一,离散型随机变量的概念与性质
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
离散型随机变量的定义
如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无
穷个，则称 X 为离散型随机变量．
§ 2离散型随机变量
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
??,，，,nxxx 21
并设 ? ? ? ?
?,2,1??? npxXP nn
则称上式或
X 1x 2x,? nx ?
P 1p 2p,? np ?
为离散型随机变量 X 的分布律．
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说 明
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．
即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这
些值的概率唯一确定．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
离散型随机变量分布律的性质,
0?np
n,有⑴．对任意的自然数
1??
n
np⑵．
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例 1
从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令：
X：取出的 5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 5,6,7,8,9,10,并且
? ? ? ?10655
10
4
1,，,???? ? k
C
CkXP k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
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例 2
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 -3,-1,1,3,并且
X -3 -1 1 3
P
8
1
8
3
8
3
8
1
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 3
设离散型随机变量 X 的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
P
16
1
16
3
16
1
16
4
16
3
16
4
则
? ? ? ? ? ? ? ?2102 ??????? XPXPXPXP
16
1
16
3
16
1 ???
16
5?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 3（续）
? ? ? ? ? ?543 ????? XPXPXP
16
4
16
3 ??
16
7?
? ? ? ? ? ?2135.0 ?????? XPXPXP
16
1
16
3 ??
16
4?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 4
设随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，,2141 ??
?
??
?
??? ncnXP n,试求常数 c
解：由随机变量的性质，得
? ? ?? ?
?
?
?
?????????
11 4
11
n
n
n
cnXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
该级数为等比级数，故有
? ? ?? ?
?
?
?
?????????
11 4
11
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
?
?? c
所以,3?c
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过, 以 X 表
示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的
分布律, (信号灯的工作是相互独立的 ).
P{X=3}=(1-p)3p
例 5
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
解,以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
X 的分布律为：
X
pk
0 1 2 3 4
p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp,k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
例 5(续 )
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
以 p = 1/2 代入得：
X
pk
0 1 2 3 4
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例 5(续 )
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二、一些常用的离散型随机变量
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
1) Bernoulli分布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ? pXPpXP ????? 110,
X 0 1
P 1- p p或
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,
? ?为参数其中 10 ?? p? ?pBX,记作 1~ 返回主目录
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Bernoulli分布的概率背景
进行一次 Bernoulli试验，设：
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
令,X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
或者说：令
?
?
??
不发生若事件
发生若事件
A
AX
0
1
? ?pBX,1~则 返回主目录
例 6
15 件产品中有 4件次品,11件正品．从中取出 1件
令
X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值
为 0 或者 1，并且
? ? ? ? 154115110 ???? XPXP,
．，即,?
?
??
?
?
15
41~ BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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2）二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
? ?为参数为自然数，其中 10 ?? pn
? ?
? ?pnBX
pnX
，记作
的二项分布，，服从参数为则称随机变量
~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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说 明
显然，当 n=1 时
分布．服从此时,B e r no ul l iX
? ?pBX,1~
项分布的一个特例．
分布是二这说明,B er n o u l l i
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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二项 分布的概率背景
进行 n重 Bernoulli试验，设在每次试验中
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的
次数．
? ?pnBX,则 ~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分布律的验证
⑴,由于
10 ?? p
以及 n 为自然数，可知
? ? ? ?nkppC knkkn,，,?1001 ??? ?
⑵,又由二项式定理，可知
? ? ? ?? ? 111
0
??????
?
? n
n
k
knkk
n ppppC
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
所以
是分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 7
一张考卷上有 5道选择题，每道题列出 4个可能答案，
其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能
答对 4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次 Bernoulli试验，
的题数：该学生靠猜测能答对设,X
? ? ? ? 41?? APA,则答对一道题
则答 5道题相当于做 5重 Bernoulli试验．
?????? 415~,则 BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 7（续）
所以
? ? ? ?44 ?? XPP 道题至少能答对
? ? ? ?54 ???? XPXP
54
4
5 4
1
4
3
4
1 ?
?
??
?
????
?
??
?
?? C
64
1?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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二项分布的分布形态
由此可知，二项分布的分布
? ? 则，，若 pnBX ~
? ?
? ?
? ? ? ?pq
kq
kpn
kXP
kXP ??????
??
? 111
1
? ?kXP ?
