一．和的分布
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
例 1
Y
X
1 2 3 4
1
4
1
0 0 0
2
8
1
8
1
0 0
3
12
1
12
1
12
1
0
4
16
1
16
1
16
1
16
1? ?的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
的分布律．，试求随机变量令,ZYXZ ?? 返回主目录
例 1（续）
解：
．，，，，，，的取值为可知随机变量 8765432YXZ ??
，，，，的取值都是与由于 4321YX
? ?2?ZP ? ?11 ??? YXP, ；
4
1?
? ?3?ZP ? ? ? ?1221 ?????? YXPYXP,,；
8
1
8
10 ???
? ?4?ZP
? ? ? ? ? ?132231 ????????? YXPYXPYXP,，，；245121810 ????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 1（续）
? ?7?ZP ? ? ? ?3443 ?????? YXPYXP,,；
16
1
16
10 ???
? ?6?ZP
? ? ? ? ? ?243342 ????????? YXPYXPYXP,，，；4871611210 ????
? ?5?ZP
? ? ? ?
? ? ? ?1423
3241
??????
??????
YXPYXP
YXPYXP
，，
，，；48716112100 ?????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 1（续）
的分布律为由此得 YXZ ??
? ?8?ZP ? ?44 ??? YXP,,
16
1?
Z 2 3 4 5 6 7 8
P
4
1
8
1
24
5
48
7
48
7
16
1
16
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 2
的分布律．机变量
，试求随分布，令的与
参数为相互独立，且分别服从与设随机变量
Z
YXZ
YX
??P o i s s o n21 ??
解：
，，，，的取值都是与由随机变量 ?210YX
，，，，的取值也是可知随机变量 ?210YXZ ??
而且，
? ?nZP ? ? ?nYXP ???
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
? ?
??
?
??
? ????
?
?n
k
knYkXP
0
，
例 2（续）
? ??
?
????
n
k
knYkXP
0
，
? ?的独立性与随机变量 YX
? ???
?
?
?
???
n
k
knk
eknek
0
21 21
!!
?? ??
? ? ? ??
?
????
n
k
knYPkXP
0
? ?
? ???
??? ?
??
n
k
knk
knke 0 21!!
121 ????
? ?
? ???
?
??
???
n
k
knk
knk
n
n
e
0
21!!
!
!
21
??
??
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 2（续）
? ?
?
?
?
??
???
n
k
knkk
nCn
e
0
21!
21
??
?? ? ? ? ?
n
n
e
21!
21
??
??
??
??
即，
? ? ? ? ? ?21
!
21 ???? ????? e
n
nZP
n
? ??，，,210?n
分布．的
服从参数为分布的定义，知由
P o i s s on
P o i s s on
21 ?? ?
?? YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ ??
? ?,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z??
? ?,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z??
? ? ? ?zZPzF Z ?? ? ?zYXP ???
? ???
??
?
zyx
d x d yyxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ???
?
??
??
??
?
xz
dyyxfdx,
x
y
O
xuy ??作变换：
则有
? ? ? ???
??
??
??
??
z
Z duxuxfdxzF,
? ???
??
????
?? dxxuxfdu
z
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
的函数：注意里层的积分是 u
? ? ? ??
??
?
z
Z duugzF即有
? ? ? ??
??
??
?? dxxuxfug,
的密度函数为导，可得
求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数
YXZ
z
??
? ? ? ?zFzf ZZ ?? ? ?
???
?
???
?
? ?
??
z
duug
dz
d ? ?zg?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ??
??
??
?? dxxzxfzf Z,即
注意到在前面的积分中
? ? ? ? ?? ??
?? zyx
Z d x d yyxfzF,
，有积分，通过类似的计算后对
，对积分的，若将其改成先，后对我们是先对
y
xxy
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ???
?
??
??
??
xz
dyyxfdx,
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ??
??
??
?? dyyyzfzf Z,
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
此时，我们有
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
或者 ? ? ? ? ? ??
??
??
?? dyyfyzfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ?的卷积，记作与我们称上式为函数 yfxf YX
? ? ? ?yfxf YX *
：因此，我们有以下结论
卷积：
密度函数的与的密度函数等于
相互独立，则它们的和与如果随机变量
YXYXZ
YX
??
? ? ? ? ? ?yfxfzf YXZ *?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dyyfyzfzf YXZ
例 3
解：
? ?
的密度函数．，试求随机变量均匀分布，令
上的，相互独立，都服从区间与设随机变量
ZYXZ
YX
??
