§ 2 等可能概型与几何概型
目 录 索 引
? 等可能概型（古典概型）
? 几何概型
第一章 概率论的基本概念
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生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
? 样本空间的元素只有有限个；
? 每个基本事件发生的可能性相同 。
1,等可能概型（古典概型）
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类实验称为 等可能概型,考虑到它在概
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做 古典概型 。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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e1 … … ek
??
A 3 4 ? ?
北
南
西 东
e2 …
… e
n
2
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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设 S ={e1,e2,… en },由古典概型的等可能性，得
}.{}{}{ 21 ne=PePeP L==
又由于基本事件两两互不相容；所以
},{}{}{}{1 21 nePePePSP L??==
.,,2,1,1}{ nineP i L==
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1,e2,… ek },
则有,
.)( 中基本事件总数包含的基本事件数SAnkAP ==
例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：
?事件 A1为“恰有一次出现正面”，
? 事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ),P (A2 )。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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解,根据上一节的记号,E2 的样本空间
S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},
n = 8,即 S2 中包含有限个元素，且由对称性
知每个基本事件发生的可能性相同，属于 古典概
型 。
,83== )( 3= 1 nkAPk,
? A1为“恰有一次出现正面”，
A1={HTT,THT,TTH},
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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.87=81 1 = )( 1= )( 22 ?? APAP
,81==)(1= T },T{T=, 2
2 22 n
k
APkA AA,由于另解
? 事件 A2为“至少有一次出现正面”，
A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH }
,87== )( 7= 222 nkAPk,
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球,2 只
红球。从袋中 取球两次,每次随机的取一只。考
虑两种取球方式：
? 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放
回袋中,搅匀后再取一球。
? 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二
次从剩余的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率；
2）取到的 两只球颜色相同 的概率；
3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A=, 取到的两只都是白球,，
B=, 取到的 两只球颜色相同,,
C=, 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取,
444.0
6
4)(
2
2
==AP 5 5 6.06 24)( 2
22
=?=BP
8 8 9.0621)(1)( 2
2
=?=?= CPCP
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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无放回抽取,
2
6
2
4
)(
C
C
AP = 2
6
2
2
2
4
C
CCBP ?=)(
2
6
2
211
C
CCPCP ?=?= )()(
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去，
求每个盒子至多有一只球的概率 (设盒子的容量不限）。
,种放法nNNNN =??? L
解,将 n 只球放入 N 个盒子中去,共有
而每个盒子中至多放一只球,共有
,)]1([)1( 种放法nNAnNNN =?????? L
.)]1([)1( n
n
N
n N
A
N
nNNNp =??????= L故
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式
可以得出：
“在一个有 64人的班级里，至少有两人生日相同” 的
概率为 99.7%。
n
p
20 23 30 40 50 64 100
0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
经计算可得下述结果：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品 的概率是多少?
种，nNC
又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有
种，kn DNC ??在 N-D 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有
种，kDC
解,在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有
不放回抽样1）
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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于是所求的概率为：
n
N
kn
DN
k
D
C
CCp ??=
此式即为 超几何分布 的概率公式。
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
件次品的取法共有
种，kn DNkD CC ??
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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2） 有放回抽样
从 N件产品中有放回地抽取 n件产品进行排列，
可能的排列数为 个，将每一排列看作基本
事件，总数为 。
而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品
的取法共有
于是所求的概率为：
nN
knkkn DNDC ?? )(
nN
knkk
nn
knkk
n
N
D
N
DC
N
DNDCP ?? ?=?= )1()()(
此式即为 二项 分布 的概率公式。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 5 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取
到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概
率是多少？
解,设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”,B
为“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
,3 3 462 0 0 03 3 3 ??由于
).()()()(
),(1)()(
ABPBPAPBAP
BAPBAPBAP
??=
?==
?
??
其中
为,6,12,18…1998 共 333 个，
所以能被 6 整除的整数
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AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
.2 0 0 083)(,2 0 0 0250)(,== ABPBP同理得
.
4
3
2000
500
1
2000
83250333
1
)]()()([1
=?=
??
?=
???= ABPBPAPp
于是所求的概率为：
其中 B ={8,16,… 2000 },AB = {24,48 …1992 },
,)( 2 0 0 03 3 3=AP
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例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这
15 名新生中有 3 名是优秀生。问：
(1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？
解,15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
5
5
5
10
5
15 CCC ??
,
!5!5!5
!15
!5
12345
!5
678910
!5
1112131415
??
=??????????????=
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级
都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新
生平均分配到 3 个班级中的分法共有
种，)!4!4!4(/!12
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
)]!4!4!4/(!12[!3 ?
于是所求的概率为：
.2747.0
91
25
!5!5!5!15
!4!4!4!12!3
!5!5!5
!15/
!4!4!4
!12!3
1 ==?
