随机变量的独立性
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
．是相互独立的随机变量，则称
，
，有，的
．如果对于任意的分布函数为随机变量
，的分布函数为，又随机变量，
合分布函数为是二维随机变量，其联，设
YX
yFxFyxF
yx
yFY
xFXyxF
YX
YX
Y
X
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
? ? ? ?yYxXPyxF ???,，
⑴．由于
? ? ? ? ? ? ? ?yYPyFxXPxF YX ????,以及
：相互独立，实际上是指与可知，随机变量 YX
? ? ? ?
相互独立．
与
，随机事件，对于任意的
yYxX
yx
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
相互独立，则由与⑵．如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yFxFyxF YX?，
可知，
? ?
? ?
? ? ? ? 唯一确定．与
可由其边缘分布函数，函数
的联合分布，二维随机变量
yFxF
yxF
YX
YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1
解：
? ?的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
? ? ?????? ??????? ?? 10ar ct an25ar ct an21 2 yxyxF ???，
? ????????????? yx,
是否相互独立？与试判断 YX
的边缘分布函数为X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1（续）
?????? ??????? ?? ??? 10ar ct an25ar ct an21lim 2 yxy ???
?????? ?? 5ar ct a n21 x?? ? ?? ??????,x
? ? ? ?yxFxF yX,???? lim
的边缘分布函数为Y
? ? ? ?yxFyF xY,???? lim
?????? ??????? ?? ??? 10ar ct an25ar ct an21lim 2 yxx ???
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1（续）
? ?? ??????,y?
?
??
?
? ??
10ar ct an2
1 y?
?
，有，所以，对于任意的实数 yx
? ? ?????? ??????? ?? 10ar ct an25ar ct an21 2 yxyxF ???，
?????? ???????? ?? 10a r c t a n215a r c t a n21 yx ????
? ? ? ?yFxF YX?
．是相互独立的随机变量与所以 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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离散型随机变量的独立性
? ?,其联合分布律为是二维离散型随机变量，设 YX
? ?jiij yYxXPp ???,
的分布律为又随机变量 X
? ??，，,21?ji
? ?ii xXPp ??? ? ??，,21?i
的分布律为随机变量 Y
? ?jj yYPp ??? ? ??，,21?j
ji，如果对于任意的
jiij ppp ???
．是相互独立的随机变量，则称 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2
? ?的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
Y
X
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1
? ?
相互独立．与使得随机变量，试确定常数 YX??
解：
的边缘分布律为与由表，可得随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2（续）
Y
X
1 2 3
?i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
? ? ?? ??
3
1
j
p
? 2
1
??
9
1 ??
18
1
相互独立，则有与如果随机变量 YX
jiij ppp ??? ? ?32121,，；,?? ji
由此得
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2（续）
? ?2191 ??? YXP,；由此得 92??
又由
? ?31181 ??? YXP,
．由此得 91??
?????? ??? ?9131? ? ? ?21 ??? YPXP
?????? ??? ?18131? ? ? ?31 ??? YPXP
分布律为时，联合分布律及边缘，而当 9192 ?? ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2（续）
Y
X
1 2 3
?i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
9
2
9
1
3
2
j
p
? 2
1
3
1
6
1
可以验证，此时有
jiij ppp ??? ? ?32121,，；,?? ji
相互独立．与时，，因此当 YX9192 ?? ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 3
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
是否相互独立？与试判断随机变量 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
布律为的联合分布律及边缘分与知由 YX3, 1§
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 ?i
p
0
9
1
9
2
9
1
9
4
1
9
2
9
2
0
9
4
2
9
1
0 0
9
1
j
p
? 9
4
9
4
9
1
? ? 021 ??? YXP, ? ? ? ?
9
1
9
421 ???? YPXP?
不独立．与随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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连续型随机变量的独立性
? ?
? ?，，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
．是相互独立的随机变量，则称 YX
? ? ? ?
须成立．
必，的所有连续点，特别地，上式对 yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
? ?，的边缘密度函数为又随机变量 xfX X
有，，如果对于几乎所有的 yx
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
? ?，缘密度函数为 yf Y
的边随机变量 Y
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说 明
”是指：，有的这里所谓的“对几乎所 yx
那些使得等式
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
? ?,所成集合的“面积”为，不成立的全体点 0yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX
? ?
