§ 1 二 维 随 机 变 量
? 二维随机变量
? 联合分布函数
? 联合分布律
? 联合概率密度
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设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}，
设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。
由它们构成的一个向量 (X,Y), 叫做二维随机
向量，或 二维随机变量 。
S
e
X(e)
Y(e)
§ 1 二 维 随 机 变 量
定义
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注 意 事 项
维随机向量；二维随机变量也称为二⑴
我们应把二维随机变量⑵
? ? ? ? ? ?? ? ? ?SeeYeXYX ??,，
系的；
之间是有联与看作一个整体，因为 YX
? ?
作平面上的随机点．
可看，量在几何上，二维随机变⑶ YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维随机变量的例子
身体状况，令考察某地区成年男子的⒈
高；：该地区成年男子的身X
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
：对一目标进行射击，令⒉
重．：该地区成年男子的体Y
距离；：弹着点与目标的水平X
距离；：弹着点与目标的垂直Y
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维随机变量的例子
，令：考察某地区的气候状况⒊
：该地区的温度；X
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
，令：考察某钢厂钢材的质量⒋
：该地区的湿度．Y
：钢材的含碳量；X
：钢材的含硫量；Y
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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? ?
? ?,，实数
则对于任意一对是一个二维随机变量，，设
yx
YX
? ?
? ?,的分布函数，变量
为二维随机的函数．我们称此函数，是
YX
yx
? ? ? ?yYxXPyxF ???,，
§ 1 二 维 随 机 变 量
定 义
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二元分布函数的几何意义
? ?
? ?
? ?
概率．
点的无穷矩形中的
为右上顶，
落在以，点
表示平面上的随机
，意义是：
二元分布函数的几何
yx
YX
yxF
y
o
(x,y)
(X,Y )
§ 1 二 维 随 机 变 量
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一个重要的公式
，，设,2121 yyxx ?? 则
? ?2121 yXyxXxP ????,
? ? ? ?1222 yxFyxF,,??
? ? ? ?1121 yxFyxF,,??
y
xo x1 x2
y1
y2
(X,Y )
(x2,y2)
(x2,y1)
(x1,y2)
(x1,y1)
§ 1 二 维 随 机 变 量
分布函数具有以下的基本性质：
F (x,y )是变量 x,y 的不减函数，即
对于任意固定的 y,当 x1< x2时，
对于任意固定的 x,当 y1< y2时，
);,(),( 21 yxFyxF ?
);,(),( 21 yxFyxF ?
对于任意固定的 Y,
对于任意固定的 X,
,1),(0 ?? yxF;0),( ??? yF;0),( ???xF
.1),(;0),( ?????????? FF
§ 1 二 维 随 机 变 量
2)
1)
且
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.0),(),(),(),( 21111222 ???? yxFyxFyxFyxF
3) F (x,y )=F(x+0,y),F (x,y )=F(x,y+0),即
F (x,y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续,
y
xo x1 x2
y1
y2
(X,Y )
(x2,y2)
(x2,y1)
(x1,y2)
(x1,y1)
§ 1 二 维 随 机 变 量
4)
说 明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的
性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四
条性质；
更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数
具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变
量的分布函数（证明略）．
§ 1 二 维 随 机 变 量
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n 维随机变量
是其样本空间，是一个随机试验，设 SE
? ? ? ? ? ?niSeeXX ii,，,?21???
个随机变量．是该样本空间上的 n
则称
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?SeeXeXeX
XXX
n
n
??,，，
，，，
?
?
21
21
维随机变量．上的为样本空间 nS
§ 1 二 维 随 机 变 量
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n维随机变量的分布函数
? ?
? ?，，，，维实数组意一
维随机变量，则对于任是一个，，，设
n
n
xxxn
nXXX
?
?
21
21
§ 1 二 维 随 机 变 量
维随机变量我们称此函数为 n? ?nXXX,，,?21
? ?nxxxF,，,?21
? ?nn xXxXxXP ????,，,?2211
.的分布函数
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二维离散型随机变量
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?