10
由题意，可知
? ?
??
? ???
其它0
101 xxf
X ? ? ??
? ???
其它0
101 yyf
Y
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
例 3（续）
,20 ?? zz,或⑴．若 ? ? 0?zfZ
，⑵．若 10 ?? z ? ? ??
z
Z dxzf
0
1
z?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
10,10 ????? xzx
x
z
0??xz
1??xz
0 1
1
2
? ? ?
?
?
1
1
1
z
Z dxzf
z?? 2，⑶．若 21 ?? z
的密度函数为
综上所述，我们可得
YXZ ??
? ?
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
zz
zz
zf Z
返回主目录
例 4
解：
? ?
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令服从分布，
上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量
Z
YXZY
XYX
??? 1
10
?
由题意，可知
? ?
??
? ???
其它0
101 xxf
X
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
y
yeyf y
Y
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ????
??
?? dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 4（续）
，⑴．若 0?z ? ? 0?zfZ
，⑵．若 10 ?? z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ?,?
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ 0,10 ???? xzx
x
z
0??xz
0 1
1
? ? ? ????
z
xz
Z dxezf
0
)(1
ze??? 1
???
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
? ? ? ???
1
0
)( dxezf xz
Z
zz ee ??? ?? 1
???
1
0
dxee xz
返回主目录
例 4（续）
的密度函数为综上所述，我们可得 YXZ ??
? ?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
???
?
1
101
00
1 zee
ze
z
zf
zz
z
Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 5
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
??
10~10~
由题意，可知
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ????
??
?? dxxzfxfzf YXZ
? ? ? ? ? ???????? ?,
2
1 2 2 xexfxf x
YX ?
? ?
?
??
??
???
? dxee
xzx
22
22
2
1
?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 5（续）
，代入上式，有则有，作积分变换 dxduzxu ??? 222
作配方法，得的指数上对在上式中 xe
? ? ?
??
??
?
?
??
?
? ??
?
? dxeezf
zxz
Z
22
24
2
1
2
1
??
? ? ? ? ?
??
??
???
? dueezf
uz
Z
222
2
2
2
2
1
22
1
??
? ?2
2
22
22
1 ???
z
e
?
? ?,，这表明,20~ NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
结 论
? ?211~ ??,NX
论：一般地，我们有如下结
相互独立，且与如果随机变量 YX
，YXZ ??
? ?222~ ??,NY
? ?222121~ ???? ??,则 NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
结 论
? ?2~ iii NX ??,
结论：更一般地，我们有如下
相互独立，，，，如果随机变量 nXXX ?21
，令,?
?
?
n
i
ii XaZ
1
? ?ni,，,?21?
?
?
??
?
? ??
??
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~ ??,则
个实常数，为，，，又 naaa n?21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 6
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
nYmXYX
??
22 ~~ ??
由题意，可知
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
mxf
xm
m
X
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
y
yey
nyf
yn
n
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 6（续）
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z xzn
n
xm
m
dxexz
n
ex
m0
2
1
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
1
2
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
z
0??xz
0
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ 0,0 ??? xzx
.0)(0)1( ?? zfz z，当
?? )(,0)2( zfz z当
返回主目录
例 6（续）
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z nm
nm
nz
dx
z
x
x
nm
ze
0
1
21
2
2
1
22
1
22
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z
n
m
nm
z
dxxzx
nm
e
0
1
2
1
2
2
2
22
2
? ?zfZ
z
dxdt
z
xt ??,作积分变换；时，当 00 ?? tx,时，当 1?? tzx
返回主目录
例 6（续）
? ? ? ? ? ?? ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
z d tttz
nm
ze
zf
nm
nm
nz
Z
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
dttt
nm
ze n
m
nm
nmz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
函数的定义：由数学中 ??
函数之间的关系：函数与以及 ????
? ? ? ? ? ?001
1
0
11 ????? ? ?? tsdxxxts ts,，
? ? ? ? ? ?? ?ts tsts ?? ????,
返回主目录
例 6（续）
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
22
22
2 2
1
22
nm
nm
nm
ze
nm
nmz
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
2 2
1
22
nm
ze
nm
nmz
综上所述，我们有
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2 2
1
22 nm
nm
ze
zf
nm
nmz
Z,可知，
返回主目录
例 6（续）
由此，我们得
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
00
0
2
2
1 1
22
2
z
zze
nmzf
nmz
nm
Z
相互独立，且与如果随机变量 YX
? ? ? ?，,nYmX 22 ~~ ??
