§ 4.协方差及相关系数 § 4 协方差
第四章 随机变量的数字特征
1,定义
XY? 是一个无量纲的量；若 XY? =0,
称 X,Y 不相关,此时 C O V ( X,Y ) = 0 。
定理,若 X,Y独立, 则 X,Y不相关 。
证明,由数学期望的性质有
E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)
又 E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0
所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。
即 COV(X,Y)=0
称 COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY
为随机变量 X,Y的协方差, 而 COV(X,X)=DX.
为随机变量 X,Y的相关系数 。DYDX YXC O VXY, ),(??
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2,协方差的性质
1 ) C O V ( X,Y ) = C O V ( Y,X ) ;
2 ) C O V ( a X, b Y ) = a b C O V ( X,Y ) ;
3) C O V ( X + Y,Z ) = C O V ( X,Z ) + C O V ( Y,Z ) ;
4) 若 X,Y 不相关，则,E X Y = E X E Y,D( a X + b Y ) = DYbDXa 22 ?
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
由方差的性质３）知：
注意,若 E(X-EX)(Y-EY) 0,即 EXY-EXEY 0,则
X,Y一定相关，且 X,Y一定不独立。
? ?
D(aX+bY)= ),(222 YXab C O VDYbDXa ??
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3,相关系数的性质
1 ),1?XY?
2 ) ?? 1XY? 存在常数 a,b 使 P{ Y = a + b X } = 1,
证明：
a b E Xb E X Ya E YaEXbEY
bXaYEe
222
)]([
2222
2
??????
???
令：
求 a,b 使 e 达到最小
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
令　
?
?
?
??
?
?
????
?
?
????
?
?
0222
0222
2 a E XE X Yb E X
b
e
EYb E Xa
a
e
代入第二个方程得将,b E XEYa ??
22
2
)(,0)( EXEX
E X E YE X YbEXb E XEYE X Yb E X
?
?????? 故
解得
DX
YXCO V
EXEYEXbEYa
DX
YXCO V
b
),(;
),(
00
0
?????
?
??? 2,)]([m i n bXaYEba 200 )]([ XbaYE ??
2)),(),((
DX
YXC O VX
DX
YXC O VEXEYYE ?????
2)),()()((
DX
YXC O VEXXEYYE ?????
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
DX
YXC O V
DX
YXC O VDY ),(2),( 22 ???
DX
YXC O VYXC O V
DX
YXC O VDXDY ),(),(2
)(
),(
2
2
?????
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即,??? 2,)]([m i n bXaYEba DYXY )1( 2??
DX
DYDXDY XY ???? 2? ? DY
XY )1(
2??
由上式得,
1) １－ 1,0
2
?? XYXY ?? 。
2) 若,1?XY? 　则　 0)]([
2
00 ??? XbaYE 。
第四章 随机变量的数字特征
从而 ??? )]([ 00 XbaYD ??? 200 ))]([( XbaYE 0)]([ 200 ??? XbaYE
所以　,0)]([ 00 ??? XbaYD 　 0)]([ 00 ??? XbaYE
故　 P { Y － （ 0)00 ?? Xba } =1,
即 P { Y ＝ Xba 00 ? } =1 。
DX
YXC O VDY ),(2??
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反之，若存在　 ?? ba,　使　 P{ Y ＝ Xba ?? ? } = 1,则
　 P { Y － （ Xba ?? ? ）＝０ } = 1,
故　 0)]([ 2 ??? ?? XbaYE 　而
???? ?? 2)]([0 XbaYE ??? 2,)]([m i n bXaYEba DYXY )1( 2??
则　 1,01 2 ??? XYXY ?? 。
第四章 随机变量的数字特征
说 明
存在着线性关系；之间以概率与时，当, 11 YXYX ??
的量．之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变 YX
之间的线性关系越弱；与时，越接近于当, YXYX 0?
? ?．不相关之间不存在线性关系与时，当, YXYX 0??
X与 Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。
第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
解：
? ?,记，
，，是二个随机变量，已知，设
1c o v
41
?
??
YX
DYDXYX
YXYX ???? 22 ??,
．试求：, ???
? ?YXDD 2??? ? ?YXDYDX,c ov44 ???
14441 ????? 13?
? ?YXDD ?? 2? ? ?YXDYDX,c ov44 ???
14414 ????? 4?
5,例子
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第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差? ? ? ?YXYX ??? 22c o vc o v,,??
? ? ? ? ? ? ? ?YYYXXYXX,，，,c ov2c ovc ov4c ov2 ????
? ? DYYXDX 2c o v52 ???,
421512 ??????
5?
所以，
? ?
??
???
??
DD
，
，
co v?
413
5?
26
135?
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设 ( X,Y ) 服从二维正态分布，求,XY?
由上述知,21
2
1
2
)(
12
1)( ??
??
??
?
x
X exf,
2
2
2
2
2
)(
22
1)( ??
??
??
?
y
Y eyf
??
?
??
?
??
??? d x d yyxfyxYXC o v ),())((),( 21 ??
,,,,222211 ???? ???? DYEYDXEX
? ?
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???
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? d y d xeeyx
xyx 2
2
1
1
2
2
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)1(2
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)(
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21
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第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
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e xp
21
212
1
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???
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yyxx
yxf,
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第四章 随机变量的数字特征
§ 4 协方差
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2121 0222 ????????? ????
第四章 随机变量的数字特征
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第四章 随机变量的数字特征
X,Y独立 ? =0?X,Y不相关。?? ?XY
故 ?? ?XY 。
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