§ 5 随机变量的函数的分布
? 离散型
? 连续型
? 定理及其应用
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随机变量的函数
也是一个随机变量,? ?xgyYxX ?取值时，取值当
§ 5 随机变量的函数的分布
本节的任务就是：
? ?
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX ?
的函数，是是一随机变量，设 XYX ? ?XgY ? Y则,
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一、离散型随机变量的函数
分布律为是离散型随机变量，其设 X
? ? ? ??,2,1??? npxXP nn
X 1x 2x,? nx ?
P 1p 2p,? np ?
或
? ?
量，它的取值为
也是离散型随机变，则的函数：是 YXgYXY ?
??,，，,nyyy 21
? ? ? ??，，其中 21?? nxgy nn
§ 5 随机变量的函数的分布
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第 一 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
? ? ? ? ? ??，,21???? nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
? ? ? ??,2,1??? npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny ?
P 1p 2p,? np ?
§ 5 随机变量的函数的分布
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第 二 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 有相同的项，
? ?,的分布律随机变量应的概率相加，即可得
相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY ?
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 1
的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32 ??
解：
的取值为随机变量 32 ?? XY
，，，，，,1591359 ???
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 1（续）
Y -9 -5 -3 1 9 15
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
32 ?? XY
§ 5 随机变量的函数的分布
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量
的分布律为
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设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律,
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4
解, Y 有可能取的值为 0,1,4.
且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0,解得 X=1，
所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
§ 5 随机变量的函数的分布
例 2
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同理,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
pk
Y 0 1 4
0.1 0.7 0.2
所以,Y=(X-1)2 的分布律为：
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)
2
§ 5 随机变量的函数的分布
例 2（续）
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例 3
的分布律为设离散型随机变量 X
X 1 2 … n …
P
2
1
2
2
1 …
n
2
1 …
? ?
?
?
? ???
为偶数若
为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量 Y
解：
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 3（续）
? ? ? ?? ????
为奇数n
nXPYP 1 ? ??
?
?
???
0
12
k
kXP
?
?
?
??
0
122
1
k
k 3
2?
? ? ? ?? ???
为偶数n
nXPYP 1 ? ??
?
?
??
0
2
k
kXP
?
?
?
?
0
22
1
k
k 3
1?
§ 5 随机变量的函数的分布
Y -1 1
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量 Y
二,连续型随机变量函数的分布
§ 5 随机变量的函数的分布
? ?,其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
? ?
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY ?
? ? ? ?．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
解 题 思 路
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
?
?????
?
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
? ?
? ? ? ? ? ?yFyfXgY
XgY
YY ???
?
的密度函数关系求
之间的的分布函数与密度函数⑵．利用
?
?
?
?
?
??
?
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=2X+8 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
}
2
8
{}82{
}{)(
?
?????
??
y
XPyXP
yYPyF Y
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4
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可以求得：利用 )()()2( yfyF YY ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
.,0
,4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1
)
2
8
()
2
8
()(
其它
yy
yy
fyf
XY
?
?
??
? 2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
??
??? ???
.,0
,40,8)(
其它
xxXf
X
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4（续）
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?
?
?
?
?
??
?
?
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y=2X+8 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
????
?
?
?????
? ?
则
如果
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4（续）
设随机变量 X 具有 概率密度,),( ????? xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 ???? yFyXY Y时故当由于
???????
????
?
y
y
X
Y
dxxfyXyP
yXPyYPyF
y
.)(}{
}{}{)(
,02
2
0
时当
§ 5 随机变量的函数的分布
例 5
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得：及变限定积分求导公式利用 )()()2( yfyF YY ??
?
?
?
?
?
?
???
?
.0,0
,0),()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
??? y y XY dxxfyF,)()(
§ 5 随机变量的函数的分布
例 5（续）
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y ?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
??????
?
xex
x
?
?
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21 ?Y
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 6
? ?
? ?．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X ?
解：
? ?
? ?yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ??
，则⑴．若 0?y
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ?? ? ??? P 0?
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 6（续）
，则⑵．若 0?y
? ?yXyP ????
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ??
? ? ? ?yFyF XX ???
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
?
00
0
y
yyFyF
yF XXY
§ 5 随机变量的函数的分布
的密度函数为对上式求导，可得 XY ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
?
00
0
y
yyfyf
yf XXY 返回主目录
定理
设随机变量 X 具有概率密度,,)( ????? xxf
X
).0)((0)()( ???? xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数
则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
?? yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m ax {
) },(),(m i n {
????
????
gg
gg
?
?
§ 5 随机变量的函数的分布
)()(1 yhygx ?? ?