，YXZ ??
? ?nmZ ?2~ ?则
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ ?
? ?,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z?
? ?,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z?
? ? ? ?zZPzF Z ??
??
?
??
? ?? z
Y
XP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布二．商的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
? ???
?
?
z
y
x
d x d yyxf,
? ? ? ?????
????
??
00 yz
y
xyz
y
x
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
? ? ? ?????
????
??
00 yzyxyzyx
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
? ? ? ?????
??
????
??
??
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy,，
0
0
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
y
yzx ?
yzx?
返回主目录
连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxy dudx ???
? ?,中，作变换，在第一个积分 uyxdxyxfdy
zy
???
??
??
0；，因而有时，注意到当 ??????? uyx 0
? ? ? ?y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
????
??
??
??
??
?,，
00
? ? dyyuyyfdu
z
??
??
??
?
0
,? ? dyyuyfydu
z
??
??
??
?
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxy dudx ???
? ?,中，作变换，同理，在第二个积分 uyxdxyxfdy
zy
???
??
??
0；，因而有时，注意到当 ??????? uyx 0
? ? ? ?y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
????
??
??
??
??
?,，
00
? ? ? ? dyyuyfydu
z
??
????
??
0
,? ? dyyuyfydu
z
??
????
?
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
义有所以，由密度函数的定
? ? ? ? ? ? dyyuyfydudyyuyfyduzF
zz
Z ????
????
??
??
??
0
0
，，
? ? dudyyuyfy
z
? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
故
? ? ?zf Z ? ? dyyzyfy?
??
??
，
返回主目录
连续型随机变量商的分布
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
此时，我们有
? ? ? ? ? ??
??
??
? dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布补充结论,
则令：,YXZ ??
? ? ? ??
??
??
?? dyyyzfzf Z,
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
（ 1）
则令：,XYZ ?
（ 2）
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
? ? ??
??
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? dy
y
y
y
zfdx
xx
zxfzf
Z
1,1,
返回主目录
例 7
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与
数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
?
21
??
由题意，可知
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
011
x
xexf x
X
??
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
022
y
yeyf y
Y
??
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 7（续）
Y
XZ ?设,相互独立性，我们有与由随机变量 YX
? ? ? ? ? ??
??
??
? dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，⑴．若 0?z ? ?,0?zf Z
0,0 ?? yyz
y
z
0,0 ?? yz
，⑵．若 0?z
? ?zfZ ??? ???
0
21
21 dyeey yyz ?? ??
返回主目录
例 7（续）
? ??
??
???
0
21
12 dyey yz????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?212
21
z??
??
?
?
的密度函数为所以,YXZ ?
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
00
0
2
12
21
z
z
zzf Z ??
??
返回主目录
本节的解题步骤
? ?
? ?，分布函数
的，先求随机变量函数
zF
YXgZ
Z
?
? ?
? ? ? ?，密度函数
的，再求随机变量函数
zFzf
YXgZ
ZZ ??
?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布三．其它的分布
返回主目录
例 8
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
22
10~10~
??
由题意，可知
? ?
数为
的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于 YXYX
? ? ? ? ? ???????? ?,
2
1 2
2
xexfxf
x
YX ?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 8（续）
? ? ? ????????
??
yxeyxf
yx
，,2
22
2
1
?
的分布函数为所以,22 YXZ ??
? ? ? ?zZPzF Z ?? ? ?zYXP ??? 22
，则若 0?Z ? ? 0?zF Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，则若 0?Z ? ? ? ?zYXPzF Z ??? 22 ? ?
??
??
?
zyx
d xd yyxf
22
，
??
??
??
?
zyx
yx
dx dye
22
22
2
2
1
?
返回主目录
例 8（续）
则有，，作极坐标变换 ?? s i nc os ryrx ??
? ? ?? ??
z r
Z r d redzF
0
2
2
0
2
2
1 ? ?
? ?
?
?
z r
rd re
0
2
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
00
0
0
2
2
z
zr d re
zF
z r
Z
的密度函数为所以,22 YXZ ??
? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
02
2
z
zzezf
z
Z
返回主目录
例 9
解：
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
是否相互独立？与并判断
各自的边缘分布律，与的联合分布律及与机变量
，试求随，，，，令
，，，相互独立，与设随机变量
??
????
?? YXYXp
pBYpBXYX
m a xm i n10
1~1~
????
，知与的取值都为与由随机变量 10YX
? ? ? ?YXYX,，,m a xm i n ?? ??