??
?
?
? ?????
?
其它
，，
0
2010
3
12
yxxyxyxf
是否相互独立？与试判断随机变量 YX
解：
时，当 10 ?? x
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X, ? ?
?
??
?
? ?? 2
0
2
3
1 dyxyx
xx 322 2 ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4（续）
的密度函数为所以，随机变量 X
? ?
??
?
?
?
???
?
其它0
10
3
2
2 2 xxx
xf X
时，当 20 ?? y
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y, ? ?
?
??
?
? ?? 1
0
2
3
1 dxxyx y
6
1
3
1 ??
的密度函数为所以，随机变量 Y
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4（续）
? ?
??
?
?
? ???
?
其它0
20
6
1
3
1
yyyf
Y
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
不独立．与所以，随机变量 YX
时，，由于当 2010 ???? yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
? ?
??
??? ??????
其它
，，
0
2010312 yxxyxyxf
? ?
??
??? ????
其它0
10
3
22 2 xxx
xf X
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例 5
分钟以内的概率．待分布．试求先到者需等
时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服
时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地
10
112
解：
分到达，时设甲于 X12
? ?
上的均匀分布．
，间相互独立，且都服从区与则随机变量 600YX
分到达．时设乙于 Y12
? ?的联合密度函数为，所以,YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 5（续）
? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，，
0
600600
3 6 0 0
1 yx
yxf
? ?分钟先到者等待时间不超过设,10?A
则有,? ?10??? YXA
中直线满足上述条件的点为图
10?? yx
与直线
10??? yx
之间的部分．
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10??? yx
10?? yx
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例 5（续）
所以，所求概率为
? ? ? ?10??? YXPAP
? ???
??
?
10yx
d x d yyxf,
3 6 0 0
50503 6 0 0 ???
36
11?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10?? yx
10??? yx
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例 6（ Buffon投针问题）
a
? ?
行直线相交的概率．
平的针，试求该针与任一
一根长度为线，向此平面上任意投
的一些平行平面上画有等距离为
aLL
a
?
X
L
?
解：
平行线的距离；
：针的中心到最近一条设,X
所在投影线的夹角．：针与 X?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 6（续）
? ?的联合密度函数为，所以二维随机变量 ?X
? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，
，
0
2
0
2
0
4 ?
?
y
a
x
ayxf
上的均匀分布；，服从区间则随机变量 ?
?
?
??
?
20
aX
相互独立．与并且随机变量 ?X
上的均匀分布；，服从区间随机变量 ?
?
?
??
?
20
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 6（续）
? ?针与任一直线相交设,?A
所以，
?
?
?
?
?
? ??
2s i n
LXA
?
则
? ?
??
?
??
? ?? ?s i n
2
LXPAP ? ???
?
?
yLx
d x d yyxf
s i n
2
，
???
y
L
dx
a
dy
s i n
2
00
42
?
?
??
2
0
s in
2
4
?
?
dyyL
a a
L
?
2?
??
?
??
? ?? ?s in
2
LX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
由本题的答案
? ? aLAP ?2?
的近似计算公式：我们有圆周率 ?
的近似值代入上式，得作为
次与平行线相交，则以次，其中有若我们投针
)( AP
N
n
nN
? ?APa
L 12 ???
n
N
a
L ?? 2?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
）：折算为（其中把
一些有关资料过此项实验，下表就是历史上，确有些学者做
1a
实验者 年 份 针 长 投掷次数 相交次数 π 的近似值
W ol f 1850 0.8 5000 2532 3.15 96
Smi th 1855 0.6 3204 121 8.5 3.15 54
D e Morg an 1860 1.0 600 382,5 3.13 7
F ox 1884 0.75 1030 489 3.15 95
L az z eri ni 1901 0.83 3408 1808 3.14 159 29
R ei na 1925 0.54 19 2520 859 3.17 59
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
来就是：种概率方法，它概括起上述的计算方法就是一
）有关．（如上面的常数
些量，它与我们感兴趣的某首先建立一个概率模型
?
