iiiC
2 2 4 1.0?
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
说 明
? 在例 7 的第一问中，该医生把有用的药给
否定了，这种错误在统计学中称为第 Ⅰ 类
错误（弃真错误），犯这类错误的概率称
为 Ⅰ 类风险；
? 在例 7 的第二问中，该医生把无用的药给
肯定了，这种错误在统计学中称为第 Ⅱ 类
错误（取伪错误），犯这类错误的概率称
为 Ⅱ 类风险；
返回主目录
§ 5 n重贝努里概型
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关
系及运算。
2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性
质。
3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
公式和贝叶斯公式。
4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件
独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及 n重贝努里试验的概念，要会
计算与之相关事件的概率。
第一章 小 结
返回主目录
作业：
.35,33,31,29,25,20,17,13,12,10,7,6,4,2,1 313029 PPP