??=?=p
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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三名优秀生分配
在同一班级内
.0 6 5 9.0
91
6
!15!2
!5!123
!5!5!5
!15/
!5!5!2
!123
2 ==?
??=?=p
其余 12名新生，一个班级分 2名，
另外两班各分 5名
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已
知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的？
解,假设接待站的接待时间没有规定，各来访
者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么
,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为,
212/712=0.0000003，
即千万分之三。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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人们在长期的实践中总结得到,概率很小的
事件在一次实验中几乎是不发生的,（ 称之为
实际推断原理 ）。现在概率很小的事件在一次
实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天
都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 8 袋中有 a 只白球,b 只黑球．从中任意
取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的
概率．
? ?．样本点总数
种个球，有取法个球中依次取出从 k baPkba ??
解,设,A=“第 k 次取出的球是黑球”
．
所含样本点数为种，因此事件有取法
次取球，种，前次取出黑球，有取法第
1
1
1
1
1
?
??
?
?
??
?
k
ba
Pb
A
k
ba
P
kbk
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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无关．注意：此结果与次数 k
? ?,所以，
ba
b
k
baP
k
baPbAP
?
=
?
?
???=
1
1
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 9 一部 10卷文集，将其按任意顺序排放在
书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．
解,设 A={ 10卷文集按先后顺序排放 }
? ? ！所以 102=AP
，，，，或
，，，，
1910
1021
L
L
排法（样本点总数）．
！种不同的共有，卷文集按任意顺序排放将 1010
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 10 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
A={ 5 颗骰子不同点 }；
B={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }；
C={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同
是另一个点数 }．；4630.0=? ?
56
3
56
2
5 PCBP ??=所以
，所含样本点数为事件 35625 PCB ??
? ?
56
5
6PAP =所以
个共有颗骰子，所有可能结果同时掷解,565
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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03 85 8.0=
? ?
56
2
6
2
5 PCCP ?=所以，
，所含样本点数为事件 2625 PCC ?
例 10（续）
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 11 从 1～ 9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，
试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率．
解,A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除 }；
B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }；
C ={取出的 n 个数至少有一个 5 },
则 A=B∩C
? ?BCP?= 1 ? ?CBP ??= 1
? ? ? ? ? ?? ?CBPCPBP ???= 1
n
n
n
n
n
n
9
4
9
8
9
51 ???=
? ? ? ?BCPAP =
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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二 几何概型
几何概型考虑的是有 穷多个等可能无结果 的
随机试验。
首先看下面的例子。
例 1 (会面问题 ）甲、乙二人约定在 12 点到 5
点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，
且二人互不影响。求二人能会面的概率。
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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解,以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，
于是
.50,50 ???? YX
即 点 M 落在图中的阴影部
分。所有的点构成一个正
方形，即有 无穷多个结果 。
由于每人在任一时刻到达
都是等可能的，所以落在正
方形内各点是 等可能的 。 0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.M(X,Y)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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二人会面的条件是,| |,X Y? ? 1
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.25
9
25
4
2
1
225
2
=
???
=
=
正方形的面积
阴影部分的面积
p y-x =1
y-x = -1
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空
间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积 )。
如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，
且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为
几何概型。
如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A
对应于点落在 D 内的某区域 A，则
.)(
D
A
m
mAP =
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。
其中任何相邻的两线距离都是 a (a>0) 。向平面
任意投一长为 l (l<a) 的针，试求针与一条平行线
相交的概率。
l M
x
解, 设 x 是针的中点 M 到最
近的平行线的距离,是针与
此平行线的交角，投针问题就
相当于向平面区域 D 取点的
几何概型 。
?
D x x a= ? ? ? ?{(,)|,}? ? ?0 0 2
?
M
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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x l= 2 s in ?
x
??
a
2 D
A
A x x l= ? ? ? ?{(,)|,s in }? ? ? ?0 0 2
p
A
D
l
d
a
l
a
= = =
?的面积
的面积
2
2
20
s in
.
? ?
? ?
?
D x x a= ? ? ? ?{(,)|,}? ? ?0 0 2
0
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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思考题
1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，
想听电 台报时,求他等待的时间不超过 10 分钟的
概率。 (1/6)
2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B,C，在 B,C 处
折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形
的概率。 (1/4)
3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，
且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需
停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停
泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。
(0.121)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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4) 在区间 ( 0,1 ) 中随机地取两个数，求下列事
件的概率：
(1) 两个数中较小 (大 )的小于 1/2 ； (3/4,1/4)
(2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8)
(3) 两数之积小于 1/4 。 (0.5966)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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目 录 索 引
? 等可能概型（古典概型）
? 几何概型
第一章 概率论的基本概念
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生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
? 样本空间的元素只有有限个；
? 每个基本事件发生的可能性相同 。
1,等可能概型（古典概型）
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类实验称为 等可能概型,考虑到它在概
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做 古典概型 。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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e1 … … ek
??
