一 随 机 事 件
二 事件间的关系与运算
三 频 率 与 概 率
§ 1 随 机 事 件 的 概率
目录索引
第一章 概率论的基本概念
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我们称之为 随机现象, 概率论与数理统计 是研究和
揭示随机现象统计规律性的一门学科 。
一, 随 机 事 件
比如,降水 概率为 30%,
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%,
某个固定群体中 男女比例 为 54,46 ；
在生活当中，经常接触到 事件的概率,
这种在个别实验中其结果呈现出 不确定性 ；
在大量重复实验中其结果又具有 统计规律性 的现象，
第一章 概率论的基本概念
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E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
（ Tails）出现的情况。
E2, 将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现
的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样
的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
随机试验 （ Experiment ）
第一章 概率论的基本概念
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E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：
?可以在相同的条件下重复进行；
?每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确
实验的所有可能结果；
?进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
第一章 概率论的基本概念
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样本空间 (Space)
定义 将 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的 样本空间, 记为 S 。 样本空间 的
元素，即 E 的每个结果，称为 样本点 。
S1, { H,T }
S2, { HHH,HHT,HTH,THH,
HTT,THT,TTH,TTT }
S3, { 0,1,2,3 }
S4, { 1,2,3,4,5,6 }
第一章 概率论的基本概念
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S5, {0,1,2,3……}
S6, { t | t ? 0 }
S7, { ( x,y ) | T 0? x,y ? T1 }
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
第一章 概率论的基本概念
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定义：
?随机事件, 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的
随机事件；
?基本事件, 有一个样本点组成的单点集；
?必然事件, 样本空间 S 本身；
?不可能事件, 空集 ?。
随 机 事 件
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
含的一个样本点在试验中出现．
第一章 概率论的基本概念
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例如,S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示,第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t?1000}
表示,灯泡是次品”
事件 B2={t|t ? 1000}
表示,灯泡是合格品”
事件 B3={t|t?1500}
表示“灯泡是一级品”
第一章 概率论的基本概念
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10 包含关系
二, 事件间的关系与运算
20 和事件
30 积事件
40 差事件
50 互不相容
60 对立事件
S
A B
BA ?
BA ?
BA ?
BA ?
??BA ?
SBA
BA
?
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?
?
第一章 概率论的基本概念
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S
A B
S2 中事件
A={HHH,HHT,HTH,HTT},B={HHH,TTT}
20 和事件 30 积事件BA ? BA ?
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第一章 概率论的基本概念
S
A B
返回主目录
S
A BA
S
40 差事件 BA ?
BA ? BA ?
第一章 概率论的基本概念
A B
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S6, { t | t ? 0 }中
事件 A ={ t | t ? 1000},次品”
事件 B ={ t | t ? 1000},合格品”
事件 C ={ t | t ? 1500},一等品”
0 1000 1500
CB?
次品 一等品
第一章 概率论的基本概念
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S
B
S
A
50 互不相容 60 对立事件
??BA ? SBA
BA
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?
?
AB ?
第一章 概率论的基本概念
A
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随机事件的运算规律
幂等律, AAAAAA ?? ??,
交换律, ABBAABBA ???? ??,
第一章 概率论的基本概念
结合律,
? ? ? ?
? ? ? ?CBACBA
CBACBA
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分配律,
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De Morgan定律,
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? AAAA ??,返回主目录
三, 频 率 与 概 率
1） 频率的定义和性质
定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验,在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为
事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件
A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
第一章 概率论的基本概念
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)()()(
)(
21
21
Af nAf nAf n
AAAf
k
kn
???? ?
????;1)(2 ?Sf n?
则是两两互不相容事件若,,,,3 21 AAA k??
第一章 概率论的基本概念
它具有下述性质,;1)(01 ?? Af n?
返回主目录
251 249 256 253 251 246 244
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012
2 ） 频率的稳定性
nA
fn(A)
n=500时
实 验 者
德 ?摩根
蒲 丰
K ?皮尔逊
K ?皮尔逊
n nH fn(H)
2048
4040
12000
24000
1061
2048
6019
12012
0.5181
0.5096
0.5016
0.5005
第一章 概率论的基本概念
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频 率 稳 定 值 概率
事件发生
的频繁程度
事件发生
的可能性的大小
频率的性质 概率的公理化定义
第一章 概率论的基本概念
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3） 概率的定义
定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为
称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足
下列条件,;1)(2 0 ?SP;)(01 0 AP?