．与的取值也为 10
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 9（续）
? ?00 ?? ??,P ? ?00 ??? YXP,
? ? ? ?00 ??? YPXP ? ?21 p??
? ?10 ?? ??,P ? ? ? ?0110 ?????? YXPYXP,，
? ? ? ? ? ? ? ?0110 ?????? YPXPYPXP
? ?pp ?? 12
? ?01 ?? ??,P ? ??? P 0?
? ?11 ?? ??,P ? ?11 ??? YXP,
? ? ? ?11 ??? YPXP 2p?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 9（续）
各自的边缘分布律为，与的联合分布律及与随机变量 ????
?
?
0 1 ?ip
0 ? ?
2
1 p? ? ?pp ?12
2
1 p?
1 0
2
p
2
p
j
p
?
? ?
2
1 p? ? ?
2
11 p??
，由于 10 ?? p 所以，? ?
001 ??? ??,P ? ? ? ? ? ? 22 101 ppPP ????? ???
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
不独立．与这表明，随机变量 ??
返回主目录
例 10
解：
? ? ? ?,令：，密度函数为的分布函数为
随机变量，是独立同分布的连续型，，，设
xfxFX
XXX n
1
21 ?
? ? ? ?
? ? ? ?，，，，
，，，，
nn
n
XXXX
XXXX
?
?
21
211
m a x
m i n
?
?
? ? ? ? 的密度函数．与试求随机变量 nXX 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
1
11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
则
? ?? ? ? ?? ?xXPxF nn ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
n
nn
? ?? ?xXXXP n ??,，,?21m a x
? ?xXxXxXP n ????,，,?21
? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP n ???? ?21
? ?? ? nxF?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
? ? ? ? ? ?? ?xXPxF ?? 11
? ? ? ? ? ? ? ?xFxf nn ??所以，
? ?? ?xXXXP n ??,，,?21m i n
? ?xXxXxXP n ?????,，,?211
? ?? ?? ?nxFdxd?
? ?? ? ? ?xFxFn n ?? ? 1 ? ?? ? ? ?xfxFn n 1??
? ?? ?xXXXP n ???,，,?21m i n1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
? ? ? ? ? ? ? ?xFxf 11 ??所以，
? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP n ????? ?211
? ?? ?? ?nxFdxd ??? 11
? ?? ? ? ?xFxFn n ??? ? 11
? ?? ? ? ?xfxFn n 11 ???
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xXPxXPxXP n ???????? 1111 21 ?
? ?? ? nxF??? 11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 11
解：
的密度函数．的寿命的指数分布，试求系统
，它们都服从参数为的寿命为并联而成，并且
，，，个相互独立的子系统是由设系统
ZL
XL
LLLnL
ii
n
?
?21
? ?，，，,nXXXZ ?21m a x?
并联而成，故有
，，，个相互独立的子系统是由由于系统 nLLLnL ?21
的密度函数为因此
的指数分布，服从参数为的寿命又因为子系统
i
ii
X
XL ?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 11（续）
知，所以，由例 9
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的分布函数为iX
? ?
?
?
?
?
??? ?
00
01
x
xexF x?
? ?，，，,nXXXZ ?21m a x?
的密度函数为
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ?? ? ? ?xfxFnxf nZ 1?? ? ?
??
?
?
?
?
??? ???
00
01 1
x
xeen xnx ?? ?
返回主目录
1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。
2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分
布的关系，了解条件分布。
3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。
4 要理解随机变量的独立性。
5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机
变量的极值分布和函数的分布。
第三章 小 结
返回主目录
作业：
.26,23,21,20,19,18,17,14,11,9,7,5,3,194P
重点, 随机变量的独立性、二维随机变量的和、
商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
例 1
Y
X
1 2 3 4
1
4
1
0 0 0
2
8
1
8
1
0 0
3
12
1
12
1
12
1
0
4
16
1
16
1
16
1
16
1? ?的联合分布律为，设二维离散型随机变量 YX
的分布律．，试求随机变量令,ZYXZ ?? 返回主目录
例 1（续）
解：
．，，，，，，的取值为可知随机变量 8765432YXZ ??
，，，，的取值都是与由于 4321YX
? ?2?ZP ? ?11 ??? YXP, ；
4
1?
? ?3?ZP ? ? ? ?1221 ?????? YXPYXP,,；
8
1
8
10 ???