? ?,为二维离散型随机变量，个，则称
无穷的取值是有限个或可列，若二维随机变量
YX
YX
? ? 二维离散型随机变量，，设 YX 的取值为X
??,，，,ixxx 21
的取值为Y
??,，，,jyyy 21
则称
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ? 的（联合）分布律．，为二维离散型随机变量 YX
二维离散型随机变量的联合分布律
? ? 下表表示的联合分布律也可以由,YX
Y
X
1
y
2
y …
j
y …
1
x
11
p
12
p …
j
p
1
…
2
x
21
p
22
p …
j
p
2
…
? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p …
? ? ? ?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维离散型随机变量联合分布律的性质
：性质 1
? ? 0???? jiij yYxXPp,有
1??
ji
ijp
，
：性质 2
? ? ? ??，，，，，对任意的 21?jiji
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 1
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
? ?的联合分布律．，试求 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
? ?00 ?? YXP,
9
1?
23
1?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 1（续）
9
2?
23
2?? ?10 ?? YXP,
? ?20 ?? YXP,
23
1?
9
1?
? ?01 ?? YXP,
23
2?
9
2?
? ?11 ?? YXP,
23
2?
9
2?
? ?21 ?? YXP, ? ??? P 0?
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?02 ?? YXP,
23
1?
9
1?
? ?22 ?? YXP, ? ??? P 0?
? ?12 ?? YXP, ? ??? P 0?
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例 1（续）
? ?的联合分布律为，由此得 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
Y
X
0 1 2
0
9
1
9
2
9
1
1
9
2
9
2
0
2
9
1
0 0
例 2
次，令：将一枚均匀的硬币掷 3
? ?的联合分布律．，试求 YX
数；次抛掷中正面出现的次,3X；，，，的可能取值为 3210X
解：
．，的可能取值为 31Y
次数之差的绝对值．
与反面出现次抛掷中正面出现次数,3Y
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 2（续）；0?? ?10 ?? YXP, ? ?30 ?? YXP, ；
8
1?
? ?11 ?? YXP, ；
8
3? ；0?? ?31 ?? YXP,
? ?12 ?? YXP, ；
8
3? ；0?? ?32 ?? YXP,；0?? ?13 ?? YXP,
．81?? ?33 ?? YXP,
? ?的联合分布律为，由此得随机变量 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 2（续）
X
Y
0 1 2 3
1 0
8
3
8
3
0
3
8
1
0 0
8
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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由题意知,{X=i,Y=j}的取值情况是,i=1,2,3,4,且是
等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求
得 ( X,Y ) 的分布律。
.,4,3,2,1
,
4
11
}{}|{},{
iji
i
iXPiXjYPjYiXP
??
????????
其中
§ 1 二 维 随 机 变 量
设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个
随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y )
的分布律。
例 3
解：
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§ 1 二 维 随 机 变 量
X
Y 1 2 3 4
1
2
3
4 0
0
8
1
8
1
0
0
0
4
1
0
12
1
12
1
12
1
16
1
16
1
16
1
16
1
例 3（续）
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二维离散型随机变量的联合分布函数
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ? 二维离散型随机变量，，设 YX 分布律为联合其 )(
? ?的联合分布函数为，，则 YX
? ? ?
??
?
yyxx
ij
ji
pyxF
，
，
§ 1 二 维 随 机 变 量
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对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x,y ),如
果存在非负函数 f (x,y ),使得对于任意的 x,y有：
? ??? ??? y x d u d vvufyxF,),(),(
则称 ( X,Y ) 是 连续型的二维随机变量,函数 f (x,y )
称为二维随机变量 ( X,Y )的 概率密度,或称为 X 和 Y
的 联合概率密度 。
二维连续型随机变量
§ 1 二 维 随 机 变 量
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按定义，概率密度 f (x,y ) 具有以下性质：;0),(1 0 ?yxf;1),(),(2 0 ? ???? ??? ???? Fd x d yyxf
).,(
),(
),(),(3
2
0
yxf
yx
yxF
yxyxf
?
??
?
连续，则有在点若
§ 1 二 维 随 机 变 量
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在
G 内 的概率为：
????
G
d x d yyxfGYXP,),(}),{( 返回主目录
在几何上 z = f (x,y) 表示空间的一个曲面，上式
即表示 P{(X,Y)?G}的值等于以 G 为底，以曲面
z = f (x,y)为顶的柱体体积
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX；常数⑴．求 c
解：
，得⑴．由密度函数的性质
? ? ? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，
0
22222 RyxyxRc
yxf
? ? ? ?
