§ 5 矩
1,定义
若 kEX 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
所以 EX 是一阶原点矩,DX 是二阶中心矩，
协方差 C o v ( X,Y ) 是二阶混合中心矩。
若 kEXXE )( ? 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
若 lk EYYEXXE )()( ?? 存在，称之为 X 和 Y 的 k + l
阶混合中心矩。
§ 5 矩
第四章 随机变量的数字特征
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第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 1
? ? ? ?,，试求，设随机变量 nXENX 20~ ?
解：
DX
EXXY ??令：
?
X? ? ?,，则 10~ NY
所以，
? ? ? ?nnn YEXE ?? ? ????
??
? dyyfy Ynn? ?
??
??
?
? dyey
y
n
n
2
2
2 ?
?
? ?,
数是奇函数，所以为奇数时，由于被积函⑴．当
0?nXE
n
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第四章 随机变量的数字特征
数是偶函数，所以为偶数时，由于被积函．当 n)2(
?
??
?
?
0
2
2
2
2
dyeyEX
y
n
n
n
?
?
dttdttdy
tyt
y
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
,2,
2
???
??
?? 则令：
)
2
1
(22
2
2
2
2
0
1
2
1
2
0
2
1
1
2
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???
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n
dtet
dtetEX
nn
t
nnn
t
nnn
n
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?
?
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第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
? ? ? ?,得函数的性质：利用 rrr ?????? 1
?
?
??
?
? ???
2
12 2 nnn
?
?
? ? ?
?
??
?
? ?????
2
1
2
12 2 nnXE nn n
?
? ?
?
??
?
? ???????
2
3
2
3
2
12 2 nnnnn
?
?
?
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??
?
?????????
2
1
2
1
2
3
2
12 2 ?nnnn
?
?
? ? ?
?
?
2
2
2
!!12
n
n nn ?
?? ? ? !!1?? nn?
.)(
0
1 dxext xt ?
?
????其中
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第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
因而，
? ? ? ?
?
?
? ??
为奇数
为偶数
n
nnXE nn
0
!!1?
其中，
?
?
?
????
????
?
为偶数
为奇数
nn
nn
n
?
?
642
531
!!
? ? 则，特别，若,10~ NX
? ? ? ?,34,0 !!1 4 ??
?
?
? ?? EXn
n
nnXE n 时，
为奇数
为偶数
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2,n维正态分布的性质
1) n 维随机变量 ),,( 1 nXX ? 服从 n 维正态分布 ? nXX,,1 ?
的任意线性组合 nn XlXl ?? ?11 服从一维正态分布。
2 ) 若 ),,( 1 nXX ? 服从 n 维正态分布,nYY,,1 ? 是 ),,1( njX j ??
的线性函数，则 ),,( 1 nYY ? 也服从正态分布。
3 ) 若 ),,( 1 nXX ? 服从 n 维正态分布，则 nXX,,1 ? 相互独
立 ? nXX,,1 ? 两两不相关。
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
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第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩例 2
),9,2(~),4,1(~,)1( NYNXYX 独立，设
的分布；求,YX ?2
解：
的分布；求,YX ?2
02)2()1( ???? EYEXYXE
259444)2( ??????? DYDXYXD
)25,0(~2 NYX ?则：
13 32
2
14254-25
),(224)2()2(
XY ???????
?????
DYDX
YXC O VDYDXYXD
?
)13,0(~2 NYX ?则：
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)5.0;9,4;2,1(~),()2( NYX
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
的密度函数为设二维随机变量例 ),(3 YX
)],,(),([21),( 21 yxyxyxf ?? ??
.1
3
1
3
1
),(),( 21
方差都是量的数学期望都是零，度函数所对应的随机变
，它们的边缘密和系数分别为的二维随机变量的相关
，且它们对应都是二维正态密度函数和其中
?
yxyx ??
(1)求随机变量 和 的密度函数 和,
及 和 的相关系数
(2)问 和 是否独立？为什么？
X Y )(xfX )(yfY
X Y
YX
解 （ 1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都
是正态密度函数，因此有
第四章 随机变量的数字特征
? ? ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
? ??? dyyxdyyxdyyxfxf
X ),(),(2
1),()(
21 ??;
2
1
2
1
2
1
2
1 222
222 xxx
eee
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?)( yf Y
同理，;
2
1 22xe ?
?
.1,0
),1,0(~),1,0(~
???? DYDXEYEX
NYNX
所以
则
随机变量 和 的相关系数X Y
第四章 随机变量的数字特征
§ 5 矩
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?? ?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
d xd yyxxyd xd yyxxy
d xd yyxxyf
),(),(
2
1
),(
21
??
?
（ 2）由题设
,
28
3),( )32(16 9)32(16 9 2222
?
?
?
?
?
?
??
?????? yxyxyxyx
eeyxf
?
.0313121 ??
?
?
??
? ??
第四章 随机变量的数字特征
,
2
1
2
1)()( 222
2222 yxyx
YX eeeyfxf
????
????
??
,
28
3),( )32(16 9)32(16 9 2222
?
?
?
?
?
?
??
?????? yxyxyxyx
eeyxf
?
.
).()(),(
不独立与所以 YX
yfxfyxf YX ??
1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握
它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学
期望和方差。
2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀
分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式
作简单的概率估计。
4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的
性质与计算。
5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价
性。
6 给出了矩与协方差矩阵。
作业：
第四章 小 结
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126P