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此时仍有：或恒有上恒有在
设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
???? xgxgba
baxf
) },(),(m a x {) },(),(m i n{ bgagbgag ?? ??这里
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
?? yyhyhf
yf
X
Y
§ 5 随机变量的函数的分布
定理（续）
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证明：
? ? ? ?? ? ? ?? ?yhXPygXPyF Y ???? ? 1因此，
? ?
? ?
?
??
?
yh
X dxxf
? ? ? ?,的分布函数为设随机变量 yFXgY Y?
? ? ? ? ? ?? ?yXgPyYPyF Y ????则有
? ? ? ?
加的函数．
是严格增，则由题设，不妨假设 xgxg 0??
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ?
? ? 上变化．，在区间随机变量
上变化时，，在区间由题设，当随机变量
??Y
X ????
其中，
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??????????? gggg,，,m a xm i n ??
? ? ? ?
? ?
?
??
?
yh
XY dxxfyF
? ?时，，当因此,???y
? ? ? ? ? ?
? ?
???
?
???
?
??? ?
??
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
??
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
? ?时，，当因此,???y
? ? ? ? 是严格减少的函数．，则若 xgxg 0??
? ?
? ?
?
??
?
yh
X dxxf
? ? ? ? ? ?? ?yXgPyYPyF Y ????
? ?? ? ? ?? ?yhXPygXP ???? ? 1
? ?? ? ? ?yhyhf X ??? ? ?? ? ? ?yhyhf X ???
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ?? ? ? ?yhyhf X ????
? ?的密度函数为综上所述，得 XgY ?
? ?? ? ? ?yhyhf X ???
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
?? yyhyhf
yf XY
§ 5 随机变量的函数的分布
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§ 5 随机变量的函数的分布
补充定理：
若 g(x)在不相叠的区间 ?,,
21 II
上逐段严格单调，其
反函数分别为
?),(),( 21 yhyh
均为连续函数，那么
Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
?? )())(()( '11 yhyhfyf XY ??)())(( '22 yhyhf X
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例 7
? ?
? ?．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~ ??
解：
的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
?
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ? ?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 7（续）
? ?
? ?上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
??
?????
0
XeYX
? ?时，，所以，当 ??? 0y
? ? ? ? ? ???? yyfyf XY lnln ? ?
y
y 1
2
lne x p
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
00
0
2
ln
ex p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y ?
?
??
的密度函数为由此得随机变量 XeY ?
返回主目录
.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布
的线性函数试证明设随机变量
?
??
a
baXYXNX ??
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy ?????
.1)(,)()( ayha byyhxxgy ?????? 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
??????
??
xexf
x
X
?
?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
例 8
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.
||2
1
2
1
||
1
)(
||
1
|)(|)]([)(
2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
?
?
?
?
????
a
bay
a
by
XXY
e
a
e
a
a
by
f
a
yhyhfyf
??
?
?
?
?
??
?
???
由定理的结论得：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
??????
??
xexf
x
X
?
?
??
.1)(,)( ayha byyhx ????? 且
? ?.)(,~ 2?? abaNbaXY ???即有
§ 5 随机变量的函数的分布
例 8(续 )
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例 9
均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角
是一个已知的正常数其中设电压
?
?
?
?
?
?
??
??
2
,
2
,
,,s i n
??
AAV
解：
,
1
)(
,a r c s i n)(,0c o s)(
22
,s i n)(
22
vA
vh
A
v
vhAxg
Agv
?
??
?????
???
以及
且有反函数
）上恒有，在（
??
??
??
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
的概率密度为：?
?
?
?
?
? ???
?
.,0
,
22
,
1
)(
其它
?
?
?
??f
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(:
其它
利用定理的结论
?? yyhyhf
yf
X
Y
,1)(
22 vA
vh
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
.,0
,,
11
)(
s i n
22
其它
的概率密度为：得
AvA
vAyf
AV
Y
?
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表
示随机事件。
2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布
函数示事件的概率。
3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性
质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函
数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分
布、二项分布、泊松分布。
4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性
质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其
运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀
分布、指数分布和正态分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
第二章 小 结
返回主目录作业,.33,30,28,22,21,18,16,14,13,9,7,5,2,162P
? 离散型
? 连续型
? 定理及其应用
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随机变量的函数
也是一个随机变量,? ?xgyYxX ?取值时，取值当
§ 5 随机变量的函数的分布
本节的任务就是：
? ?
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX ?
的函数，是是一随机变量，设 XYX ? ?XgY ? Y则,
返回主目录
一、离散型随机变量的函数
分布律为是离散型随机变量，其设 X
? ? ? ??,2,1??? npxXP nn
X 1x 2x,? nx ?