A 3 4 ? ?
北
南
西 东
e2 …
… e
n
2
第一章 概率论的基本概念 等可能概型
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设 S ={e1,e2,… en },由古典概型的等可能性，得
}.{}{}{ 21 ne=PePeP L==
又由于基本事件两两互不相容；所以
},{}{}{}{1 21 nePePePSP L??==
.,,2,1,1}{ nineP i L==
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1,e2,… ek },
则有,
.)( 中基本事件总数包含的基本事件数SAnkAP ==
例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：
?事件 A1为“恰有一次出现正面”，
? 事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ),P (A2 )。
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等可能概型
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解,根据上一节的记号,E2 的样本空间
S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},
n = 8,即 S2 中包含有限个元素，且由对称性
知每个基本事件发生的可能性相同，属于 古典概
型 。
,83== )( 3= 1 nkAPk,
? A1为“恰有一次出现正面”，
A1={HTT,THT,TTH},
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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.87=81 1 = )( 1= )( 22 ?? APAP
,81==)(1= T },T{T=, 2
2 22 n
k
APkA AA,由于另解
? 事件 A2为“至少有一次出现正面”，
A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH }
,87== )( 7= 222 nkAPk,
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等可能概型
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例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球,2 只
红球。从袋中 取球两次,每次随机的取一只。考
虑两种取球方式：
? 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放
回袋中,搅匀后再取一球。
? 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二
次从剩余的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率；
2）取到的 两只球颜色相同 的概率；
3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
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解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A=, 取到的两只都是白球,，
B=, 取到的 两只球颜色相同,,
C=, 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取,
444.0
6
4)(
2
2
==AP 5 5 6.06 24)( 2
22
=?=BP
8 8 9.0621)(1)( 2
2
=?=?= CPCP
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无放回抽取,
2
6
2
4
)(
C
C
AP = 2
6
2
2
2
4
C
CCBP ?=)(
2
6
2
211
C
CCPCP ?=?= )()(
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例 3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去，
求每个盒子至多有一只球的概率 (设盒子的容量不限）。
,种放法nNNNN =??? L
解,将 n 只球放入 N 个盒子中去,共有
而每个盒子中至多放一只球,共有
,)]1([)1( 种放法nNAnNNN =?????? L
.)]1([)1( n
n
N
n N
A
N
nNNNp =??????= L故
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此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式
可以得出：
“在一个有 64人的班级里，至少有两人生日相同” 的
概率为 99.7%。
n
p
20 23 30 40 50 64 100
0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
经计算可得下述结果：
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例 4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品 的概率是多少?
种，nNC
又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有
种，kn DNC ??在 N-D 件正品中取 n-k 件,所有可能的取法有
种，kDC
解,在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有
不放回抽样1）
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于是所求的概率为：
n
N
kn
DN
k
D
C
CCp ??=
此式即为 超几何分布 的概率公式。
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
件次品的取法共有
种，kn DNkD CC ??
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2） 有放回抽样
从 N件产品中有放回地抽取 n件产品进行排列，
可能的排列数为 个，将每一排列看作基本
事件，总数为 。
而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品
的取法共有
于是所求的概率为：
nN
knkkn DNDC ?? )(
nN
knkk
nn
knkk
n
N
D
N
DC
N
DNDCP ?? ?=?= )1()()(
此式即为 二项 分布 的概率公式。
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例 5 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取
到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概
率是多少？
解,设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”,B
为“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
,3 3 462 0 0 03 3 3 ??由于
).()()()(
),(1)()(
ABPBPAPBAP
BAPBAPBAP
??=
?==
?
??
其中
为,6,12,18…1998 共 333 个，
所以能被 6 整除的整数
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AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
.2 0 0 083)(,2 0 0 0250)(,== ABPBP同理得
.
4
3
2000
500
1
2000
83250333
1
)]()()([1
=?=
??
?=
???= ABPBPAPp
于是所求的概率为：
其中 B ={8,16,… 2000 },AB = {24,48 …1992 },
,)( 2 0 0 03 3 3=AP
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例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这
15 名新生中有 3 名是优秀生。问：
(1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？
解,15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
5
5
5
10
5
15 CCC ??
,
!5!5!5
!15
!5
12345
!5
678910
!5
1112131415
??
=??????????????=
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(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级
都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新
生平均分配到 3 个班级中的分法共有
种，)!4!4!4(/!12
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
)]!4!4!4/(!12[!3 ?
于是所求的概率为：
.2747.0
91
25
!5!5!5!15
!4!4!4!12!3
!5!5!5
!15/
!4!4!4
!12!3
1 ==?