的概率．
内落入圆，⑵．求 RrryxYX ???? 0222
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4（续）
? ?? ?
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ? ???
??
???
222
22
Ryx
d xd yyxRc
，得，作极坐标变换 ???? s i nc os ?? yx
? ? ????
?
dRcd
R
?? ??
0
2
0
1 cR ?? 33
1 ?
．所以,33
R
c
?
?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4（续）
? ? ? ?? ?222 ryxYXP ???，
? ???
??
???
222
22
3
3
ryx
dx dyyxRR?
，得，作极坐标变换 ???? s i nc os ?? yx
? ? ????
?
?
dRd
R
r
?? ??
0
2
0
3
3
?
?
??
?
? ??
R
r
R
r
3
213
2
2
? ???
??
?
222 ryx
d x d yyxf,
? ? ? ?? ?222 ryxYXP ???，
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX；常数求⑴ c
解：
由密度函数的性质，得⑴
? ?
? ?
?
?
? ??
?
??
其它
，，
0
0043 yxceyxf yx
? ?的联合分布函数；，求⑵ YX
? ?．，求⑶ 2010 ???? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5（续）
? ?? ?
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ? ?? ?
?? ??
???
0 0
43 d x d yec yx
dyedxec yx ??
??
?
??
? ??
0
4
0
3
12
c?
．所以,12?c
§ 1 二 维 随 机 变 量
x
y
0,0 ?? yx
? ? ；,0?yxF时，或当 00 ?? yx
? ?yxF,)2( ? ?yYxXP ???,
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例 5（续）
时，且当 00 ?? yx
? ?yxF,
dvedue
y
v
x
u ?? ?? ??
0
4
0
312
? ?? ?
?? ??
?
x y
du d vvuf,
? ?yYxXP ???,
? ?? ? ???
x y
vu d u d ve
0 0
4312
? ?? ?yx ee 43 11 ?? ???
? ? ? ? ? ?
?
?
? ????? ??
其它
，，所以，
0
0011 43 yxeeyxF yx
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5（续）
dyedxe yx ?? ?? ??
2
0
4
1
0
312
? ???
????
?
2010 yx
d x d yyxf
，
，
? ?? ? ???
1
0
2
0
4312 d x d ye yx
? ?? ?83 11 ?? ??? ee
? ?．，⑶,2010 ???? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 6
1
2
O x
y
1
? ?
度函数为
的密，设二维随机变量 YX
? ?
??
?
?
? ?????
?
其它
，，
0
2010
3
12 yxxyx
yxf
试求概率 ? ?．1?? YXP
解：
积分区域如图所示，
§ 1 二 维 随 机 变 量
x+y=1
x=1
y=2
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例 6（续）
? ?????? ???
1
0
23
2
1
3
4
6
5 dxxxx
? ???
??
?
1yx
d x d yyxf,
? ?
?
?
?
??
?
? ?? 1
0
2
1
2
3
1
x
dyxyxdx
72
65?
? ?,1?? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
1
2
O x
y
1
x+y=1
x=1
y=2
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二维均匀分布
? ?的密度函数为，如果二维随机变量 YX
AD 其面积为是平面上的有界区域，设
? ?
上的均匀分布．
服从区域，则称二维随机变量 DYX
? ? ? ?
? ???
?
?
?
?
?
?
Dyx
Dyx
Ayxf
，
，
，
0
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维均匀分布几何意义 ? ?
? ?
中的位置无关．在的形状以及而与
面积成正比，内的概率与该子区域的域
内任一个子区内；并且落在落在区域
只，为随机点均匀分布，我们可以认
上的服从区域，如果二维随机变量
DDD
D
DD
YX
DYX
11
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二元正态分布
? ?的密度函数为，二维随机变量设 YX
? ? ? ?
的正态分布，记作
，，，服从参数为，则称随机变量 rYX 222121 ????