? ?4?ZP
? ? ? ? ? ?132231 ????????? YXPYXPYXP,，，；245121810 ????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 1（续）
? ?7?ZP ? ? ? ?3443 ?????? YXPYXP,,；
16
1
16
10 ???
? ?6?ZP
? ? ? ? ? ?243342 ????????? YXPYXPYXP,，，；4871611210 ????
? ?5?ZP
? ? ? ?
? ? ? ?1423
3241
??????
??????
YXPYXP
YXPYXP
，，
，，；48716112100 ?????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 1（续）
的分布律为由此得 YXZ ??
? ?8?ZP ? ?44 ??? YXP,,
16
1?
Z 2 3 4 5 6 7 8
P
4
1
8
1
24
5
48
7
48
7
16
1
16
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 2
的分布律．机变量
，试求随分布，令的与
参数为相互独立，且分别服从与设随机变量
Z
YXZ
YX
??P o i s s o n21 ??
解：
，，，，的取值都是与由随机变量 ?210YX
，，，，的取值也是可知随机变量 ?210YXZ ??
而且，
? ?nZP ? ? ?nYXP ???
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
? ?
??
?
??
? ????
?
?n
k
knYkXP
0
，
例 2（续）
? ??
?
????
n
k
knYkXP
0
，
? ?的独立性与随机变量 YX
? ???
?
?
?
???
n
k
knk
eknek
0
21 21
!!
?? ??
? ? ? ??
?
????
n
k
knYPkXP
0
? ?
? ???
??? ?
??
n
k
knk
knke 0 21!!
121 ????
? ?
? ???
?
??
???
n
k
knk
knk
n
n
e
0
21!!
!
!
21
??
??
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 2（续）
? ?
?
?
?
??
???
n
k
knkk
nCn
e
0
21!
21
??
?? ? ? ? ?
n
n
e
21!
21
??
??
??
??
即，
? ? ? ? ? ?21
!
21 ???? ????? e
n
nZP
n
? ??，，,210?n
分布．的
服从参数为分布的定义，知由
P o i s s on
P o i s s on
21 ?? ?
?? YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ ??
? ?,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z??
? ?,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z??
? ? ? ?zZPzF Z ?? ? ?zYXP ???
? ???
??
?
zyx
d x d yyxf,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ???
?
??
??
??
?
xz
dyyxfdx,
x
y
O
xuy ??作变换：
则有
? ? ? ???
??
??
??
??
z
Z duxuxfdxzF,
? ???
??
????
?? dxxuxfdu
z
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
的函数：注意里层的积分是 u
? ? ? ??
??
?
z
Z duugzF即有
? ? ? ??
??
??
?? dxxuxfug,
的密度函数为导，可得
求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数
YXZ
z
??
? ? ? ?zFzf ZZ ?? ? ?
???
?
???
?
? ?
??
z
duug
dz
d ? ?zg?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ??
??
??
?? dxxzxfzf Z,即
注意到在前面的积分中
? ? ? ? ?? ??
?? zyx
Z d x d yyxfzF,
，有积分，通过类似的计算后对
，对积分的，若将其改成先，后对我们是先对
y
xxy
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ???
?
??
??
??
xz
dyyxfdx,
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ??
??
??
?? dyyyzfzf Z,
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
此时，我们有
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
或者 ? ? ? ? ? ??
??
??
?? dyyfyzfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量和的分布
? ? ? ?的卷积，记作与我们称上式为函数 yfxf YX
? ? ? ?yfxf YX *
：因此，我们有以下结论
卷积：
密度函数的与的密度函数等于
相互独立，则它们的和与如果随机变量
YXYXZ
YX
??
? ? ? ? ? ?yfxfzf YXZ *?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dyyfyzfzf YXZ
例 3
解：
? ?
的密度函数．，试求随机变量均匀分布，令
上的，相互独立，都服从区间与设随机变量
ZYXZ
YX
??
10
由题意，可知
? ?
??
? ???
其它0
101 xxf
X ? ? ??
? ???
其它0
101 yyf
Y
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
例 3（续）
,20 ?? zz,或⑴．若 ? ? 0?zfZ
，⑵．若 10 ?? z ? ? ??
z
Z dxzf
0
1
z?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ
10,10 ????? xzx
x
z
0??xz
1??xz
0 1
1
2
? ? ?
?
?
1
1
1
z
Z dxzf
z?? 2，⑶．若 21 ?? z
的密度函数为
综上所述，我们可得
YXZ ??
? ?