来确定这些量．
结果验，并通过这个试验的然后设计适当的随机试
方法．——类新的计算方法
起一展，已按上述思路建立现在，随着计算机的发
C a r l oM o n t e ?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（正态随机变量的独立性）
? ? ? ?rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~ ????
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ?的联合密度函数为，则 YX
的边缘密度函数为又随机变量 X
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
? ? ? ? ? ?
??
???
??
???
?
?
?
?
?
? ?????
2
2
2
2
2
1
2
1
21 2
1ex p
2
1
?
?
?
?
???
yxyxf,
? ?的联合密度函数为，时，所以，当 YXr 0?
? ?
? ?
? ????????
?
?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1 ?
?
??
的边缘密度函数为随机变量 Y
? ? ? ?yfxf YX ??
相互独立；与这表明，随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
特别地，我们有
，有，实数
相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX ??，
即，
? ? ? ? ? ?2121 ???? YX fff ??，
21
2
21 2
1
2
1
12
1
???????
??
? r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
．由此得,0?r
重要结论：综上所述，我们有以下
? ?
：件为相互独立的充分必要条
，，，，二元正态随机变量 rN
2
2
2
121 ????
．0?r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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n维 随机变量的独立性
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
．是相互独立的随机变量，，，则称
，，，
，有，，，维实数组对于任意的
．如果，，，，的分布函数为
，又随机变量，，，分布函数为
维随机变量，其联合是，，，设
n
nXXXn
n
iX
in
n
XXX
xFxFxFxxxF
xxxn
nixF
XxxxF
nXXX
n
i
?
??
?
?
?
?
21
2121
21
21
21
21
21
?
?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
注意, 若 X,Y 独立,f(x),g(y) 是连续函数，
则 f(X),g(Y) 也独立。 返回主目录
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
．是相互独立的随机变量，则称
，
，有，的
．如果对于任意的分布函数为随机变量
，的分布函数为，又随机变量，
合分布函数为是二维随机变量，其联，设
YX
yFxFyxF
yx
yFY
xFXyxF
YX
YX
Y
X
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
说 明
? ? ? ?yYxXPyxF ???,，
⑴．由于
? ? ? ? ? ? ? ?yYPyFxXPxF YX ????,以及
：相互独立，实际上是指与可知，随机变量 YX
? ? ? ?
相互独立．
与
，随机事件，对于任意的
yYxX
yx
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
相互独立，则由与⑵．如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yFxFyxF YX?，
可知，
? ?
? ?
? ? ? ? 唯一确定．与
可由其边缘分布函数，函数
的联合分布，二维随机变量
yFxF
yxF
YX
YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1
解：
? ?的联合分布函数为，设二维随机变量 YX
? ? ?????? ??????? ?? 10ar ct an25ar ct an21 2 yxyxF ???，
? ????????????? yx,
是否相互独立？与试判断 YX
的边缘分布函数为X
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1（续）
?????? ??????? ?? ??? 10ar ct an25ar ct an21lim 2 yxy ???
?????? ?? 5ar ct a n21 x?? ? ?? ??????,x
? ? ? ?yxFxF yX,???? lim
的边缘分布函数为Y
? ? ? ?yxFyF xY,???? lim
?????? ??????? ?? ??? 10ar ct an25ar ct an21lim 2 yxx ???
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 1（续）
? ?? ??????,y?
?
??
?
? ??
10ar ct an2
1 y?
?
，有，所以，对于任意的实数 yx
? ? ?????? ??????? ?? 10ar ct an25ar ct an21 2 yxyxF ???，
?????? ???????? ?? 10a r c t a n215a r c t a n21 yx ????
? ? ? ?yFxF YX?
．是相互独立的随机变量与所以 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
离散型随机变量的独立性
? ?,其联合分布律为是二维离散型随机变量，设 YX
? ?jiij yYxXPp ???,
的分布律为又随机变量 X
? ??，，,21?ji
? ?ii xXPp ??? ? ??，,21?i
的分布律为随机变量 Y
? ?jj yYPp ??? ? ??，,21?j
ji，如果对于任意的
jiij ppp ???
．是相互独立的随机变量，则称 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2
? ?的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
Y
X
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1
? ?
相互独立．与使得随机变量，试确定常数 YX??
解：
的边缘分布律为与由表，可得随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2（续）
Y
X
1 2 3
?i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
? ? ?? ??