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ? ? ?rNYX 222121~ ????,，，，
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?21,??????? ii? ? ?210,?? ii? 11 ??? r
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? 二维随机变量
? 联合分布函数
? 联合分布律
? 联合概率密度
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设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}，
设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。
由它们构成的一个向量 (X,Y), 叫做二维随机
向量，或 二维随机变量 。
S
e
X(e)
Y(e)
§ 1 二 维 随 机 变 量
定义
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注 意 事 项
维随机向量；二维随机变量也称为二⑴
我们应把二维随机变量⑵
? ? ? ? ? ?? ? ? ?SeeYeXYX ??,，
系的；
之间是有联与看作一个整体，因为 YX
? ?
作平面上的随机点．
可看，量在几何上，二维随机变⑶ YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维随机变量的例子
身体状况，令考察某地区成年男子的⒈
高；：该地区成年男子的身X
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
：对一目标进行射击，令⒉
重．：该地区成年男子的体Y
距离；：弹着点与目标的水平X
距离；：弹着点与目标的垂直Y
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维随机变量的例子
，令：考察某地区的气候状况⒊
：该地区的温度；X
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
，令：考察某钢厂钢材的质量⒋
：该地区的湿度．Y
：钢材的含碳量；X
：钢材的含硫量；Y
? ?,就是一个二维随机变量，则 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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? ?
? ?,，实数
则对于任意一对是一个二维随机变量，，设
yx
YX
? ?
? ?,的分布函数，变量
为二维随机的函数．我们称此函数，是
YX
yx
? ? ? ?yYxXPyxF ???,，
§ 1 二 维 随 机 变 量
定 义
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二元分布函数的几何意义
? ?
? ?
? ?
概率．
点的无穷矩形中的
为右上顶，
落在以，点
表示平面上的随机
，意义是：
二元分布函数的几何
yx
YX
yxF
y
o
(x,y)
(X,Y )
§ 1 二 维 随 机 变 量
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一个重要的公式
，，设,2121 yyxx ?? 则
? ?2121 yXyxXxP ????,
? ? ? ?1222 yxFyxF,,??
? ? ? ?1121 yxFyxF,,??
y
xo x1 x2
y1
y2
(X,Y )
(x2,y2)
(x2,y1)
(x1,y2)
(x1,y1)
§ 1 二 维 随 机 变 量
分布函数具有以下的基本性质：
F (x,y )是变量 x,y 的不减函数，即
对于任意固定的 y,当 x1< x2时，
对于任意固定的 x,当 y1< y2时，
);,(),( 21 yxFyxF ?
);,(),( 21 yxFyxF ?
对于任意固定的 Y,
对于任意固定的 X,
,1),(0 ?? yxF;0),( ??? yF;0),( ???xF
.1),(;0),( ?????????? FF
§ 1 二 维 随 机 变 量
2)
1)
且
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.0),(),(),(),( 21111222 ???? yxFyxFyxFyxF
3) F (x,y )=F(x+0,y),F (x,y )=F(x,y+0),即
F (x,y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续,
y
xo x1 x2
y1
y2
(X,Y )
(x2,y2)
(x2,y1)
(x1,y2)
(x1,y1)
§ 1 二 维 随 机 变 量
4)
说 明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的
性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四
条性质；
更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数
具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变
量的分布函数（证明略）．
§ 1 二 维 随 机 变 量
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n 维随机变量
是其样本空间，是一个随机试验，设 SE
? ? ? ? ? ?niSeeXX ii,，,?21???
个随机变量．是该样本空间上的 n
则称
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?SeeXeXeX
XXX
n
n
??,，，
，，，
?
?
21
21
维随机变量．上的为样本空间 nS
§ 1 二 维 随 机 变 量
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n维随机变量的分布函数
? ?
? ?，，，，维实数组意一
维随机变量，则对于任是一个，，，设
n
n
xxxn
nXXX
?
?
21
21
§ 1 二 维 随 机 变 量
维随机变量我们称此函数为 n? ?nXXX,，,?21
? ?nxxxF,，,?21
? ?nn xXxXxXP ????,，,?2211
.的分布函数
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二维离散型随机变量
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?