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
? ?kXP ?
能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的 0k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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可以证明：
? ? ? ?? ? ；不是整数，则如果 pnkpn 11 0 ???
? ? ? ?
? ? ；
或是整数，则如果
11
11 0
??
???
pn
pnkpn
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 8
对同一目标进行 300次独立射击，设每次射击时的命
中率均为 0.44，试求 300次射击最可能命中几次？其
相应的概率是多少？
解：对目标进行 300次射击相当于做 300重 Bernoulli
试验．令：
．射击中命中目标的次数,300X
则由题意 ? ?．,44.03 0 0~ BX
? ?,它不是整数由于 44.13244.01300 ???
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 8（续）
因此，最可能射击的命中次数为
? ? 13244.1320 ??k
其相应的概率为
? ? 1 6 81 3 21 3 23 0 0 56.044.0132 ???? CXP
0 4 6 3 6.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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3） Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
? ?为常数其中 0??
则称随机变量 X 服从 参数为 λ的 Poisson 分布,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分布律的验证
⑴ 由于
0??
可知对任意的自然数 k，有
0
!
?? ?? e
k
k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
??
?
?
?
?
?
? ?
00 !! k
k
k
k
keek
?? ??
所以
?? ee ?? 1?
? ? ? ??，，,210
!
??? ? ke
k
kXP
k
??
是分布律．
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Poisson分布的应用
? Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
? 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从
Poisson分布．
? 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔
内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔
内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产
生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台
要求服务的人数，等等，在一定条件下，都
是服从 Poisson分布的．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 9
设随机变量 X 服从参数为 λ的 Poisson分布，且已知
? ? ? ?21 ??? XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
? ?,试求 4?XP
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
由已知 ? ? ? ?
21 ??? XPXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 9（续）
得 ?? ?? ??
? ee !2!1
21
由此得方程 022 ?? ??
得解,2??
? ?不合题意，舍去另一个解 0??
所以，
? ? 24!424 ??? eXP 2
3
2 ?? e
0 9 0 2 2.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 10
概率．
“疗效显著”的次感冒，试求此药对他他得了
，此药一年，在这一年中是无效的．现某人服用
的人来讲，则余（疗效一般）；而对其
降为的人来讲，可将参数显著）；对另
（疗效降为数的人来讲，可将上述参
冒的药，它对分布，现有一种预防感
的冒次数服从参数设一个人在一年内的感
3
%254
%45
1%30
5
?
?
?
?
?
??
?
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 10（续）
解：设 B={ 此人在一年中得 3次感冒 }
? ?该药疗效显著?1A ? ?该药疗效一般?2A
? ?该药无效?3A 则由 Bayes公式，得
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
332211
11
1 ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
??
?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
5
3
4
3
1
3
1
3
!3
5
25.0
!3
4
45.0
!3
1
30.0
!3
1
30.0
???
?
?????
?
?
eee
e
1 3 0 1.0?
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Poisson定理
证明：
有关．如果验总数中发生的概率，它与试
在试验代表事件试验中，以设在
n
ApB e r no ul l i n
0lim ???? ?nn np
? ? ?? ??
??
?? ekppC
k
kn
n
k
n
k
nn ！则 1lim
nnnp ??令：
? ?
? ?? ? ? ? knnkn
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnnn
ppC
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
?
?
??
1
121
1
！
则
?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Poisson定理的证明 (续 )
kn
n
k
n
nn
k
nnk
?
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? ?? 1112111
!
?
对于固定的 k，有
kk
nnnnnn np ???? ??? ?????? limlimlim 得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n nn
?
???
?
?
?
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? 1lim1lim ??? e
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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Poisson定理的证明 (续 )
所以，
? ? knnknkn
n
ppC ?
??
?1lim
kn
n
k
n
n nn
k
nnk
?
??
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? ?? 1112111
!
lim ?
kn
n
nn
k
nn nn
k
nnk
?
??????
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??? ?? 1lim112111limlim
!
1 ?
?? ?? e
k
k
！
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
? ?，，若随机变量 pnBX ~
比较小时，比较大，则当 pn
np??令：
? ? ? ? knkkn ppCkXP ???? 1则有
?? ?? e
k
k
!