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
zz
zz
zf Z
返回主目录
例 4
解：
? ?
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令服从分布，
上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量
Z
YXZY
XYX
??? 1
10
?
由题意，可知
? ?
??
? ???
其它0
101 xxf
X
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
y
yeyf y
Y
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ????
??
?? dxxzfxfzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 4（续）
，⑴．若 0?z ? ? 0?zfZ
，⑵．若 10 ?? z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ? ? ?,?
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ 0,10 ???? xzx
x
z
0??xz
0 1
1
? ? ? ????
z
xz
Z dxezf
0
)(1
ze??? 1
???
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
? ? ? ???
1
0
)( dxezf xz
Z
zz ee ??? ?? 1
???
1
0
dxee xz
返回主目录
例 4（续）
的密度函数为综上所述，我们可得 YXZ ??
? ?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
???
?
1
101
00
1 zee
ze
z
zf
zz
z
Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 5
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
??
10~10~
由题意，可知
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
? ? ? ? ? ????
??
?? dxxzfxfzf YXZ
? ? ? ? ? ???????? ?,
2
1 2 2 xexfxf x
YX ?
? ?
?
??
??
???
? dxee
xzx
22
22
2
1
?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 5（续）
，代入上式，有则有，作积分变换 dxduzxu ??? 222
作配方法，得的指数上对在上式中 xe
? ? ?
??
??
?
?
??
?
? ??
?
? dxeezf
zxz
Z
22
24
2
1
2
1
??
? ? ? ? ?
??
??
???
? dueezf
uz
Z
222
2
2
2
2
1
22
1
??
? ?2
2
22
22
1 ???
z
e
?
? ?,，这表明,20~ NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
结 论
? ?211~ ??,NX
论：一般地，我们有如下结
相互独立，且与如果随机变量 YX
，YXZ ??
? ?222~ ??,NY
? ?222121~ ???? ??,则 NZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
结 论
? ?2~ iii NX ??,
结论：更一般地，我们有如下
相互独立，，，，如果随机变量 nXXX ?21
，令,?
?
?
n
i
ii XaZ
1
? ?ni,，,?21?
?
?
??
?
? ??
??
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~ ??,则
个实常数，为，，，又 naaa n?21
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 6
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
nYmXYX
??
22 ~~ ??
由题意，可知
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
x
xex
mxf
xm
m
X
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
2
2
1
2
1
2
2
y
yey
nyf
yn
n
Y
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 6（续）
? ?，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z??
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z xzn
n
xm
m
dxexz
n
ex
m0
2
1
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
1
2
2
1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
z
0??xz
0
? ? ? ? ? ??
??
??
?? dxxzfxfzf YXZ 0,0 ??? xzx
.0)(0)1( ?? zfz z，当
?? )(,0)2( zfz z当
返回主目录
例 6（续）
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z nm
nm
nz
dx
z
x
x
nm
ze
0
1
21
2
2
1
22
1
22
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
z
n
m
nm
z
dxxzx
nm
e
0
1
2
1
2
2
2
22
2
? ?zfZ
z
dxdt
z
xt ??,作积分变换；时，当 00 ?? tx,时，当 1?? tzx
返回主目录
例 6（续）
? ? ? ? ? ?? ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
z d tttz
nm
ze
zf
nm
nm
nz
Z
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
2
1
2
2
1
22
1
22
2
dttt
nm
ze n
m
nm
nmz
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
函数的定义：由数学中 ??
函数之间的关系：函数与以及 ????
? ? ? ? ? ?001
1
0
11 ????? ? ?? tsdxxxts ts,，
? ? ? ? ? ?? ?ts tsts ?? ????,
返回主目录
例 6（续）
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
22
22
2 2
1
22
nm
nm
nm
ze
nm
nmz
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
2
2 2
1
22
nm
ze
nm
nmz
综上所述，我们有
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2 2
1
22 nm
nm
ze
zf
nm
nmz
Z,可知，
返回主目录
例 6（续）
由此，我们得
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
00
0
2
2
1 1
22
2
z
zze
nmzf
nmz
nm
Z
相互独立，且与如果随机变量 YX
? ? ? ?，,nYmX 22 ~~ ??
，YXZ ??
? ?nmZ ?2~ ?则
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
，令,YXZ ?
? ?,的密度函数下面计算随机变量 zfYXZ Z?
? ?,的分布函数首先计算随机变量 zFYXZ Z?
? ? ? ?zZPzF Z ??
??
?
??
? ?? z
Y
XP
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布二．商的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
? ???