? ?,为二维离散型随机变量，个，则称
无穷的取值是有限个或可列，若二维随机变量
YX
YX
? ? 二维离散型随机变量，，设 YX 的取值为X
??,，，,ixxx 21
的取值为Y
??,，，,jyyy 21
则称
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ? 的（联合）分布律．，为二维离散型随机变量 YX
二维离散型随机变量的联合分布律
? ? 下表表示的联合分布律也可以由,YX
Y
X
1
y
2
y …
j
y …
1
x
11
p
12
p …
j
p
1
…
2
x
21
p
22
p …
j
p
2
…
? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p …
ij
p …
? ? ? ?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维离散型随机变量联合分布律的性质
：性质 1
? ? 0???? jiij yYxXPp,有
1??
ji
ijp
，
：性质 2
? ? ? ??，，，，，对任意的 21?jiji
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 1
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
? ?的联合分布律．，试求 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
? ?00 ?? YXP,
9
1?
23
1?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 1（续）
9
2?
23
2?? ?10 ?? YXP,
? ?20 ?? YXP,
23
1?
9
1?
? ?01 ?? YXP,
23
2?
9
2?
? ?11 ?? YXP,
23
2?
9
2?
? ?21 ?? YXP, ? ??? P 0?
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?02 ?? YXP,
23
1?
9
1?
? ?22 ?? YXP, ? ??? P 0?
? ?12 ?? YXP, ? ??? P 0?
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例 1（续）
? ?的联合分布律为，由此得 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
Y
X
0 1 2
0
9
1
9
2
9
1
1
9
2
9
2
0
2
9
1
0 0
例 2
次，令：将一枚均匀的硬币掷 3
? ?的联合分布律．，试求 YX
数；次抛掷中正面出现的次,3X；，，，的可能取值为 3210X
解：
．，的可能取值为 31Y
次数之差的绝对值．
与反面出现次抛掷中正面出现次数,3Y
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 2（续）；0?? ?10 ?? YXP, ? ?30 ?? YXP, ；
8
1?
? ?11 ?? YXP, ；
8
3? ；0?? ?31 ?? YXP,
? ?12 ?? YXP, ；
8
3? ；0?? ?32 ?? YXP,；0?? ?13 ?? YXP,
．81?? ?33 ?? YXP,
? ?的联合分布律为，由此得随机变量 YX
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 2（续）
X
Y
0 1 2 3
1 0
8
3
8
3
0
3
8
1
0 0
8
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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由题意知,{X=i,Y=j}的取值情况是,i=1,2,3,4,且是
等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求
得 ( X,Y ) 的分布律。
.,4,3,2,1
,
4
11
}{}|{},{
iji
i
iXPiXjYPjYiXP
??
????????
其中
§ 1 二 维 随 机 变 量
设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个
随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y )
的分布律。
例 3
解：
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§ 1 二 维 随 机 变 量
X
Y 1 2 3 4
1
2
3
4 0
0
8
1
8
1
0
0
0
4
1
0
12
1
12
1
12
1
16
1
16
1
16
1
16
1
例 3（续）
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二维离散型随机变量的联合分布函数
? ? ? ??，，，,21???? jiyYxXPP jiij
? ? 二维离散型随机变量，，设 YX 分布律为联合其 )(
? ?的联合分布函数为，，则 YX
? ? ?
??
?
yyxx
ij
ji
pyxF
，
，
§ 1 二 维 随 机 变 量
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对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x,y ),如
果存在非负函数 f (x,y ),使得对于任意的 x,y有：
? ??? ??? y x d u d vvufyxF,),(),(
则称 ( X,Y ) 是 连续型的二维随机变量,函数 f (x,y )
称为二维随机变量 ( X,Y )的 概率密度,或称为 X 和 Y
的 联合概率密度 。
二维连续型随机变量
§ 1 二 维 随 机 变 量
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按定义，概率密度 f (x,y ) 具有以下性质：;0),(1 0 ?yxf;1),(),(2 0 ? ???? ??? ???? Fd x d yyxf
).,(
),(
),(),(3
2
0
yxf
yx
yxF
yxyxf
?
??
?
连续，则有在点若
§ 1 二 维 随 机 变 量
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在
G 内 的概率为：
????
G
d x d yyxfGYXP,),(}),{( 返回主目录
在几何上 z = f (x,y) 表示空间的一个曲面，上式
即表示 P{(X,Y)?G}的值等于以 G 为底，以曲面
z = f (x,y)为顶的柱体体积
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX；常数⑴．求 c
解：
，得⑴．由密度函数的性质
? ? ? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，
0
22222 RyxyxRc
yxf
? ? ? ?