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 11
设每次射击命中目标的概率为 0.012，现射击 600次，
求至少命中 3次目标的概率（用 Poisson分布近似计
算）．
解：设 B={ 600次射击至少命中 3次目标 }
进行 600次射击可看作是一 600重 Bernoulli试验,
．次射击命中目标的次数,600X
? ?．，则 012.0600~ BX
．取
分布近似计算，用
2.7012.0600 ????
P o i s s on
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 11（续）
所以，
? ? ? ?3?? XPBP ? ?31 ??? XP
? ? ? ? ? ?2101 ??????? XPXPXP
2.7
2
2.72.7
2
2.72.71 ??? ???? eee
9745.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现
有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生
故障的概率都是 0.01,在通常情况下，一台设备的故障
可有一人来处理, 问至少需配备多少工人，才能保
证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？
解,设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台
数为 X,则 X~ b(300,0.01），需要确定最小的 N 的
取值，使得：
.01.0}{ ?? NXP
例 12
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.99.0
!
3}{
0
3
??? ?
?
?N
k
k
k
eNXP
.01.0
!
3
!
31
0 1
33
??? ? ?
?
?
??
??N
k Nk
kk
k
e
k
e
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8,因此至少需配
备 8 个工人。
.01.0}{ ?? NXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由
一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台
其二，由 3 人,共同维护 80 台,
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修
的概率的大小,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13
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}.2{)()( 14321 ??? XPAPAAAAP ???
.0175.0
!
)2.0(
! 2
2.0
2
??? ??
?
?
??
?
?
k
k
k
k
k
e
k
e ??
解,按第一种方法, 以 X 记, 第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数,，则 X ~ b (20,0.01）,
以 Ai 表示事件,第 i 人负责的台中发生故障不能及
时维修”,则 80 台中发生故障而不能及时维修 的概
率为：
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
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按第二种方法, 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障
的台数, 则 Y~ b(80,0.01）, 故 80 台中发生故障而
不能及时维修的概率为：
.0 0 9 1.0
!
)8.0(}4{
4
8.0
??? ?
?
?
?
k
k
k
eYP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维
修工人减少一人。 运用概率论讨论国民经济问题，可以
有效地使用人力、物力资源。 返回主目录
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
? ?100 ???? qpqp,，其中
的几何分布．服从参数为则称随机变量 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分 布 律 的 验 证
⑴ 由条件
01 ?? pq k有
，，可知对任意的自然数,kqp 00 ??
⑵ 由条件可知
?? ?
?
?
?
?
? ?
1
1
1
1
k
k
k
k qppq qp ??? 1
1 1?
综上所述，可知
? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
是一分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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几何分布的概率背景
在 Bernoulli试验中，
? ? ? ? pqAPpAP ???? 1,
试验进行到 A 首次出现为止．
：所需试验次数．令,X
的几何分布．服从参数为则 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
即 ? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
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例 14
对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率
为 0.64，射击进行到击中目标时为止，令：
X：所需射击次数．
试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行 2次射击
才能击中目标的概率．
解,??,，，，的取值为 nX 21
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
? ?
? ?次射击时击中目标次射击均未击中，第前 nnP
nXP
1??
?
? ? ? ?次射击时击中目标第次射击均未击中前 nPnP ??? 1
例 14（续）
由独立性，得 X 的分布律为：
? ? ? ??,2,164.036.0 1 ???? ? nnXP n
? ? ? ?22 ?? XPP 次才命中至少命中
?
?
?
? ??
2
1 64.036.0
k
k
36.01
36.064.0
???
36.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ?? ?nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10 ????
?
?
均为自然数．，，其中 nMN
? ? 的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量 nMNX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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超几何分布的概率背景
一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件
为正品．现从中取出 n 件．
令,X：取出 n 件产品中的次品数,则 X 的分
布律为
? ? ? ?? ?nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10 ????
?
?
? ?
分布
的超几何，，服从参数为此时，随机变量 nMNX
§ 2离散型随机变量
第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
离散型随机变量的定义
如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无
穷个，则称 X 为离散型随机变量．
§ 2离散型随机变量
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
??,，，,nxxx 21
并设 ? ? ? ?
?,2,1??? npxXP nn
则称上式或
X 1x 2x,? nx ?
P 1p 2p,? np ?