3
1
j
p
? 2
1
??
9
1 ??
18
1
相互独立，则有与如果随机变量 YX
jiij ppp ??? ? ?32121,，；,?? ji
由此得
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 2（续）
? ?2191 ??? YXP,；由此得 92??
又由
? ?31181 ??? YXP,
．由此得 91??
?????? ??? ?9131? ? ? ?21 ??? YPXP
?????? ??? ?18131? ? ? ?31 ??? YPXP
分布律为时，联合分布律及边缘，而当 9192 ?? ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
返回主目录
例 2（续）
Y
X
1 2 3
?i
p
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
9
2
9
1
3
2
j
p
? 2
1
3
1
6
1
可以验证，此时有
jiij ppp ??? ? ?32121,，；,?? ji
相互独立．与时，，因此当 YX9192 ?? ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 3
的三个盒子中．，，编号为将两个球等可能地放入 321
是否相互独立？与试判断随机变量 YX；，，的可能取值为 210X
解：
号盒中的球数；：放入令,1X
号盒中的球数．：放入 2Y
．，，的可能取值为 210Y
布律为的联合分布律及边缘分与知由 YX3, 1§
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 3（续）
Y
X
0 1 2 ?i
p
0
9
1
9
2
9
1
9
4
1
9
2
9
2
0
9
4
2
9
1
0 0
9
1
j
p
? 9
4
9
4
9
1
? ? 021 ??? YXP, ? ? ? ?
9
1
9
421 ???? YPXP?
不独立．与随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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连续型随机变量的独立性
? ?
? ?，，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
．是相互独立的随机变量，则称 YX
? ? ? ?
须成立．
必，的所有连续点，特别地，上式对 yxyxf
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
? ?，的边缘密度函数为又随机变量 xfX X
有，，如果对于几乎所有的 yx
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
? ?，缘密度函数为 yf Y
的边随机变量 Y
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说 明
”是指：，有的这里所谓的“对几乎所 yx
那些使得等式
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
? ?,所成集合的“面积”为，不成立的全体点 0yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4
? ?的密度函数为，设二维随机变量 YX
? ?
??
?
?
? ?????
?
其它
，，
0
2010
3
12
yxxyxyxf
是否相互独立？与试判断随机变量 YX
解：
时，当 10 ?? x
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X, ? ?
?
??
?
? ?? 2
0
2
3
1 dyxyx
xx 322 2 ??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4（续）
的密度函数为所以，随机变量 X
? ?
??
?
?
?
???
?
其它0
10
3
2
2 2 xxx
xf X
时，当 20 ?? y
? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y, ? ?
?
??
?
? ?? 1
0
2
3
1 dxxyx y
6
1
3
1 ??
的密度函数为所以，随机变量 Y
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 4（续）
? ?
??
?
?
? ???
?
其它0
20
6
1
3
1
yyyf
Y
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
不独立．与所以，随机变量 YX
时，，由于当 2010 ???? yx
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
? ?
??
??? ??????
其它
，，
0
2010312 yxxyxyxf
? ?
??
??? ????
其它0
10
3
22 2 xxx
xf X
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例 5
分钟以内的概率．待分布．试求先到者需等
时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服
时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地
10
112
解：
分到达，时设甲于 X12
? ?
上的均匀分布．
，间相互独立，且都服从区与则随机变量 600YX
分到达．时设乙于 Y12
? ?的联合密度函数为，所以,YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 5（续）
? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，，
0
600600
3 6 0 0
1 yx
yxf
? ?分钟先到者等待时间不超过设,10?A
则有,? ?10??? YXA
中直线满足上述条件的点为图
10?? yx
与直线
10??? yx
之间的部分．
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10??? yx
10?? yx
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例 5（续）
所以，所求概率为
? ? ? ?10??? YXPAP
? ???
??
?
10yx
d x d yyxf,
3 6 0 0
50503 6 0 0 ???
36
11?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
O x10 60
10
60
y
10?? yx
10??? yx
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例 6（ Buffon投针问题）
a
? ?
行直线相交的概率．
平的针，试求该针与任一
一根长度为线，向此平面上任意投
的一些平行平面上画有等距离为
aLL
a
?