P 1p 2p,? np ?
或
? ?
量，它的取值为
也是离散型随机变，则的函数：是 YXgYXY ?
??,，，,nyyy 21
? ? ? ??，，其中 21?? nxgy nn
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
第 一 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
? ? ? ? ? ??，,21???? nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
? ? ? ??,2,1??? npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny ?
P 1p 2p,? np ?
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
第 二 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 有相同的项，
? ?,的分布律随机变量应的概率相加，即可得
相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY ?
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
例 1
的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32 ??
解：
的取值为随机变量 32 ?? XY
，，，，，,1591359 ???
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
例 1（续）
Y -9 -5 -3 1 9 15
P
2 5 2
1
2 5 2
5
2 5 2
15
2 5 2
35
2 5 2
70
2 5 2
1 2 6
32 ?? XY
§ 5 随机变量的函数的分布
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量
的分布律为
返回主目录
设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律,
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4
解, Y 有可能取的值为 0,1,4.
且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0,解得 X=1，
所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
§ 5 随机变量的函数的分布
例 2
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同理,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
pk
Y 0 1 4
0.1 0.7 0.2
所以,Y=(X-1)2 的分布律为：
pk
X -1 0 1 2
0.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)
2
§ 5 随机变量的函数的分布
例 2（续）
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例 3
的分布律为设离散型随机变量 X
X 1 2 … n …
P
2
1
2
2
1 …
n
2
1 …
? ?
?
?
? ???
为偶数若
为奇数若
X
X
XgY
1
1
的分布律．试求随机变量 Y
解：
§ 5 随机变量的函数的分布
返回主目录
例 3（续）
? ? ? ?? ????
为奇数n
nXPYP 1 ? ??
?
?
???
0
12
k
kXP
?
?
?
??
0
122
1
k
k 3
2?
? ? ? ?? ???
为偶数n
nXPYP 1 ? ??
?
?
??
0
2
k
kXP
?
?
?
?
0
22
1
k
k 3
1?
§ 5 随机变量的函数的分布
Y -1 1
P
3
2
3
1
的分布律为所以，随机变量 Y
二,连续型随机变量函数的分布
§ 5 随机变量的函数的分布
? ?,其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
? ?
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY ?
? ? ? ?．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
解 题 思 路
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
?
?????
?
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
? ?
? ? ? ? ? ?yFyfXgY
XgY
YY ???
?
的密度函数关系求
之间的的分布函数与密度函数⑵．利用
?
?
?
?
?
??
?
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
Xf X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=2X+8 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
}
2
8
{}82{
}{)(
?
?????
??
y
XPyXP
yYPyF Y
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4
返回主目录
可以求得：利用 )()()2( yfyF YY ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
.,0
,4
2
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2
1
)
2
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2
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2
8
()(
其它
yy
yy
fyf
XY
?
?
??
? 2
8
.)()(
y
XY dxxfyF
??
??? ???
.,0
,40,8)(
其它
xxXf
X
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4（续）
返回主目录
?
?
?
?
?
??
?
?
.,0
,168,
32
8
)(
其它
y
y
yf Y
整理得 Y=2X+8 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
????
?
?
?????
? ?
则
如果
§ 5 随机变量的函数的分布
例 4（续）
设随机变量 X 具有 概率密度,),( ????? xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 ???? yFyXY Y时故当由于
???????
????
?
y
y
X
Y
dxxfyXyP
yXPyYPyF
y
.)(}{
}{}{)(
,02
2
0
时当
§ 5 随机变量的函数的分布
例 5
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得：及变限定积分求导公式利用 )()()2( yfyF YY ??
?
?
?
?
?
?
???
?
.0,0
,0),()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
??? y y XY dxxfyF,)()(
§ 5 随机变量的函数的分布
例 5（续）
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y ?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
??????
?
xex
x
?
?
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21 ?Y
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 6
? ?
? ?．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X ?
解：
? ?
? ?yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ??
，则⑴．若 0?y
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ?? ? ??? P 0?
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 6（续）
，则⑵．若 0?y
? ?yXyP ????
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ??
? ? ? ?yFyF XX ???
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
?
00
0
y
yyFyF
yF XXY
§ 5 随机变量的函数的分布
的密度函数为对上式求导，可得 XY ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
???
?
00
0
y
yyfyf
yf XXY 返回主目录
定理
设随机变量 X 具有概率密度,,)( ????? xxf
X
).0)((0)()( ???? xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数
则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
?? yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m ax {
) },(),(m i n {
????
????
gg
gg
?
?