为离散型随机变量 X 的分布律．
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说 明
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．
即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这
些值的概率唯一确定．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
离散型随机变量分布律的性质,
0?np
n,有⑴．对任意的自然数
1??
n
np⑵．
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例 1
从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令：
X：取出的 5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 5,6,7,8,9,10,并且
? ? ? ?10655
10
4
1,，,???? ? k
C
CkXP k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
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例 2
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
解,X 的取值为 -3,-1,1,3,并且
X -3 -1 1 3
P
8
1
8
3
8
3
8
1
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 3
设离散型随机变量 X 的分布律为
X 0 1 2 3 4 5
P
16
1
16
3
16
1
16
4
16
3
16
4
则
? ? ? ? ? ? ? ?2102 ??????? XPXPXPXP
16
1
16
3
16
1 ???
16
5?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 3（续）
? ? ? ? ? ?543 ????? XPXPXP
16
4
16
3 ??
16
7?
? ? ? ? ? ?2135.0 ?????? XPXPXP
16
1
16
3 ??
16
4?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 4
设随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，,2141 ??
?
??
?
??? ncnXP n,试求常数 c
解：由随机变量的性质，得
? ? ?? ?
?
?
?
?????????
11 4
11
n
n
n
cnXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
该级数为等比级数，故有
? ? ?? ?
?
?
?
?????????
11 4
11
n
n
n
cnXP
4
1
1
4
1
?
?? c
所以,3?c
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过, 以 X 表
示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的
分布律, (信号灯的工作是相互独立的 ).
P{X=3}=(1-p)3p
例 5
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
解,以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
X 的分布律为：
X
pk
0 1 2 3 4
p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp,k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
例 5(续 )
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
以 p = 1/2 代入得：
X
pk
0 1 2 3 4
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例 5(续 )
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二、一些常用的离散型随机变量
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
1) Bernoulli分布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ? pXPpXP ????? 110,
X 0 1
P 1- p p或
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,
? ?为参数其中 10 ?? p? ?pBX,记作 1~ 返回主目录
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Bernoulli分布的概率背景
进行一次 Bernoulli试验，设：
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
令,X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的次数．
或者说：令
?
?
??
不发生若事件
发生若事件
A
AX
0
1
? ?pBX,1~则 返回主目录
例 6
15 件产品中有 4件次品,11件正品．从中取出 1件
令
X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值
为 0 或者 1，并且
? ? ? ? 154115110 ???? XPXP,
．，即,?
?
??
?
?
15
41~ BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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2）二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
? ?为参数为自然数，其中 10 ?? pn
? ?
? ?pnBX
pnX
，记作
的二项分布，，服从参数为则称随机变量
~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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说 明
显然，当 n=1 时
分布．服从此时,B e r no ul l iX
? ?pBX,1~
项分布的一个特例．
分布是二这说明,B er n o u l l i
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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二项 分布的概率背景
进行 n重 Bernoulli试验，设在每次试验中
? ? ? ? qpAPpAP ???? 1，
令 X：在这次 Bernoulli试验中事件 A发生的
次数．
? ?pnBX,则 ~
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分布律的验证
⑴,由于
10 ?? p
以及 n 为自然数，可知
? ? ? ?nkppC knkkn,，,?1001 ??? ?
⑵,又由二项式定理，可知
? ? ? ?? ? 111
0
??????
?
? n
n
k
knkk
n ppppC
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
所以
是分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 7
一张考卷上有 5道选择题，每道题列出 4个可能答案，
其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能
答对 4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次 Bernoulli试验，
的题数：该学生靠猜测能答对设,X
? ? ? ? 41?? APA,则答对一道题
则答 5道题相当于做 5重 Bernoulli试验．
?????? 415~,则 BX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 7（续）
所以
? ? ? ?44 ?? XPP 道题至少能答对
? ? ? ?54 ???? XPXP
54
4
5 4
1
4
3
4
1 ?
?
??
?
????
?
??
?
?? C
64
1?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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二项分布的分布形态
由此可知，二项分布的分布
? ? 则，，若 pnBX ~
? ?
? ?
? ? ? ?pq
kq
kpn
kXP
kXP ??????
??
? 111
1
? ?kXP ?
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
? ?kXP ?
能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的 0k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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可以证明：
? ? ? ?? ? ；不是整数，则如果 pnkpn 11 0 ???
? ? ? ?
? ? ；
或是整数，则如果
11
11 0
??