??=?=p
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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三名优秀生分配
在同一班级内
.0 6 5 9.0
91
6
!15!2
!5!123
!5!5!5
!15/
!5!5!2
!123
2 ==?
??=?=p
其余 12名新生，一个班级分 2名，
另外两班各分 5名
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已
知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的？
解,假设接待站的接待时间没有规定，各来访
者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么
,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为,
212/712=0.0000003，
即千万分之三。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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人们在长期的实践中总结得到,概率很小的
事件在一次实验中几乎是不发生的,（ 称之为
实际推断原理 ）。现在概率很小的事件在一次
实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天
都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 8 袋中有 a 只白球,b 只黑球．从中任意
取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的
概率．
? ?．样本点总数
种个球，有取法个球中依次取出从 k baPkba ??
解,设,A=“第 k 次取出的球是黑球”
．
所含样本点数为种，因此事件有取法
次取球，种，前次取出黑球，有取法第
1
1
1
1
1
?
??
?
?
??
?
k
ba
Pb
A
k
ba
P
kbk
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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无关．注意：此结果与次数 k
? ?,所以，
ba
b
k
baP
k
baPbAP
?
=
?
?
???=
1
1
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 9 一部 10卷文集，将其按任意顺序排放在
书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．
解,设 A={ 10卷文集按先后顺序排放 }
? ? ！所以 102=AP
，，，，或
，，，，
1910
1021
L
L
排法（样本点总数）．
！种不同的共有，卷文集按任意顺序排放将 1010
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等可能概型
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例 10 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
A={ 5 颗骰子不同点 }；
B={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }；
C={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同
是另一个点数 }．；4630.0=? ?
56
3
56
2
5 PCBP ??=所以
，所含样本点数为事件 35625 PCB ??
? ?
56
5
6PAP =所以
个共有颗骰子，所有可能结果同时掷解,565
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03 85 8.0=
? ?
56
2
6
2
5 PCCP ?=所以，
，所含样本点数为事件 2625 PCC ?
例 10（续）
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等可能概型
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例 11 从 1～ 9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，
试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率．
解,A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除 }；
B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }；
C ={取出的 n 个数至少有一个 5 },
则 A=B∩C
? ?BCP?= 1 ? ?CBP ??= 1
? ? ? ? ? ?? ?CBPCPBP ???= 1
n
n
n
n
n
n
9
4
9
8
9
51 ???=
? ? ? ?BCPAP =
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等可能概型
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二 几何概型
几何概型考虑的是有 穷多个等可能无结果 的
随机试验。
首先看下面的例子。
例 1 (会面问题 ）甲、乙二人约定在 12 点到 5
点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，
且二人互不影响。求二人能会面的概率。
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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解,以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，
于是
.50,50 ???? YX
即 点 M 落在图中的阴影部
分。所有的点构成一个正
方形，即有 无穷多个结果 。
由于每人在任一时刻到达
都是等可能的，所以落在正
方形内各点是 等可能的 。 0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.M(X,Y)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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二人会面的条件是,| |,X Y? ? 1
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.25
9
25
4
2
1
225
2
=
???
=
=
正方形的面积
阴影部分的面积
p y-x =1
y-x = -1
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空
间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积 )。
如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，
且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为
几何概型。
如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A
对应于点落在 D 内的某区域 A，则
.)(
D
A
m
mAP =
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。
其中任何相邻的两线距离都是 a (a>0) 。向平面
任意投一长为 l (l<a) 的针，试求针与一条平行线
相交的概率。
l M
x
解, 设 x 是针的中点 M 到最
近的平行线的距离,是针与
此平行线的交角，投针问题就
相当于向平面区域 D 取点的
几何概型 。
?
D x x a= ? ? ? ?{(,)|,}? ? ?0 0 2
?
M
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几何概型
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x l= 2 s in ?
x
??
a
2 D
A
A x x l= ? ? ? ?{(,)|,s in }? ? ? ?0 0 2
p
A
D
l
d
a
l
a
= = =
?的面积
的面积
2
2
20
s in
.
? ?
? ?
?
D x x a= ? ? ? ?{(,)|,}? ? ?0 0 2
0
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几何概型
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思考题
1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，
想听电 台报时,求他等待的时间不超过 10 分钟的
概率。 (1/6)
2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B,C，在 B,C 处
折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形
的概率。 (1/4)
3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，
且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需
停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停
泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。
(0.121)
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几何概型
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4) 在区间 ( 0,1 ) 中随机地取两个数，求下列事
件的概率：
(1) 两个数中较小 (大 )的小于 1/2 ； (3/4,1/4)
(2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8)
(3) 两数之积小于 1/4 。 (0.5966)
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几何概型
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