§ 5 随机变量的函数的分布
)()(1 yhygx ?? ?
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此时仍有：或恒有上恒有在
设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
???? xgxgba
baxf
) },(),(m a x {) },(),(m i n{ bgagbgag ?? ??这里
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
?? yyhyhf
yf
X
Y
§ 5 随机变量的函数的分布
定理（续）
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证明：
? ? ? ?? ? ? ?? ?yhXPygXPyF Y ???? ? 1因此，
? ?
? ?
?
??
?
yh
X dxxf
? ? ? ?,的分布函数为设随机变量 yFXgY Y?
? ? ? ? ? ?? ?yXgPyYPyF Y ????则有
? ? ? ?
加的函数．
是严格增，则由题设，不妨假设 xgxg 0??
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ?
? ? 上变化．，在区间随机变量
上变化时，，在区间由题设，当随机变量
??Y
X ????
其中，
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??????????? gggg,，,m a xm i n ??
? ? ? ?
? ?
?
??
?
yh
XY dxxfyF
? ?时，，当因此,???y
? ? ? ? ? ?
? ?
???
?
???
?
??? ?
??
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ? ? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
??
yh
XY dxxfdy
dyFyf所以，
? ?时，，当因此,???y
? ? ? ? 是严格减少的函数．，则若 xgxg 0??
? ?
? ?
?
??
?
yh
X dxxf
? ? ? ? ? ?? ?yXgPyYPyF Y ????
? ?? ? ? ?? ?yhXPygXP ???? ? 1
? ?? ? ? ?yhyhf X ??? ? ?? ? ? ?yhyhf X ???
§ 5 随机变量的函数的分布
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定 理 的 证 明
? ?? ? ? ?yhyhf X ????
? ?的密度函数为综上所述，得 XgY ?
? ?? ? ? ?yhyhf X ???
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
? ???
?
其它0
?? yyhyhf
yf XY
§ 5 随机变量的函数的分布
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§ 5 随机变量的函数的分布
补充定理：
若 g(x)在不相叠的区间 ?,,
21 II
上逐段严格单调，其
反函数分别为
?),(),( 21 yhyh
均为连续函数，那么
Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为
?? )())(()( '11 yhyhfyf XY ??)())(( '22 yhyhf X
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例 7
? ?
? ?．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~ ??
解：
的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
?
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ? ?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
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例 7（续）
? ?
? ?上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
??
?????
0
XeYX
? ?时，，所以，当 ??? 0y
? ? ? ? ? ???? yyfyf XY lnln ? ?
y
y 1
2
lne x p
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
00
0
2
ln
ex p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y ?
?
??
的密度函数为由此得随机变量 XeY ?
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.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布
的线性函数试证明设随机变量
?
??
a
baXYXNX ??
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy ?????
.1)(,)()( ayha byyhxxgy ?????? 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
??????
??
xexf
x
X
?
?
??
§ 5 随机变量的函数的分布
例 8
返回主目录
.
||2
1
2
1
||
1
)(
||
1
|)(|)]([)(
2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
?
?
?
?
????
a
bay
a
by
XXY
e
a
e
a
a
by
f
a
yhyhfyf
??
?
?
?
?
??
?
???
由定理的结论得：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
??????
??
xexf
x
X
?
?
??
.1)(,)( ayha byyhx ????? 且
? ?.)(,~ 2?? abaNbaXY ???即有
§ 5 随机变量的函数的分布
例 8(续 )
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例 9
均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角
是一个已知的正常数其中设电压
?
?
?
?
?
?
??
??
2
,
2
,
,,s i n
??
AAV
解：
,
1
)(
,a r c s i n)(,0c o s)(
22
,s i n)(
22
vA
vh
A
v
vhAxg
Agv
?
??
?????
???
以及
且有反函数
）上恒有，在（
??
??
??
§ 5 随机变量的函数的分布
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的概率密度为：?
?
?
?
?
? ???
?
.,0
,
22
,
1
)(
其它
?
?
?
??f
??
?
?
? ???
?
.,0
,|,)(|)]([
)(:
其它
利用定理的结论
?? yyhyhf
yf
X
Y
,1)(
22 vA
vh
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
.,0
,,
11
)(
s i n
22
其它
的概率密度为：得
AvA
vAyf
AV
Y
?
§ 5 随机变量的函数的分布
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1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表
示随机事件。
2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布
函数示事件的概率。
3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性
质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函
数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分
布、二项分布、泊松分布。
4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性
质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其
运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀
分布、指数分布和正态分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
第二章 小 结
返回主目录作业,.33,30,28,22,21,18,16,14,13,9,7,5,2,162P