?
?
z
y
x
d x d yyxf,
? ? ? ?????
????
??
00 yz
y
xyz
y
x
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
? ? ? ?????
????
??
00 yzyxyzyx
d x d yyxfd x d yyxf
，，
，，
? ? ? ?????
??
????
??
??
zy
zy
dxyxfdydxyxfdy,，
0
0
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
x
y
yzx ?
yzx?
返回主目录
连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxy dudx ???
? ?,中，作变换，在第一个积分 uyxdxyxfdy
zy
???
??
??
0；，因而有时，注意到当 ??????? uyx 0
? ? ? ?y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
????
??
??
??
??
?,，
00
? ? dyyuyyfdu
z
??
??
??
?
0
,? ? dyyuyfydu
z
??
??
??
?
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布；时，，当则 zuzyxy dudx ???
? ?,中，作变换，同理，在第二个积分 uyxdxyxfdy
zy
???
??
??
0；，因而有时，注意到当 ??????? uyx 0
? ? ? ?y d uyuyfdydxyxfdy
zzy
????
??
??
??
??
?,，
00
? ? ? ? dyyuyfydu
z
??
????
??
0
,? ? dyyuyfydu
z
??
????
?
0
，
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
连续型随机变量商的分布
义有所以，由密度函数的定
? ? ? ? ? ? dyyuyfydudyyuyfyduzF
zz
Z ????
????
??
??
??
0
0
，，
? ? dudyyuyfy
z
? ?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
故
? ? ?zf Z ? ? dyyzyfy?
??
??
，
返回主目录
连续型随机变量商的分布
相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，
此时，我们有
? ? ? ? ? ??
??
??
? dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布补充结论,
则令：,YXZ ??
? ? ? ??
??
??
?? dyyyzfzf Z,
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
（ 1）
则令：,XYZ ?
（ 2）
? ?
? ?,，数为
，其联合密度函是二维连续型随机变量，设
yxf
YX
? ? ??
??
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? dy
y
y
y
zfdx
xx
zxfzf
Z
1,1,
返回主目录
例 7
解：
的密度函数．量
，试求随机变的指数分布，令与
数为相互独立，分别服从参与设随机变量
Z
Y
X
Z
YX
?
21
??
由题意，可知
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
011
x
xexf x
X
??
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
022
y
yeyf y
Y
??
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 7（续）
Y
XZ ?设,相互独立性，我们有与由随机变量 YX
? ? ? ? ? ??
??
??
? dyyfyzfyzf YXZ
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，⑴．若 0?z ? ?,0?zf Z
0,0 ?? yyz
y
z
0,0 ?? yz
，⑵．若 0?z
? ?zfZ ??? ???
0
21
21 dyeey yyz ?? ??
返回主目录
例 7（续）
? ??
??
???
0
21
12 dyey yz????
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?212
21
z??
??
?
?
的密度函数为所以,YXZ ?
? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
??
00
0
2
12
21
z
z
zzf Z ??
??
返回主目录
本节的解题步骤
? ?
? ?，分布函数
的，先求随机变量函数
zF
YXgZ
Z
?
? ?
? ? ? ?，密度函数
的，再求随机变量函数
zFzf
YXgZ
ZZ ??
?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布三．其它的分布
返回主目录
例 8
解：
? ? ? ?
的密度函数．，试求随机变量令
，，，，相互独立，与设随机变量
ZYXZ
NYNXYX
22
10~10~
??
由题意，可知
? ?
数为
的联合密度函，是相互独立的，所以，与由于 YXYX
? ? ? ? ? ???????? ?,
2
1 2
2
xexfxf
x
YX ?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 8（续）
? ? ? ????????
??
yxeyxf
yx
，,2
22
2
1
?
的分布函数为所以,22 YXZ ??
? ? ? ?zZPzF Z ?? ? ?zYXP ??? 22
，则若 0?Z ? ? 0?zF Z
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
，则若 0?Z ? ? ? ?zYXPzF Z ??? 22 ? ?
??
??
?
zyx
d xd yyxf
22
，
??
??
??
?
zyx
yx
dx dye
22
22
2
2
1
?
返回主目录
例 8（续）
则有，，作极坐标变换 ?? s i nc os ryrx ??
? ? ?? ??
z r
Z r d redzF
0
2
2
0
2
2
1 ? ?
? ?
?
?
z r
rd re
0
2
2
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
00
0
0
2
2
z
zr d re
zF
z r
Z
的密度函数为所以,22 YXZ ??
? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
02
2
z
zzezf
z
Z
返回主目录
例 9
解：
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
是否相互独立？与并判断
各自的边缘分布律，与的联合分布律及与机变量
，试求随，，，，令
，，，相互独立，与设随机变量
??
????
?? YXYXp
pBYpBXYX
m a xm i n10
1~1~
????
，知与的取值都为与由随机变量 10YX
? ? ? ?YXYX,，,m a xm i n ?? ??
．与的取值也为 10
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 9（续）
? ?00 ?? ??,P ? ?00 ??? YXP,
? ? ? ?00 ??? YPXP ? ?21 p??
? ?10 ?? ??,P ? ? ? ?0110 ?????? YXPYXP,，
? ? ? ? ? ? ? ?0110 ?????? YPXPYPXP
? ?pp ?? 12
? ?01 ?? ??,P ? ??? P 0?
? ?11 ?? ??,P ? ?11 ??? YXP,
? ? ? ?11 ??? YPXP 2p?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 9（续）
各自的边缘分布律为，与的联合分布律及与随机变量 ????
?
?
0 1 ?ip
0 ? ?
2
1 p? ? ?pp ?12
2
1 p?
1 0
2
p
2
p
j
p
?
? ?
2
1 p? ? ?
2
11 p??
，由于 10 ?? p 所以，? ?
001 ??? ??,P ? ? ? ? ? ? 22 101 ppPP ????? ???
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
不独立．与这表明，随机变量 ??
返回主目录
例 10
解：
? ? ? ?,令：，密度函数为的分布函数为
随机变量，是独立同分布的连续型，，，设
xfxFX
XXX n
1
21 ?
? ? ? ?
? ? ? ?，，，，
，，，，
nn
n
XXXX
XXXX
?
?
21
211
m a x
m i n
?
?
? ? ? ? 的密度函数．与试求随机变量 nXX 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
1
11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
则
? ?? ? ? ?? ?xXPxF nn ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?．为
，密度函数的分布函数为设随机变量
xf
xFX
n
nn
? ?? ?xXXXP n ??,，,?21m a x
? ?xXxXxXP n ????,，,?21
? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP n ???? ?21
? ?? ? nxF?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
? ? ? ? ? ?? ?xXPxF ?? 11
? ? ? ? ? ? ? ?xFxf nn ??所以，
? ?? ?xXXXP n ??,，,?21m i n
? ?xXxXxXP n ?????,，,?211
? ?? ?? ?nxFdxd?
? ?? ? ? ?xFxFn n ?? ? 1 ? ?? ? ? ?xfxFn n 1??
? ?? ?xXXXP n ???,，,?21m i n1
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 10（续）
? ? ? ? ? ? ? ?xFxf 11 ??所以，
? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP n ????? ?211
? ?? ?? ?nxFdxd ??? 11
? ?? ? ? ?xFxFn n ??? ? 11
? ?? ? ? ?xfxFn n 11 ???
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xXPxXPxXP n ???????? 1111 21 ?
? ?? ? nxF??? 11
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 11
解：
的密度函数．的寿命的指数分布，试求系统
，它们都服从参数为的寿命为并联而成，并且
，，，个相互独立的子系统是由设系统
ZL
XL
LLLnL
ii
n
?
?21
? ?，，，,nXXXZ ?21m a x?
并联而成，故有
，，，个相互独立的子系统是由由于系统 nLLLnL ?21
的密度函数为因此
的指数分布，服从参数为的寿命又因为子系统
i
ii
X
XL ?
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
返回主目录
例 11（续）
知，所以，由例 9
? ?
?
?
?
?
?? ?
00
0
x
xexf x??
的分布函数为iX
? ?
?
?
?
?
??? ?
00
01
x
xexF x?
? ?，，，,nXXXZ ?21m a x?
的密度函数为
第三章 随机变量及其分布
§ 5 多维随机变量函数的分布
? ? ? ?? ? ? ?xfxFnxf nZ 1?? ? ?
??
?
?
?
?
??? ???
00
01 1
x
xeen xnx ?? ?
返回主目录
1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。
2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分
布的关系，了解条件分布。
3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。
4 要理解随机变量的独立性。
5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机
变量的极值分布和函数的分布。
第三章 小 结
返回主目录
作业：
.26,23,21,20,19,18,17,14,11,9,7,5,3,194P
重点, 随机变量的独立性、二维随机变量的和、
商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。