???
pn
pnkpn
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 8
对同一目标进行 300次独立射击，设每次射击时的命
中率均为 0.44，试求 300次射击最可能命中几次？其
相应的概率是多少？
解：对目标进行 300次射击相当于做 300重 Bernoulli
试验．令：
．射击中命中目标的次数,300X
则由题意 ? ?．,44.03 0 0~ BX
? ?,它不是整数由于 44.13244.01300 ???
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 8（续）
因此，最可能射击的命中次数为
? ? 13244.1320 ??k
其相应的概率为
? ? 1 6 81 3 21 3 23 0 0 56.044.0132 ???? CXP
0 4 6 3 6.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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3） Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
? ?为常数其中 0??
则称随机变量 X 服从 参数为 λ的 Poisson 分布,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分布律的验证
⑴ 由于
0??
可知对任意的自然数 k，有
0
!
?? ?? e
k
k
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
??
?
?
?
?
?
? ?
00 !! k
k
k
k
keek
?? ??
所以
?? ee ?? 1?
? ? ? ??，，,210
!
??? ? ke
k
kXP
k
??
是分布律．
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Poisson分布的应用
? Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
? 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从
Poisson分布．
? 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔
内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔
内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产
生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台
要求服务的人数，等等，在一定条件下，都
是服从 Poisson分布的．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 9
设随机变量 X 服从参数为 λ的 Poisson分布，且已知
? ? ? ?21 ??? XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
? ?,试求 4?XP
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
由已知 ? ? ? ?
21 ??? XPXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 9（续）
得 ?? ?? ??
? ee !2!1
21
由此得方程 022 ?? ??
得解,2??
? ?不合题意，舍去另一个解 0??
所以，
? ? 24!424 ??? eXP 2
3
2 ?? e
0 9 0 2 2.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 10
概率．
“疗效显著”的次感冒，试求此药对他他得了
，此药一年，在这一年中是无效的．现某人服用
的人来讲，则余（疗效一般）；而对其
降为的人来讲，可将参数显著）；对另
（疗效降为数的人来讲，可将上述参
冒的药，它对分布，现有一种预防感
的冒次数服从参数设一个人在一年内的感
3
%254
%45
1%30
5
?
?
?
?
?
??
?
P o i s s o n
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 10（续）
解：设 B={ 此人在一年中得 3次感冒 }
? ?该药疗效显著?1A ? ?该药疗效一般?2A
? ?该药无效?3A 则由 Bayes公式，得
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
332211
11
1 ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
??
?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
5
3
4
3
1
3
1
3
!3
5
25.0
!3
4
45.0
!3
1
30.0
!3
1
30.0
???
?
?????
?
?
eee
e
1 3 0 1.0?
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Poisson定理
证明：
有关．如果验总数中发生的概率，它与试
在试验代表事件试验中，以设在
n
ApB e r no ul l i n
0lim ???? ?nn np
? ? ?? ??
??
?? ekppC
k
kn
n
k
n
k
nn ！则 1lim
nnnp ??令：
? ?
? ?? ? ? ? knnkn
kn
n
k
n
k
n
nnk
knnnn
ppC
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
?
?
??
1
121
1
！
则
?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
Poisson定理的证明 (续 )
kn
n
k
n
nn
k
nnk
?
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? ?? 1112111
!
?
对于固定的 k，有
kk
nnnnnn np ???? ??? ?????? limlimlim 得由
n
n
n
kn
n
n
n
kn
n
n nn
?
???
?
?
?
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? 1lim1lim ??? e
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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Poisson定理的证明 (续 )
所以，
? ? knnknkn
n
ppC ?
??
?1lim
kn
n
k
n
n nn
k
nnk
?
??
?
?
??
?
? ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ?? ?? 1112111
!
lim ?
kn
n
nn
k
nn nn
k
nnk
?
??????
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??? ?? 1lim112111limlim
!
1 ?
?? ?? e
k
k
！
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
? ?，，若随机变量 pnBX ~
比较小时，比较大，则当 pn
np??令：
? ? ? ? knkkn ppCkXP ???? 1则有
?? ?? e
k
k
!