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,3 20 1 ?AA
)(?P
,)( AP
第一章 概率论的基本概念
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4 ） 概率的性质与推广;0)(1 ??P性质
则是两两互不相容事件若性质,,,,2 21 AAA n?
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APAPAP
AAAP
n
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第一章 概率论的基本概念
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S
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第一章 概率论的基本概念
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重 要 推 广
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BCPACPABP
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第一章 概率论的基本概念
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加法公式的推广
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有个事件对任意
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二 事件间的关系与运算
三 频 率 与 概 率
§ 1 随 机 事 件 的 概率
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我们称之为 随机现象, 概率论与数理统计 是研究和
揭示随机现象统计规律性的一门学科 。
一, 随 机 事 件
比如,降水 概率为 30%,
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%,
某个固定群体中 男女比例 为 54,46 ；
在生活当中，经常接触到 事件的概率,
这种在个别实验中其结果呈现出 不确定性 ；
在大量重复实验中其结果又具有 统计规律性 的现象，
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E1：抛一枚硬币，观察正面 H（ Heads）,反面 T
（ Tails）出现的情况。
E2, 将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现
的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样
的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
随机试验 （ Experiment ）
第一章 概率论的基本概念
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E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：
?可以在相同的条件下重复进行；
?每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确
实验的所有可能结果；
?进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
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样本空间 (Space)
定义 将 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的 样本空间, 记为 S 。 样本空间 的
元素，即 E 的每个结果，称为 样本点 。
S1, { H,T }
S2, { HHH,HHT,HTH,THH,
HTT,THT,TTH,TTT }
S3, { 0,1,2,3 }
S4, { 1,2,3,4,5,6 }
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S5, {0,1,2,3……}
S6, { t | t ? 0 }
S7, { ( x,y ) | T 0? x,y ? T1 }
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
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定义：
?随机事件, 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的
随机事件；
?基本事件, 有一个样本点组成的单点集；
?必然事件, 样本空间 S 本身；
?不可能事件, 空集 ?。
随 机 事 件
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
含的一个样本点在试验中出现．
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例如,S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示,第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t?1000}
表示,灯泡是次品”
事件 B2={t|t ? 1000}
表示,灯泡是合格品”
事件 B3={t|t?1500}
表示“灯泡是一级品”
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10 包含关系
二, 事件间的关系与运算
20 和事件
30 积事件
40 差事件
50 互不相容
60 对立事件
S
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S
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S2 中事件
A={HHH,HHT,HTH,HTT},B={HHH,TTT}
20 和事件 30 积事件BA ? BA ?
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S
A B
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40 差事件 BA ?
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A B
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S6, { t | t ? 0 }中
事件 A ={ t | t ? 1000},次品”
事件 B ={ t | t ? 1000},合格品”
事件 C ={ t | t ? 1500},一等品”
0 1000 1500
CB?
次品 一等品
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B
S
A
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随机事件的运算规律
幂等律, AAAAAA ?? ??,
交换律, ABBAABBA ???? ??,
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结合律,
? ? ? ?
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三, 频 率 与 概 率
1） 频率的定义和性质
定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验,在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为
事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件
A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
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Af nAf nAf n
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则是两两互不相容事件若,,,,3 21 AAA k??
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它具有下述性质,;1)(01 ?? Af n?
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251 249 256 253 251 246 244
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012
2 ） 频率的稳定性
nA
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n=500时
实 验 者
德 ?摩根
蒲 丰
K ?皮尔逊
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2048
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24000
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6019
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0.5181
0.5096
0.5016
0.5005
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事件发生
的频繁程度
事件发生
的可能性的大小
频率的性质 概率的公理化定义
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3） 概率的定义
定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为
称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足
下列条件,;1)(2 0 ?SP;)(01 0 AP?
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,3 20 1 ?AA
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4 ） 概率的性质与推广;0)(1 ??P性质
则是两两互不相容事件若性质,,,,2 21 AAA n?
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21
21
APAPAP
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A B
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重 要 推 广
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加法公式的推广
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