的概率．
内落入圆，⑵．求 RrryxYX ???? 0222
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4（续）
? ?? ?
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ? ???
??
???
222
22
Ryx
d xd yyxRc
，得，作极坐标变换 ???? s i nc os ?? yx
? ? ????
?
dRcd
R
?? ??
0
2
0
1 cR ?? 33
1 ?
．所以,33
R
c
?
?
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 4（续）
? ? ? ?? ?222 ryxYXP ???，
? ???
??
???
222
22
3
3
ryx
dx dyyxRR?
，得，作极坐标变换 ???? s i nc os ?? yx
? ? ????
?
?
dRd
R
r
?? ??
0
2
0
3
3
?
?
??
?
? ??
R
r
R
r
3
213
2
2
? ???
??
?
222 ryx
d x d yyxf,
? ? ? ?? ?222 ryxYXP ???，
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX；常数求⑴ c
解：
由密度函数的性质，得⑴
? ?
? ?
?
?
? ??
?
??
其它
，，
0
0043 yxceyxf yx
? ?的联合分布函数；，求⑵ YX
? ?．，求⑶ 2010 ???? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5（续）
? ?? ?
??
??
??
??
? dx dyyxf,1 ? ?? ?
?? ??
???
0 0
43 d x d yec yx
dyedxec yx ??
??
?
??
? ??
0
4
0
3
12
c?
．所以,12?c
§ 1 二 维 随 机 变 量
x
y
0,0 ?? yx
? ? ；,0?yxF时，或当 00 ?? yx
? ?yxF,)2( ? ?yYxXP ???,
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例 5（续）
时，且当 00 ?? yx
? ?yxF,
dvedue
y
v
x
u ?? ?? ??
0
4
0
312
? ?? ?
?? ??
?
x y
du d vvuf,
? ?yYxXP ???,
? ?? ? ???
x y
vu d u d ve
0 0
4312
? ?? ?yx ee 43 11 ?? ???
? ? ? ? ? ?
?
?
? ????? ??
其它
，，所以，
0
0011 43 yxeeyxF yx
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 5（续）
dyedxe yx ?? ?? ??
2
0
4
1
0
312
? ???
????
?
2010 yx
d x d yyxf
，
，
? ?? ? ???
1
0
2
0
4312 d x d ye yx
? ?? ?83 11 ?? ??? ee
? ?．，⑶,2010 ???? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
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例 6
1
2
O x
y
1
? ?
度函数为
的密，设二维随机变量 YX
? ?
??
?
?
? ?????
?
其它
，，
0
2010
3
12 yxxyx
yxf
试求概率 ? ?．1?? YXP
解：
积分区域如图所示，
§ 1 二 维 随 机 变 量
x+y=1
x=1
y=2
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例 6（续）
? ?????? ???
1
0
23
2
1
3
4
6
5 dxxxx
? ???
??
?
1yx
d x d yyxf,
? ?
?
?
?
??
?
? ?? 1
0
2
1
2
3
1
x
dyxyxdx
72
65?
? ?,1?? YXP
§ 1 二 维 随 机 变 量
1
2
O x
y
1
x+y=1
x=1
y=2
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二维均匀分布
? ?的密度函数为，如果二维随机变量 YX
AD 其面积为是平面上的有界区域，设
? ?
上的均匀分布．
服从区域，则称二维随机变量 DYX
? ? ? ?
? ???
?
?
?
?
?
?
Dyx
Dyx
Ayxf
，
，
，
0
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二维均匀分布几何意义 ? ?
? ?
中的位置无关．在的形状以及而与
面积成正比，内的概率与该子区域的域
内任一个子区内；并且落在落在区域
只，为随机点均匀分布，我们可以认
上的服从区域，如果二维随机变量
DDD
D
DD
YX
DYX
11
1
§ 1 二 维 随 机 变 量
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二元正态分布
? ?的密度函数为，二维随机变量设 YX
? ? ? ?
的正态分布，记作
，，，服从参数为，则称随机变量 rYX 222121 ????
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ? ? ?rNYX 222121~ ????,，，，
§ 1 二 维 随 机 变 量
? ?21,??????? ii? ? ?210,?? ii? 11 ??? r
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