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 11
设每次射击命中目标的概率为 0.012，现射击 600次，
求至少命中 3次目标的概率（用 Poisson分布近似计
算）．
解：设 B={ 600次射击至少命中 3次目标 }
进行 600次射击可看作是一 600重 Bernoulli试验,
．次射击命中目标的次数,600X
? ?．，则 012.0600~ BX
．取
分布近似计算，用
2.7012.0600 ????
P o i s s on
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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例 11（续）
所以，
? ? ? ?3?? XPBP ? ?31 ??? XP
? ? ? ? ? ?2101 ??????? XPXPXP
2.7
2
2.72.7
2
2.72.71 ??? ???? eee
9745.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现
有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生
故障的概率都是 0.01,在通常情况下，一台设备的故障
可有一人来处理, 问至少需配备多少工人，才能保
证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？
解,设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台
数为 X,则 X~ b(300,0.01），需要确定最小的 N 的
取值，使得：
.01.0}{ ?? NXP
例 12
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.99.0
!
3}{
0
3
??? ?
?
?N
k
k
k
eNXP
.01.0
!
3
!
31
0 1
33
??? ? ?
?
?
??
??N
k Nk
kk
k
e
k
e
查表可知，满足上式的最小的 N 是 8,因此至少需配
备 8 个工人。
.01.0}{ ?? NXP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由
一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由 4人维护，每人负责 20 台
其二，由 3 人,共同维护 80 台,
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修
的概率的大小,
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13
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}.2{)()( 14321 ??? XPAPAAAAP ???
.0175.0
!
)2.0(
! 2
2.0
2
??? ??
?
?
??
?
?
k
k
k
k
k
e
k
e ??
解,按第一种方法, 以 X 记, 第 1 人负责的 20 台
中同一时刻发生故障的台数,，则 X ~ b (20,0.01）,
以 Ai 表示事件,第 i 人负责的台中发生故障不能及
时维修”,则 80 台中发生故障而不能及时维修 的概
率为：
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
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按第二种方法, 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障
的台数, 则 Y~ b(80,0.01）, 故 80 台中发生故障而
不能及时维修的概率为：
.0 0 9 1.0
!
)8.0(}4{
4
8.0
??? ?
?
?
?
k
k
k
eYP
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量例 13(续 )
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维
修工人减少一人。 运用概率论讨论国民经济问题，可以
有效地使用人力、物力资源。 返回主目录
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
? ?100 ???? qpqp,，其中
的几何分布．服从参数为则称随机变量 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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分 布 律 的 验 证
⑴ 由条件
01 ?? pq k有
，，可知对任意的自然数,kqp 00 ??
⑵ 由条件可知
?? ?
?
?
?
?
? ?
1
1
1
1
k
k
k
k qppq qp ??? 1
1 1?
综上所述，可知
? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
是一分布律．
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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几何分布的概率背景
在 Bernoulli试验中，
? ? ? ? pqAPpAP ???? 1,
试验进行到 A 首次出现为止．
：所需试验次数．令,X
的几何分布．服从参数为则 pX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
即 ? ? ? ??，,211 ??? ? kpqkXP k
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例 14
对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率
为 0.64，射击进行到击中目标时为止，令：
X：所需射击次数．
试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行 2次射击
才能击中目标的概率．
解,??,，，，的取值为 nX 21
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
? ?
? ?次射击时击中目标次射击均未击中，第前 nnP
nXP
1??
?
? ? ? ?次射击时击中目标第次射击均未击中前 nPnP ??? 1
例 14（续）
由独立性，得 X 的分布律为：
? ? ? ??,2,164.036.0 1 ???? ? nnXP n
? ? ? ?22 ?? XPP 次才命中至少命中
?
?
?
? ??
2
1 64.036.0
k
k
36.01
36.064.0
???
36.0?
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
? ? ? ?? ?nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10 ????
?
?
均为自然数．，，其中 nMN
? ? 的超几何分布．，，服从参数为则称随机变量 nMNX
第二章 随机变量及其分布
§ 2离散型随机变量
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超几何分布的概率背景
一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件
为正品．现从中取出 n 件．
令,X：取出 n 件产品中的次品数,则 X 的分
布律为
? ? ? ?? ?nMk
C
CCkXP
n
N
kn
MN
k
M,，，,m i n10 ????
?
?
? ?
分布
的超几何，，服从参数为此时，随机变量 nMNX
§ 2离散型随机变量
第二章 随机变量及其分布
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