X
L
?
解：
平行线的距离；
：针的中心到最近一条设,X
所在投影线的夹角．：针与 X?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 6（续）
? ?的联合密度函数为，所以二维随机变量 ?X
? ?
??
?
?
? ????
?
其它
，
，
0
2
0
2
0
4 ?
?
y
a
x
ayxf
上的均匀分布；，服从区间则随机变量 ?
?
?
??
?
20
aX
相互独立．与并且随机变量 ?X
上的均匀分布；，服从区间随机变量 ?
?
?
??
?
20
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 6（续）
? ?针与任一直线相交设,?A
所以，
?
?
?
?
?
? ??
2s i n
LXA
?
则
? ?
??
?
??
? ?? ?s i n
2
LXPAP ? ???
?
?
yLx
d x d yyxf
s i n
2
，
???
y
L
dx
a
dy
s i n
2
00
42
?
?
??
2
0
s in
2
4
?
?
dyyL
a a
L
?
2?
??
?
??
? ?? ?s in
2
LX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
由本题的答案
? ? aLAP ?2?
的近似计算公式：我们有圆周率 ?
的近似值代入上式，得作为
次与平行线相交，则以次，其中有若我们投针
)( AP
N
n
nN
? ?APa
L 12 ???
n
N
a
L ?? 2?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
）：折算为（其中把
一些有关资料过此项实验，下表就是历史上，确有些学者做
1a
实验者 年 份 针 长 投掷次数 相交次数 π 的近似值
W ol f 1850 0.8 5000 2532 3.15 96
Smi th 1855 0.6 3204 121 8.5 3.15 54
D e Morg an 1860 1.0 600 382,5 3.13 7
F ox 1884 0.75 1030 489 3.15 95
L az z eri ni 1901 0.83 3408 1808 3.14 159 29
R ei na 1925 0.54 19 2520 859 3.17 59
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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说 明
来就是：种概率方法，它概括起上述的计算方法就是一
）有关．（如上面的常数
些量，它与我们感兴趣的某首先建立一个概率模型
?
来确定这些量．
结果验，并通过这个试验的然后设计适当的随机试
方法．——类新的计算方法
起一展，已按上述思路建立现在，随着计算机的发
C a r l oM o n t e ?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（正态随机变量的独立性）
? ? ? ?rNYX,，，，，设二维随机变量 222121~ ????
? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
2
12
1
e x p
12
1
?
?
??
??
?
?
???
yyxrx
r
r
yxf,
? ?的联合密度函数为，则 YX
的边缘密度函数为又随机变量 X
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
X
2
1
2
1
2
12
1 ?
?
??
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
? ? ? ? ? ?
??
???
??
???
?
?
?
?
?
? ?????
2
2
2
2
2
1
2
1
21 2
1ex p
2
1
?
?
?
?
???
yxyxf,
? ?的联合密度函数为，时，所以，当 YXr 0?
? ?
? ?
? ????????
?
?
yeyf
y
Y
2
2
2
2
2
22
1 ?
?
??
的边缘密度函数为随机变量 Y
? ? ? ?yfxf YX ??
相互独立；与这表明，随机变量 YX
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
特别地，我们有
，有，实数
相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量
yx
YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX ??，
即，
? ? ? ? ? ?2121 ???? YX fff ??，
21
2
21 2
1
2
1
12
1
???????
??
? r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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例 7（续）
．由此得,0?r
重要结论：综上所述，我们有以下
? ?
：件为相互独立的充分必要条
，，，，二元正态随机变量 rN
2
2
2
121 ????
．0?r
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
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n维 随机变量的独立性
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
．是相互独立的随机变量，，，则称
，，，
，有，，，维实数组对于任意的
．如果，，，，的分布函数为
，又随机变量，，，分布函数为
维随机变量，其联合是，，，设
n
nXXXn
n
iX
in
n
XXX
xFxFxFxxxF
xxxn
nixF
XxxxF
nXXX
n
i
?
??
?
?
?
?
21
2121
21
21
21
21
21
?
?
第三章 随机变量及其分布
§ 4随机变量的独立性
注意, 若 X,Y 独立,f(x),g(y) 是连续函数，
则 f(X),g(Y) 也独立。 返回主目录
